2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十一：與圓的切線有關(guān)的證明與計算(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十一：與圓的切線有關(guān)的證明與計算方法點睛與圓的切線有關(guān)問題的解題技巧典例分析類型一與圓的切線的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算例1（2022河南中考）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．（1）求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．（2）實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點A距地面的距離AD最小，測得．已知鐵環(huán)⊙O的半經(jīng)為25cm，推桿AB的長為75cm，求此時AD的長．類型二與圓的切線的判定有關(guān)的證明與計算例2（2022云南中考）如圖，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一點，連接PA、PC、PD，延長BC至E，使BD2=BC?BE．（1）請判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若四邊形ABCD是正方形，連接AC，當P與C重合時，或當P與B重合時，把轉(zhuǎn)化為正方形ABCD的有關(guān)線段長的比，可得是否成立？請證明你的結(jié)論．專題過關(guān)1.（2022西寧中考）如圖，在中，，點D在AB上，以BD為直徑的與AC相切于點E，交BC于點F，連接DF，OE交于點M．（1）求證：四邊形EMFC是矩形；（2）若，的半徑為2，求FM的長．2.（2022青海中考）如圖，AB是的直徑，AC是的弦，AD平分∠CAB交于點D，過點D作的切線EF，交AB的延長線于點E，交AC的延長線于點F．（1）求證：；（2）若，，，求BE的長．3.（2022大連中考）是的直徑，C是上一點，，垂足為D，過點A作的切線，與的延長線相交于點E．（1）如圖1，求證；（2）如圖2，連接，若的半徑為2，，求的長．4.（2022天津中考）已知為的直徑，，C為上一點，連接．（2）如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過點D作的切線，與的延長線相交于點F，求的長．5.（2022瀘州中考）如圖，點在以為直徑的上，平分交于點，交于點，過點作的切線交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．6.（2022達州中考）如圖，在中，，點O為邊上一點，以為半徑的⊙與相切于點D，分別交，邊于點E，F(xiàn)．

（1）求證：平分；（2）若，，求⊙的半徑．7.（2022邵陽中考）如圖，已知是的直徑，點為延長線上一點，是的切線，點為切點，且．（1）求的度數(shù)；（2）若的半徑為3，求圓弧的長．8.（2022黃岡中考）如圖，是的外接圓，是的直徑，與過點的切線平行，，相交于點．

（1）求證：；（2）若，求的長．9.（2022陜西中考）如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，、是⊙的弦，且，垂足為E，連接并延長，交于點P．（1）求證：；（2）若⊙的半徑，求線段的長．10．（2022江西中考）（8分）課本再現(xiàn)（1）在中，是所對的圓心角，是所對的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時，要根據(jù)圓心與的位置關(guān)系進行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明；知識應(yīng)用（2）如圖4，若的半徑為2，，分別與相切于點，，，求的長．11．（2022棗莊中考）（8分）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，點E是BC的中點，OE＝6cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長．12.（2022沈陽中考）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，的延長線交于點，延長交于點，．（1）求證：是圓的切線；（2）連接，，，的長為______．13.（2022蘭州中考）如圖，是的外接圓，AB是直徑，，連接AD，，AC與OD相交于點E．（1）求證：AD是的切線；（2）若，，求的半徑．14.（2022宜賓中考）如圖，點C是以AB為直徑上一點，點D是AB的延長線上一點，在OA上取一點F，過點F作AB的垂線交AC于點G，交DC的延長線于點E，且．

（1）求證：DE是的切線；（2）若點F是OA的中點，，，求EC的長．15.（2022廣安中考）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點，延長AB至點C，連接CD，∠BDC=∠BAD．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半徑．16．（2022南充中考）（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是⊙O外一點，∠BCD＝∠BAC，連接OD交BC于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．17.（2022盤錦中考）如圖，四邊形是正方形，點A，點B在上，邊的延長線交于點E，對角線的延長線交于點F，連接并延長至點G，使．（1）求證：與相切；（2）若的半徑為1，求的長．18.（2022撫順中考）如圖，在中，，的頂點O，D在斜邊上，頂點E，F(xiàn)分別在邊上，以點O為圓心，長為半徑的恰好經(jīng)過點D和點E．

