14.3.提公因式法 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

提取公因式法14.3因式分解14.3.1提取公因式法202X

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式。提取公因式法因式分解：學(xué)習(xí)新知202X

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式。提取公因式法因式分解：2、利用整式乘法檢驗(yàn)因式分解的正確性。和差積整式的乘法因式分解1、請(qǐng)你舉例a2+2ab+b2=(a+b)2a2-b2=(a+b)(a-b)類(lèi)比思想：實(shí)現(xiàn)了舊知識(shí)向新知識(shí)的拓展延伸提取公因式法思考：

整式的乘法與因式分解有什么關(guān)系嗎？(×)(√)(×)對(duì)象是乘積結(jié)果是和差用整式乘法檢驗(yàn)知識(shí)應(yīng)用？經(jīng)驗(yàn)提升：是否是因式分解看結(jié)果－－乘積形式提取公因式法下列各式是不是因式分解,為什么？（1）12x2y3=3xy·4xy2（2）ax+bxy-xy=ax+xy(b-1)（3）a2-b2=(a+b)·(a-b)ma+mb+mc=m（a+b+c）想學(xué)習(xí)這樣分解因式的方法嗎？

公因式：多項(xiàng)式ma+mb+mc中的每一項(xiàng)都含有一個(gè)相同的因式m，我們稱(chēng)之為公因式。這就是提取公因式法提取公因式法尋找公因式游戲：

根據(jù)多項(xiàng)式和提供的整式，尋找出這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。提取公因式法ab33a+3b提取公因式法21xy7x2y7x2y221x2y2+7x2y提取公因式法xy-xy3xy-x3y2+3xy2-xy提取公因式法x(x-y)y(x-y)(x-y)x(x-y)2-y(x-y)提取公因式法提取公因式法尋找公因式的方法：（1）取多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式中的數(shù)字因式。（2）各項(xiàng)中的相同的字母（或多項(xiàng)式）作為公因式中的字母（或多項(xiàng)式），并取它們的最低次冪。提取公因式法提取公因式法：

把公因式提出來(lái),多項(xiàng)式ma+mb+mc就分解成m和a+b+c的乘積，這種因式分解方法叫做提取公因式法。=3(a+b)=7x2y(3y+1)=-xy(x2y-3y+1)提取公因式法例：把下列各式分解因式：（１）3a+3b

(2)21x2y2+7x2y(3)-x3y2+3xy2-xy=(x-y)[x(x-y)-y]=(x-y)(x2-xy-y)=(x-y)3-(x-y)2=(x-y)2(x-y-1)回憶：n為偶數(shù)(x-y)n=(y-x)nn為奇數(shù)(x-y)n=-(y-x)n提取公因式法

（4）x(x-y)2-y(x-y)

（5）(x-y)3-(y-x)2法1：()+()a2-bc+ac-ab提取公因式法探索：a2-bc+ac-ab能分解因式嗎？法2：()+()a2-bc+ac-ab法1：(a2+ac)+(-bc-ab)提取公因式法探索：a2-bc+ac-ab能分解因式嗎？法3：()a2-bc+ac-ab法2：（a2-ab）+(ac-bc)法1：(a2+ac)+(-bc-ab)提取公因式法探索：a2-bc+ac-ab能分解因式嗎？=a(a+c)-b(a+c)=(a-b)(a+c)=a(a-b)+c(a-b)=(a+c)(a-b)=a(a+c-b)-bc不能分解提取公因式法法1：(a2+ac)+(-bc-ab)法2：（a2-ab）+(ac-bc)法3：（a2+ac-ab）-bcx2–1(x+1)(x–1)因式分解整式乘法x2–1=(x+1)(x–1)等式的特征：左邊是多項(xiàng)式，右邊是幾個(gè)整式的乘積整式乘法與因式分解有什么關(guān)系？是互為相反的變形，即探究新知想一想例1下列從左到右的變形中是因式分解的有(

)①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)B方法總結(jié)：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解的右邊是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的形式，整式乘法的右邊是多項(xiàng)式的形式．素養(yǎng)考點(diǎn)1因式分解變形的識(shí)別探究新知1.在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有

.不是因式分解的，請(qǐng)說(shuō)明原因.

①②③④⑤⑥③⑥am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x

·8xyx2–1=(x+1)(x–1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+)2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是積的運(yùn)算因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式是整式乘法每個(gè)因式必須是整式鞏固練習(xí)pa+pb+pc用提公因式法分解因式

多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.相同因式p觀察下列多項(xiàng)式，它們有什么共同特點(diǎn)？x2＋x相同因式x知識(shí)點(diǎn)2探究新知問(wèn)題1：

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c

)pa+pb+pcp=探究新知

找出3x2–6xy

的公因式.系數(shù)：最大公約數(shù).3字母：相同的字母.x

所以這個(gè)算式的公因式是3x.指數(shù)：相同字母的最低次數(shù).1如何確定一個(gè)多項(xiàng)式的公因式？探究新知問(wèn)題2：找出多項(xiàng)式的公因式的正確步驟：3.定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母的最低次數(shù).

1.定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).

2.定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母.

