2023年二輪復習解答題專題八：解直角三角形的應(yīng)用課題學習(原卷版+解析)

2023年二輪復習解答題專題九：解直角三角形的應(yīng)用課題學習方法點睛解直角三角形的實際應(yīng)用題解題方法審題、分析題意，將已知量和未知量弄清楚，明確題目中的一些名詞、術(shù)語的含義，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所給三角形是直角三角形，確定合適的邊角關(guān)系進行計算；若不是直角三角形，可嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題進行解決.此外，在測量問題中往往會涉及測角儀等與計算無關(guān)的數(shù)據(jù)，在求建筑物高度時不要忽略這些數(shù)據(jù).典例分析例1（2022臨沂中考）（8分）如圖是一座獨塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設(shè)計．某學習小組利用課余時間測量主塔頂端到橋面的距離．勘測記錄如下表：活動內(nèi)容測量主塔頂端到橋面的距離成員組長：×××組員××××××××××××測量工具測角儀，皮尺等測量示意圖說明：左圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點A，C，D，B在同一條直線上，EF⊥AB，點A，C分別與點B，D關(guān)于直線EF對稱．測量數(shù)據(jù)∠A的大小28°AC的長度84mCD的長度12m請利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．專題過關(guān)1．（2022棗莊中考）（8分）為傳承運河文明，弘揚民族精神，棗莊市政府重建了臺兒莊古城．某?！熬C合與實踐”小組開展了測量臺兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實踐活動，請你幫他們完成下面的實踐報告．測量臺兒莊古城城門樓高度的實踐報告活動課題測量臺兒莊古城城門樓高度活動目的運用三角函數(shù)知識解決實際問題活動工具測角儀、皮尺等測量工具方案示意圖測量步驟如圖②（1）利用測角儀站在B處測得城門樓最高點P的仰角為39°；（2）前進了10米到達A處（選擇測點A，B與O在同一水平線上，A，B兩點之間的距離可直接測得，測角儀高度忽略不計），在A處測得P點的仰角為56°．參考數(shù)據(jù)sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．計算城門樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）2.（2022盤錦中考）某數(shù)學小組要測量學校路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角僅進行測量，測量結(jié)果如下：測量項目測量數(shù)據(jù)從A處測得路燈頂部P的仰角從D處測得路燈頂部P的仰角測角儀到地面的距離兩次測量時測角儀之間的水平距離計算路燈頂部到地面的距離約為多少米?（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)；）3.（2022周口扶溝二模）九年級數(shù)學“綜合與實踐”的活動課題是“測量物體的高度”，第一小組和第二小組的成員分別采用不同的方案測量古樹的高度，下面是他們的研究報告的部分記錄內(nèi)容．課題：測量古樹的高度AB組別第一小組第二小組示意圖（說明：圖中的所有點均在同一豎直平面內(nèi)，其中點C，B，E，G在同一水平線上，點D，M，F(xiàn)，H在同一水平線上）方案用高度為1.4m的測角儀在C處測得古樹頂端A處的仰角為40°，并測得點C到古樹的水平距離CB為9.76m用高度為1.4m的測角儀在G處測得古樹頂端A處的仰角為45°，在E處測得古樹頂端A處的仰角為55°，并測得E，G兩點間的距離為2.56m參考數(shù)據(jù)tan40°≈0.84，tan55°≈1.43，計算過程在Rt△ADM中，DM＝CB＝9.76，∠ADM＝40°，，∴AM＝DM?tan40°≈9.76×0.84≈8.2（m）∴AB＝AM＋BM≈8.2＋1.4＝9.6（m）……組員簽字（1）請完成第二小組成員的計算過程．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）你認為哪個小組的測量方案得到的結(jié)果更加準確，請說明理由．4.（2022河南社旗一模）手機測距可以測量物體高度、寬度等，這些測距軟件是基于幾何學原理設(shè)計的．測量時只需要輸入身高，再用手機拍攝功能將準星對準物體頂端和底部拍攝圖片，程序就會計算出物體的高度．某款測距提供的測高模式如下：點都在同一平面內(nèi)，手機位置為點，待測物體為，且和均與地面垂直．從點處測得頂端的仰角為，底部的俯角為．奮進小組的同學想用上述方式手動計算某景區(qū)宣傳廣告牌的高度．如圖2，經(jīng)過測量得到，仰角，俯角，求出廣告牌的高度（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1）．5.（2022河南滑縣一模）學完解直角三角形后，某數(shù)學興趣小組準備用所學的知識測量河南鄭州花園口某處黃河的寬度．他們制定了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量．測量項目和測量數(shù)據(jù)如下表：項目測量花園口某處黃河的寬度成員組長：×××組員：××××××測量工具無人機（可測量無人機離水面的高度及俯角）示意圖