（1）求證：與相切；（2）若，求的長．19.（2022揚州中考）如圖，為弦，交于點，交過點的直線于點，且．（1）試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的長．20.（2022衡陽中考）如圖，為⊙的直徑，過圓上一點作⊙的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接．（1）直線與⊙相切嗎？并說明理由；（2）若，，求的長．21.（2022十堰中考）如圖，中，，為上一點，以為直徑的與相切于點，交于點，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．22.（2022齊齊哈爾中考）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作，且CF=CD，連接BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若∠BAC=45°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．23．（2022桂林中考）（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上的一點，CD⊥AD于點D，AD交⊙O于點F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點F作FG⊥AB于點G交AC于點H．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）延長AB和DC交于點E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；（3）在（2）的條件下，求的值．24.（2022北京中考）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接（1）求證：（2）連接,過點作交的延長線于點，延長交于點，若為的中點，求證：直線為的切線．2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十一：與圓的切線有關(guān)的證明與計算方法點睛與圓的切線有關(guān)問題的解題技巧典例分析類型一與圓的切線的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算例1（2022河南中考）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．（1）求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．（2）實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點A距地面的距離AD最小，測得．已知鐵環(huán)⊙O的半經(jīng)為25cm，推桿AB的長為75cm，求此時AD的長．【答案】（1）見解析（2）50cm【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得，過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進而即可得證；（2）過點作的平行線，交于點，交于點，由（1）得到，在，中，求得,進而求得，根據(jù)即可求解．【小問1詳解】證明：⊙O與水平地面相切于點C，，，，AB與⊙O相切于點B，，，過點作，，，，，即∠BOC＋∠BAD＝90°．【小問2詳解】如圖，過點作的平行線，交于點，交于點，，則四邊形矩形，，，，在中，，，（cm)，在中，，cm，(cm)，(cm)，(cm)，cm，(cm)．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．類型二與圓的切線的判定有關(guān)的證明與計算例2（2022云南中考）如圖，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一點，連接PA、PC、PD，延長BC至E，使BD2=BC?BE．（1）請判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若四邊形ABCD是正方形，連接AC，當P與C重合時，或當P與B重合時，把轉(zhuǎn)化為正方形ABCD的有關(guān)線段長的比，可得是否成立？請證明你的結(jié)論．【答案】（1）DE是⊙O的切線，證明見解析；（2）成立，證明見解析【解析】【分析】（1）證明△BDC∽△BED，推出∠BCD=∠BDE=90°，即可證明DE是⊙O的切線；（2）延長PA至Q，使AQ=CP，則PA+PC=PA+AQ=PQ，證明△QAD≌△PCD(SAS)，再推出△PQD是等腰直角三角形，即可證明結(jié)論成立．【小問1詳解】解：DE是⊙O的切線；理由如下：∵BD2=BC?BE，∴，∵∠CBD=∠DBE，∴△BDC∽△BED，∴∠BCD=∠BDE，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∴∠BDE=90°，∴DE是⊙O的切線；【小問2詳解】解：成立，理由如下：延長PA至Q，使AQ=CP，則PA+PC=PA+AQ=PQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∵四邊形APCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠PAD+∠PCD=180°，∵∠QAD+∠PAD=180°，∴∠QAD=∠PCD，∴△QAD≌△PCD(SAS)，∴∠QDA=∠PDC，QD=PD，∴∠QDA+∠PDA=∠PDC+∠PDA=90°，∴△PQD是等腰直角三角形，∴PQ=PD，即PA+PC=PD，∴成立．