探究新知?dú)w納總結(jié)找一找:下列各多項(xiàng)式的公因式是什么？3aa22(m+n)3mn–2xy(1)3x+6y(2)ab–2ac(3)

a2

–a3(4)4(m+n)

2+2(m+n)(5)9m

2n–6mn

(6)–6x2

y–8xy2

探究新知(1)8a3b2+12ab3c；例2

把下列各式分解因式.分析：提公因式法步驟(分兩步)

第一步:找出公因式；

第二步:提取公因式，即將多項(xiàng)式化為兩個(gè)因式的乘積.(2)2a(b+c)–3(b+c).公因式既可以是一個(gè)單項(xiàng)式的形式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的形式.整體思想是數(shù)學(xué)中一種重要而且常用的思想方法.素養(yǎng)考點(diǎn)2利用提公因式法分解因式探究新知解：(1)

8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab，另一個(gè)因式是否還有公因式？另一個(gè)因式將是2a2b+3b2c，它還有公因式是b.(2)

2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a–3).如何檢查因式分解是否正確？做整式乘法運(yùn)算.探究新知2.因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)–3(b＋c)；(3)(a＋b)(a–b)–a–b.(3)原式＝(a＋b)(a–b–1)．解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；(2)原式＝(2a–3)(b＋c)；鞏固練習(xí)把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x

+6y).錯(cuò)誤公因式?jīng)]有提盡，還可以提出公因式2.注意：公因式要提盡.正解：原式=6xy(2x+3y).3.小明的解法有誤嗎？鞏固練習(xí)當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后剩余的項(xiàng)是1.錯(cuò)誤注意：某項(xiàng)提出莫漏1.解：原式=x(3x–6y).把3x2–6xy+x分解因式.正解：原式=3x·x–6y·x+1·x=x(3x–6y+1)4.小亮的解法有誤嗎？鞏固練習(xí)提出負(fù)號(hào)時(shí)括號(hào)里的項(xiàng)沒(méi)變號(hào).錯(cuò)誤把–x2+xy–xz分解因式.解：原式=–x(x+y–z).注意：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù).正解：原式=–(x2–xy+xz)

=–x(x–y+z)5.小華的解法有誤嗎？鞏固練習(xí)提取公因式分解因式的技巧：①當(dāng)公因式是多項(xiàng)式時(shí)，把多項(xiàng)式看成一個(gè)整體提取公因式；②分解因式分解到不能分解為止；③某一項(xiàng)全部提取后，不要漏掉“1”；④首項(xiàng)有負(fù)號(hào)常提負(fù)號(hào)；⑤檢查因式分解的結(jié)果是否正確，可用整式的乘法驗(yàn)證.鞏固練習(xí)歸納總結(jié)例3計(jì)算：(1)39×37–13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)

＝2016.＝13×20＝260；解：(1)原式＝3×13×37–13×91＝13×(3×37–91)方法總結(jié)：在計(jì)算求值時(shí)，若式子各項(xiàng)都含有公因式，用提取公因式的方法可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．素養(yǎng)考點(diǎn)3利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算探究新知=259

=9900(1)992＋99(2)=99×(99+1)6.簡(jiǎn)便計(jì)算.鞏固練習(xí)

解：原式=99

×99+99

解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125

=0.125×(13.8+86.2)

=0.125×100

=12.5例4已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，方法總結(jié)：含a±b，ab的求值題，通常要將所求代數(shù)式進(jìn)行因式分解，將其變形為能用a±b和ab表示的式子，然后將a±b，ab的值整體帶入即可.素養(yǎng)考點(diǎn)4利用因式分解求整式的值探究新知7.已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值.解:a2b+ab2=ab(a+b)

=3×5=15鞏固練習(xí)1.分解因式：a2–5a=_________．連接中考鞏固練習(xí)2.若a+b=4，ab=1，則a2b+ab2=

．解析：∵a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．a(chǎn)(a–5)41.多項(xiàng)式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(

)A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn2

2.把多項(xiàng)式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(

)A．x+1B．2xC．x+2D．x+33.下列多項(xiàng)式的分解因式，正確的是(

)A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz)B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)

C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z)D．a(chǎn)2b+5ab–b=b(a2+5a)

BC

D課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題4.把下列各式分解因式：(1)分解因式：m2–3m=

．(2)12xyz–9x2y2=_____________；(3)因式分解：(x+2)x–x–2=___________．

(4)–x3y3–x2y2–xy=_______________；3xy(4z–3xy)–xy(x2y2+xy+1)(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.(y–x)(2y–x)5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，則M等于_____________.3a(x–y)2

m(m–3)(x+2)(x–1)課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題6.簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)1.992+1.99×0.01;

(2)20132+2013–20142;(3)(–2)101+(–2)100.(2)原式=2013(2013+1)–20142=2013×2014–20142=2014×(2013–2014)

=–2014．解：(1)原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；(3)原式=(–2)100×(–2+1)

=2100

×(–1)=–2100.課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]=(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1).(1)已知:2x+y=4，xy=3，求代數(shù)式2x2y+xy2的值.(2)化簡(jiǎn)求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x=.當(dāng)x=

時(shí)能力提升題原式=2×(2×+1)=4.課堂檢測(cè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．∴△ABC是等腰三角形．解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab–c–2bc＝0，(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，∴a–c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝–0.5(舍去)，拓廣探索題