第二章二次函數(shù)單元綜合檢測(能力拓展卷)-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步分層練習(xí)(基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版)(原卷版+解析)

第二章二次函數(shù)單元綜合檢測學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________能力拓展卷一、單選題1．（2021—2022山東日照市九年級(jí)月考）點(diǎn)，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．（2021—2022湖北武漢市九年級(jí)月考）拋物線y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a為常數(shù)）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若AB＝2，則a的值是（）A． B．－ C．－或 D．－或3．（2021—2022廣東肇慶市九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有A．1 B．2 C．3 D．4第3題圖第4題圖4．（2021·山東青島中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．5．（2021·江蘇南通中考真題）如圖，四邊形中，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，．動(dòng)點(diǎn)P，Q均以的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，則y與t對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（）A． B．C． D．6．（2021—2022陜西西安九年級(jí)模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象只經(jīng)過三個(gè)象限，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（2021—2022浙江溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，把拋物線在x軸下方部分關(guān)于點(diǎn)B作中心對(duì)稱，頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)D′，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，連接DD′，CD′，DC，當(dāng)△CDD′是直角三角形時(shí)，a的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或第7題圖第8題圖第10題圖8．（2021—2022·江蘇蘇州市九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（）A．4 B．2＋2 C．2 D．9．（2021·河北邢臺(tái)中考二模）對(duì)于題目：“線段與拋物線有唯一公共點(diǎn)，確定的取值范圍”、甲的結(jié)果是，乙的結(jié)果是，則（）A．甲的結(jié)果正確 B．乙的結(jié)果正確C．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確 D．甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確10．（2021·廣東深圳市中考一模）已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與，軸的交點(diǎn)分別為，，是其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，以下結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．周長的最小值是 D．是的一個(gè)根11．（2021·山東菏澤一模）如圖，在平畫直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)和B(4，0)，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，則下列結(jié)論：①abc＞0；②關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為－2＜x＜4；③3a＋c＜0；④若是直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，－3)；⑤若m為任意實(shí)數(shù)，則其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題12．（2021—2022·北京市九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c的一部分圖象如圖所示，它與x軸交于A(1，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，可以判斷該拋物線的開口方向?yàn)開__，a的取值范圍是___．第12題圖第16題圖13．（2021—2022江蘇通州九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是______．15．（2021—2022江蘇蘇州市校九年級(jí)月考）拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，則面積的最大值是_________．16．（2021—2022·浙江溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）小剛家裝有一種可調(diào)節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升降器AB和淋浴噴頭BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．剛開始時(shí)，OA＝140cm，水流所在的拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，拋物線落地點(diǎn)D和點(diǎn)O相距70cm．為了方便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點(diǎn)和點(diǎn)O的距離增加10cm，則小剛應(yīng)把升降器AB向上平移____________cm．17．（2021—2022湖北武漢市九年級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，，其中，下列四個(gè)結(jié)論①；②；③；④，正確的序號(hào)是__________．第17題圖第18題圖18．（2021—2022浙江寧波市九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．坐標(biāo)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與相似．則點(diǎn)P的坐標(biāo)______．19．（2021·湖北青山中考三模）拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，－1），B（－5，－1）兩點(diǎn)．下列四個(gè)結(jié)論：①ab＞0；②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根在1和2之間；③當(dāng)c＝－11時(shí)，方程ax2＋（b＋1）x＋c＝－6的解是x1＝－5，x2＝0.5；④對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，總有am2＋bm≥－b．其中正確的結(jié)論是_________（填寫序號(hào)）．三、解答題20．（2021—2022天津市九年級(jí)月考）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求周長取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（2021—2022四川南充市九年級(jí)月考）如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(1，4)．（1）求的值和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使得PAB的周長最小，并求出最小值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（2021—2022遼寧蓋州市第四中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，對(duì)稱軸x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)Q是直線BC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求△BQC的面積的最大值；（3）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．