2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題七：解直角三角形的應(yīng)用擁抱型(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題七：解直角三角形的應(yīng)用擁抱型方法點(diǎn)睛解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題解題方法審題、分析題意，將已知量和未知量弄清楚，明確題目中的一些名詞、術(shù)語的含義，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所給三角形是直角三角形，確定合適的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，可嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題進(jìn)行解決.此外，在測量問題中往往會(huì)涉及測角儀、身高等與計(jì)算無關(guān)的數(shù)據(jù)，在求建筑物高度時(shí)不要忽略這些數(shù)據(jù).模型典例分析例1（2022營口中考）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是，沿著山坡向上走75米到達(dá)B處．在B處測得大樓頂部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）求大樓的高度．（圖中的點(diǎn)A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：）專題過關(guān)1．（2022葫蘆島中考）（12分）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DC⊥AM于點(diǎn)E，在A處測得大樹底端C的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30米到達(dá)B處，測得大樹頂端D的仰角為53°，測得山坡坡角∠CBM＝30°（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．（1）求斜坡BC的長；（2）求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)），（參考數(shù)據(jù)：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）2.（2022鄂州中考）亞洲第一、中國唯一的航空貨運(yùn)樞紐一一鄂州花湖機(jī)場，于2022年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在C處看見飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機(jī)A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米（點(diǎn)E、G、C、B在同一水平線上）．求：（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；（2）此時(shí)飛機(jī)的高度AB，（結(jié)果保留根號(hào)）3.（2022信陽三模）由綠地集團(tuán)耗資22億建設(shè)的“大玉米”位于河南省省會(huì)鄭州市鄭東新區(qū)，因?yàn)槠涫菆A柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計(jì)，因此得名，如今已經(jīng)成為CBD的一座新地標(biāo)建筑．某數(shù)學(xué)興趣小組為測量其高度，一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測“大玉米”頂端C處的仰角是45°，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測“大玉米”底部D處的俯角是30°．已知樓房AB高約是162m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求“大玉米”的高．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）了濮陽龍鄉(xiāng)的古老文明和現(xiàn)代化城市的勃勃雄姿．某實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組測量龍碑的高度（示意圖如圖所示），測得底座CE＝2.5m，在平地上的B處測得石碑的底部E的仰角為10°，向前走1m到達(dá)點(diǎn)D處，測得石碑的頂端A的仰角為60°，求石碑AE的高度.（精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，≈1.73）5.（2022河南二模）洛陽市欒川縣老君山景區(qū)的老子銅像，是目前世界上最高的老子銅像．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用學(xué)到的銳角三角函數(shù)的知識(shí)去測量老子銅像的高度．如圖，銅像底座CE的高度為21m，他們在測量點(diǎn)A（與C在同一水平線上）測得底座最高點(diǎn)E的仰角為20°，沿AC方向前進(jìn)24m到達(dá)測量點(diǎn)B，測得老子銅像頂部D的仰角為60°．求老子銅像DE的高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）6.（2022鄭州二模）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小明與同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°，沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求點(diǎn)B距水平地面AE的高度；（2）求廣告牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米）7.（2022西工大附中三模）如圖，某學(xué)校老師們聯(lián)合組織九年級(jí)學(xué)生外出開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)過某公園時(shí)，發(fā)現(xiàn)工人們正在建5G信號(hào)柱，于是老師們就帶領(lǐng)學(xué)生們對(duì)信號(hào)柱進(jìn)行測量．已知信號(hào)柱直立在地面上，在太陽光的照射下，信號(hào)柱影子（折線BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測得信號(hào)柱頂端A的仰角為30°，在C處測得信號(hào)柱頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD=12米，求信號(hào)柱AB的長度．（結(jié)果保留根號(hào)）8．（2021自貢中考）（8分）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小明所在的學(xué)習(xí)小組從綜合樓頂部B處測得辦公樓底部D處的俯角是53°，從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30°，綜合樓高24米．請你幫小明求出辦公樓的高度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）9.（2021威海中考）在一次測量物體高度的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明從一條筆直公路上選擇三盞高度相同的路燈進(jìn)行測量．如圖，他先在點(diǎn)B處安置測傾器，于點(diǎn)A處測得路燈MN頂端的仰角為，再沿BN方向前進(jìn)10米，到達(dá)點(diǎn)D處，于點(diǎn)C處測得路燈PQ頂端的仰角為．若測傾器的高度為1.2米，每相鄰兩根燈柱之間的距離相等，求路燈的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）10．