說明：遙控無人機并控制在河面（花園口某處黃河的寬度）正上方的D處保持靜止（懸停），利用無人機測得無人機距水面的高度，并分別測得俯視河面A，B兩處的角度測量數(shù)據(jù)第一次第二次平均值第一次第二次平均值第一次第二次平均值根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）請利用上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助該數(shù)學興趣小組計算出花園口某處黃河的寬度．（結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，，）（2）有同學提出一個方案，直接利用無人機測量花園口某處黃河的寬度，由B處正上方水平勻速飛行到A處正上方，即可知道河面的寬度，請你分析該方案是否可行，并說明理由．（3）該數(shù)學興趣小組要寫出一份完整的課題活動報告，除上表中的項目外，你認為還需要補充哪些項目？（寫出一個即可）6.（2022鶴壁一模）如圖1是鶴壁市玄天洞石塔，原名玲瓏塔，是我省現(xiàn)存最大的一座樓閣式石塔，玄天洞石塔坐東朝西，為九級重檐平面四角樓閣式建筑，此塔始建于元朝，重建于明代，時稱天塔，因該塔屹立于淇河北岸玄天洞東南，又得名玄天洞石塔，某數(shù)學興趣小組開展了測量“玄天洞石塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：方案設(shè)計：如圖2，石塔CD垂直于地面，在地面上選取A，B兩處分別測得∠CAD和∠CBD的度數(shù)（A，D，B三點在同一條直線上）數(shù)據(jù)收集：通過實地測量，地面上A，B兩點的距離為20m，∠CAD=45°，∠CBD=58°．問題解決：求石塔CD的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）7.（2022鄭州一檢）嵩岳寺塔位于登封市區(qū)西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院內(nèi)，為北魏時期佛塔．該塔是我國現(xiàn)存最早的磚塔，反映了中外建筑文化交流融合創(chuàng)新的歷程，在結(jié)構(gòu)、造型等方面具有很大價值，對后世磚塔建筑有著巨大影響．某數(shù)學興趣小組通過調(diào)查研究把“如何測量嵩岳寺塔的高度”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間實地測量．課題測量嵩岳寺塔的高度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案在點C處放置高為1.3米的測角儀CD，此時測得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達點E處，此時測得塔頂端A的仰角為32°．說明：點E、C、B三點在同一水平線上．請你根據(jù)表中信息結(jié)合示意圖幫助該數(shù)學興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）8.（2022濮陽二模）“惠風塔”是濮水小鎮(zhèn)精心打造的標志性建筑，晉·王羲之《蘭亭集序》：“是日也，天朗氣清，惠風和暢．”由此取名“惠風”，取惠風和暢之意．某校數(shù)學社團的同學們在游覽濮水小鎮(zhèn)時，他們想測量“惠風塔”的高度，為此，他們購置了皮尺、測角儀等工具．下表是小穎同學在該活動中畫的示意圖和記錄的相關(guān)數(shù)據(jù)．請你依據(jù)測量數(shù)據(jù)計算出“惠風塔”的高度（結(jié)果精確到，，，）．目標測量“惠風塔”到地面的高度測量畫示意圖測量數(shù)據(jù)m，m，，9.（2022南陽臥龍一模）嵩岳寺塔位于登封市區(qū)西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院內(nèi)，為北魏時期佛塔．該塔是我國現(xiàn)存最早的磚塔，反映了中外建筑文化交流融合創(chuàng)新的歷程，在結(jié)構(gòu)、造型等方面具有很大價值，對后世磚塔建筑有著巨大影響．某數(shù)學興趣小組通過調(diào)查研究把“如何測量嵩岳寺塔的高度”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間實地測量．課題測量嵩岳寺塔的高度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案在點C處放置高為1.3米的測角儀CD，此時測得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達點E處，此時測得塔頂端A的仰角為32°．說明：點E、C、B三點在同一水平線上．請你根據(jù)表中信息結(jié)合示意圖幫助該數(shù)學興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）10.（2022大同二模）在學校的數(shù)學“綜合與實踐”課上，同學們學習了測量學校旗桿的高度．受到啟發(fā)后，小宇與小東決定和學習小組成員分別采用不同的方案測量小區(qū)內(nèi)一棵銀杏樹的高度，以下是他們研究報告的部分記錄內(nèi)容：