【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022西寧中考）如圖，在中，，點D在AB上，以BD為直徑的與AC相切于點E，交BC于點F，連接DF，OE交于點M．（1）求證：四邊形EMFC是矩形；（2）若，的半徑為2，求FM的長．【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角及鄰補角互補，可求出，由與AC相切于點E，利用圓的切線垂直于過切點的半徑可得出，進而可得出，結(jié)合再利用三個角都是直角的四邊形是矩形，即可證出四邊形EMFC是矩形．（2）在中，利用勾股定理可求出OA的長，進而可得出AB的長，由，利用“同位角相等，兩直線平行”可得出，進而可得出利用相似三角形的性質(zhì)可求出AC的長，結(jié)合可求出CE的長，再利用矩形的對邊相等，即可求出FM的長．【小問1詳解】∵BD是的直徑，∴，∴，∴與AC相切于點E，∴，∴，又∴，∴，∴四邊形EMFC是矩形．【小問2詳解】解：在中，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴四邊形EMFC是矩形，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1）根據(jù)各角之間的關(guān)系，找出四邊形EMFC的三個角均為直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，求出AC的長度．2.（2022青海中考）如圖，AB是的直徑，AC是的弦，AD平分∠CAB交于點D，過點D作的切線EF，交AB的延長線于點E，交AC的延長線于點F．（1）求證：；（2）若，，，求BE的長．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)平分，可得，從而得到，可得，再由切線的性質(zhì)，即可求解；（2）由，可得，設(shè)為，可得，即可求解．【小問1詳解】證明：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的切線，∴，∴．【小問2詳解】解：由（1）得：，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，設(shè)為，∴，∴，解得：，即的長為2．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2022大連中考）是的直徑，C是上一點，，垂足為D，過點A作的切線，與的延長線相交于點E．（1）如圖1，求證；（2）如圖2，連接，若的半徑為2，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，，即可得出；（2）證明，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂徑定理求出BC，進而利用勾股定理求出AC，AD．【小問1詳解】解：∵，∴，∵是的切線，∴，在和中，，，∴；【小問2詳解】解：如圖，連接AC．∵的半徑為2，∴，，∵在和中，，，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得：，∴．∵，經(jīng)過的圓心，∴，∴．∵是的直徑，C是上一點，∴，在中，由勾股定理得：，∴．在中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題考查切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，熟練掌握上述知識點，通過證明求出OD的長度是解題的關(guān)鍵．4.（2022天津中考）已知為的直徑，，C為上一點，連接．（2）如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過點D作的切線，與的延長線相交于點F，求的長．【答案】（2）【解析】【分析】（2）證明四邊形為矩形，F(xiàn)D=CE=CB，由勾股定理求得BC的長，即可得出答案．【小問2詳解】∵是的切線，∴，即，∵，垂足為E，∴，同（1）可得，有，∴，∴四邊形為矩形，∴，于是，在中，由，得，∴．5.（2022瀘州中考）如圖，點在以為直徑的上，平分交于點，交于點，過點作的切線交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接OD，由CD平分∠ACB，可知，得∠AOD=∠BOD=90°，由DF是切線可知∠ODF=90°=∠AOD，可證結(jié)論；（2）過C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再證明△DOF∽△MCO，得，代入可求．【小問1詳解】證明：連接OD，如圖，∵CD平分∠ACB，∴，∴∠AOD=∠BOD=90°，∵DF是⊙O的切線，∴∠ODF=90°∴∠ODF=∠BOD，∴DF∥AB．【小問2詳解】解：過C作CM⊥AB于M，如圖，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴AB=．∴，即，∴CM=2，∴，∴OM=OB-BM=，∵DF∥AB，∴∠OFD=∠COM，又∵∠ODF=∠CMO=90°，∴△DOF∽△MCO，∴，即，∴FD=．【點睛】本題考查了圓的圓心角、弦、弧關(guān)系定理、圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些定理，靈活運用相似三角形的性質(zhì)求解．6.（2022達州中考）如圖，在中，，點O為邊上一點，以為半徑的⊙與相切于點D，分別交，邊于點E，F(xiàn)．

