08二次函數(shù)及其綜合應(yīng)用大題綜合原卷版+解析

08二次函數(shù)及其綜合應(yīng)用1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）我們把一次函數(shù)（為常數(shù)，）與二次函數(shù)（為常數(shù)，）稱為一對(duì)“相伴函數(shù)”，比如：函數(shù)與就是一對(duì)“相伴函數(shù)”．如圖，一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像相交于A，兩點(diǎn)．(1)隨著a的變化，他們的圖像各自是一組直線與一組拋物線，一次函數(shù)的圖像總過(guò)點(diǎn)（寫坐標(biāo)）；不等式的解集為；(2)若△OAB是直角三角形，求a的值．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求、滿足的等量關(guān)系式；(2)設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，連接，，，．當(dāng)時(shí)，求該二次函數(shù)的解析式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是______；最小值是______．設(shè)函數(shù)在內(nèi)的最大值為，最小值為，若，求的值．3．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）蘇州樂(lè)園森林世界位于美麗的大陽(yáng)山東南角，包含25項(xiàng)森林主題演出與游樂(lè)項(xiàng)目，其中“沖上云霄”是其經(jīng)典項(xiàng)目之一，其軌道總長(zhǎng)約1040米，極限高度62.5米.如圖所示，為“沖上云霄”過(guò)山車的一部分軌道（B為軌道最低點(diǎn)），它可以看成一段拋物線.其中米，米（軌道厚度忽略不計(jì)）．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)在軌道距離地面5米處有兩個(gè)位置P和C，當(dāng)過(guò)山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，又進(jìn)入下坡段（接口處軌道忽略不計(jì)）.已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，求的長(zhǎng)度；(3)現(xiàn)需要對(duì)軌道下坡段進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架、、、，且要求．如何設(shè)計(jì)支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？4．（2023·江蘇揚(yáng)州·校考一模）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價(jià)格收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷售量(千克)與銷售價(jià)格(元/千克)之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：銷售價(jià)格(元/千克)日銷售量(千克)(1)請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定與之間的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出n與x的函數(shù)表達(dá)式為；(2)農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格，才能使日銷售利潤(rùn)最大？(3)農(nóng)經(jīng)公司每銷售千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出元的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)時(shí)，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為元，求的值．(日獲利等于日銷售利潤(rùn)減日支出費(fèi)用)5．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎喝鐖D，拋物線交x軸于E、F兩點(diǎn)，交y軸于A點(diǎn)，直線：交x軸于E點(diǎn)，交y軸于A點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若Q為拋物線上一點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，的面積為S，求S與t函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）(3)在（2）的條件下，點(diǎn)M在線段上，點(diǎn)N是位于Q、E兩點(diǎn)之間的拋物線上一點(diǎn)，，，且，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．6．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．為第一象限的拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求面積的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍；(4)若點(diǎn)、分別為線段、上一點(diǎn)，且四邊形是菱形，直接寫出的坐標(biāo)．7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）“五一”前某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲種水果60箱，乙種水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲種水果比乙種水果每箱多盈利5元．(1)求甲、乙兩種水果每箱各盈利多少元？(2)甲、乙兩種水果全部售完后，為迎接“五一”小長(zhǎng)假，該商場(chǎng)又購(gòu)進(jìn)一批甲種水果，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，平均每天可多賣出20箱，那么當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？8．（2023·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃┠撑l(fā)商以24元/箱的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)某種蔬菜，銷往零售超市，已知這種蔬菜的標(biāo)價(jià)為45元/箱，實(shí)際售價(jià)不低于標(biāo)價(jià)的八折，且不高于標(biāo)價(jià)．批發(fā)商通過(guò)分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)這種蔬菜的日銷售量y（箱）與當(dāng)天的售價(jià)x（元/箱）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的兩組對(duì)應(yīng)值．售價(jià)x（元/箱）…3638…銷售量y（箱）…128124…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：；(2)若某天該批發(fā)商銷售這種蔬菜獲利1920元，則當(dāng)天這種蔬菜售價(jià)為多少元/箱？(3)批發(fā)商搞優(yōu)惠活動(dòng)，購(gòu)買一箱這種蔬菜，贈(zèng)送成本為6元的土豆，這種蔬菜的售價(jià)定為多少元/箱時(shí)，可使得日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少元？9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”．例如，點(diǎn)和是函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”．(1)判斷函數(shù)的圖象是否存在“等距點(diǎn)”？如果存在，求出“等距點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；(2)設(shè)函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”為A、B，函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”為C，若的面積為時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；(3)若函數(shù)圖象恰存在2個(gè)“等距點(diǎn)”，試求出m的取值范圍．10．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）教師節(jié)前夕，某花店采購(gòu)了一批鮮花禮盒，成本價(jià)為50元/件，物價(jià)局要求，銷售該鮮花禮盒獲得的利潤(rùn)率不得高于．分析教師節(jié)同期的鮮花禮盒銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）（x為整數(shù)）近似的滿足一次函數(shù)關(guān)系，數(shù)據(jù)如右表：銷售單價(jià)（元/件）607075每天銷售量（件）240180150（注：利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本）(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試確定銷售單價(jià)取何值時(shí)，花店銷售該鮮花禮盒每天獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)；(3)花店承諾：每銷售一件鮮花禮盒就捐贈(zèng)元（）給“希望工程”．若扣除捐贈(zèng)后的日利潤(rùn)隨著銷售單價(jià)的增大而增大，請(qǐng)直接寫出的取值范圍是．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課堂中，學(xué)生的注意力隨教師講課的時(shí)間變化而變化．經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，學(xué)生的注意力呈直線上升，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x（分鐘）滿足，8分鐘以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x（分鐘）圖像呈拋物線形，到第16分鐘時(shí)學(xué)生的注意力指數(shù)y達(dá)到最大值92，而后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散(1)當(dāng)x＝8時(shí)，注意力指數(shù)y為，8分鐘以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式是；(2)若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽(tīng)課狀態(tài)”，則在一節(jié)45分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽(tīng)課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？（精確到1分鐘）(3)現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)壓軸題，教師必須持續(xù)講解24分鐘，為了使效果更好，則該教師上課后從第幾分鐘開(kāi)始講解這道題？（精確到1分鐘）（參考數(shù)據(jù)：12．（2023·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃┤鐖D，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、．(1)求該拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)在拋物線上，橫坐標(biāo)為．是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線上方．若恒成立，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．(3)如圖2，連接，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若的邊與拋物線有交點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．13．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)和，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方．