（2021棗莊中考）（8分）2020年7月23日，我國首次火星探測“天問一號(hào)”探測器，由長征五號(hào)遙四運(yùn)載火箭在中國文昌航天發(fā)射場發(fā)射成功，正式開啟了中國的火星探測之旅．運(yùn)載火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測得AD＝4000米，仰角為30°.3秒后，火箭直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測得B處的仰角為45°．O，C，D在同一直線上，已知C，D兩處相距460米，求火箭從A到B處的平均速度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）11.（2021朝陽中考）一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在G處放置一個(gè)小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在F點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時(shí)測得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D，在D處安置一高度為1m的測角儀CD，此時(shí)測得樹頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點(diǎn)B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）12.（2021宿遷中考）一架無人機(jī)沿水平直線飛行進(jìn)行測繪工作，在點(diǎn)P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為30°，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為45°，已知建筑物AB的高為3米，求無人機(jī)飛行的高度(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，=1.732)．13.（2021湘潭中考）萬樓是湘潭歷史上的標(biāo)志性建筑，建在湘潭城東北、湘江的下游宋家橋．萬樓的外形設(shè)計(jì)既融入了皇家大院、一類寺廟的莊嚴(yán)典雅，也吸收了江南民居諸如馬頭墻、貓拱背墻、灰瓦等特色，而最為獨(dú)特的還是萬樓“九五至尊”的結(jié)構(gòu)．某數(shù)學(xué)小組為了測量萬樓主樓高度，進(jìn)行了如下操作：用一架無人機(jī)在樓基A處起飛，沿直線飛行120米至點(diǎn)B，在此處測得樓基A的俯角為60°，再將無人機(jī)沿水平方向向右飛行30米至點(diǎn)C，在此處測得樓頂D的俯角為30°，請計(jì)算萬樓主樓AD的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，≈1.41，≈1.73）14.（2022綏化中考）如圖所示，為了測量百貨大樓頂部廣告牌的高度，在距離百貨大樓30m的A處用儀器測得；向百貨大樓的方向走10m，到達(dá)B處時(shí)，測得，儀器高度忽略不計(jì)，求廣告牌的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：，，，）例22023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題七：解直角三角形的應(yīng)用擁抱型方法點(diǎn)睛解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題解題方法審題、分析題意，將已知量和未知量弄清楚，明確題目中的一些名詞、術(shù)語的含義，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所給三角形是直角三角形，確定合適的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，可嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題進(jìn)行解決.此外，在測量問題中往往會(huì)涉及測角儀、身高等與計(jì)算無關(guān)的數(shù)據(jù)，在求建筑物高度時(shí)不要忽略這些數(shù)據(jù).模型典例分析例1（2022營口中考）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是，沿著山坡向上走75米到達(dá)B處．在B處測得大樓頂部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）求大樓的高度．（圖中的點(diǎn)A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：）【答案】大樓的高度為92米【解析】【分析】過點(diǎn)B分別作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分別為E、F，通過解直角三角形表示出BF、AN、AE的長度，利用BF=NE進(jìn)行求解即可．【詳解】過點(diǎn)B分別作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分別為E、F，四邊形BENF為矩形，設(shè)，在中，斜坡的坡度，即，在中，在中，解得，所以，大樓的高度為92米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，準(zhǔn)確理解題意，能添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1．（2022葫蘆島中考）（12分）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DC⊥AM于點(diǎn)E，在A處測得大樹底端C的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30米到達(dá)B處，測得大樹頂端D的仰角為53°，測得山坡坡角∠CBM＝30°（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．（1）求斜坡BC的長；（2）求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)），（參考數(shù)據(jù)：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）【分析】（1）根據(jù)題意可得：∠CAE＝15°，AB＝30米，根據(jù)三角形的外角可求出∠ACB＝15°，從而可得AB＝BC＝30米，即可解答；（2）在Rt△CBE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE，BE的長，再在Rt△DEB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的長為30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE?tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴這棵大樹CD的高度約為20米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2.（2022鄂州中考）亞洲第一、中國唯一的航空貨運(yùn)樞紐一一鄂州花湖機(jī)場，于2022年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在C處看見飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機(jī)A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米（點(diǎn)E、G、C、B在同一水平線上）．