專題08二次函數(shù)最值的幾何應(yīng)用(原卷版+解析)

專題08二次函數(shù)最值的幾何應(yīng)用考點(diǎn)1：二次函數(shù)與線段最值；考點(diǎn)2：二次函數(shù)與面積最值。題型01二次函數(shù)與線段最值題型01二次函數(shù)與線段最值1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．25cm D．32cm2．如果一個(gè)矩形的周長(zhǎng)與面積的差是定值m（2＜m＜4），我們稱這個(gè)矩形為“定差值矩形”．如圖，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y(tǒng)，2（x+y）﹣xy=72，那么這個(gè)“定差值矩形”的對(duì)角線A．72 B．5 C．3 D．3．如圖，線段AB的長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是．4．（易錯(cuò)題）如圖，線段AB＝10，點(diǎn)P在線段AB上，在AB的同側(cè)分別以AP、BP為邊長(zhǎng)作正方形APCD和BPEF，點(diǎn)M、N分別是EF、CD的中點(diǎn)，則MN的最小值是．5．如圖，P是拋物線y＝﹣x2+x+2在第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長(zhǎng)的最大值為．6．（易錯(cuò)題）對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝x2+bx+c，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．題型02二次函數(shù)與面積最值題型02二次函數(shù)與面積最值7．如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個(gè)正方形的面積之和，下列判斷正確的是（）A．當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，S最小 B．當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，S最大 C．當(dāng)C為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最小 D．當(dāng)C為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最大8．如圖，從長(zhǎng)寬比為2：1的矩形ABCD的較短邊AD上找一點(diǎn)E，過這點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是AE、DE，當(dāng)剪下的兩個(gè)正方形的面積之和最小時(shí)，點(diǎn)E應(yīng)選在（）A．AD的中點(diǎn) B．AE：ED＝（5?1）：2C．AE：ED=2：1 D．AE：ED＝（29．（易錯(cuò)題）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止），在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形PABQ的面積最小值為（）A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm210．正方形ABCD中，AB＝4，P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為射線AD上一點(diǎn)，若AP＝PF，則△APF的面積最大值為（）A．8 B．6 C．4 D．2211．（易錯(cuò)題）如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DC，DB，則△BCD的面積的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．912．如圖，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點(diǎn)D移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．連接PC，以PC為一邊作正方形PCEF，連接DE、DF，則△DEF面積最小值為．13．（易錯(cuò)題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG．（1）若BE＝5，則正方形CEFG的面積為；（2）連接DF，DG，則△DFG面積的最小值為．14．如圖，在邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別從點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，均以1cm/s的速度向點(diǎn)B、C、D、A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，四個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s時(shí)，四邊形EFGH的面積最小，其最小值是cm2．15．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．（1）P，Q兩點(diǎn)出發(fā)幾秒后，可使△PBQ的面積為8cm2．（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，△PBQ的面積為Scm2，請(qǐng)寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△PBQ面積的最大值．16．如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°．AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在F處，DF交BC于點(diǎn)G．（1）用含有x的代數(shù)式表示BF的長(zhǎng)．（2）設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值，并求出這個(gè)最大值．[參考公式：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?b2a，17．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn)D從B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止（不考慮D與B，A重合的情況），運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），AE的長(zhǎng)為y（cm）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△BDE的面積S有最大值？最大值為多少？18．（易錯(cuò)題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B是一次函數(shù)y＝x圖象上兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+3，其中a＞0，過點(diǎn)A，B分別作y軸的平行線，交拋物線y＝x2﹣4x+8于點(diǎn)C，D．（1）若AD＝BC，求a的值；（2）點(diǎn)E是拋物線上的一點(diǎn)，求△ABE面積的最小值．