若點(diǎn)P在第四象限內(nèi)，當(dāng)OD＝4PE時(shí)，△PBE的面積；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．23．（2021—2022湖北大悟縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖1，拋物線與x軸交于A（2，0），B（4，0），D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，若H為射線DA與y軸的交點(diǎn)，N為射線AB上一點(diǎn)，設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，△DHN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，若N與B重合，G為線段DH上一點(diǎn)，過G作y軸的平行線交拋物線于F，連接AF，若∠AGN＝∠FAG，求GF的長．24．（2021—2022·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A(?1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接，，求的面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將拋物線向右平移個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)是新拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程．25．（2021·重慶一中九年級(jí)期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．E為拋物線上一點(diǎn)，直線AE交y軸于點(diǎn)D，且OD＝OA．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是第四象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AE于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PG⊥AE于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)H，求PQ﹣GQ的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)K為線段OD的中點(diǎn)，作射線AK，將該拋物線沿射線AK方向平移個(gè)單位長度，得到新拋物線y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)I．點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M是新拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)I、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以IE為邊的矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．第二章二次函數(shù)單元綜合檢測學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________能力拓展卷一、單選題1．（2021—2022山東日照市九年級(jí)月考）點(diǎn)，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)，其對(duì)稱軸為x=1，圖象開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，P1（-1，y1）與（3，y1）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可判斷y3＞y1=y2．【詳解】解：∵y=x2-2x+1=（x-1）2，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=1，∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，P1（-1，y1）與（3，y1）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴1＜3＜5，故y3＞y1=y2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．2．（2021—2022湖北武漢市九年級(jí)月考）拋物線y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a為常數(shù)）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若AB＝2，則a的值是（）A． B．－ C．－或 D．－或【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可【詳解】則，AB＝2，即則解得－或．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的距離，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021—2022廣東肇慶市九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】觀察拋物線與x軸的交點(diǎn)情況即可對(duì)①作出判斷；根據(jù)拋物線的開口方向、對(duì)稱軸的位置及拋物線與y軸的交點(diǎn)位置即可對(duì)②作出判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，即可對(duì)③作出判斷；觀察圖象當(dāng)x=-2時(shí)，y>0，從而可對(duì)④作出判斷；觀察圖象當(dāng)x=3時(shí)，y<0，從而可對(duì)⑤作出判斷．【詳解】拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，即，故①正確；拋物線開口向上，，對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，，拋物線與軸交于負(fù)半軸，，，故②正確；，，故③錯(cuò)誤；時(shí)，，，即，故④錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，，，故⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及數(shù)形結(jié)合；對(duì)于此類問題，一般是看拋物線的開口方向可確定a的符號(hào)、看對(duì)稱軸的位置可確定b的符號(hào)、看拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定c的符號(hào)，看拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定判別式的符號(hào)，根據(jù)函數(shù)圖象可確定的符號(hào)．關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．4．（2021·山東青島中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象得出b＜0，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口以及對(duì)稱軸與y軸的關(guān)系，拋物線與y軸的交點(diǎn)，即可得出a、b、c的正負(fù)，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，再與函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，交y軸的負(fù)半軸，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限，A錯(cuò)誤；B、∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，B錯(cuò)誤；C、∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，C錯(cuò)誤；D、∵二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，交y軸的負(fù)半軸，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限，D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想．