(1)_________，_________；(2)若面積是面積的3倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)若與相交于點(diǎn)，判斷是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)為，我們不妨約定：點(diǎn)縱坐標(biāo)與其橫坐標(biāo)的差“”叫做點(diǎn)的“雙減差”，而圖象上所有點(diǎn)的“雙減差”的最小值稱為函數(shù)圖象的“智慧數(shù)”，例如：拋物線上有一點(diǎn)，則點(diǎn)的“雙減差”為6，當(dāng)時(shí)，，該拋物線的“智慧數(shù)”為，據(jù)約定，解答下列問(wèn)題：(1)求函數(shù)圖象的“智慧數(shù)”；(2)若直線的“智慧數(shù)”為，求的值；(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且該拋物線的頂點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，拋物線的“智慧數(shù)”是，求拋物線的解析式15．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，E是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)當(dāng)取得最小值時(shí)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）已知拋物線，拋物線的頂點(diǎn)的為．(1)若函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)，對(duì)稱軸是過(guò)且垂直于軸的直線，求的值和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出的取值范圍；(3)若，直接寫出拋物線的頂點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的最小值．17．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┠成痰隂Q定購(gòu)A，B兩種“冰墩墩”紀(jì)念品進(jìn)行銷售．已知每件A種紀(jì)念品比每件B種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)高30元．用1000元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同．(1)求A，B兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)該商場(chǎng)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出A型紀(jì)念品的售價(jià)與數(shù)量的關(guān)系如下表，售價(jià)x（元/件）銷售量（件）100①當(dāng)x為何值時(shí)，售出A紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？②該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B型紀(jì)念品共200件，其中A型紀(jì)念品的件數(shù)小于B型紀(jì)念品的件數(shù)，但不小于50件．若B型紀(jì)念品的售價(jià)為每件元時(shí)，商場(chǎng)將A，B型紀(jì)念品均全部售出后獲得的最大利潤(rùn)為2800元，直接寫出m的值．18．（2023·江蘇無(wú)錫·?？级＃o(wú)錫陽(yáng)山是聞名遐邇的“中國(guó)水蜜桃之鄉(xiāng)”，每年6至8月，總會(huì)吸引大批游客前來(lái)品嘗，當(dāng)?shù)啬成碳覟榛仞侇櫩?，兩周?nèi)將標(biāo)價(jià)為20元/千克的水蜜桃經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后變?yōu)?6.2元/千克，并且兩次降價(jià)的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降價(jià)的百分率．(2)①?gòu)牡谝淮谓祪r(jià)的第1天算起，第天（為整數(shù)）的售價(jià)、銷量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示：時(shí)間天售價(jià)/（元/千克）第1次降價(jià)后的價(jià)格第2次降價(jià)后的價(jià)格銷量/千克儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用/元已知該種水果的進(jìn)價(jià)為8.2元/千克，設(shè)銷售該水果第（天）的利潤(rùn)為（元），求與之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤(rùn)最大？②在①的條件下，問(wèn)這14天中有多少天的銷售利潤(rùn)不低于930元，請(qǐng)直接寫出結(jié)果．19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)連接、，求外接圓的半徑；(3)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值；(4)如圖2，點(diǎn)E為對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿平行于x軸的直線a向右運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)M作的垂線b，記直線b與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為N，當(dāng)直線b與直線a重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)總路程．20．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，分別交直線和拋物線于點(diǎn)、．①若點(diǎn)在線段上，求的最大值；②以為斜邊作等腰直角，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．21．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┮阎簰佄锞€與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖（1），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，，求y與m之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)如圖（2），點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，連接、，點(diǎn)M是外接圓的圓心，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．22．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，且．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于軸的上方，當(dāng)軸時(shí)，作，交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），以，為鄰邊構(gòu)造矩形，求該矩形周長(zhǎng)的最小值；(3)設(shè)拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（含點(diǎn)和）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為．①求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的面積．23．（2023·江蘇蘇州·校考一模）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線與x軸的交于點(diǎn)B．(1)求拋物線L的解析式；(2)點(diǎn)C在拋物線上，若的內(nèi)心恰好在x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線L向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，拋物線與y軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)N．P為線段上一點(diǎn)．若與相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求k的值．24．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)，且，點(diǎn)M在y軸正半軸，，線段是否存在最大值，如果存在，直接寫出最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)，且與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接，直線l過(guò)點(diǎn)B、C．(1)填空：；直線l的函數(shù)表達(dá)式為：．(2)已知直線平行于y軸，交拋物線及x軸于點(diǎn)P、G．當(dāng)時(shí)（如圖2），直線與線段分別相交于E、F兩點(diǎn)，試證明線段總能組成等腰三角形．(3)在（2）的條件下，如果此等腰三角形的頂角是的2倍，請(qǐng)求出此時(shí)t的值．26．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）定義：對(duì)于某個(gè)函數(shù)y，若存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)其自變量時(shí)，其函數(shù)值，則稱m為這個(gè)函數(shù)的三中值．在函數(shù)存在三中值時(shí)，該函數(shù)的最大三中值與最小三中值之差稱為這個(gè)函數(shù)的三中橫距．特別地當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)三中值時(shí)，其三中橫距記為0．如下圖中的函數(shù)有兩個(gè)三中值0和1，那么它的三中橫距等于1．(1)分別判斷函數(shù)，是否有三中值？若有，直接寫出三中橫距；(2)函數(shù)．①若其三中橫距為0，求b的值；②若，求其三中橫距n的取值范圍；(3)記函數(shù)（）的圖象為，將沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為，由和兩部分組成的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為，若函數(shù)的三中橫距滿足，求的取值范圍．27．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在拋物線上，若的內(nèi)心恰好在軸上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，點(diǎn)，都在拋物線上，且分別在第四象限和第二象限，連接，分別交軸、軸于點(diǎn)、，若，求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)．28．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖象與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上，連接、、、．(1)求點(diǎn)、、的坐標(biāo)（用數(shù)字或含的式子表示）；(2)當(dāng)?shù)淖钚≈档扔跁r(shí)，求的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)?。?）中的值時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．29．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，作軸．交直線于點(diǎn)，求的最大值；②若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．30．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接、．(1)求二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為D，求直線的函數(shù)表達(dá)式以及的值；(3)若點(diǎn)M在線段上（不與A、B重合），點(diǎn)N在線段上（不與B、C重合），是否存在與相似，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．