專題08二次函數(shù)最值的幾何應(yīng)用考點(diǎn)1：二次函數(shù)與線段最值；考點(diǎn)2：二次函數(shù)與面積最值。題型01二次函數(shù)與線段最值題型01二次函數(shù)與線段最值1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．25cm D．32cm解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ=P∵0≤t≤2，∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ的值最小，∴線段PQ的最小值是25，答案：C．2．如果一個(gè)矩形的周長(zhǎng)與面積的差是定值m（2＜m＜4），我們稱這個(gè)矩形為“定差值矩形”．如圖，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y(tǒng)，2（x+y）﹣xy=72，那么這個(gè)“定差值矩形”的對(duì)角線A．72 B．5 C．3 D．解：∵AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∵2（x+y）﹣xy=7∴xy＝2（x+y）?7∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，∴當(dāng)x+y＝2時(shí)，AC有最小值為3，答案：C．3．如圖，線段AB的長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是1．解：如圖，連接DE．設(shè)AC＝x，則BC＝2﹣x，∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC=22x，CE=∴∠DCE＝90°，故DE2＝DC2+CE2=12x2+12（2﹣x）2＝x2﹣2x+2＝（當(dāng)x＝1時(shí)，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1．答案：1．4．（易錯(cuò)題）如圖，線段AB＝10，點(diǎn)P在線段AB上，在AB的同側(cè)分別以AP、BP為邊長(zhǎng)作正方形APCD和BPEF，點(diǎn)M、N分別是EF、CD的中點(diǎn)，則MN的最小值是5．解：作MG⊥DC于G，如圖所示：

設(shè)MN＝y(tǒng)，PC＝x，根據(jù)題意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，即y2＝52+（10﹣2x）2．∵0＜x＜10，∴當(dāng)10﹣2x＝0，即x＝5時(shí)，y2最小值＝25，∴y最小值＝5．即MN的最小值為5；答案：5．5．如圖，P是拋物線y＝﹣x2+x+2在第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長(zhǎng)的最大值為6．解：∵y＝﹣x2+x+2，∴當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1故設(shè)P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．∴當(dāng)x＝1時(shí)，C最大值＝6，即：四邊形OAPB周長(zhǎng)的最大值為6．答案：6．6．（易錯(cuò)題）對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝x2+bx+c，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．解：（1）∵點(diǎn)A（﹣3，0）與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．（2）∵a＝1，∴y＝x2+bx+c．∵拋物線過點(diǎn)（﹣3，0），且對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴9?3b+c=0∴解得：b=2c=?3∴y＝x2+2x﹣3，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，則?3m+n=0n=?3解得：m=?1n=?3∴y＝﹣x﹣3如圖，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x．y），﹣3≤x≤0．則有QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）∵﹣3≤?32≤0，∴當(dāng)x=?32∴線段QD長(zhǎng)度的最大值為94題型02二次函數(shù)與面積最值題型02二次函數(shù)與面積最值7．如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個(gè)正方形的面積之和，下列判斷正確的是（）A．當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，S最小 B．當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，S最大 C．當(dāng)C為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最小 D．當(dāng)C為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最大解：設(shè)AC＝x，則CB＝1﹣x，S＝x2+（1﹣x）2即S＝2x2﹣2x+1，所以當(dāng)x=?(?2)2×2=此時(shí)，C是AB的中點(diǎn)．答案：A．8．如圖，從長(zhǎng)寬比為2：1的矩形ABCD的較短邊AD上找一點(diǎn)E，過這點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是AE、DE，當(dāng)剪下的兩個(gè)正方形的面積之和最小時(shí)，點(diǎn)E應(yīng)選在（）A．AD的中點(diǎn) B．AE：ED＝（5?1）：2C．AE：ED=2：1 D．AE：ED＝（2解：設(shè)AE＝x．則DE＝1﹣x．剪下的兩個(gè)正方形的面積之和為y，則y＝AE2+DE2＝x2+（1﹣x）2＝2（x?12）2當(dāng)x=12時(shí)，y取最小值．即點(diǎn)E是答案：A．9．（易錯(cuò)題）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止），在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形PABQ的面積最小值為（）A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC=AB2設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0≤t≤4），則PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，∴S四邊形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ=12AC?BC?12PC?CQ=12×6×8?12（6﹣t）×2t＝∵1＞0，∴當(dāng)t＝3時(shí)，四邊形PABQ的面積取最小值，最小值為15cm2．答案：C．10．正方形ABCD中，AB＝4，P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為射線AD上一點(diǎn)，若AP＝PF，則△APF的面積最大值為（）A．8 B．6 C．4 D．22解：作PM⊥AD于M，

∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ADB＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，∴PM＝DM，設(shè)PM＝DM＝x，則AM＝4﹣x，∵AP＝PF，∴AM＝FM＝4﹣x，∴AF＝2（4﹣x），∵S△APF=12AF?∴S△APF=12×2（4﹣x）?x＝﹣x2+4x＝﹣（x∴當(dāng)x＝2時(shí)，S△APF有最大值4，答案：C．11．（易錯(cuò)題）如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DC，DB，則△BCD的面積的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9解：設(shè)拋物線的解析式是y＝ax2+bx+c，∵拋物線經(jīng)過A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，∴a+b+c=0解得，a=?1∴y＝﹣x2+5x﹣4，設(shè)過點(diǎn)B（4，0），C（0，﹣4）的直線的解析式為y＝kx+m4k+m=0m=?4解得，k=1即直線BC的直線解析式為：y＝x﹣4，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x，﹣x2+5x﹣4）∴S△BCD=[(?x2∴當(dāng)x＝2時(shí)，△BCD的面積取得最大值，最大值是8．答案：C．12．如圖，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點(diǎn)D移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．連接PC，以PC為一邊作正方形PCEF，連接DE、DF，則△DEF面積最小值為32平方厘米解：設(shè)△PCD的面積為y，由題意得：AP＝t，PD＝5﹣t，∴y=12CD?PD=∵四邊形EFPC是正方形，∴S△DEF+S△PDC=12S正方形∵PC2＝PD2+CD2，∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，∴S△DEF=12（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）=12t2﹣4t+192當(dāng)t為4時(shí)，△DEF的面積最小，且最小值為32答案：3213．（易錯(cuò)題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG．（1）若BE＝5，則正方形CEFG的面積為17；（2）連接DF，DG，則△DFG面積的最小值為6．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE=B∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面積＝EC2＝17．答案：17．（2）連接DF，DG．設(shè)DE＝x，則CE=4

∵S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF∴S△DFG=12（x2+16）?12×x×4=12x2﹣2x∵12∴x＝2時(shí)，△DFG的面積的最小值為6．答案：6．14．如圖，在邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別從點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，均以1cm/s的速度向點(diǎn)B、C、D、A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，四個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3s時(shí)，四邊形EFGH的面積最小，其最小值是18cm2．解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤6），則AE＝t，AH＝6﹣t，根據(jù)題意得：S四邊形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝6×6﹣4×12t（6﹣t）＝2t2﹣12t+36＝2（t﹣3）∴當(dāng)t＝3時(shí)，四邊形EFGH的面積取最小值，最小值為18．答案：3；1815．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．（1）P，Q兩點(diǎn)出發(fā)幾秒后，可使△PBQ的面積為8cm2．（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，△PBQ的面積為Scm2，請(qǐng)寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△PBQ面積的最大值．解：（1）設(shè)經(jīng)過t秒后，△PBQ的面積等于8cm2．12×（6﹣t）×2解得：t1＝2，t2＝4，答：經(jīng)過2或4秒后，△PBQ的面積等于8cm2．（2）依題意，得S=12×PB×BQ=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6∴在移動(dòng)過程中，△PBQ的最大面積是9cm2．16．如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°．AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在F處，DF交BC于點(diǎn)G．（1）用含有x的代數(shù)式表示BF的長(zhǎng)．（2）設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值，并求出這個(gè)最大值．[參考公式：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?b2a，解：（1）由題意，得EF＝AE＝DE＝BC＝x，AB＝30，∴BF＝2x﹣30．（2）∵∠F＝∠A＝45°，∠CBF＝∠ABC＝90°，∴∠BGF＝∠F＝45°．∴BG＝BF＝2x﹣30，∴S==1=?3（3）S=?3∵a=?3∴當(dāng)x＝20時(shí)，S有最大值，最大值為150。17．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8