求：（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；（2）此時(shí)飛機(jī)的高度AB，（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）米（2）米【解析】【分析】（1）先根據(jù)斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的長，然后利用勾股定理求出CD的長即可；（2）如圖所示，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則四邊形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，證明AB=BC，設(shè)AB=BC=x米，則米，米，解直角三角形得到據(jù)此求解即可．【小問1詳解】解：∵斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米，∴，∴米，∴米；【小問2詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則四邊形BHDG是矩形，∴BH=DG=30米，DH=BG，∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，設(shè)AB=BC=x米，則米，米，在Rt△ADH中，，∴，解得，∴米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確理解題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3.（2022信陽三模）由綠地集團(tuán)耗資22億建設(shè)的“大玉米”位于河南省省會(huì)鄭州市鄭東新區(qū)，因?yàn)槠涫菆A柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計(jì)，因此得名，如今已經(jīng)成為CBD的一座新地標(biāo)建筑．某數(shù)學(xué)興趣小組為測量其高度，一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測“大玉米”頂端C處的仰角是45°，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測“大玉米”底部D處的俯角是30°．已知樓房AB高約是162m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求“大玉米”的高．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）【答案】280米【解析】【分析】在Rt△ABD中由邊角關(guān)系求出AD的長，在Rt△ACD中，求出CD即可．【詳解】解：如圖，由題意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米，在Rt△ABD中，∵tan30°，∴AD162（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝162280（米），答：“大玉米”的高約為280米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．4.（2022河南永城一模）濮陽龍碑是紀(jì)念中華第一龍?zhí)卦O(shè)的紀(jì)念碑．雄偉高大的龍碑展現(xiàn)了濮陽龍鄉(xiāng)的古老文明和現(xiàn)代化城市的勃勃雄姿．某實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組測量龍碑的高度（示意圖如圖所示），測得底座CE＝2.5m，在平地上的B處測得石碑的底部E的仰角為10°，向前走1m到達(dá)點(diǎn)D處，測得石碑的頂端A的仰角為60°，求石碑AE的高度.（精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，≈1.73）【答案】石碑AE的高度為19.8m【解析】【分析】在Rt中利用正切可求出BC的長，從而得出CD的長，再在Rt中利用正切即可求出AC的長，進(jìn)而可求出AE的長．【詳解】解：根據(jù)題意可知，，．∵在Rt中，，∴，∴，∴．∵在Rt中，，∴，∴，∴．答：石碑AE的高度為19.8m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．5.（2022河南二模）洛陽市欒川縣老君山景區(qū)的老子銅像，是目前世界上最高的老子銅像．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用學(xué)到的銳角三角函數(shù)的知識(shí)去測量老子銅像的高度．如圖，銅像底座CE的高度為21m，他們在測量點(diǎn)A（與C在同一水平線上）測得底座最高點(diǎn)E的仰角為20°，沿AC方向前進(jìn)24m到達(dá)測量點(diǎn)B，測得老子銅像頂部D的仰角為60°．求老子銅像DE的高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】老子銅像DE的高約米．【解析】【分析】在，由根據(jù)正切定義解得AC的長，繼而得到BC的長，在中，由正切定義解得CD的長，最后根據(jù)線段的和差解答．【詳解】解：在在（米）答：老子銅像DE的高約米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，建立好數(shù)學(xué)模型，利用直角三角形中的三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．6.（2022鄭州二模）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小明與同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°，沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求點(diǎn)B距水平地面AE的高度；（2）求廣告牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米）【答案】（1）點(diǎn)B距水平地面AE的高度為5米；（2）廣告牌CD的高度約為6.7米【解析】【分析】（1）過點(diǎn)B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分別為M、N，由坡度的含義可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；（2）由輔助線作法及已知得四邊形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的長，從而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，進(jìn)而得CE的長；在Rt△DAE中由三角函數(shù)知識(shí)可求得DE，根據(jù)CD=CE?DE即可求得CD的長．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分別為M、N，由題意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即點(diǎn)B距水平地面AE的高度為5米；（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四邊形BMEN為矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME，在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴AM＝（米），∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝（5+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE?tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），即廣告牌CD的高度約為6.7米．【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是理解坡度的含義，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關(guān)線段．