測量內(nèi)容測量銀杏樹的高度測量工具測角儀（單位：度）、皮尺（單位：m）等測量成員小宇和學習小組成員小東和學習小組成員測量方案示意圖

示意圖說明如圖，銀杏樹的頂端點C到地面的高度為CF，在測點A、D用儀器測得點A、D處的仰角分別為，點A、B、C、D、E、G、F均在同一豎直平面內(nèi)，點A、D、B在同一條直線上，點E、G、F在同一條直線上．測量數(shù)據(jù)，參考數(shù)據(jù)請從小宇和小東學習小組的方案中任選其中一個方案，根據(jù)數(shù)據(jù)求出銀杏樹的高度．mg11.（2022河南上蔡二模）為了測量學校旗桿（垂直于水平地面）的高度，班里三個興趣小組設(shè)計了三種不同的測量方案，如下表所示．課題測量校園旗桿的高度測量工具測角儀（測量角度儀器），卷尺，平面鏡等測量小組A組B組C組測量方案示意圖說明線段AB表示旗桿的高度，線段BE表示旗桿底座高度，點A，B，E共線，線段CD，F(xiàn)G表示測角儀的高度，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一豎直平面內(nèi)，CG表示兩次測角儀擺放位置的距離，測角儀可測得旗桿頂端A的仰角線段AB表示旗桿的高度，線段BE表示旗桿底座高度，點A，B，E共線，線段CD表示測角儀的高度，DE表示測角儀到旗桿的距離，點F表示平面鏡的中心，點E，F(xiàn)，D共線，眼睛在C處，移動平面鏡，看向中心F，恰好看到旗桿頂端A，此時用測角儀測得平面鏡的俯角，A，B，C，D，E，F(xiàn)六點在同一豎直平面內(nèi)線段AB表示旗桿的高度，線段BE表示旗桿底座高度，點A，B，E共線，EC為旗桿與底座某一時刻下的影長，A，B，C，E四點在同一豎直平面內(nèi)，標桿NM垂直于水平地面，PM為標桿NM在某一時刻的影長測量數(shù)據(jù)為，為，米，米，米米，米，米，為米，米，米，米（1）上述A，B，C三個小組中，用哪個小組測量的數(shù)據(jù)計算出的旗桿高度不是旗桿的真實高度，為什么？（2）請結(jié)合所學知識，利用A組測量的數(shù)據(jù)計算出旗桿的高度AB．（結(jié)果保留兩位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）12.（2022河南西華一模）具有河南十大地標之稱的“中國文字博物館”位于安陽市，是我國第一座以文字為主題的博物館，整個建筑風格既有現(xiàn)代時尚氣息，又充滿殷商宮廷風韻，其大門取甲骨文、金文中“字”字之形．某數(shù)學興趣小組在學習了“解直角三角形”之后，開展了一次測量中國文字博物館大門高度的課外實踐活動，甲、乙兩個小組分別設(shè)計了如下方案：課題：測量大門高度甲組的測量報告乙組的測量報告測量示意圖測量方案與測量數(shù)據(jù)在點D處用距離地面1.6m測角儀測出大門頂端A的仰角在點O處放一面鏡子，在點C處通過鏡子反射剛好看到大門的頂端A，CD＝1.6m，BD＝37m，參考數(shù)據(jù)sin55≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，計算大門高度（1）數(shù)學老師看了他們的測量報告后說：“其中一個小組的測量報告存在問題，不能得到測量結(jié)果．”你認為______的測量報告存在問題，并提出修改建議；（2）請根據(jù)正確的測量報告計算出中國文字博物館大門的高度（結(jié)果精確到0.1m）．13.（2022鄭州外國語三模）為測量水城河兩岸的寬度，某數(shù)學研究小組設(shè)計了三種不同的方案，他們在河岸邊A處測得河對岸的同學B恰好在正北方向，測量方案及數(shù)據(jù)如下表：課題測量水城河兩岸的寬度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案方案一方案二方案三測量方案示意圖

測量說明點C，D在點A的正東方向，DE⊥AD．點C，D在點A的正東方向．點C在點A的正西方向，點D在點A的正東方向．測量數(shù)據(jù)，，．，，．，，．（1）哪一種方案無法計算出河兩岸的寬度；（2）請選擇其中一種方案計算出河兩岸的寬度（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：）14.（2022河南蘭考二模）我校九年級“卓越數(shù)學”興趣小組，“雙減”之后，開展多項減負提質(zhì)實踐課，周末他們用所學到的知識測量附近一幢樓房的高度，由于到樓房底部的水平距離被建筑護坡遮擋，不易測量，他們通過實地觀察、分析，制訂了可行的方案，并進行了實地測量．已知樓房AB前有一斜坡CD，它的坡度．他們先在坡面D處測量樓房頂部A的仰角，接著沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房的方向繼續(xù)行走至E處，再次測量樓房頂部A的仰角，并測量了C、E之間的距離，最后測量了坡面C、D之間的距離．為了減少測量誤差，小組在測量仰角以及距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果（測角儀高度忽略不計），如下表:項目內(nèi)容課題測量學校附近樓房的高度測量示意圖說明:測點D、E與點C、B都在同一水平面上測量數(shù)據(jù)測量項目第一次第二次平均值仰角∠ADM的度數(shù)30.1°299°30°仰角的度數(shù)59.9°60.1°60°C、E之間的距離5.1米4.9米5米C、D之間的距離11.8米12.2米？