08二次函數(shù)及其綜合應(yīng)用1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）我們把一次函數(shù)（為常數(shù)，）與二次函數(shù)（為常數(shù)，）稱為一對(duì)“相伴函數(shù)”，比如：函數(shù)與就是一對(duì)“相伴函數(shù)”．如圖，一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像相交于A，兩點(diǎn)．(1)隨著a的變化，他們的圖像各自是一組直線與一組拋物線，一次函數(shù)的圖像總過(guò)點(diǎn)（寫坐標(biāo)）；不等式的解集為；(2)若△OAB是直角三角形，求a的值．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）將一次函數(shù)整理即可確定其總經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，將不等式整理，然后利用一元二次方程的解得出兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意確定，，然后分三種情況分析：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，當(dāng)時(shí)，，∴一次函數(shù)的圖像總過(guò)點(diǎn)；∵，∴整理為：，當(dāng)時(shí)，解得：，由函數(shù)圖象得：不等式的解集為；故答案為：，；（2）由題意得，解之得，，∴，，如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為N，當(dāng)時(shí)，∵軸，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，，，，∴，∴，又∵，∴，當(dāng)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為N，同理可求，當(dāng)時(shí)，如上圖，在銳角的內(nèi)部，所以這種情況不可能；綜上可得：或．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問(wèn)題，包括一次函數(shù)的基本性質(zhì)，利用圖象求不等式的解集，相似三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求、滿足的等量關(guān)系式；(2)設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，連接，，，．當(dāng)時(shí)，求該二次函數(shù)的解析式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是______；最小值是______．設(shè)函數(shù)在內(nèi)的最大值為，最小值為，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)4；0；或【分析】（1）將，代入，即可求解；（2）由推出，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，求得，即，根據(jù)（1）的關(guān)系式即可求得、，進(jìn)而求得拋物線的解析式；（3）根據(jù)拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸為直線，根據(jù)拋物線的增減性可知時(shí)，函數(shù)有最小值；分五種情況：①當(dāng)函數(shù)在內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱軸的左側(cè)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)函數(shù)在內(nèi)的拋物線分別在對(duì)稱軸的兩側(cè)，④當(dāng)時(shí)，⑤當(dāng)函數(shù)在內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱軸的右側(cè)．【詳解】（1）解：把，代入，得，；（2）解：，，，，，，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，，，，，，，，，即，又，可得，，拋物線；（3）解：拋物線，；拋物線對(duì)稱軸為直線，，當(dāng)時(shí)，；①當(dāng)函數(shù)在內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱軸的左側(cè)，當(dāng)時(shí)取得最小值，最大值，令，即，解得；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，不合題意，舍去；.③當(dāng)函數(shù)在內(nèi)的拋物線分別在對(duì)稱軸的兩側(cè)，此時(shí)，令，即，解得：（舍），（舍）；或者，即（不合題意，舍去）；④當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，不合題意，舍去；⑤當(dāng)函數(shù)在內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱軸的右側(cè)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最小值，令，解得；綜上，或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，最值問(wèn)題，注意運(yùn)用分類討論的思想解決問(wèn)題．3．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）蘇州樂(lè)園森林世界位于美麗的大陽(yáng)山東南角，包含25項(xiàng)森林主題演出與游樂(lè)項(xiàng)目，其中“沖上云霄”是其經(jīng)典項(xiàng)目之一，其軌道總長(zhǎng)約1040米，極限高度62.5米.如圖所示，為“沖上云霄”過(guò)山車的一部分軌道（B為軌道最低點(diǎn)），它可以看成一段拋物線.其中米，米（軌道厚度忽略不計(jì)）．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)在軌道距離地面5米處有兩個(gè)位置P和C，當(dāng)過(guò)山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，又進(jìn)入下坡段（接口處軌道忽略不計(jì)）.已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，求的長(zhǎng)度；(3)現(xiàn)需要對(duì)軌道下坡段進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架、、、，且要求．如何設(shè)計(jì)支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？【答案】(1)；(2)；(3)當(dāng)時(shí)用料最少，最少需要材料米．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）先求出，坐標(biāo)，再求出長(zhǎng)度，通過(guò)拋物線的形狀與拋物線完全相同，平移長(zhǎng)度為，可得拋物線解析式，可得結(jié)論；（3）先設(shè)出，橫坐標(biāo)，再代入解析式，分別求出，的縱坐標(biāo)，然后求出、、、之和的最小值，從而求出最少所需材料．【詳解】（1）解：由圖象可設(shè)拋物線解析式為：，把代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，，∴，∵拋物線的形狀與拋物線完全相同，∴拋物線由拋物線右平移個(gè)單位，∴拋物線為：，當(dāng)時(shí)，∴；（3）設(shè)，，，，，∴，∵，∴開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，最短，最短為米，即：當(dāng)時(shí)用料最少，最少需要材料米．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及平移的性質(zhì)，關(guān)鍵用拋物線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題．4．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃┺r(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價(jià)格收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷售量(千克)與銷售價(jià)格(元/千克)之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：銷售價(jià)格(元/千克)日銷售量(千克)(1)請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定與之間的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出n與x的函數(shù)表達(dá)式為；(2)農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格，才能使日銷售利潤(rùn)最大？(3)農(nóng)經(jīng)公司每銷售千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出元的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)時(shí)，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為元，求的值．(日獲利等于日銷售利潤(rùn)減日支出費(fèi)用)【答案】(1)(2)這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元/千克，才能使日銷售利潤(rùn)最大(3)的值為【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知售價(jià)每增加5元，銷售量下降150千克，符合一次函數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)減去成本再乘以銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）設(shè)日獲利為元，根據(jù)題意得出，得出對(duì)稱軸為a，然后根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：依題意，設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，將代入得，解得：∴；（2）解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為元，由題意得：，，拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，有最大值．這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元千克，才能使日銷售利潤(rùn)最大；（3）設(shè)日獲利為元，由題意得：，對(duì)稱軸為a．①若，則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為：，不符合題意，舍去；②若，則當(dāng)時(shí)，有最大值，將代入，得：當(dāng)時(shí)，，解得，(舍)，綜上所述，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇常州·校考二模）已知：如圖，拋物線交x軸于E、F兩點(diǎn)，交y軸于A點(diǎn)，直線：交x軸于E點(diǎn)，交y軸于A點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若Q為拋物線上一點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，的面積為S，求S與t函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）(3)在（2）的條件下，點(diǎn)M在線段上，點(diǎn)N是位于Q、E兩點(diǎn)之間的拋物線上一點(diǎn)，，，且，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出一次函數(shù)解析式，再將代入二次函數(shù)解析式求解即可；（2）利用梯形面積減去兩個(gè)直角三角形的面積即可求解；（3）先求出直線的解析式，分別過(guò)點(diǎn)Q，點(diǎn)N作x軸的垂線，分別過(guò)與點(diǎn)A，點(diǎn)M作的x軸的平行線分別交于點(diǎn)K，點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為G，通過(guò)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，建立方程求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，將代入中，得，∴，∵，將代入得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）令，解得或，∴，∴，過(guò)點(diǎn)Q作于B，如圖，∴，∴，∵，∴，∴，即；（3）當(dāng)時(shí)，解得（正值舍去），當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線的解析式為：，∴，解得，∴直線的解析式為：，如圖，分別過(guò)點(diǎn)Q，點(diǎn)N作x軸的垂線，分別過(guò)與點(diǎn)A，點(diǎn)M作的x軸的平行線分別交于點(diǎn)K，點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，，∴，∴（負(fù)值舍去），∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．