2023年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：解直角三角形章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京初三一模數(shù)學(xué)匯編解直角三角形章節(jié)綜合一、解答題1．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）給出如下定義：對(duì)于線段，以點(diǎn)P為中心，把點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)R，點(diǎn)R叫做線段關(guān)于點(diǎn)P的“完美點(diǎn)”，例如等邊中，點(diǎn)C就是線段關(guān)于點(diǎn)A的“完美點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中．(1)已知點(diǎn)，在，，，中，_____是線段關(guān)于點(diǎn)O的“完美點(diǎn)”；(2)直線上存在線段，若點(diǎn)恰好是線段關(guān)于點(diǎn)B的“完美點(diǎn)”，求線段的長；(3)若，，點(diǎn)D是線段關(guān)于點(diǎn)O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)F是線段關(guān)于點(diǎn)E的“完美點(diǎn)”，當(dāng)線段分別取得最大值和最小值時(shí)，直接寫出線段的長．2．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．3．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．4．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．5．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）已知在中，，點(diǎn)D，E分別是邊中點(diǎn)，連接，延長到點(diǎn)F，使得，連接．(1)求證：四邊形是菱形(2)如果，且，求的長．6．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）計(jì)算：7．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．8．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．9．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．10．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．11．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，于E，于F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，如果，，求的長．12．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．13．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．

參考答案1．(1)(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)“完美點(diǎn)”的定義判斷即可；（2）根據(jù)“完美點(diǎn)”的定義計(jì)算即可；（3）根據(jù)“完美點(diǎn)”的定義畫出圖形再分別計(jì)算即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)∴線段關(guān)于點(diǎn)O的“完美點(diǎn)”在第二象限，∴是線段關(guān)于點(diǎn)O的“完美點(diǎn)”；其他點(diǎn)都不符合題意；故答案為：；（2）點(diǎn)恰好是線段關(guān)于點(diǎn)B的“完美點(diǎn)”，是等邊三角形.過點(diǎn)O作于點(diǎn)M.∴，∴在直線上，∴直線與x軸交點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為，..（3）∵點(diǎn)D是線段關(guān)于點(diǎn)O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)F是線段關(guān)于點(diǎn)E的“完美點(diǎn)”，∴、是等邊三角形，∴，，，當(dāng)線段取得最大值時(shí)，此時(shí)在線段上，此時(shí)∵，∴，∴；當(dāng)線段取得最小值時(shí)，此時(shí)在線段上，過作于，則∴，，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解“完美點(diǎn)”的定義得到等邊三角形．2．【分析】利用零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，絕對(duì)值的意義求解即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．3．2【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值、二次根式、零指數(shù)冪以及絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】原式【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練化簡各項(xiàng)是解本題的關(guān)鍵．4．【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的意義、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)和零指數(shù)冪的意義分別化簡計(jì)算各項(xiàng)，再進(jìn)行加減計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)和零指數(shù)冪的意義等知識(shí)，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)的長為10【分析】（1）先根據(jù)對(duì)角線互相平分證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)三角線中位線的性質(zhì)證明，進(jìn)而得出，即可證明四邊形是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再利用三角函數(shù)、勾股定理解即可．【詳解】（1）證明：點(diǎn)E是邊中點(diǎn)，，又，四邊形是平行四邊形在中，點(diǎn)D，E分別是邊中點(diǎn)，，，，，．四邊形是菱形；（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，，，，，在中，，，解得或（舍），的長為10．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，利用三角函數(shù)、勾股定理解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法及性質(zhì)，牢記三角函數(shù)的定義．6．【分析】，，，然后混合運(yùn)算求解即可．【詳解】．【點(diǎn)睛】此題考查特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是．7．【分析】先求出特殊角的三角函數(shù)值、冪的運(yùn)算并對(duì)絕對(duì)值、二次根式化簡，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和特殊角三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．8．【分析】將特殊角的三角形函數(shù)值代入，然后去括號(hào)，絕對(duì)值，最后進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的加減混合運(yùn)算，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值等，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．9．4【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值．解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．10．【分析】先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值、零整數(shù)指數(shù)冪和絕對(duì)值和二次根式的化簡，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是正確掌握運(yùn)算法則，并能準(zhǔn)確計(jì)算．11．(1)見解析(2)的長為．【分析】（1）根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形即可得到結(jié)論；（2）設(shè)的長為x，由，求得，在中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：設(shè)的長為x，∵四邊形是菱形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，在中，，，，由勾股定理得，解得，∴的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，正切函數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．12．【分析】先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡二次根式，特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，化簡二次根式，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．13．5【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的