（1）求證：平分；（2）若，，求⊙的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，繼而證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，進而得出，即可得出結(jié)論；（2）連接DE，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，繼而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)即可求解．【小問1詳解】

連接OD，，以為半徑的⊙與相切于點D，，，，，，，平分；【小問2詳解】

連接DE，AE是直徑，，，，，，，，，解得，，⊙的半徑為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)及銳角三角函數(shù)，熟練掌握知識點并準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7.（2022邵陽中考）如圖，已知是的直徑，點為延長線上一點，是的切線，點為切點，且．（1）求的度數(shù)；（2）若的半徑為3，求圓弧的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）證明是等邊三角形，得到，從而計算出的度數(shù)；（2）計算出圓弧的圓心角，根據(jù)圓弧弧長公式計算出最終的答案．【小問1詳解】如下圖，連接AO∵是的切線∴∴∵∴∵∴∴∴∴是等邊三角形∴∵∴【小問2詳解】∵∴圓弧的長為：∴圓弧的長為．【點睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的相關(guān)知識．8.（2022黃岡中考）如圖，是的外接圓，是的直徑，與過點的切線平行，，相交于點．

（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由切線的性質(zhì)和可得，由垂徑定理可得，從而得到垂直平分，最后利用垂直平分線的性質(zhì)即可得證；（2）先利用勾股定理得到，然后利用兩組對應(yīng)角相等證明，從而得到，代入數(shù)據(jù)計算即可．【小問1詳解】證明：∵直線切于點，是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴垂直平分，∴；【小問2詳解】如圖，連接，由（1）知：，，∴，∵，∴，在中，，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，又∵∴，∴，即，∴，即的長為．

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的兩銳角互余等知識．通過作輔助線構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．9.（2022陜西中考）如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，、是⊙的弦，且，垂足為E，連接并延長，交于點P．（1）求證：；（2）若⊙的半徑，求線段的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)是的切線，得出．根據(jù)，可證．得出．根據(jù)同弧所對圓周角性質(zhì)得出即可；（2）連接．根據(jù)直徑所對圓周角性質(zhì)得出，．可證．得出．根據(jù)勾股定理．再證．求出即可．【小問1詳解】證明：∵是的切線，∴．∵∴，∴．∴．∵，∴．【小問2詳解】解：如圖，連接．∵為直徑，∴∠ADB=90°，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴．∴．∴．∴．【點睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，直徑所對圓周角性質(zhì)，同弧所對圓周角性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握圓的切線性質(zhì)，直徑所對圓周角性質(zhì)，同弧所對圓周角性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2022江西中考）（8分）課本再現(xiàn)（1）在中，是所對的圓心角，是所對的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時，要根據(jù)圓心與的位置關(guān)系進行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明；知識應(yīng)用（2）如圖4，若的半徑為2，，分別與相切于點，，，求的長．【分析】（1）①如圖2，當點在的內(nèi)部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②如圖3，當在的外部時，作直徑，同理可理結(jié)論；（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，由切線的性質(zhì)可得，可得，從而得的長．【解答】解：（1）①如圖2，連接，并延長交于點，，，，，，，；如圖3，連接，并延長交于點，，，，，，，；（2）如圖4，連接，，，，，，分別與相切于點，，，，，，．【點評】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識，掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關(guān)鍵．11．（2022棗莊中考）（8分）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，點E是BC的中點，OE＝6cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長．【分析】（1）連接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根據(jù)AD⊥DC，即可證明CD是⊙O的切線；（2）由OE是△ABC的中位線，得AC＝12，再證明△DAC∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OC，如圖：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵E是BC的中點，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，AC＝2OE，∵OE＝6cm，∴AC＝12cm，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即＝，∴AD＝．【點評】本題考查圓的切線及圓中的計算，涉及圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用圓的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化圓中的角和線段．12.（2022沈陽中考）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，的延長線交于點，延長交于點，．（1）求證：是圓的切線；（2）連接，，，的長為______．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和，可得出，再根據(jù)是圓的直徑，由切線的判定可得證；（2）延長交的延長線于點，由是圓的直徑，可說明是直角三角形，從而得到，再證明，得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案．【小問1詳解】證明：∵四邊形內(nèi)接于圓，∴，∵，∴，∴，∴，∵是圓的直徑，∴是圓的切線．【小問2詳解】解：延長交的延長線于點，∵是圓的直徑，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∵四邊形內(nèi)接于圓，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識．通過作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．13.（2022蘭州中考）如圖，是的外接圓，AB是直徑，，連接AD，，AC與OD相交于點E．（1）求證：AD是的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）先證∠BOC+∠AOD=90°，再因為，得出∠ADO+∠AOD=90°，即可得∠OAD=90°，即可由切線的判定定理得出結(jié)論；（2）先證明∠AED=∠DAE，得出DE=AD=，再證∠OAC=∠OCA，得tan∠OAC=tan∠OCA=,設(shè)OC=OA=R,則OE=R，在Rt△OAD中，由勾股定理，得，解之即可．【小問1詳解】證明：∵，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；【小問2詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=,設(shè)OC=OA=R,則OE=R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即，解得：R=2或R=0(不符合題意，舍去）,∴⊙O的半徑為2．【點睛】本師考查切線的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圓周角定理的推論，本題屬圓的綜合題目，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14.（2022宜賓中考）如圖，點C是以AB為直徑上一點，點D是AB的延長線上一點，在OA上取一點F，過點F作AB的垂線交AC于點G，交DC的延長線于點E，且．