為第一象限的拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求面積的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍；(4)若點(diǎn)、分別為線段、上一點(diǎn)，且四邊形是菱形，直接寫出的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)面積的最大值為(3)(4)【分析】（1）設(shè)，將點(diǎn)，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）同（2）得出，證明，得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（4）設(shè)，，表示出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，，，，設(shè)，將點(diǎn)，代入，得：，解得：，；該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，，，，，解得：，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，，，，，解得：，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，在中，，，軸，，，，又，，，即，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，；（4）設(shè)，，，四邊形是菱形，，，解得：，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）“五一”前某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲種水果60箱，乙種水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲種水果比乙種水果每箱多盈利5元．(1)求甲、乙兩種水果每箱各盈利多少元？(2)甲、乙兩種水果全部售完后，為迎接“五一”小長(zhǎng)假，該商場(chǎng)又購(gòu)進(jìn)一批甲種水果，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，平均每天可多賣出20箱，那么當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元(2)5元；2000元【分析】（1）設(shè)乙種水果每箱可盈利x元，則甲種水果每箱可盈利元，根據(jù)題意列出一元一次方程求解即可；（2）設(shè)甲種水果降價(jià)a元，則每天可多賣出箱，利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）設(shè)乙種水果每箱可盈利x元，則甲種水果每箱可盈利元，根據(jù)題意，得：解得：，∴答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元．（2）設(shè)甲種水果降價(jià)a元，則每天可多賣出箱，利潤(rùn)為w元，由題意得：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值是2000元．答：當(dāng)降價(jià)5元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2000元．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中的等量關(guān)系．8．（2023·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃┠撑l(fā)商以24元/箱的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)某種蔬菜，銷往零售超市，已知這種蔬菜的標(biāo)價(jià)為45元/箱，實(shí)際售價(jià)不低于標(biāo)價(jià)的八折，且不高于標(biāo)價(jià)．批發(fā)商通過(guò)分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)這種蔬菜的日銷售量y（箱）與當(dāng)天的售價(jià)x（元/箱）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的兩組對(duì)應(yīng)值．售價(jià)x（元/箱）…3638…銷售量y（箱）…128124…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：；(2)若某天該批發(fā)商銷售這種蔬菜獲利1920元，則當(dāng)天這種蔬菜售價(jià)為多少元/箱？(3)批發(fā)商搞優(yōu)惠活動(dòng)，購(gòu)買一箱這種蔬菜，贈(zèng)送成本為6元的土豆，這種蔬菜的售價(jià)定為多少元/箱時(shí)，可使得日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)(2)當(dāng)獲利為1920元時(shí)，當(dāng)天這種蔬菜的售價(jià)為40元/箱(3)售價(jià)為45元/箱，可獲得最大日利潤(rùn)為1650元【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，；（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式和題意，可以列出關(guān)于x的方程，從而可以解答本題，注意x的取值范圍；（3）根據(jù)題意可以得到利潤(rùn)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題．【詳解】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為，將，和，代入表達(dá)式，得，解得．∴故答案為：（2）依題意可得整理方程，得解得，∵這種蔬菜售價(jià)不低于，且不高于標(biāo)價(jià)，∴所以84不滿足題設(shè)要求∴滿足題設(shè)答：所以當(dāng)獲利為1920元時(shí)，當(dāng)天這種蔬菜的售價(jià)為40元/箱．（3）設(shè)日獲得利潤(rùn)為W元，∵∴拋物線開(kāi)口向下．∴當(dāng)時(shí)，W的值隨x值的增大而增大∵這種蔬菜售價(jià)不低于，且不高于標(biāo)價(jià),即∴當(dāng)時(shí)，（元）答：這種蔬菜的售價(jià)為45元/箱，可獲得最大日利潤(rùn)為1650元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”．例如，點(diǎn)和是函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”．(1)判斷函數(shù)的圖象是否存在“等距點(diǎn)”？如果存在，求出“等距點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；(2)設(shè)函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”為A、B，函數(shù)圖象的“等距點(diǎn)”為C，若的面積為時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；(3)若函數(shù)圖象恰存在2個(gè)“等距點(diǎn)”，試求出m的取值范圍．【答案】(1)存在，或或(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)題中“等距點(diǎn)”的定義列出方程求解即可；（2）先求出反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象上的“等距點(diǎn)”，然后由三角形面積列出方程求解即可；（3）根據(jù)“等距點(diǎn)”列出一元二次方程，再由題意中恰好有2個(gè)“等距點(diǎn)”，利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】（1）解：存在“等距點(diǎn)”令，解得，∴函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等距點(diǎn)”或令，解得，∴函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等距點(diǎn)”或．綜上所述，函數(shù)的圖象上有三個(gè)“等距點(diǎn)”或或（2）令，解得，則，∴令，解得，則，∴，∵，∴即，解得，∴或，（3）令，整理得，．當(dāng)或時(shí)，此時(shí)在一、三象限有2個(gè)“等距點(diǎn)”．令，整理得，當(dāng)或時(shí)，此時(shí)在二四象限有2個(gè)“等距點(diǎn)”．∵函數(shù)圖象恰存在個(gè)“等距點(diǎn)”∴或．【點(diǎn)睛】題目主要考查新定義題型的理解，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)及反比例函數(shù)，理解題意是解題關(guān)鍵．10．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）教師節(jié)前夕，某花店采購(gòu)了一批鮮花禮盒，成本價(jià)為50元/件，物價(jià)局要求，銷售該鮮花禮盒獲得的利潤(rùn)率不得高于．分析教師節(jié)同期的鮮花禮盒銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）（x為整數(shù)）近似的滿足一次函數(shù)關(guān)系，數(shù)據(jù)如右表：銷售單價(jià)（元/件）607075每天銷售量（件）240180150（注：利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本）(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試確定銷售單價(jià)取何值時(shí)，花店銷售該鮮花禮盒每天獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)；(3)花店承諾：每銷售一件鮮花禮盒就捐贈(zèng)元（）給“希望工程”．若扣除捐贈(zèng)后的日利潤(rùn)隨著銷售單價(jià)的增大而增大，請(qǐng)直接寫出的取值范圍是．【答案】(1)(2)當(dāng)銷售單價(jià)為75元/件時(shí)，利潤(rùn)最大為3750元(3)【分析】（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為w元，根據(jù)總利潤(rùn)=單價(jià)利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)表示扣除捐款后的日利潤(rùn)，根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式，利用在范圍內(nèi)，隨x的增大而增大，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)，由題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解之得，∴；（2）解：設(shè)每天利潤(rùn)為w元，由題意得，又∵，∴，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，，答：當(dāng)銷售單價(jià)為75元/件時(shí)，利潤(rùn)最大為3750元；（3）解：設(shè)表示扣除捐款后的日利潤(rùn)，，∵在（x為整數(shù)）范圍內(nèi)，隨x的增大而增大，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線，∴，解得，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，正確列出解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課堂中，學(xué)生的注意力隨教師講課的時(shí)間變化而變化．