高等代數(shù)筆記

II）的極大線性無關(guān)組，從而，……，與（II）等價，,……，可由，……，線性表示.由替換定理，nr，將，……，適當(dāng)交換順序并重新編號，不妨設(shè)仍為，……，，用，,……，替換，……，得到，,……，，，……，與，……，等價，,……，，，……，的秩與，……，的秩相等，同為r.，,……，，，……，線性無關(guān)，易知rn.令=（i=n，……，r）有，……，線性無關(guān)（2）易知2，…n可由（=2\*ROMANII）線性表示，由（1）知2，…n，i1線性無關(guān)。由替換定理，將（=2\*ROMANII）適當(dāng)交換順序并重新編號，不妨設(shè)為1，…m。用2，…n，i1替換1，…n得到2，…n，i1,n=1,…m記為2，…n，i1,，i2，…im-n+1(=3\*ROMANIII)與（=2\*ROMANII）等價，從而（=3\*ROMANIII）與（=2\*ROMANII）的秩相同，同為m個∴（=3\*ROMANIII）必線性無關(guān)。子空間的直和，，V=，則稱V為的直和，記為，稱的余子空間（1），且，則使（2）若dimV<，，則正交補W是歐氏空間V的非空子集，，，即稱與W正交，記，則Th1：若W是V的有限維子空間，則例2：是n維向量空間的非平凡子空間，則存在.使=+;其中是否唯一?證：是的非平凡子空間，0=.設(shè)，，…，為的一組基，將，，…，擴充為，，…，…，，使后者為的基，令=（，…，），則=。事實上，，，…，，使=+…+++…+令=+…+，=+…+=+，，。=+，=+…+——…—=0.，，…，線性無關(guān)，=…===…==0=0.={0}，=.證明：假設(shè)不唯一,有=+=所以所以是的非平凡子空間所以但不屬于不屬于設(shè)為的基，則線性無關(guān)令，若則，矛盾所以所以所以可擴充為的一組基，令，{}所以又但不屬于所以即不唯一子空間例1設(shè)是維歐氏空間的非空子集，證明：（1）（⊥）⊥=是的子空間證明：必要性：，,,⊥,<>=<，>+<,>=0（⊥）⊥=且充分性：,⊥<,>=0,⊥（⊥）⊥（⊥）⊥是U的有限維子空間U=⊥（⊥）⊥≤U,=1+2,其中1,2⊥0=<,2>=<1+2,2>=<1,2>+<2,2>=<2,2>2=0=1（⊥）⊥（⊥）⊥=例1.，，按通常的矩陣加法和數(shù)與矩陣乘法作成R上的向量空間。求dim.解：令，，，，，，使，即,,,.故線性無關(guān)，為的基，dim=6.設(shè)是R上的階實方陣的全體構(gòu)成的向量空間，，令。證明：可作為上的內(nèi)積。找出上的標(biāo)準(zhǔn)正交基。證明：（1）,，要使得成立當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A=0（1）得證（2）令為第列的元素為1，其余元素為0的階方陣。兩兩正交且長度為1又可由線性表示為的標(biāo)準(zhǔn)正交基。設(shè)V是定義在R上的函數(shù)的全體構(gòu)成的向量空間,令,.證明:,,且.證:∵0∈,0∈,∴≠,≠令則＝=∈.同理可證,.,令,,,.且∩即∩=﹛