5．（2021·江蘇南通中考真題）如圖，四邊形中，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，．動(dòng)點(diǎn)P，Q均以的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，則y與t對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分四段考慮，①點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，②點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q還未到端點(diǎn)B，③點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q到達(dá)端點(diǎn)B，④點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，分別求出y與t的函數(shù)表達(dá)式，繼而可得出函數(shù)圖象．【詳解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，在Rt△CFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，①點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，AP=t，AQ=t，即0，如圖，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，，則PG=(0)，此時(shí)y=AQPG=(0)，圖象是一段經(jīng)過原點(diǎn)且開口向上的拋物線；②點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q還未到端點(diǎn)B，即13，此時(shí)y=AQDE=(13)，圖象是一段線段；③點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q到達(dá)端點(diǎn)B，即15，此時(shí)y=ABDE=(15)，圖象是一段平行于x軸的水平線段；④點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，PB=31-t，即18，如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，，則PH=，此時(shí)y=ABPH=(18)，圖象是一段線段；綜上，只有D選項(xiàng)符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與t的函數(shù)關(guān)系式，6．（2021—2022陜西西安九年級(jí)模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象只經(jīng)過三個(gè)象限，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x＝﹣1，要使二次函數(shù)的圖象只過三個(gè)象限，則函數(shù)只能不過第四象限，頂點(diǎn)在第三象限，據(jù)此列出不等式組解答即可．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開口方向向上，其對(duì)稱軸為，拋物線只經(jīng)過三個(gè)象限，則函數(shù)只能不過第四象限，頂點(diǎn)在第三象限，則，解得．故選：D．如圖：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要結(jié)合不等式組，求出m的取值范圍，熟悉二次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．7．（2021—2022浙江溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，把拋物線在x軸下方部分關(guān)于點(diǎn)B作中心對(duì)稱，頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)D′，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，連接DD′，CD′，DC，當(dāng)△CDD′是直角三角形時(shí)，a的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】先求出點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），由點(diǎn)B為中心對(duì)稱，求出點(diǎn)C（5，0），把拋物線配方為頂點(diǎn)式可得D（－1，－4a），點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分兩種情況，當(dāng)∠CD′D=90°，∠DCD′=90°時(shí)利用勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，∴∵a＞0解得∴點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），∵點(diǎn)B為中心對(duì)稱，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：1+（1+3）=5，∴點(diǎn)C（5，0），∴拋物線，∴D（－1，－4a），點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，點(diǎn)D′的橫坐標(biāo)為1+（1+1）=3，縱坐標(biāo)為4a，∴D′（3，4a），DD′=，CD=，CD′=，∵△CDD′是直角三角形，當(dāng)∠CD′D=90°，根據(jù)勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即，解得，∵a＞0，∴；當(dāng)∠DCD′=90°，根據(jù)勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即，解得，∴，∴綜合得a的值為或．故答案選：A．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，分類思想的應(yīng)用，勾股定理，中心對(duì)稱性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，分類思想的應(yīng)用，勾股定理，中心對(duì)稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2021—2022·江蘇蘇州市九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．9．（2021·河北邢臺(tái)中考二模）對(duì)于題目：“線段與拋物線有唯一公共點(diǎn)，確定的取值范圍”、甲的結(jié)果是，乙的結(jié)果是，則（）A．甲的結(jié)果正確 B．乙的結(jié)果正確C．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確 D．甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確【答案】D【分析】根據(jù)拋物線和線段的位置關(guān)系，找到臨界點(diǎn)，確定的值，即可求解．【詳解】解：∵線段與拋物線有唯一公共點(diǎn)，∴只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即：在范圍內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，∴函數(shù)在范圍與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴且端點(diǎn)與端點(diǎn)內(nèi)，不存在同時(shí)為0的情況，∴∴∴或或且，經(jīng)驗(yàn)證，且，∴或或，∴甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)性質(zhì)和圖象，根據(jù)拋物線和線段的位置關(guān)系，找到臨界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·廣東深圳市中考一模）已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與，軸的交點(diǎn)分別為，，是其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，以下結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．