經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，學(xué)生的注意力呈直線上升，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x（分鐘）滿足，8分鐘以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x（分鐘）圖像呈拋物線形，到第16分鐘時(shí)學(xué)生的注意力指數(shù)y達(dá)到最大值92，而后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散(1)當(dāng)x＝8時(shí)，注意力指數(shù)y為，8分鐘以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式是；(2)若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽(tīng)課狀態(tài)”，則在一節(jié)45分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽(tīng)課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？（精確到1分鐘）(3)現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)壓軸題，教師必須持續(xù)講解24分鐘，為了使效果更好，則該教師上課后從第幾分鐘開(kāi)始講解這道題？（精確到1分鐘）（參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)84，(2)20分鐘(3)第4分鐘【分析】（1）根據(jù)題意把8代入題目求解即可，再根據(jù)頂點(diǎn)式寫出拋物線表達(dá)式，再代入即可得到解析式；（2）根據(jù)對(duì)兩個(gè)函數(shù)列出不等式，求解即可；（3）設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)條件列出方程，解方程即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，把代入可得：，由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴可設(shè)拋物線的解析式為：，把代入可得：，解得：，∴，故答案為：84，；（2）由學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，即，當(dāng)時(shí)，由可得：；當(dāng)時(shí)，則，即，整理得：，解得：，∴（分鐘），答：在一節(jié)45分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽(tīng)課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間約有20分鐘；（3）設(shè)教師上課后從第t分鐘開(kāi)始講解這道題，由于，要使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達(dá)到最大，則當(dāng)和當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，即，整理得：解得：（舍）∴答：教師上課后從第4分鐘開(kāi)始講解這道題，能使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達(dá)到最大．【點(diǎn)睛】本題考查是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用頂點(diǎn)式求出解析式，利用條件列出不等式，求出根據(jù)和當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同求出t的值．12．（2023·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃┤鐖D，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、．(1)求該拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)在拋物線上，橫坐標(biāo)為．是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線上方．若恒成立，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．(3)如圖2，連接，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若的邊與拋物線有交點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為或(3)或時(shí)，的邊與拋物線有交點(diǎn)，【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線，根據(jù)的坐標(biāo)得出，結(jié)合題意，求得與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖形即可求解；（3）根據(jù)題意得出在直線上運(yùn)動(dòng)，分別求得對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)落在拋物線上時(shí)的的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】（1）解：由，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，∴，，代入，得，，解得：，解得：，（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的平行線，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，則∵，，∴設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，則，解得∵,∴∴，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得,解得：，∴線的解析式為聯(lián)立解得：或則直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，依題意，恒成立，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為或．（3）解：如圖所示，∵，則是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∵點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴根據(jù)圖象可知，在直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，的頂點(diǎn)與拋物線有交點(diǎn)，此時(shí)，即，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)∴時(shí)，的邊與拋物線有交點(diǎn)，同理，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)當(dāng)在拋物線上，此時(shí)代入拋物線解析式即：解得：或（舍去）∴當(dāng)時(shí)，的邊與拋物線有交點(diǎn)，綜上所述，或時(shí)，的邊與拋物線有交點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)和，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方．(1)_________，_________；(2)若面積是面積的3倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)若與相交于點(diǎn)，判斷是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)存在，最大值為．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可進(jìn)行求解；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，易求直線的函數(shù)關(guān)系式為，設(shè)，則點(diǎn)，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（3）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則有點(diǎn)，，然后可得，進(jìn)而可得，最后問(wèn)題可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：；故答案為，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)；如圖所示，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為將，代入得：，解得：，直線的函數(shù)關(guān)系式為，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)，∴，，，，，，；即：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（3）解：存在最大值，理由如下：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，如圖所示：由題意可知：直線的函數(shù)關(guān)系式為，點(diǎn)，，軸，，，，即：，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)與幾何的綜合及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)為，我們不妨約定：點(diǎn)縱坐標(biāo)與其橫坐標(biāo)的差“”叫做點(diǎn)的“雙減差”，而圖象上所有點(diǎn)的“雙減差”的最小值稱為函數(shù)圖象的“智慧數(shù)”，例如：拋物線上有一點(diǎn)，則點(diǎn)的“雙減差”為6，當(dāng)時(shí)，，該拋物線的“智慧數(shù)”為，據(jù)約定，解答下列問(wèn)題：(1)求函數(shù)圖象的“智慧數(shù)”；(2)若直線的“智慧數(shù)”為，求的值；(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且該拋物線的頂點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，拋物線的“智慧數(shù)”是，求拋物線的解析式【答案】(1)3；(2)；(3)或．【分析】（1）將函數(shù)變形為，當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減小，從而得到的最小值為3，故“智慧數(shù)”為3；（2）將函數(shù)變形為，令，則，由于，根據(jù)函數(shù)的增減性可得時(shí)，W取最小值，從而得到，求得或2，又，得到；（3）由題意得拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而拋物線為，令，則對(duì)稱軸是直線x=，由于時(shí)，拋物線的“智慧數(shù)”是，所以分三種情況討論：①若的區(qū)間在對(duì)稱軸的左邊，即時(shí)，解得，不合題意舍去；②若的區(qū)間在對(duì)稱軸的右邊，即，解得，此時(shí)，w取最小值，求解或4，再由，得到，從而得出拋物線解析式；③若對(duì)稱軸在的區(qū)間內(nèi)，則當(dāng)x=，w取最小值，求得，從而得出拋物線解析式．【詳解】（1）解：由得∵當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減小時(shí)，取最小值3，即函數(shù)圖象的“智慧數(shù)”是3；（2）由可得令，則∴W隨x的增大而增大，∵，時(shí)，W取最小值，或2，（3）∵拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且該拋物線的頂點(diǎn)在直線上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴拋物線為，令，對(duì)稱軸是直線x=，∵，∴，①當(dāng)時(shí)，即，不合題意舍去；②當(dāng)，即，此時(shí)當(dāng)，w取最小值，或4，∵，，∴.