基于數(shù)學(xué)思想滲透的數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究

摘

要：解題是數(shù)學(xué)的構(gòu)成要素，高中數(shù)學(xué)教師需要關(guān)注解題教學(xué)的開展，并聯(lián)系高考的實(shí)際題型和新課標(biāo)的教學(xué)要求做出綜合設(shè)計(jì)。在過去的教學(xué)中，教師雖然也非常重視解題教學(xué)，但常采用題海戰(zhàn)術(shù)來推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行解題，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生的發(fā)展較為不利，也影響了學(xué)生的成長。在當(dāng)前，為了貫徹新課標(biāo)的教學(xué)優(yōu)化理念，設(shè)計(jì)更加高效合理的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)思想滲透的價(jià)值，從教學(xué)調(diào)整入手，研究將數(shù)學(xué)思想滲透到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體方法。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)一、做出概念詮釋，解讀數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓所在，但學(xué)生從字面上難以理解數(shù)學(xué)思想，更難以從中找出解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)際方法。為了讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想，并為其解題應(yīng)用創(chuàng)造基礎(chǔ)，教師在教學(xué)實(shí)際中需要對(duì)數(shù)學(xué)思想的概念進(jìn)行詮釋，為學(xué)生解讀數(shù)學(xué)思想的構(gòu)成。在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想有了基本了解后，教師就可以為學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步展示，引領(lǐng)其使用數(shù)學(xué)思想來探索解題的實(shí)際方法。如教師可以在實(shí)際中用數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生做出解讀，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想的概念，并初步了解其在解題中的應(yīng)用價(jià)值。具體而言，教師可以先為學(xué)生闡述數(shù)學(xué)思想的概念：“數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果?！痹谡故玖烁拍詈?，教師可以結(jié)合12個(gè)常見的數(shù)學(xué)思想為學(xué)生做展示，幫助其理解概念。為幫助學(xué)生了解，教師可以從數(shù)與形的關(guān)系出發(fā)，體現(xiàn)“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可以使所要研究的問題化難為易，化繁為簡的解析讓學(xué)生明確代數(shù)和幾何知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行解題的價(jià)值。在實(shí)際中，教師可以簡要展示下述例題，幫助學(xué)生加深認(rèn)知：例題1：方程ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎｘ在區(qū)間（０，２π）解的個(gè)數(shù)為