（1）求證：DE是的切線；（2）若點F是OA的中點，，，求EC的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)OC，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理證，即可由切線的判定定理得出結(jié)論；（2）解，求出，從而求得，則可求得，再證，得，即可求得，即可由求解．【小問1詳解】證明：如圖，連結(jié)OC，

∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴DE是的切線；【小問2詳解】解：在中，，，∴，∴，∴，∴，又∵點F為AO中點，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15.（2022廣安中考）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點，延長AB至點C，連接CD，∠BDC=∠BAD．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半徑．【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）連接OD，只要證明，則有，即可證明結(jié)論成立；（2）由圓周角定理，求得，然后證明△ACD∽△DCB，求出CD的長度，再根據(jù)勾股定理，即可求出答案．【小問1詳解】證明：連接OD，如圖∵AB為⊙O的直徑，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切線．【小問2詳解】解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，設(shè)⊙O的半徑為，則，∴，解得：；∴⊙O的半徑為；【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的理解題意，從而進行解題．16．（2022南充中考）（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是⊙O外一點，∠BCD＝∠BAC，連接OD交BC于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．【分析】（1）連接OC，證明OC⊥CD即可；（2）過點O作OH⊥BC于點H．由sin∠BAC＝＝，可以假設(shè)BC＝4k，AB＝5k，則AC＝OC＝CE＝3k，用k表示出OH，EH，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：過點O作OH⊥BC于點H．∵sin∠BAC＝＝，∴可以假設(shè)BC＝4k，AB＝5k，則AC＝OC＝CE＝3k，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝2k，∵OA＝OB，∴OH＝AC＝k，∴EH＝CE﹣CH＝3k﹣2k＝k，∴tan∠CEO＝＝＝．【點評】本題考查切線的判定，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．17.（2022盤錦中考）如圖，四邊形是正方形，點A，點B在上，邊的延長線交于點E，對角線的延長線交于點F，連接并延長至點G，使．（1）求證：與相切；（2）若的半徑為1，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)連接BE，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到∠BAE=90°，從而得到BE是圓O的直徑，結(jié)合∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF，，證明∠FBG+∠EBF=90°即可．（2）連接OA，OF，證明∠FED=45°，從而證明∠AOF=90°，實施勾股定理計算即可．【小問1詳解】連接BE，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAE=90°，∴BE是圓O的直徑，∵∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF，，∴∠FBG+∠EBF=90°，∴∠OBG=90°，故BG是圓O的切線．【小問2詳解】如圖，連接OA，OF，