③當(dāng)，即，此時(shí)當(dāng)x=，w取最小值，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查閱讀材料解決問(wèn)題，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及增減性，正確理解題意，分類討論是解題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，E是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)當(dāng)取得最小值時(shí)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先分別求出，，根據(jù)勾股定理得出，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，即可求解；（2）找出的外心P，計(jì)算，得出點(diǎn)D、C、F、B四點(diǎn)共圓，要使，且點(diǎn)E在直線上，則點(diǎn)F為直線于的交點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，得出，當(dāng)點(diǎn)H，E，A三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)取得最小值，證明，得出則，求出，再得出所在直線的表達(dá)式為，即可得出，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，則，把代入得：，解得：，∴，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，當(dāng)時(shí)，，∴．（2）解：把代入得：，∴，令中點(diǎn)為P，∵，∴，∵是直角三角形，∴的外心為中點(diǎn)P，∴的外接圓半徑，∵，，∴，∴點(diǎn)D、C、F、B四點(diǎn)共圓，∵，點(diǎn)E在直線上，∴點(diǎn)F為直線與的交點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，∵，∴，∴．（3）解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∵，∴，則，∴，如圖：當(dāng)點(diǎn)H，E，A三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)取得最小值，∵，，，∴，∵，，∴，∴，則∴，即，解得：，∴，設(shè)所在直線的表達(dá)式為，把，代入得：，解得：，∴所在直線的表達(dá)式為，聯(lián)立得：，解得：，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形的方法和步驟，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及掌握“胡不歸”問(wèn)題的解題方法．16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）已知拋物線，拋物線的頂點(diǎn)的為．(1)若函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)，對(duì)稱軸是過(guò)且垂直于軸的直線，求的值和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出的取值范圍；(3)若，直接寫出拋物線的頂點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的最小值．【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得a、b,從而求得拋物線的解析式，把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由拋物線的頂點(diǎn)的為，即可得到，，從而得到，，由得出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值即可求得n的取值范圍;（3）由拋物線的頂點(diǎn)為，即可得到，，即，利用勾股定理得到，則的最小值為，從而求得頂點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離的最小值．【詳解】（1）∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)，對(duì)稱軸是過(guò)且垂直于x軸的直線，∴，解得，拋物線為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）∵，∴拋物線為，∵拋物線的頂點(diǎn)的為，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴n的取值范圍是；（3）∵，∴拋物線為∴，∴，∴∴，∴的最小值為，∴頂點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┠成痰隂Q定購(gòu)A，B兩種“冰墩墩”紀(jì)念品進(jìn)行銷售．已知每件A種紀(jì)念品比每件B種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)高30元．用1000元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同．(1)求A，B兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)該商場(chǎng)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出A型紀(jì)念品的售價(jià)與數(shù)量的關(guān)系如下表，售價(jià)x（元/件）銷售量（件）100①當(dāng)x為何值時(shí)，售出A紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？②該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B型紀(jì)念品共200件，其中A型紀(jì)念品的件數(shù)小于B型紀(jì)念品的件數(shù)，但不小于50件．若B型紀(jì)念品的售價(jià)為每件元時(shí)，商場(chǎng)將A，B型紀(jì)念品均全部售出后獲得的最大利潤(rùn)為2800元，直接寫出m的值．【答案】(1)，兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是元和元(2)①當(dāng)時(shí)，售出紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元；②32【分析】（1）設(shè)紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是元，則紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)用1000元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量相同，列出分式方程，進(jìn)行求解即可；（2）①設(shè)利潤(rùn)為，根據(jù)圖表，利用總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷售數(shù)量，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求出最值即可；②根據(jù)題意可得，此時(shí)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)型紀(jì)念品為件，再由A型紀(jì)念品的件數(shù)不小于50件，可得，設(shè)總利潤(rùn)為，求出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的值．【詳解】（1）解：設(shè)紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是元，則紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是元，由題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；當(dāng)時(shí)：；∴，兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是元和元；（2）解：①設(shè)利潤(rùn)為，由表格，得：當(dāng)時(shí)，，∵，∴隨著的增大而增大，∴當(dāng)售價(jià)為元時(shí)，利潤(rùn)最大為：元；當(dāng)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大為元；綜上：當(dāng)時(shí)，售出紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．②∵商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B型紀(jì)念品共200件，其中A型紀(jì)念品的件數(shù)小于B型紀(jì)念品的件數(shù)，∴A型紀(jì)念品的件數(shù)小于100件，∴，此時(shí)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)型紀(jì)念品為件，∴購(gòu)進(jìn)型紀(jì)念品為件，∵A型紀(jì)念品的件數(shù)不小于50件，∴，∴，設(shè)總利潤(rùn)為y元，根據(jù)題意得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，∵將A，B型紀(jì)念品均全部售出后獲得的最大利潤(rùn)為2800元，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出分式方程和函數(shù)表示式，利用函數(shù)的性質(zhì)，求最值是解題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇無(wú)錫·校考二模）無(wú)錫陽(yáng)山是聞名遐邇的“中國(guó)水蜜桃之鄉(xiāng)”，每年6至8月，總會(huì)吸引大批游客前來(lái)品嘗，當(dāng)?shù)啬成碳覟榛仞侇櫩?，兩周?nèi)將標(biāo)價(jià)為20元/千克的水蜜桃經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后變?yōu)?6.2元/千克，并且兩次降價(jià)的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降價(jià)的百分率．(2)①?gòu)牡谝淮谓祪r(jià)的第1天算起，第天（為整數(shù)）的售價(jià)、銷量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示：時(shí)間天售價(jià)/（元/千克）第1次降價(jià)后的價(jià)格第2次降價(jià)后的價(jià)格銷量/千克儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用/元已知該種水果的進(jìn)價(jià)為8.2元/千克，設(shè)銷售該水果第（天）的利潤(rùn)為（元），求與之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤(rùn)最大？②在①的條件下，問(wèn)這14天中有多少天的銷售利潤(rùn)不低于930元，請(qǐng)直接寫出結(jié)果．【答案】(1)(2)①；第10天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為960元；②共6天【分析】（1）設(shè)水蜜桃每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值即得出答案；（2）①根據(jù)利潤(rùn)=（標(biāo)價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷量-儲(chǔ)存和損耗費(fèi)，即可得（元），進(jìn)而可求出與之間的函數(shù)解析式，再結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值即可；②依題意可列出關(guān)于x的不等式，結(jié)合解一元一次不等式的方法和圖象法解一元二次不等式，分別求出x的解集，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)水蜜桃每次降價(jià)的百分率為，依題意得，，解得：（舍）．∴水蜜桃每次降價(jià)的百分率為；（2）解：①結(jié)合（1）得：第一次降價(jià)后的價(jià)格為元，∴當(dāng)時(shí)，．∵，∴隨著的增大而減小，∴當(dāng)元時(shí)，利潤(rùn)最大為元；當(dāng)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大為960元．∵，∴第10天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為960元．綜上可知，；第10天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為960元；②當(dāng)時(shí)，，解得：，∴此時(shí)為2天利潤(rùn)不低于930元；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖象法可解得：，∴∴此時(shí)為天利潤(rùn)不低于930元．綜上可知共有天利潤(rùn)不低于930元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式和一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，找出等量關(guān)系，列出等式和不等式是解題關(guān)鍵．