河南省鄭州市2023屆高三第三次質(zhì)量預測理科數(shù)學試題

鄭州市2023年高中畢業(yè)年級第三次質(zhì)量預測理科數(shù)學試題卷注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合子集的個數(shù)為（）A．3個 B．4個 C．8個 D．16個2．復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若向量、滿足，則向量與向量的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°4．歐拉長方體，又稱整數(shù)長方體或歐拉磚，指棱長和面對角線長都是整數(shù)的長方體.記為歐拉長方體，其中，，為長方體的棱長，，，為面對角線長.最小的歐拉長方體是.從，，，，，中任取兩個歐拉磚，則恰有一個最短棱長小于100的歐拉磚的概率為（）A． B． C． D．5．拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線經(jīng)過該拋物線的焦點.已知拋物線，一條平行于軸的光線，經(jīng)過點，射向拋物線的處，經(jīng)過拋物線的反射，經(jīng)過拋物線的焦點，若，則拋物線的準線方程是（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.8，衰減速度為12，且當訓練迭代輪數(shù)為12時，學習率衰減為0.5.則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）A．35 B．36 C．37 D．388．在中，若，，，點為內(nèi)一點，且，則（）A． B． C．2 D．59．兩個邊長為4的正三角形與，沿公共邊折疊成60°的二面角，若點，，，在同一球的球面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點，點在軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知正方體的棱長為2，，分別為線段，上的動點，過點，，的平面截該正方體的截面記為，則下列命題正確的個數(shù)是（）①當時，平面；②當，分別為，的中點時，幾何體的體積為1；③當為中點且時，與的交點為，滿足；④當為中點且時，為五邊形.A．1 B．2 C．3 D．412．下列不等式中不成立的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．二項式的展開式中含的系數(shù)為______________.14．曲線與坐標軸交于，，三點，則過，，三點的圓的方程為______________.15．已知函數(shù)，，對于下述四個結(jié)論：①函數(shù)的零點有三個；②函數(shù)關(guān)于對稱；③函數(shù)的最大值為2；④函數(shù)在上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的序號為：______________.16．已知是函數(shù)在其定義域上的導函數(shù)，且，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則實數(shù)的取值范圍是______________.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分17．（12分）已知等差數(shù)列的公差不為零，其前項和為，且是和的等比中項，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，令，求數(shù)列的前項和.18．（12分）某校為了深入學習宣傳貫徹黨的二十大精神，引導廣大師生深入學習黨的二十大報告，認真領(lǐng)悟黨的二十大提出的新思想、新論斷，作出的新部署、新要求，把思想統(tǒng)一到黨的二十大精神上來，把力量凝聚到落實黨的二十大作出的各項重大部署上來.經(jīng)研究，學校決定組織開展“學習二十大奮進新征程”的二十大知識競答活動.本次黨的二十大知識競答活動，組織方設(shè)計了兩套活動方案：方案一：參賽選手先選擇一道多選題作答，之后都選擇單選題作答；方案二：參賽選手全部選擇單選題作答其中每道單選題答對得2分，答錯不得分；多選題全部選對得3分，選對但不全得1分，有錯誤選項不得分為了提高廣大師生的參與度，受時間和場地的限制，組織方要求參與競答的師生最多答3道題.在答題過程中如果參賽選手得到4分或4分以上則立即停止答題，舉辦方給該參賽選手發(fā)放獎品.據(jù)統(tǒng)計參與競答活動的師生有500人，統(tǒng)計如表所示：男生女生總計選擇方案一10080選擇方案二200120總計（Ⅰ）完善上面列聯(lián)表，據(jù)此資料判斷，是否有90%的把握認為方案的選擇與性別有關(guān)？（Ⅱ）某同學回答單選題的正確率為0.8，各題答對與否相互獨立，多選題完全選對的概率為0.3，選對且不全的概率為0.3；如果你是這位同學，為了獲取更好的得分你會選擇哪個方案？請通過計算說明理由.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖在三棱柱中，為的中點，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，直線與平面所成的角的正弦值為，二面角的大小為60°，求二面角的余弦值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，為橢圓的右焦點，為橢圓的下頂點，與圓上任意點距離的最大值為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交橢圓于，兩點和，兩點，點到直線和的距離相等，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.在答題卷上將所選題號涂黑，如果多做，則按所做的第一題計分.22．[選修4一4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，曲線的方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求曲線，的極坐標方程；（Ⅱ）若曲線分別交曲線，（不包括極點）于、兩點，求的最大值.23．[選修4一5：不等式選講]（10分）已知正實數(shù)，，.（Ⅰ）若，，是正實數(shù)，求證：；（Ⅱ）求的最小值.

鄭州市2023年高中畢業(yè)年級第三次質(zhì)量預測理科數(shù)學評分參考一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分1-5．DADDB 6-10．ABBBA 11-12．CC二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．90； 14．； 15．②③④； 16．三、解答題：17．（12分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，又是和的等比中項，得，極，即①2分又，取時，，即②4分將①②聯(lián)立解得，，6分（2）由題意可知，，7分，.12分18．解：（1）由題意完善列聯(lián)表如圖男生女生總計選擇方案一10080180選擇方案二200120320總計3002005002分故，故沒有90%的把握認為方案的選擇與性別有關(guān).5分（2）設(shè)選擇方案一的得分為，則的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，則，，，，，，故的數(shù)學期望.8分設(shè)選擇方案二的得分為，則的可能取值為0，2，4，則，，，故，11分因為，故為了獲取更好的得分，我會選擇方案一.12分19．（12分）解：（1）證明：在三棱柱中，，，，，，又為的中點，，在中，，，，，、平面，平面，又平面，.5分（2）平面，，，為二面角的平面角，即，為等邊三角形，即，過點作于點，則，又平面平面，平面平面，平面，故直線與平面所成角為，即，設(shè)，則，即，7分平面平面平面平面，，，是等邊三角形.取為中點，，平面平面，平面平面，平面，以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，，由取，得；同理10分.二面角的余弦值.12分20．（12分）解：（1）由題意可知，，又到圓上距離最大值為，.又，解得，.故橢圓方程為4分（2）若點與點重合，則不存在1分若點與點不重合點到直線和的距離相等，且在直線上，5分設(shè)，由題意可知直線，的斜率均存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由得，.設(shè)，，則，7分又，，，設(shè)直線的方程為，同理可得11分又，，故.所以存在這樣的，使得12分21．（12分）解：（1）函數(shù)的定義域為，設(shè)，令，，當時，即，，在單調(diào)遞減，當時，即，令，得，，若，，，由即，得出.由即，得出.當時，，由即，得出.由即，得出.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，咋在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減5分（2）由（1）可知：當時，，是函數(shù)兩個極值點，有，，此時，要證明，只要證明，，9分，設(shè)，，，令，當時，，所以當時，，單調(diào)遞減，所以有，即證12分二、選考題：共10分。請考生在22、23題中任選一題作答。22．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]（10分）解：（1）曲