∵四邊形ABCD是正方形，BE是圓的直徑，∴∠EFD=90°，∠FDE=45°，∴∠FED=45°，∴∠AOF=90°，∵OA=OF=1，∴，∴AF=，AF=-（舍去）．【點睛】本題考查了圓的切線判定，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．18.（2022撫順中考）如圖，在中，，的頂點O，D在斜邊上，頂點E，F(xiàn)分別在邊上，以點O為圓心，長為半徑的恰好經(jīng)過點D和點E．

（1）求證：與相切；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，先證明四邊形AOEF是平行四邊形，得到，即可證明∠OEB=∠ACB=90°，由此即可證明結(jié)論；（2）過點F作于點H，先解直角△CEF求出EF的長，再證明四邊形AOEF是菱形，得到OA，AF的長，再解直角△AHF，求出AH，F(xiàn)H，進而求出OH，即可利用勾股定理求出OF．【小問1詳解】證明：連接，∵四邊形是平行四邊形，∴；，

∵，∴；，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∵是的半徑，∴與相切；【小問2詳解】解：過點F作于點H，∵四邊形是平行四邊形∴，∴，

∴，在中，，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，且，∴是菱形，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，∴．【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19.（2022揚州中考）如圖，為弦，交于點，交過點的直線于點，且．（1）試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的長．【答案】（1）相切，證明見詳解（2）6【解析】【分析】（1）連接OB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，，從而求出，再根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；（2）分別作交AB于點M，交AB于N，根據(jù)求出OP，AP的長，利用垂徑定理求出AB的長，進而求出BP的長，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【小問1詳解】證明：連接OB，如圖所示：，，，，，，即，，，為半徑，經(jīng)過點O，直線與的位置關(guān)系是相切．【小問2詳解】分別作交AB于點M，交AB于N，如圖所示：，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的證明，垂徑定理的性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理，三角函數(shù)等知識點，熟練掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵，抓住直角三角形邊的關(guān)系求解線段長度是解題的主線思路．20.（2022衡陽中考）如圖，為⊙的直徑，過圓上一點作⊙的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接．（1）直線與⊙相切嗎？并說明理由；（2）若，，求的長．【答案】（1）相切，見解析（2）【解析】【分析】（1）先證得：，再證，得到，即可求出答案；（2）設(shè)半徑為；則：，即可求得半徑，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【小問1詳解】（1）證明：連接．∵為切線，∴，又∵，∴，，且，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切．【小問2詳解】設(shè)半徑為；則：，得；在直角三角形中，，，解得【點睛】本題主要考查與圓相關(guān)的綜合題型，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.（2022十堰中考）如圖，中，，為上一點，以為直徑的與相切于點，交于點，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，設(shè)，，根據(jù)已知條件以及直徑所對的圓周角相等，證明，進而求得，即可證明是的切線；（2）根據(jù)已知條件結(jié)合（1）的結(jié)論可得四邊形是正方形，進而求得的長，根據(jù)，，即可求解．【小問1詳解】如圖，連接，，則，設(shè)，，，，為的直徑，，，即，，，，，，，，為的半徑，是的切線；【小問2詳解】如圖，連接，是的切線，則，又，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，在中，，，，，由（1）可得，，，，解得．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，正弦的定義，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22.（2022齊齊哈爾中考）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作，且CF=CD，連接BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若∠BAC=45°，AD=4，求