……（1）任務(wù)一：兩次測量C，D之間的距離的平均值是______米；（2）任務(wù)二：請你幫助“卓越數(shù)學”小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，求出該樓房AB的高．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù):，）2023年二輪復習解答題專題九：解直角三角形的應(yīng)用課題學習方法點睛解直角三角形的實際應(yīng)用題解題方法審題、分析題意，將已知量和未知量弄清楚，明確題目中的一些名詞、術(shù)語的含義，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所給三角形是直角三角形，確定合適的邊角關(guān)系進行計算；若不是直角三角形，可嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題進行解決.此外，在測量問題中往往會涉及測角儀等與計算無關(guān)的數(shù)據(jù)，在求建筑物高度時不要忽略這些數(shù)據(jù).典例分析例1（2022臨沂中考）（8分）如圖是一座獨塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設(shè)計．某學習小組利用課余時間測量主塔頂端到橋面的距離．勘測記錄如下表：活動內(nèi)容測量主塔頂端到橋面的距離成員組長：×××組員××××××××××××測量工具測角儀，皮尺等測量示意圖說明：左圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點A，C，D，B在同一條直線上，EF⊥AB，點A，C分別與點B，D關(guān)于直線EF對稱．測量數(shù)據(jù)∠A的大小28°AC的長度84mCD的長度12m請利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．【分析】根據(jù)題意和表格中的信息，可以得到AG的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得EG的長，本題得以解決．【解答】解：延長EF交AB于點G，∵EF⊥AB，∴EG⊥AB，∴∠EGA＝90°，∵點A，C分別與點B，D關(guān)于直線EF對稱，∴CG＝DG，∵AC＝84m，CD＝12m，∴CG＝6m，∴AG＝AC+CG＝84+6＝90（m），∵∠A＝28°，tanA＝，∴tan28°＝，解得EG≈47.7，即主塔頂端E到AB的距離約為47.7m．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、軸對稱，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．專題過關(guān)1．（2022棗莊中考）（8分）為傳承運河文明，弘揚民族精神，棗莊市政府重建了臺兒莊古城．某校“綜合與實踐”小組開展了測量臺兒莊古城城門樓（如圖①）高度的實踐活動，請你幫他們完成下面的實踐報告．測量臺兒莊古城城門樓高度的實踐報告活動課題測量臺兒莊古城城門樓高度活動目的運用三角函數(shù)知識解決實際問題活動工具測角儀、皮尺等測量工具方案示意圖測量步驟如圖②（1）利用測角儀站在B處測得城門樓最高點P的仰角為39°；（2）前進了10米到達A處（選擇測點A，B與O在同一水平線上，A，B兩點之間的距離可直接測得，測角儀高度忽略不計），在A處測得P點的仰角為56°．參考數(shù)據(jù)sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．計算城門樓PO的高度（結(jié)果保留整數(shù)）【分析】設(shè)OA＝x米，則OB＝（x+10）米，由銳角三角函數(shù)定義得OP≈1.5x（米），OP≈0.8（x+10）（米），則1.5x＝0.8（x+10），解得x＝，即可解決問題．【解答】解：設(shè)OA＝x米，則OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），答：臺兒莊古城城門樓的高度約為17米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．2.（2022盤錦中考）某數(shù)學小組要測量學校路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角僅進行測量，測量結(jié)果如下：測量項目測量數(shù)據(jù)從A處測得路燈頂部P的仰角從D處測得路燈頂部P的仰角測角儀到地面的距離兩次測量時測角儀之間的水平距離計算路燈頂部到地面的距離約為多少米?（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)；）【答案】3.5米【解析】【分析】延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，先得到四邊形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的長度，再求出PF的長度，即可求出答案．