（）。Ａ．１

Ｂ．２

Ｃ．３

Ｄ．４在展示出該題目后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系二倍角公式進(jìn)行習(xí)題化簡，讓學(xué)生做出解讀，然后結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，嘗試?yán)L制以下圖像（見圖１），然后借助讀圖分析，推斷ｓｉｎ２ｘ和ｓｉｎｘ的值，進(jìn)而求出題目所要求的內(nèi)容。在學(xué)生完成解讀后，教師需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際回答情況做出簡單的評(píng)書，為學(xué)生展示數(shù)形結(jié)合的意義和方法，幫助學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合的概念。如此，教師就可以讓學(xué)生初步了解數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想在函數(shù)習(xí)題中的應(yīng)用價(jià)值。二、展示范例習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)為幫助學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想解答數(shù)學(xué)習(xí)題，教師可以在實(shí)際中展示范例習(xí)題，借助這些習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)題解答中的具體應(yīng)用要求。為做好這一解析展示工作，教師需要利用課下時(shí)間做出研究，找出適宜作為展示對(duì)象的習(xí)題，然后選擇一個(gè)合適的形式展示出來，再引導(dǎo)學(xué)生做出解讀。如在教學(xué)實(shí)際中，教師可以結(jié)合習(xí)題的選用做出展示，讓學(xué)生了解相關(guān)數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用：例題１：（函數(shù)方程思想）建造一個(gè)容積為８ｍ３，深為２ｍ的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為１２０元和８０元，則水池的最低造價(jià)為＿＿＿＿＿＿。解析：函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決相關(guān)問題。在實(shí)際的解題中，函數(shù)思想常會(huì)與方程思想融合運(yùn)用實(shí)現(xiàn)解答。需要注意的是，通過函數(shù)方程思想解答數(shù)學(xué)問題是利用相關(guān)的概念和性質(zhì)去解決現(xiàn)實(shí)問題，而非解答函數(shù)方程問題。對(duì)該題目而言，其考查點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)模型的選擇運(yùn)用，在實(shí)際的解題中可以使用函數(shù)方程思想做出習(xí)題解析，引入數(shù)學(xué)符號(hào)建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而使用解答函數(shù)習(xí)題的方法完成該題目，解答過程如下：設(shè)長為ｘ，則寬為，造價(jià)ｙ＝４×１２０＋４ｘ×８０＋×８０≥１７６０，當(dāng)且僅當(dāng)：４ｘ×８０＝×８０，即ｘ＝２時(shí)取等號(hào)。因此該題目的答案為１７６０。教師解析：“本題考查對(duì)函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，在題目的解答中，同學(xué)們需要先審題，找準(zhǔn)題目中的條件和關(guān)鍵因素，完成未知數(shù)的設(shè)列。在完成基本整理后，再引入數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型。在解答時(shí)，同學(xué)們需要使用解方程的方法得出數(shù)學(xué)結(jié)果。在這一題中，題目涉及了函數(shù)方程思想、分類討論思想、整體思想，同學(xué)們知道這些數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用都體現(xiàn)在哪些地方嗎？”通過上述案例的展示，函數(shù)方程思想、分類討論思想、整體思想就可以很好地體現(xiàn)出來，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)基本認(rèn)知。在實(shí)際的教學(xué)中，針對(duì)其他數(shù)學(xué)思想，教師也應(yīng)做出解答展示。三、結(jié)合具體思想，展現(xiàn)解題案例在實(shí)際的解題教學(xué)開展過程中，為了讓學(xué)生掌握具體的教學(xué)方法，針對(duì)習(xí)題進(jìn)行具體的案例解析是必不可少的，教師需要借助這些解題案例引導(dǎo)學(xué)生分析解題的過程，找出運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的方法途徑。在這一解析過程中，教師除了需要注意習(xí)題的展示和簡要解析，還需要注意引導(dǎo)性語言的運(yùn)用，借助簡單的提問，推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考，以此幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解。如為了幫助學(xué)生深入解析并理解數(shù)學(xué)思想，教師需要設(shè)計(jì)解題案例的組合，幫助學(xué)生進(jìn)行觀察分析，以此實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的透徹認(rèn)知和掌握。如對(duì)整體思想，教師可以選用以下幾類習(xí)題進(jìn)行展示，幫助學(xué)生透徹了解：例題１：已知２ｍ－３ｎ＝－４，則代數(shù)式ｍ（ｎ－４）－ｎ（ｍ－６）的值為＿＿＿＿＿＿＿。例題２：已知ｘ＝２，ｙ＝－３是方程組ａｘ＋ｂｙ＝２，ｂｘ＋ａｙ＝３的解，則ａ２－ｂ２＝＿＿＿＿＿＿＿。例題３：已知ａ＝２＋，ｂ＝２－，求（ａ＋）２·（ｂ＋）２的值。在展示出上述習(xí)題后，教師可以先讓學(xué)生嘗試著解答，然后再根據(jù)學(xué)生的解答情況做出解讀，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)整體思想，并使用整體思想對(duì)題目做出系統(tǒng)梳理。在進(jìn)行案例展示的過程中，教師需要為學(xué)生展示完整的解題流程，并強(qiáng)調(diào)其中的整體思想和實(shí)際應(yīng)用要點(diǎn)。以例題１為例，教師可以采用如下方式進(jìn)行解讀：師：“通過簡單的讀題，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目屬于什么類型呢？”生：“代數(shù)式化簡求值?！睅煟骸盎卮鸬煤芎?，那么這一類題目的解題要點(diǎn)在哪里呢？”