7.（2022西工大附中三模）如圖，某學(xué)校老師們聯(lián)合組織九年級(jí)學(xué)生外出開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)過某公園時(shí)，發(fā)現(xiàn)工人們正在建5G信號(hào)柱，于是老師們就帶領(lǐng)學(xué)生們對(duì)信號(hào)柱進(jìn)行測量．已知信號(hào)柱直立在地面上，在太陽光的照射下，信號(hào)柱影子（折線BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測得信號(hào)柱頂端A的仰角為30°，在C處測得信號(hào)柱頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD=12米，求信號(hào)柱AB的長度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】信號(hào)柱AB的長度為米【解析】【分析】延長交的延長線于，過作于，由銳角三角函數(shù)定義定義求出、、，設(shè)米，再由銳角三角函數(shù)定義求出，然后列出方程，解方程即可．【詳解】（方法一）解：過點(diǎn)D作交BC的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)H，又，則四邊形BEDH矩形，在中，，，，在中，，設(shè)，，，在中，，，，解得：．答：信號(hào)柱AB的長度為米．（方法二）解：延長AD交BC的延長線于G，過D作于H，在中，米，則（米），（米），，（米），（米），設(shè)米，，（米），，，解得：，答：信號(hào)柱AB的長度為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2021自貢中考）（8分）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小明所在的學(xué)習(xí)小組從綜合樓頂部B處測得辦公樓底部D處的俯角是53°，從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30°，綜合樓高24米．請你幫小明求出辦公樓的高度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【分析】由題意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，因?yàn)閠an∠BDA＝，可求出AD，又由tan30°＝，可求出CD，即得到答案．【解答】解：由題意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，∴tan∠BDA＝＝＝1.33，∴AD＝≈18.05．∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，∴CD＝18.05×≈10.4（米）．故辦公樓的高度約為10.4米．9.（2021威海中考）在一次測量物體高度的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明從一條筆直公路上選擇三盞高度相同的路燈進(jìn)行測量．如圖，他先在點(diǎn)B處安置測傾器，于點(diǎn)A處測得路燈MN頂端的仰角為，再沿BN方向前進(jìn)10米，到達(dá)點(diǎn)D處，于點(diǎn)C處測得路燈PQ頂端的仰角為．若測傾器的高度為1.2米，每相鄰兩根燈柱之間的距離相等，求路燈的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】路燈的高度為13.4m．【解析】【分析】延長AC交PQ于點(diǎn)E，交MN于點(diǎn)F，由題意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，設(shè)路燈的高度為xm，則MN=PQ=xm，MF=PE=x-1.2；在Rt△AFM中求得，即可得；在Rt△CEP中，可得，由此即可求得路燈的高度為13.4m．【詳解】延長AC交PQ于點(diǎn)E，交MN于點(diǎn)F，由題意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，設(shè)路燈的高度為xm，則MN=PQ=xm，MF=PE=x-1.2，在Rt△AFM中，∠MAF=10°，MF=x-1.2，，∴，∴，∴；∴CE=AE-AC=-10，在Rt△CEP中，∠PCE=27°，CE=-10，，∴，解得x≈13.4，∴路燈的高度為13.4m．答：路燈的高度為13.4m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021棗莊中考）（8分）2020年7月23日，我國首次火星探測“天問一號(hào)”探測器，由長征五號(hào)遙四運(yùn)載火箭在中國文昌航天發(fā)射場發(fā)射成功，正式開啟了中國的火星探測之旅．運(yùn)載火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測得AD＝4000米，仰角為30°.3秒后，火箭直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測得B處的仰角為45°．O，C，D在同一直線上，已知C，D兩處相距460米，求火箭從A到B處的平均速度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）【分析】在兩個(gè)直角三角形中求出AO、BO，進(jìn)而計(jì)算出AB，最后求出速度即可．【解答】解：由題意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度為1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度約為335米/秒．11.（2021朝陽中考）一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在G處放置一個(gè)小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在F點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時(shí)測得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D，在D處安置一高度為1m的測角儀CD，此時(shí)測得樹頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點(diǎn)B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（8+4）m．【分析】過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CH＝AH，再證△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由題意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（8+4）m，即這棵古樹的高AB為（8+4）m．12.（2021宿遷中考）一架無人機(jī)沿水平直線飛行進(jìn)行測繪工作，在點(diǎn)P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為30°，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為45°，已知建筑物AB的高為3米，求無人機(jī)飛行的高度(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，=1.732)．【答案】無人機(jī)飛行的高度約為14米．【解析】【分析】延長PQ，BA，相交于點(diǎn)E，根據(jù)∠BQE＝45°可設(shè)BE＝QE＝x，進(jìn)而可分別表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根據(jù)sin∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．【詳解】解：如圖，延長PQ，B