【詳解】解：如圖：延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，∵，∴四邊形ABCD平行四邊形，∵AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形，同理：四邊形CDFE是矩形；∴，，在直角△PDF中，有，在直角△PAF中，有，∴，即，∴，解得：；∴；∴（米）；∴路燈頂部到地面的距離約為3.5米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出輔助線，正確的求出PF的長度．3.（2022周口扶溝二模）九年級數(shù)學“綜合與實踐”的活動課題是“測量物體的高度”，第一小組和第二小組的成員分別采用不同的方案測量古樹的高度，下面是他們的研究報告的部分記錄內(nèi)容．課題：測量古樹的高度AB組別第一小組第二小組示意圖（說明：圖中的所有點均在同一豎直平面內(nèi)，其中點C，B，E，G在同一水平線上，點D，M，F(xiàn)，H在同一水平線上）方案用高度為1.4m的測角儀在C處測得古樹頂端A處的仰角為40°，并測得點C到古樹的水平距離CB為9.76m用高度為1.4m的測角儀在G處測得古樹頂端A處的仰角為45°，在E處測得古樹頂端A處的仰角為55°，并測得E，G兩點間的距離為2.56m參考數(shù)據(jù)tan40°≈0.84，tan55°≈1.43，計算過程在Rt△ADM中，DM＝CB＝9.76，∠ADM＝40°，，∴AM＝DM?tan40°≈9.76×0.84≈8.2（m）∴AB＝AM＋BM≈8.2＋1.4＝9.6（m）……組員簽字（1）請完成第二小組成員的計算過程．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）你認為哪個小組的測量方案得到的結(jié)果更加準確，請說明理由．【答案】（1）9.9m（2）理由見詳解【解析】【分析】（1）設(shè)AM＝x，在Rt△AHM中，∠AHM＝45°，可得MH＝AM＝x.在Rt△AFM中根據(jù)tan∠AFM＝，可得出FM的值，由MH－MF＝FH即可得出結(jié)論；（2）第一小組測量的只是測角器所在位置與古樹底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離；【小問1詳解】解：設(shè)AM＝xm，在Rt△AHM中，∠AHM＝45°，∴MH＝AM＝x.在Rt△AFM中，tan∠AFM＝，∠AFM＝55°，∴FM＝≈≈0.7x.∵MH－MF＝FH＝EG＝256，∴x－0.7x≈2.56，解得x≈8.53∴AB＝AM＋MB≈8.53＋1.4≈9.9（m）.【小問2詳解】第二小組.理由：由于樹干有一定體積，不易確定點B的位置，故第一小組在測量時無法準確量出CB的長，故計算結(jié)果不準確；而第二小組恰好不用測量點E(或點G)到樹的距離，故第二小組的測量方案得到的結(jié)果更加準確.（答案不唯一，合理即可）【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．4.（2022河南社旗一模）手機測距可以測量物體高度、寬度等，這些測距軟件是基于幾何學原理設(shè)計的．測量時只需要輸入身高，再用手機拍攝功能將準星對準物體頂端和底部拍攝圖片，程序就會計算出物體的高度．某款測距提供的測高模式如下：點都在同一平面內(nèi)，手機位置為點，待測物體為，且和均與地面垂直．從點處測得頂端的仰角為，底部的俯角為．奮進小組的同學想用上述方式手動計算某景區(qū)宣傳廣告牌的高度．如圖2，經(jīng)過測量得到，仰角，俯角，求出廣告牌的高度（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1）．【答案】3.8m【解析】【分析】通過矩形ABCD的性質(zhì)可得AB=ED，通過銳角三角函數(shù)的定義求得AE和CE的長度，進而求得CD的長度，即可求得最終結(jié)果．【詳解】解：如答圖，過點作于點．則．，．∴四邊形是矩形．，．∵在中，，．∵在中，，．．答：廣告牌高度約．【點睛】本題主要考查了直角三角形中銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．5.（2022河南滑縣一模）學完解直角三角形后，某數(shù)學興趣小組準備用所學的知識測量河南鄭州花園口某處黃河的寬度．他們制定了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量．測量項目和測量數(shù)據(jù)如下表：項目測量花園口某處黃河的寬度成員組長：×××組員：××××××測量工具無人機（可測量無人機離水面的高度及俯角）示意圖