周長的最小值是 D．是的一個(gè)根【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系即可判斷A；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則x=3時(shí)，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判斷B、D；利用兩點(diǎn)間直線最短來求△PAB周長的最小值即可判斷C．【詳解】解：A、根據(jù)圖象知，對(duì)稱軸是直線x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0，故A正確；B、根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)，對(duì)稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，∴x=3時(shí)，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∵拋物線開口向下，則a<0，∴0＞a>-，故B正確；C、點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)是A′(3,0)，即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，連接BA′與直線x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則△PAB的周長的最小值是(BA′+AB)的長度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A′(3,0)，∴AB=，BA′=，即△PAB周長的最小值為+，故C錯(cuò)誤；D、根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)，對(duì)稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，所以是的一個(gè)根，故D正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短．解答該題時(shí)，充分利用了拋物線的對(duì)稱性．11．（2021·山東菏澤一模）如圖，在平畫直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)和B(4，0)，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，則下列結(jié)論：①abc＞0；②關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為－2＜x＜4；③3a＋c＜0；④若是直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，－3)；⑤若m為任意實(shí)數(shù)，則其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)拋物線過點(diǎn)A、B，可得拋物線的解析式為，由拋物線的開口方向知，a>0，所以b=-2a<0，c=-8a<0，因此可分別對(duì)①③作出判斷；觀察圖象，即可對(duì)②作出判斷；，所以點(diǎn)C到x軸的距離為9a，因AB=6，若是直角三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，即可滿足條件，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-3)，因而可判斷④正確；由可得：，由此可對(duì)⑤作出判斷．【詳解】由圖象知，拋物線的開口向上，故a>0由題意得：∴b=-2a<0，c=-8a<0∴abc>0，3a+c=3a-8a=-5a<0即①③正確觀察圖象知，當(dāng)－2＜x＜4時(shí)，函數(shù)的圖象位于x軸下方，即ax2＋bx＋c＜0，故②正確若是直角三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，則此三角形必是等腰直角三角形，由AB=6，則點(diǎn)C到x軸的距離為3∵∴9a=3即拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-3)故④正確由可得：而當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為a+b+c，且也是函數(shù)的最小值∵對(duì)任意實(shí)數(shù)m，函數(shù)的函數(shù)值不小于其最小值即

則am2+bm≥a+b故⑤錯(cuò)誤所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有4個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及函數(shù)表達(dá)式的三種形式，拋物線的對(duì)稱性，最值，函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，還涉及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道全面考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的好題，因此全面掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2021—2022·北京市九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c的一部分圖象如圖所示，它與x軸交于A(1，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，可以判斷該拋物線的開口方向?yàn)開__，a的取值范圍是___．【答案】向下﹣3＜a＜0【分析】根據(jù)圖象得出拋物線開口向下，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，由此可得a＜0，b＜0，由拋物線與x軸交于A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3）得出a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【詳解】解：由圖象可知：拋物線開口向下，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，∴a＜0，＜0，∴b＜0，∵拋物線與x軸交于A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），∴，∴a+b＝﹣3，∴b＝﹣3﹣a，∵b＜0，∴﹣3﹣a＜0，解得：a＞﹣3，又∵a＜0，∴﹣3＜a＜0，故答案為：向下；﹣3＜a＜0．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，難度一般，關(guān)鍵是正確獲取圖象信息進(jìn)行解題．13．（2021—2022江蘇通州九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸不大于2列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出不等式是解題的關(guān)鍵．14．（2021·天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校九年級(jí)月考）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，則的值為______．【答案】或【分析】先求得其對(duì)稱軸為，再分、和根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分別求得其最大值，由最大值為2，可求得的值．【詳解】解：，其對(duì)稱為，開口向下，當(dāng)即時(shí)，在上隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)有最大值，最大值，解得，符合題意；當(dāng)即時(shí)，的最大值，（不合題意，舍去），或（舍去）；當(dāng)即時(shí)，在上隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大值，，綜上可知的值為或．故答案是：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，掌握二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．15．（2021—2022江蘇蘇州市校九年級(jí)月考）拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，則面積的最大值是_________．