生：“化簡式子，將代數(shù)式ｍ（ｎ－４）－ｎ（ｍ－６）化簡為包含２ｍ－３ｎ的式子?！睅煟骸案鶕?jù)整體思想，我們可以將原式拆解開，然后通過將２ｍ－ｎ看作一個(gè)整體完成化簡?！鄙鲜龅慕處熞I(lǐng)與展示過程可以推動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的方法，這對(duì)學(xué)生解題能力的發(fā)展有著較強(qiáng)的推動(dòng)作用。四、進(jìn)行系統(tǒng)梳理，明確解題要素在完成基本的數(shù)學(xué)思想解析并幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)用思想方法解決數(shù)學(xué)問題的具體途徑后，教師在教學(xué)中，便需要從系統(tǒng)梳理出發(fā)，設(shè)計(jì)進(jìn)一步的教學(xué)過程。在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)梳理是為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想對(duì)應(yīng)的習(xí)題類型，將相關(guān)的習(xí)題做出分類處理，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解答數(shù)學(xué)習(xí)題的要素進(jìn)行總結(jié)與整理，形成行之有效的解題過程，推動(dòng)學(xué)生的提升與發(fā)展。在這一過程中，教師要關(guān)注習(xí)題的展示，并督促學(xué)生進(jìn)行總體思考，整理相關(guān)習(xí)題，以此實(shí)現(xiàn)有效引導(dǎo)。如在實(shí)際教學(xué)中，教師可以針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想做出整理，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)分析，進(jìn)而使學(xué)生明確借助數(shù)形結(jié)合思想解答幾何圖形問題的現(xiàn)實(shí)方法。其中，教師可以做出列舉：數(shù)形結(jié)合可以解決集合問題，在集合運(yùn)算中使用數(shù)軸處理集合的交、并、補(bǔ)的過程，便是使用數(shù)形結(jié)合解析數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)實(shí)過程；利用數(shù)形結(jié)合可以解決函數(shù)問題，從函數(shù)的圖像關(guān)系出發(fā)聯(lián)系解析式，是解讀函數(shù)解答的有效方法等。在完成上述知識(shí)的論述后，教師可以建立簡要的框架圖，對(duì)相關(guān)內(nèi)容做出整理，幫助學(xué)生梳理和記憶，為實(shí)際解題應(yīng)用創(chuàng)造條件。如此一來，教師可以幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際運(yùn)用方法，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的發(fā)展有著較強(qiáng)的推動(dòng)作用，也能讓學(xué)生更好地找準(zhǔn)解題的要點(diǎn)。五、設(shè)置變式訓(xùn)練，推動(dòng)解題運(yùn)用變式訓(xùn)練的開展有利于提升學(xué)生的解題能力，也可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)技能的有效掌握。在例題學(xué)習(xí)中，學(xué)生雖然可以跟隨教師的講解與分析對(duì)習(xí)題產(chǎn)生基本認(rèn)知，但難以真正做到理解與掌握，在遇到相似習(xí)題時(shí)，也可能會(huì)出現(xiàn)不能解答的情況。為解決這一問題，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，教師在教學(xué)實(shí)際中需要優(yōu)選練習(xí)題，并針對(duì)性地?cái)M定變式題目，再將相關(guān)的題目一并展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生借助這些題目進(jìn)行解題練習(xí)，發(fā)展自身的解題能力。如在實(shí)際教學(xué)中，教師可以針對(duì)討論思想的運(yùn)用來展示習(xí)題與其變式題，幫助學(xué)生掌握解題的具體方法。其中，教師可以選用如下習(xí)題：原式：在同一平面上，∠ＡＯＢ＝７０°，∠ＢＯＣ＝３０°，射線ＯＭ平分∠ＡＯＢ，ＯＮ平分∠ＢＯＣ，求∠ＭＯＮ的大小。變式：已知∠ＡＯＢ＝６０°，過Ｏ作一條射線ＯＣ，射線ＯＥ平分∠ＡＯＣ，射線ＯＤ平分∠ＢＯＣ，求∠ＤＯＥ的大小。在展示該題目后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，分析分類討論思想的運(yùn)用。為了推動(dòng)學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展，教師還需要做出延展，設(shè)計(jì)學(xué)生擬題環(huán)節(jié)，讓學(xué)生從該題目入手嘗試著進(jìn)行拓展構(gòu)題，生成相關(guān)聯(lián)的變式題。在這一擬題思考的過程中，學(xué)生的思想可以得到拓展，解題能力也能得到進(jìn)一步提升。六、解讀高考真題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)化高考是學(xué)生人生中的第一大考，也是高中階段需要面臨的一大挑戰(zhàn)，學(xué)生能否通過高考的考查并考取心儀的大學(xué)，會(huì)直接影響到其未來發(fā)展?；谶@一現(xiàn)實(shí)問題，高中數(shù)學(xué)教師需要認(rèn)識(shí)到自己的教學(xué)職責(zé)，想辦法借助教學(xué)的有效設(shè)計(jì)幫助學(xué)生發(fā)展解題能力。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以選擇一些高考真題做出展示和講解，讓學(xué)生對(duì)這些真題進(jìn)行分析解讀，嘗試使用數(shù)學(xué)思想延伸出的解題方法進(jìn)行有效解答。在這一過程中，學(xué)生不但可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想解題知識(shí)的內(nèi)化，還能熟悉并掌握高考題目，做好迎接高考的準(zhǔn)備。在完成高考題的練習(xí)后，教師便可以引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，推動(dòng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想。七、結(jié)語總而言之，數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)的精髓所在，將其引入數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，可以幫