說明：遙控無人機并控制在河面（花園口某處黃河的寬度）正上方的D處保持靜止（懸停），利用無人機測得無人機距水面的高度，并分別測得俯視河面A，B兩處的角度測量數(shù)據(jù)第一次第二次平均值第一次第二次平均值第一次第二次平均值根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）請利用上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助該數(shù)學興趣小組計算出花園口某處黃河的寬度．（結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，，）（2）有同學提出一個方案，直接利用無人機測量花園口某處黃河的寬度，由B處正上方水平勻速飛行到A處正上方，即可知道河面的寬度，請你分析該方案是否可行，并說明理由．（3）該數(shù)學興趣小組要寫出一份完整的課題活動報告，除上表中的項目外，你認為還需要補充哪些項目？（寫出一個即可）【答案】（1）（2）該方案理論上可行，理由:飛機由B處上方水平勻速飛行到A處上方的路程就等于AB的長度，故可行．（答案不難一，合理即可）（3）數(shù)學興趣小組要完成一份完整的課題活動報告除上表中的項目外，還需要補充計算結(jié)果．（答案不唯一，合理即可）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE和AE的長，進行計算即可求解；（2）根據(jù)飛機由B處上方水平勻速飛行到A處上方的路程就等于AB的長度，即可判斷；（3）一份完整的課題活動報告除上表中的項目外，還需要補充計算結(jié)果．【小問1詳解】解：由題意，可知，，．在中，，，∴，在中，，，∴．∴．答：花園口某處黃河的寬度約為．【小問2詳解】答：該方案理論上可行，理由:飛機由B處上方水平勻速飛行到A處上方的路程就等于AB的長度，故可行．（答案不難一，合理即可）【小問3詳解】答：數(shù)學興趣小組要完成一份完整的課題活動報告除上表中的項目外，還需要補充計算結(jié)果．（答案不唯一，合理即可）【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用和銳角三角函數(shù)，掌握以上知識點并應(yīng)用到實際問題里是做出本題的關(guān)鍵．6.（2022鶴壁一模）如圖1是鶴壁市玄天洞石塔，原名玲瓏塔，是我省現(xiàn)存最大的一座樓閣式石塔，玄天洞石塔坐東朝西，為九級重檐平面四角樓閣式建筑，此塔始建于元朝，重建于明代，時稱天塔，因該塔屹立于淇河北岸玄天洞東南，又得名玄天洞石塔，某數(shù)學興趣小組開展了測量“玄天洞石塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：方案設(shè)計：如圖2，石塔CD垂直于地面，在地面上選取A，B兩處分別測得∠CAD和∠CBD的度數(shù)（A，D，B三點在同一條直線上）數(shù)據(jù)收集：通過實地測量，地面上A，B兩點的距離為20m，∠CAD=45°，∠CBD=58°．問題解決：求石塔CD的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【答案】12.3m【解析】【分析】設(shè)CD=xm，在Rt△ACD中，可得出AD=，在Rt△BCD中，BD=，再由AD+BD=AB，列式計算即可得出答案．【詳解】解：設(shè)CD為xm，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得：．答：石塔的高度約為12.3m．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法進行計算是解決本題的關(guān)鍵．7.（2022鄭州一檢）嵩岳寺塔位于登封市區(qū)西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院內(nèi)，為北魏時期佛塔．該塔是我國現(xiàn)存最早的磚塔，反映了中外建筑文化交流融合創(chuàng)新的歷程，在結(jié)構(gòu)、造型等方面具有很大價值，對后世磚塔建筑有著巨大影響．某數(shù)學興趣小組通過調(diào)查研究把“如何測量嵩岳寺塔的高度”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間實地測量．課題測量嵩岳寺塔的高度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案在點C處放置高為1.3米的測角儀CD，此時測得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達點E處，此時測得塔頂端A的仰角為32°．說明：點E、C、B三點在同一水平線上．請你根據(jù)表中信息結(jié)合示意圖幫助該數(shù)學興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】嵩岳寺塔的高度約為37.2m【解析】【分析】如圖所示，延長FD到G與AB交于點G，先證AG=GD，然后設(shè)，則，再由，得到，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，延長FD到G與AB交于點G，由題意得：，∠AGD=90°，∵∠ADG=45°，∴∠GAD=45°，∴AG=GD，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，∴，∴嵩岳寺塔的高度約為37.2m．【點睛】本題主要考查了解直角三角形應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造直角三角形．8.（2022濮陽二模）“惠風塔”是濮水小鎮(zhèn)精心打造的標志性建筑，晉·王羲之《蘭亭集序》：“是日也，天朗氣清，惠風和暢．”由此取名“惠風”，取惠風和暢之意．某校數(shù)學社團的同學們在游覽濮水小鎮(zhèn)時，他們想測量“惠風塔”的高度，為此，他們購置了皮尺、測角儀等工具．下表是小穎同學在該活動中畫的示意圖和記錄的相關(guān)數(shù)據(jù)．請你依據(jù)測量數(shù)據(jù)計算出“惠風塔”的高度（結(jié)果精確到，，，）．目標測量“惠風塔”到地面的高度測量畫示意圖測量數(shù)據(jù)m，m，，【答案】42.7米【解析】【分析】設(shè)AE為xm，根據(jù)三角函數(shù)列方程求得AE的值，進而求出AD即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得BM=ED=2.1m，∠AEC=90°，設(shè)AE為x