【答案】4【分析】把A與B坐標(biāo)代入求出拋物線解析式，再過D作DE與y軸平行，因?yàn)椋瑥亩硎境鯯與t的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S的最大值即可．【詳解】解：∵拋物線過，，∴將、代入解析式得，，解得：，∴拋物線解析式為，∴，∴直線AC的解析式為，過點(diǎn)D作y軸的平行線交AC于點(diǎn)E，連接、，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴,∴當(dāng)時(shí)，面積最大值為4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練利用鉛垂法求三角形的面積．16．（2021—2022·浙江溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）小剛家裝有一種可調(diào)節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升降器AB和淋浴噴頭BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．剛開始時(shí)，OA＝140cm，水流所在的拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，拋物線落地點(diǎn)D和點(diǎn)O相距70cm．為了方便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點(diǎn)和點(diǎn)O的距離增加10cm，則小剛應(yīng)把升降器AB向上平移____________cm．【答案】60【分析】過點(diǎn)C作延長線于點(diǎn)E，先求出BE的長，再以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個(gè)單位，建立直角坐標(biāo)系，得出A、C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再把拋物線向上平移k個(gè)單位，再把坐標(biāo)代入解析式求出k的值即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作延長線于點(diǎn)E，cm以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個(gè)單位，建立直角坐標(biāo)系，則設(shè)此時(shí)拋物線解析式為：代入點(diǎn)得，，整理得，解得設(shè)小剛應(yīng)把升降器向上平移kcm，即將拋物線向上平移k個(gè)單位，則拋物線解析式為：將代入解析式得，即小剛應(yīng)把升降器向上平移60cm故答案為：60【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況建立直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求解析式．17．（2021—2022湖北武漢市九年級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，，其中，下列四個(gè)結(jié)論①；②；③；④，正確的序號(hào)是__________．【答案】①④【分析】根據(jù)拋物線開口向上,拋物線對(duì)稱軸,拋物線與y軸的交點(diǎn)可判斷①正確；根據(jù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)（x1，0），（2，0）和對(duì)稱軸的位置可判斷②錯(cuò)誤；當(dāng)x時(shí)，y的值為ab+c，結(jié)合對(duì)稱軸可判斷③錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸；可得2a+b＜0，變形可判斷④正確；【詳解】解：①∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確；②∵圖象與x軸交于兩點(diǎn)（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，∴，∴1，當(dāng)時(shí)，b＞﹣3a，∵當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2ac，∴﹣2ac＞﹣3a，∴2a﹣c＞0，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)x時(shí)，y的值為ab+c，給ab+c乘以4，即可化為a+2b+4c，∵拋物線的對(duì)稱軸在1，∴x關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)在和之間，由圖象可知在和2之間y為負(fù)值，2和之間y為正值，∴a+2b+4c與0的關(guān)系不能確定，故③錯(cuò)誤；④∵，∴2a+b＜0，∴（2a+b）2＞0，4a2+b2+4ab＞0，4a2+b2＞﹣4ab，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴，即，故④正確．故答案：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021—2022浙江寧波市九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．坐標(biāo)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與相似．則點(diǎn)P的坐標(biāo)______．

【答案】或或【分析】利用勾股定理求得的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷，再分在軸和軸兩種情況討論，舍出的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

在中，，，，在中，，，，，，為直角三角形．①利用的三邊，，又，故當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，；②當(dāng)是直角邊時(shí)，若與是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)的坐標(biāo)是，則，，即，解得：，則的坐標(biāo)是，三角形不是直角三角形，則不成立；③當(dāng)是直角邊，若與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，設(shè)的坐標(biāo)是，則，則，即，解得：，故是時(shí)，則一定成立；④當(dāng)在軸上時(shí)，是直角邊，一定在的左側(cè)，設(shè)的坐標(biāo)是．則，當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；⑤當(dāng)在軸上時(shí)，是直角邊，一定在的左側(cè)，設(shè)的坐標(biāo)是．則，當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：，符合條件．總之，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)以及勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．19．（2021·湖北青山中考三模）拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，－1），B（－5，－1）兩點(diǎn)．下列四個(gè)結(jié)論：①ab＞0；②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根在1和2之間；③當(dāng)c＝－11時(shí)，方程ax2＋（b＋1）x＋c＝－6的解是x1＝－5，x2＝0.5；④對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，總有am2＋bm≥－b．其中正確的結(jié)論是_________（填寫序號(hào)）．【答案】①③④【分析】把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中，可得b=4a，c=-1-5a，根據(jù)a>0，則可判斷①；當(dāng)時(shí)，可得方程ax2＋bx＋c=0的一個(gè)正根大于2，故可判斷②錯(cuò)誤；當(dāng)c＝－11時(shí)，解方程，得方程的解，從而可判斷③；由am2＋bm≥－b，可得am2＋bm+c≥－b+c，而-b+c=-1-9a正好是函數(shù)的最小值，從而可對(duì)④作出判斷．