19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)連接、，求外接圓的半徑；(3)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值；(4)如圖2，點(diǎn)E為對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿平行于x軸的直線a向右運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)M作的垂線b，記直線b與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為N，當(dāng)直線b與直線a重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)總路程．【答案】(1)，(2)(3)(4)【分析】（1）把和點(diǎn)代入求出b和c的值，即可得出函數(shù)表達(dá)式，將其化為頂點(diǎn)式，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求出，根據(jù)勾股定理逆定理，得出，最后根據(jù)直角三角形的外心與斜邊中點(diǎn)重合，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，作關(guān)于x軸的對(duì)稱線段，則，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在，，通過(guò)證明，得出，則當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即為的長(zhǎng)度，用等面積法求出的長(zhǎng)度即可；（4）連接，先求出點(diǎn)，根據(jù)，，可設(shè)，，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出，，，，然后根據(jù)勾股定理可得：，即可得出n關(guān)于m的表達(dá)式，將其化為頂點(diǎn)式后可得當(dāng)時(shí)，n隨m的增大而減小，當(dāng)時(shí)，n隨m的增大而增大，再求出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過(guò)的路程為，以及當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過(guò)的路程為，即可求解．【詳解】（1）解：把和點(diǎn)代入得：，解得：，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：，∵，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）解：把代入得，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴外接圓半徑；（3）解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，作關(guān)于x軸的對(duì)稱線段，則，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在上，，，，

，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線且時(shí)，取最小值，即為的長(zhǎng)度，，，即的最小值為．（4）解：連接，把代入得，解得：，

∴，∵，，∴設(shè)，，∴，，，，根據(jù)勾股定理可得：，∴，整理得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，n隨m的增大而減小，當(dāng)時(shí)，n隨m的增大而增大，∵動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，直線b與直線a重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，，∴，∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過(guò)的路程為：，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過(guò)的路程為：，∴點(diǎn)N經(jīng)過(guò)的總路程為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式，直角三角形外接圓圓心為斜邊中點(diǎn)，胡不歸問(wèn)題的解決方法，以及勾股定理和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和勾股定理．20．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，分別交直線和拋物線于點(diǎn)、．①若點(diǎn)在線段上，求的最大值；②以為斜邊作等腰直角，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）將，代入求解即可得出函數(shù)表達(dá)式；（2）①先求出，再求出直線的表達(dá)式，設(shè)的坐標(biāo)為，則、，根據(jù)題意列出二次函數(shù)求解即可；②分兩種情況：若點(diǎn)在的右側(cè)；若點(diǎn)在的左側(cè)；分別求解即可．【詳解】（1）將，代入中，得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）①令代入，得，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入并求得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)的坐標(biāo)為，則、，∴，∴當(dāng)時(shí)，最大值為；②若點(diǎn)在的右側(cè)，設(shè)，，則由等腰直角三角形的性質(zhì)得：，，則，把點(diǎn)坐標(biāo)代入中，得，解得，（舍去），故；若點(diǎn)在的左側(cè)，設(shè)，同理得：，把點(diǎn)坐標(biāo)代入中，得，解得，（舍去），故；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)，一次函數(shù)的求法，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，會(huì)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)確定出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．21．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┮阎簰佄锞€與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖（1），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，，求y與m之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)如圖（2），點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，連接、，點(diǎn)M是外接圓的圓心，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）將，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解可得；（2）由題意可得直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，可得，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得，由，，得，結(jié)合可得y與m之間的函數(shù)表達(dá)式為：；（3由題意知點(diǎn)在的垂直平分線上，設(shè)的垂直平分線與交于點(diǎn)，連接、、，由，，可知，可知當(dāng)取最小值時(shí)，最大，即：此時(shí)與對(duì)稱軸相切，，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度，據(jù)此進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：將，代入，得：，解得：∴拋物線解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)直線的解析式為，將，，代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，則，∴∵，，∴，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴，則，∴，則又∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，∴，則y與m之間的函數(shù)表達(dá)式為：；（3）∵，∴對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)是外接圓的圓心，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，設(shè)的垂直平分線與交于點(diǎn)，連接、、，則，則，，∴，又∵，∴當(dāng)取最小值時(shí)，最大，即：此時(shí)與對(duì)稱軸相切，，則，∴點(diǎn)，由對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，即也符合題意，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外心、圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．22．（2023·江蘇揚(yáng)州·校考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，且．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于軸的上方，當(dāng)軸時(shí)，作，交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），以，為鄰邊構(gòu)造矩形，求該矩形周長(zhǎng)的最小值；(3)設(shè)拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（含點(diǎn)和）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為．①求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)；(3)①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；②15．【分析】（1）將代入，即可求解；（2）分別求出，，，則，，再矩形的周長(zhǎng)，即可求解；（3）①分三種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；②由已知求出，過(guò)點(diǎn)作軸交直線與點(diǎn)，再求直線的解析式為，則，可求，由即可求解．【詳解】（1）解：將代入，，，；（2）解：令，則，，設(shè)直線的解析式為，，，，由題可知，，∵軸，點(diǎn)在直線上，，，對(duì)稱軸為直線，，、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，，，矩形的周長(zhǎng)，，當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最小值；（3）解：①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，解得或（舍，，過(guò)點(diǎn)作軸交直線與點(diǎn)，令，則，解得或，，設(shè)直線的解析式為，，，，，，．．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用割補(bǔ)法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇蘇州·?？家荒＃┤鐖D1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線與x軸的交于點(diǎn)B．(1)求拋物線L的解析式；(2)點(diǎn)C在拋物線上，若的內(nèi)心恰好在x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線L向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，拋物線與y軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)N．P為線段上一點(diǎn)．