m，在Rt△ACE中，∵∠ACE=45°，∴∠CAE=45°，∴AE=CE=xm，在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=，又∵∠ABE=35°，∴tan35°=，解得x≈40.6，∴AD=AE+ED≈40.6+2.1=42.7（m），答：“惠風塔”的高度為42.7m．【點睛】本題主要考查解直角三角形的知識，熟練利用三角函數(shù)求值是解題的關(guān)鍵．9.（2022南陽臥龍一模）嵩岳寺塔位于登封市區(qū)西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院內(nèi)，為北魏時期佛塔．該塔是我國現(xiàn)存最早的磚塔，反映了中外建筑文化交流融合創(chuàng)新的歷程，在結(jié)構(gòu)、造型等方面具有很大價值，對后世磚塔建筑有著巨大影響．某數(shù)學興趣小組通過調(diào)查研究把“如何測量嵩岳寺塔的高度”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間實地測量．課題測量嵩岳寺塔的高度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案在點C處放置高為1.3米的測角儀CD，此時測得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達點E處，此時測得塔頂端A的仰角為32°．說明：點E、C、B三點在同一水平線上．請你根據(jù)表中信息結(jié)合示意圖幫助該數(shù)學興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】嵩岳寺塔的高度約為37.2m【解析】【分析】如圖所示，延長FD到G與AB交于點G，先證AG=GD，然后設(shè)，則，再由，得到，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，延長FD到G與AB交于點G，由題意得：，∠AGD=90°，∵∠ADG=45°，∴∠GAD=45°，∴AG=GD，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，∴，∴嵩岳寺塔的高度約為37.2m．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造直角三角形．10.（2022大同二模）在學校的數(shù)學“綜合與實踐”課上，同學們學習了測量學校旗桿的高度．受到啟發(fā)后，小宇與小東決定和學習小組成員分別采用不同的方案測量小區(qū)內(nèi)一棵銀杏樹的高度，以下是他們研究報告的部分記錄內(nèi)容：

測量內(nèi)容測量銀杏樹的高度測量工具測角儀（單位：度）、皮尺（單位：m）等測量成員小宇和學習小組成員小東和學習小組成員測量方案示意圖

示意圖說明如圖，銀杏樹的頂端點C到地面的高度為CF，在測點A、D用儀器測得點A、D處的仰角分別為，點A、B、C、D、E、G、F均在同一豎直平面內(nèi)，點A、D、B在同一條直線上，點E、G、F在同一條直線上．測量數(shù)據(jù)，參考數(shù)據(jù)請從小宇和小東學習小組的方案中任選其中一個方案，根據(jù)數(shù)據(jù)求出銀杏樹的高度．mg【答案】12米【解析】【分析】設(shè)BC的長為xm，從兩種方案中根據(jù)正切函數(shù)的定義均可以得到關(guān)于x的方程，解方程得到x的值后即可得到銀杏樹的高度．【詳解】1）小宇和學習小組成員的方案：

設(shè)BC長為xm，在中，在中，∴．答：銀杏樹的高度為12米．（2）小東和學習小組成員的方案：

由題可知四邊形ADGE、四邊形ABFE為矩形，，，設(shè)BC的長為xm，在中，在Rt中，∴．答：銀杏樹的高度為12米．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切函數(shù)的定義及方程思想方法的運用是解題關(guān)鍵．11.（2022河南上蔡二模）為了測量學校旗桿（垂直于水平地面）的高度，班里三個興趣小組設(shè)計了三種不同的測量方案，如下表所示．