【詳解】把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中，得：解得：∴y＝ax2＋4ax-1-5a∴ab=4a2>0即①正確當(dāng)時(shí)，方程ax2＋bx＋c=0即為其正根為：∵∴當(dāng)時(shí)，方程ax2＋bx＋c=0的一個(gè)根不在1和2之間故②錯(cuò)誤當(dāng)c＝－11時(shí)，則由c=-1-5a，得a=2，從而b=4，原方程可化為：，解得x1＝－5，x2＝0.5故③正確∵且a>0∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有最小值-1-9a即對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，都有∴∵∴故④正確故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，它考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法等知識(shí)，難點(diǎn)是②④的判斷，對(duì)②也可以計(jì)算當(dāng)x=2時(shí)的函數(shù)值為7a-1,則當(dāng)時(shí)，函數(shù)不為正，從而當(dāng)1<x≤2時(shí)，函數(shù)值不為正，表明②錯(cuò)誤．三、解答題20．（2021—2022天津市九年級(jí)月考）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求周長取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，，【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線解析式：已知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)不等式，再把剩余的點(diǎn)代入整理即可得出拋物線解析式；（2）這是一個(gè)最短距離問題，利用點(diǎn)、關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱性，即可得出本題答案；（3）分三種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴可設(shè)拋物線的解析式為：，將代入得：解得：，則，∴拋物線的解析式為；（2）如下圖，連接交對(duì)稱軸于，∵，∴，∴此時(shí)最短，周長取得最小值，設(shè)直線的解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線的解析式為∵拋物線的對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-2）；（3）在軸上存在點(diǎn)使得是直角三角形，理由如下：∵∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-4），∵∴,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進(jìn)行討論①當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如下圖由勾股定理，得即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如下圖由勾股定理，得即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如下圖由勾股定理，得，即，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合，以及利用勾股定理確定直角三角形的知識(shí)熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．21．（2021—2022四川南充市九年級(jí)月考）如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(1，4)．（1）求的值和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使得PAB的周長最小，并求出最小值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）k=3，拋物線的解析式為；（2）△PAB周長的最小值為，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）；（3）存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)分別為Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）．【分析】（1）令x=0，可得點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)設(shè)拋物線解析式為，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入可求出a值，即可得拋物線解析式，令y=0可得點(diǎn)A坐標(biāo)，代入即可得k值；（2）如圖連接BC，交對(duì)稱軸于P，根據(jù)拋物線解析式可得對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），根據(jù)二次函數(shù)得對(duì)稱性可得PA=PC，即可得出PA+PB=BC，可得△PAB得周長的最小值為BC+AB，利用勾股定理即可得△PAB周長的最小值，根據(jù)點(diǎn)B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC解析式，令x=1即可得點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，m），分QA=AB，QB=AB，QA=QB，三種情況，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出m的值即可得答案．【詳解】（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，3），∵過A、B兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(1，4)，∴設(shè)拋物線的解析式為，∴，解得：,∴拋物線的解析式為，即，當(dāng)y=0時(shí)，，解得：，，∵點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，∴A（-1，0），C（3，0），把A（-1，0）代入得：-k+3=0，解得：k=3．（2）如圖，連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，∵拋物線的解析式為，∴對(duì)稱軸為直線x=，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A、C，∴A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴PA=PC，∴PA+PB=PB+PC=BC，∴△PAB的周長的最小值為AB+BC，∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0），∴OA=1，OB=3，OC=3，∴AB+BC==，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴，解得：k=-1，∴直線BC的解析式為y=-x+3，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）．∴△PAB周長的最小值為，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）．（3）設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，m），∵A（-1，0），B（0，3），∴AB==，QA==，QB==，①當(dāng)QA=AB時(shí)，∴=，解得：m=，∴Q1（1，），Q2（1，），②當(dāng)QB=AB時(shí)，∴=，解得：m=6或m=0，∵直線AB的解析式為y=3x+3，∴x=1時(shí)，y=6，∴點(diǎn)（1，6）在直線AB上，與A、B不能構(gòu)成三角形，∴Q3（1，0），③當(dāng)QA=QB時(shí)，∴=，解得：m=1，∴Q4（1，1），綜上所述：存在點(diǎn)Q，使ABQ是等腰三角形，點(diǎn)Q坐標(biāo)分別為Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)得對(duì)稱性并靈活運(yùn)用分類討論得思想是解題關(guān)鍵．22．（2021—2022遼寧蓋州市第四中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，對(duì)稱軸x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)Q是直線BC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求△BQC的面積的最大值；（3）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．