若與相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求k的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)與相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，則或2【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為直線且拋物線過(guò)點(diǎn)求解可得；（2）由題意易得x軸平分，即，且點(diǎn)C在y軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，設(shè)，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（3）設(shè)拋物線的解析式為，知、、，再設(shè)，分和兩種情況，由對(duì)應(yīng)邊成比例得出關(guān)于與的方程，利用符合條件的點(diǎn)恰有2個(gè)，結(jié)合方程的解的情況求解可得．【詳解】（1）解：由題意知，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：由題意得：x軸平分，即，∵的內(nèi)心恰好在x軸上，∴的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交點(diǎn)在x軸上，由此可知點(diǎn)C在y軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，如圖所示：由題意知：，，∴，∴，設(shè)，則有，，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴點(diǎn)；（3）解：如圖2，設(shè)拋物線的解析式為，、、，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，，，①；②當(dāng)時(shí)，，，②；（Ⅰ）當(dāng)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得：（負(fù)值舍去），此時(shí)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根，，（Ⅱ）當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，把②代入①，得：，解得：（負(fù)值舍去），此時(shí)，方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根，，綜上，當(dāng)與相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，則或2．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角形的內(nèi)心，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角形的內(nèi)心是解題的關(guān)鍵．24．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)，且，點(diǎn)M在y軸正半軸，，線段是否存在最大值，如果存在，直接寫出最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在，18．【分析】(1)將點(diǎn)代入解析式計(jì)算即可．(2)分點(diǎn)P在x軸的上方和下方兩種情況計(jì)算即可．(3)作線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)G，從而得到點(diǎn)Q在以垂直平分線上G點(diǎn)為圓心，且半徑為5的圓上的第四象限部分的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M，G，Q三點(diǎn)一線時(shí)，取得最大值．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，∴，∴，∴．（2）令，則，∴，令，則，∴或，∴，∵，∴，如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，設(shè)與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)G，∵，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，，∴，∴，聯(lián)立方程組，∴（舍）或，∴；如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，∵，，∴，，∴，解得（舍去），∴；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為或．（3）線段存在最大值，且為18．理由如下：作線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)G，則四邊形是矩形，∴，∵，

∴，連接，則，以G點(diǎn)為圓心，半徑為5的作，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q位于上時(shí)，作直徑，連接，，，則，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)G位于的第四象限部分的弧上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)M，G，Q三點(diǎn)一線時(shí)，取得最大值．∵，∴，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式確定，正切函數(shù)，余弦函數(shù)，勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法，三角函數(shù)，圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)，且與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接，直線l過(guò)點(diǎn)B、C．(1)填空：；直線l的函數(shù)表達(dá)式為：．(2)已知直線平行于y軸，交拋物線及x軸于點(diǎn)P、G．當(dāng)時(shí)（如圖2），直線與線段分別相交于E、F兩點(diǎn)，試證明線段總能組成等腰三角形．(3)在（2）的條件下，如果此等腰三角形的頂角是的2倍，請(qǐng)求出此時(shí)t的值．【答案】(1)，(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先將點(diǎn)代入求得a的值，進(jìn)而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)以及對(duì)稱軸，再確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得直線l的解析式；（2）先用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，則點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，進(jìn)而得到、，然后再根據(jù)三角形三邊關(guān)系列不等式即可證明；（3）由、C可得、；如圖線段組成等腰三角形,與（2）中的相等，H為邊上的高，再結(jié)合（2）可得；由等腰三角形的頂角是的2倍，即可得，然后再根據(jù)正弦的定義方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：；∴拋物線解析式為：，令，得：，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為；∵點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為：,∴，解得：，∴直線的解析式為：，即直線l的解析式為．故答案為，．（2）解：設(shè)直線的解析式為,∴，解得：，∴直線的解析式為：；∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴．，∴，∴當(dāng)時(shí)，線段總能組成等腰三角形．（3）解：∵，C∴∴如圖：線段組成等腰三角形,與（2）中的相等，H為邊上的高由（2）可得：，∴∵等腰三角形的頂角是的2倍∴∴，∴,即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)、求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)點(diǎn)，正確求得各函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．26．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義：對(duì)于某個(gè)函數(shù)y，若存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)其自變量時(shí)，其函數(shù)值，則稱m為這個(gè)函數(shù)的三中值．在函數(shù)存在三中值時(shí)，該函數(shù)的最大三中值與最小三中值之差稱為這個(gè)函數(shù)的三中橫距．特別地當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)三中值時(shí)，其三中橫距記為0．如下圖中的函數(shù)有兩個(gè)三中值0和1，那么它的三中橫距等于1．(1)分別判斷函數(shù)，是否有三中值？若有，直接寫出三中橫距；(2)函數(shù)．①若其三中橫距為0，求b的值；②若，求其三中橫距n的取值范圍；(3)記函數(shù)（）的圖象為，將沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為，由和兩部分組成的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為，若函數(shù)的三中橫距滿足，求的取值范圍．【答案】(1)沒(méi)有，有，三中橫距為3(2)①；②(3)或【分析】（1）根據(jù)題目中的新定義可以分別計(jì)算出各個(gè)函數(shù)是否有三中值，有三中值的可以求出相應(yīng)的三中橫距即可；（2）①根據(jù)題意可以求得相應(yīng)的b的值即可；②根據(jù)題意和b的取值范圍可以求得相應(yīng)的n的取值范圍；（3）首先根據(jù)題意可求得的解析式為，當(dāng)時(shí)，得，解得，，得，，可得，再畫(huà)出圖象，分類討論即可求得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，該方程無(wú)解，故沒(méi)有三中值；當(dāng)時(shí)，解得或，故有三中值，三中值為0與3，故它的三中橫距為3；（2）解：①令，解得或，其三中橫距為0，，解得；②令，解得或，，，；（3）解：函數(shù)（）的圖象為，將沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的解析式為：，整理得：，當(dāng)時(shí)，得，解得，，得，得，，如圖：當(dāng)，即時(shí)，，，，當(dāng)，即時(shí)，，，①如圖：當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，，不符合題意，舍去；②如圖：當(dāng)時(shí)，與都舍去，，，故此時(shí)不符合題意；③如圖：當(dāng)，與都舍去，，，故此時(shí)符合題意；④如圖：當(dāng)時(shí)，與圖象G無(wú)交點(diǎn)，圖象G無(wú)三中值，故此種情況不符合題意；綜上，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用新定義解答相關(guān)問(wèn)題．27．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在拋物線上，若的內(nèi)心恰好在軸上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，點(diǎn)，都在拋物線上，且分別在第四象限和第二象限，連接，分別交軸、軸于點(diǎn)、，若，求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）先作出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)P，根據(jù)對(duì)稱性可知P為所求的點(diǎn)，內(nèi)心在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線上，所以可考慮作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再求得直線的解析式，聯(lián)立成方程組，解方程組即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)N作軸，首先根據(jù)平移的性質(zhì)，可求得拋物線的解析式為：，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立成方程組，可得，，再證得，可得，即可求得，，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)和點(diǎn)分別代入解析式，得：解得故拋物線的解析式為；（2）解：如圖：