課題測量校園旗桿的高度測量工具測角儀（測量角度儀器），卷尺，平面鏡等測量小組A組B組C組測量方案示意圖說明線段AB表示旗桿的高度，線段BE表示旗桿底座高度，點A，B，E共線，線段CD，F(xiàn)G表示測角儀的高度，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一豎直平面內(nèi)，CG表示兩次測角儀擺放位置的距離，測角儀可測得旗桿頂端A的仰角線段AB表示旗桿的高度，線段BE表示旗桿底座高度，點A，B，E共線，線段CD表示測角儀的高度，DE表示測角儀到旗桿的距離，點F表示平面鏡的中心，點E，F(xiàn)，D共線，眼睛在C處，移動平面鏡，看向中心F，恰好看到旗桿頂端A，此時用測角儀測得平面鏡的俯角，A，B，C，D，E，F(xiàn)六點在同一豎直平面內(nèi)線段AB表示旗桿的高度，線段BE表示旗桿底座高度，點A，B，E共線，EC為旗桿與底座某一時刻下的影長，A，B，C，E四點在同一豎直平面內(nèi)，標桿NM垂直于水平地面，PM為標桿NM在某一時刻的影長測量數(shù)據(jù)為，為，米，米，米米，米，米，為米，米，米，米（1）上述A，B，C三個小組中，用哪個小組測量的數(shù)據(jù)計算出的旗桿高度不是旗桿的真實高度，為什么？（2）請結(jié)合所學知識，利用A組測量的數(shù)據(jù)計算出旗桿的高度AB．（結(jié)果保留兩位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）C小組測量的數(shù)據(jù)計算出的旗桿高度不是旗桿的真實高度，理由見解析（2）9.45m【解析】【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）連接FD與線段AE交于點M，推出四邊形FGCD是矩形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可得到結(jié)論．【小問1詳解】解：C小組測量的數(shù)據(jù)計算出的旗桿高度不是旗桿的真實高度，理由如下：上午10：00測量的旗桿與影長的比值與上午10：30測量的標與影長的比值不相同，因為隨著時間的推移，太陽的位置上升，使得太陽光與地面豎直物體之間的夾角增大，從而使得豎直物體的高度與其影長之間的比值變大，兩個時間點測量的比值不同，從而根據(jù)比值計算出的旗桿高度不是旗桿的真實高度，如圖所示，是上午10：00旗桿高度與影長的比值，是上午10：30旗桿高度與影長的比值，∵在同一時刻，上述兩個比值因為太陽處于同一高度，是相同的，但是在不同時刻，隨著太陽高度上升，上述比值是逐漸增大的，∴，∴，∴通過上述比值求出的旗桿高度不是旗桿的真實高度，比真實高度要??；【小問2詳解】如圖所示，連接FD與線段AE交于點M，根據(jù)題意得：=，=，米，米，米，又∵FG⊥CG，DC⊥CG，∴四邊形FGCD是矩形，又∵AE⊥CG，且線段AE與FD交于點M，∴FG=ME=1.5m，∴FM=GE，DM=CE，設(shè)FM=xm，則DM=CE=CG-GE=CG-FM=（14.79-x）m，又∵，，∴，∴，∴，∴，即旗桿的高度AB為9.45m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角與俯角問題，矩形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵12.（2022河南西華一模）具有河南十大地標之稱的“中國文字博物館”位于安陽市，是我國第一座以文字為主題的博物館，整個建筑風格既有現(xiàn)代時尚氣息，又充滿殷商宮廷風韻，其大門取甲骨文、金文中“字”字之形．某數(shù)學興趣小組在學習了“解直角三角形”之后，開展了一次測量中國文字博物館大門高度的課外實踐活動，甲、乙兩個小組分別設(shè)計了如下方案：課題：測量大門高度甲組的測量報告乙組的測量報告測量示意圖測量方案與測量數(shù)據(jù)在點D處用距離地面1.6m測角儀測出大門頂端A的仰角在點O處放一面鏡子，在點C處通過鏡子反射剛好看到大門的頂端A，CD＝1.6m，BD＝37m，參考數(shù)據(jù)sin55≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，計算大門高度（1）數(shù)學老師看了他們的測量報告后說：“其中一個小組的測量報告存在問題，不能得到測量結(jié)果．”你認為______的測量報告存在問題，并提出修改建議；（2）請根據(jù)正確的測量報告計算出中國文字博物館大門的高度（結(jié)果精確到0.1m）．【答案】（1）甲，建議：應(yīng)測量出BD的距離，才能利用tanα=求出AE的長，進而求出大門AB的高（2）18.7m【解析】【分析】（1）甲的測量報告只有CD和∠α無法求出AB的高，故甲的測量報告存在問題，應(yīng)知道CE即BD的距離才能用銳角三角函數(shù)求解；（2）根據(jù)入射角=反射角，可知∠AOB=∠COD=29°，在Rt△OCD中，可以利用正切求出OD，進一步求出OB，再利用正切函數(shù)求出AB即可．【小問1詳解】解：甲的測量報告存在問題；建議：應(yīng)測量出BD的距離，才能利用tanα=求出AE的長，進而求出大門AB的高．故答案為：甲，建議：應(yīng)測量出BD的距離，才能利用tanα=求出AE的長，進而求出大門AB的高．【小問2詳解】解：由題意可知∠AOB為反射角，且∠COD=29°，∴∠AOB=∠COD=29°．∵tan29°=≈0.55，∴OD≈2.91，∵BD=OD+OB，∴OB≈34.09．∴tan∠AOB=tan29°=≈0.55，∴AB≈0.55×OB≈18.7．答：中國文學博物館的大門高度為18.7m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用及仰角、俯角知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．13.（2022鄭州外國語