若點(diǎn)P在第四象限內(nèi)，當(dāng)OD＝4PE時(shí)，△PBE的面積；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線表達(dá)式為；直線表達(dá)式為；（2）△BQC的面積的最大值為2（3）△PBE的面積為（4）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）．【分析】（1）首先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法把點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式求解即可；（2）過Q點(diǎn)作QH垂直x軸交BC于點(diǎn)H，連接CQ，BQ，由二次函數(shù)表達(dá)式設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，），表示出△BQC的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△BQC的面積的最大值；（3）根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，），E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），表示出OD和PE的長度，根據(jù)OD＝4PE列出方程求出m的值，即可求出PE和BD的長度，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（4）當(dāng)BD是菱形的邊和對(duì)角線時(shí)兩種情況分別討論，設(shè)出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，A（﹣2，0），∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），∴將A（﹣2，0），B（4，0），C（0，2），代入y＝ax2+bx+c得，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為；設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，∴將B（4，0），C（0，2），代入得，，解得：，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖所示，過Q點(diǎn)作QH垂直x軸交BC于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)M，連接CQ，BQ，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，），∴HQ=，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴△BQC的面積的最大值為2；（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，），E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），∴，，∵OD＝4PE，∴，整理得：，解得：(舍去)，，∴，D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），∴BD=1，∴；（4）如圖所示，當(dāng)BD是菱形的邊時(shí)，BM是菱形的邊時(shí)，∵四邊形BDNM是菱形，∴BD=BM=MN，∴設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），N點(diǎn)坐標(biāo)為（a+1，），又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），∴BD=1，，∵BD=BM，∴BD2=BM2，∴，整理得：，解得：，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，），當(dāng)BD是菱形的邊時(shí)，DM是菱形的邊時(shí)，∵四邊形BDMN是菱形，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），∴BD=MN=DM=1，∴設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（b，），N點(diǎn)坐標(biāo)為（b-1，），∴DM2=，∵BD=DM，∴BD2=DM2，∴，整理得：，解得：(舍去)，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；當(dāng)BD是菱形的對(duì)角線時(shí)，∵四邊形BMDN是菱形，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將代入得：y=，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），又∵點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)表達(dá)式的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)中三角形最大面積問題，菱形存在性問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出三角形面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)列出方程求解．23．（2021—2022湖北大悟縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖1，拋物線與x軸交于A（2，0），B（4，0），D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，若H為射線DA與y軸的交點(diǎn)，N為射線AB上一點(diǎn)，設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，△DHN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，若N與B重合，G為線段DH上一點(diǎn)，過G作y軸的平行線交拋物線于F，連接AF，若∠AGN＝∠FAG，求GF的長．【答案】（1）；（2）；（3）2【分析】（1）把于A（2，0），B（4，0）代入拋物線解析式求解即可；（2）先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出直線AD的解析式得到H的坐標(biāo)，再根據(jù)求解即可；（3）延長FG與x軸交于M，先證明△MAF≌△MGB，得到FM=BM，設(shè)M（m，0），則F（m，），則，，則，由此求解即可．【詳解】【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.24．（2021—2022·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A(?1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接，，求的面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將拋物線向右平移個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)是新拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）△PCD的面積最大值為，P（，）；（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，2)或(2，)或(2，)．【分析】（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）過點(diǎn)P作直線PN⊥x軸于點(diǎn)N，交直線BC于點(diǎn)M，先求出直線BC的解析式，設(shè)P（x，-x2+2x+3），則M（x，-x+3），求出△PCD面積的表達(dá)式，這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其取最大值的條件，即可求解；（3）求得新拋物線的解析式為y=-(x-2)2+4，對(duì)稱軸為直線x=2，兩拋物線的交點(diǎn)為E(，)，分DF為對(duì)角線，DG為對(duì)角線兩種情況討論，畫出圖形利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可．【詳解】解：（1）由題意可得：，解得，∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3；（2）過點(diǎn)P作直線PN⊥x軸于點(diǎn)N，交直線BC于點(diǎn)M，令x=0，則y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，拋物線y=-x2+2x+3的對(duì)稱軸為直線x=-，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3，則有