2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十四：圖形平移引起的綜合探究(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十四：圖形平移引起的綜合探究典例分析例.（2022河北中考）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點(diǎn)H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．（1）求證：△PQM≌△CHD；（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時(shí)停止．①邊PQ從平移開始，到繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過(guò)的面積；②如圖2，點(diǎn)K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點(diǎn)K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)；③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長(zhǎng)（用含d的式子表示）．專題過(guò)關(guān)1.（2022山西侯馬二模）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，連接AC，AC⊥BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，且CE＝CD．（1）求證：AD＝AE．操作探究：如圖2，將△ACD沿直線AB方向向右平移一定距離，點(diǎn)A，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，且點(diǎn)與點(diǎn)E重合．（2）①連接，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②求出△ACD平移的距離．（3）若將△ACD繼續(xù)沿直線AB方向向右平移，當(dāng)點(diǎn)恰好落在BC邊上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出平移后的圖形，并求出繼續(xù)平移的距離。拓展創(chuàng)新：如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，記直線分別與邊AB，BC交于點(diǎn)N，M．（4）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出BN的長(zhǎng)．2.（2022山西百校聯(lián)考）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題．如圖1，在正方形中，，分別以，為邊在正方形內(nèi)部作等邊三角形與等邊三角形，線段與交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)．猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（1）數(shù)學(xué)思考：請(qǐng)解答老師出示的問(wèn)題．（2）深入探究：試判斷四邊形的形狀，并加以證明．（3）問(wèn)題拓展：將從圖1的位置開始沿射線的方向平移得到，連接，．當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，得到圖2．請(qǐng)直接寫出平移的距離．3.（2022大同二模）數(shù)學(xué)活動(dòng)—三角形平移中的數(shù)學(xué)問(wèn)題．問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和的斜邊放在同一直線上，其中，頂點(diǎn)C與頂點(diǎn)E重合．（1）獨(dú)立思考：將向左平移使得AC的中點(diǎn)G恰好落在DE上，連接AE，CD，AD，如圖2，試判斷四邊形AECD的形狀并證明．（2）合作交流：①“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿CB方向平移，使得DE與AB交于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，DF交AB于點(diǎn)H，如圖3，求證：．②“希望”小組還發(fā)現(xiàn)圖3中還有其它相等的線段，在不添加字母的前提下，請(qǐng)你再寫出一組相等的線段．（3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索．“愛心”小組提出的問(wèn)題是：如圖3，若M恰好是DE的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段HM的長(zhǎng)度，請(qǐng)解答“愛心”小組提出的問(wèn)題．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十四：圖形平移引起的綜合探究典例分析例.（2022河北中考）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點(diǎn)H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．（1）求證：△PQM≌△CHD；（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時(shí)停止．①邊PQ從平移開始，到繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過(guò)的面積；②如圖2，點(diǎn)K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點(diǎn)K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)；③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長(zhǎng)（用含d的式子表示）．【答案】（1）見詳解（2）①；②；③【解析】【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再根據(jù)算出CD長(zhǎng)度，即可證明；（2）①平移掃過(guò)部分是平行四邊形，旋轉(zhuǎn)掃過(guò)部分是扇形，分別算出兩塊面積相加即可；②運(yùn)動(dòng)分兩個(gè)階段：平移階段：；旋轉(zhuǎn)階段：取剛開始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，H為圓心，延長(zhǎng)DK與圓相交于點(diǎn)G，連接GH，GM，過(guò)點(diǎn)G作于T；設(shè)，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，發(fā)現(xiàn)，從而得到，度數(shù)，求出旋轉(zhuǎn)角，最后用旋轉(zhuǎn)角角度計(jì)算所用時(shí)間即可；③分兩種情況：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角＜30°時(shí)，DE在DH的左側(cè)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角≥30°時(shí)，DE在DH上或右側(cè)，證明，結(jié)合勾股定理，可得，即可得CF與d的關(guān)系．【小問(wèn)1詳解】∵，∴則在四邊形中故四邊形為矩形，在中，∴，∵∴；【小問(wèn)2詳解】①過(guò)點(diǎn)Q作于S由（1）得：在中，∴平移掃過(guò)面積：旋轉(zhuǎn)掃過(guò)面積：故邊PQ掃過(guò)的面積：②運(yùn)動(dòng)分兩個(gè)階段：平移和旋轉(zhuǎn)平移階段：旋轉(zhuǎn)階段：由線段長(zhǎng)度得：取剛開始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，則H為圓心，延長(zhǎng)DK與圓相交于點(diǎn)G，連接GH，GM，過(guò)點(diǎn)G作于T設(shè)，則在中：設(shè)，則，，，，∵DM為直徑∴在中：在中：在中：∴，PQ轉(zhuǎn)過(guò)的角度：s總時(shí)間：③設(shè)CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角＜30°時(shí)，DE在DH的左側(cè)，如圖：∵∠EDF=30°，∠C=30°，∴∠EDF=∠C，又∵∠DEF=∠CED，∴，∴，即，∴，∵在中，，∴，∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角≥30°時(shí)，DE在DH上或右側(cè)，如圖：CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，同理：可得綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到平移，旋轉(zhuǎn)，矩形，解直角三角形，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；注意第（2）問(wèn)第②小題以PM為直徑作圓算出是難點(diǎn)，第（2）問(wèn)第③小題用到相似三角形的判定和性質(zhì)．專題過(guò)關(guān)1.（2022山西侯馬二模）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，連接AC，AC⊥BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，且CE＝CD．（1）求證：AD＝AE．操作探究：如圖2，將△ACD沿直線AB方向向右平移一定距離，點(diǎn)A，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，且點(diǎn)與點(diǎn)E重合．（2）①連接，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②求出△ACD平移的距離．（3）若將△ACD繼續(xù)沿直線AB方向向右平移，當(dāng)點(diǎn)恰好落在BC邊上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出平移后的圖形，并求出繼續(xù)平移的距離。拓展創(chuàng)新：如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，記直線分別與邊AB，BC交于點(diǎn)N，M．（4）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出BN的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）①四邊形是菱形，理由見解析，②；（3）；（4）．【解析】【分析】（1）利用“HL”證明Rt△ACD≌Rt△ACE，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)和菱形的判定即可求解；②先證明△ACE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出AC得長(zhǎng)度，即可求解；（3）根據(jù)平移作圖進(jìn)行作圖即可；由平移的性質(zhì)證明，進(jìn)行計(jì)算即可；（4）先證明，再通過(guò)三角形的面積求出CE的長(zhǎng)，設(shè)，則，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵AD⊥CD，CE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEC＝90°．又∵CD＝CE，AC＝AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACE．∴AD＝AE．（2）①四邊形是菱形．理由：由平移的性質(zhì)，得，．∴四邊形是平行四邊形．由（1），得AD＝AE．∴四邊形是菱形．②∵∠AEC＝∠ACB＝90°，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC．∴，在Rt△ABC中，．∴，解得．∴△ACD平移的距離為．（3）所作圖形如解圖所示．由平移的性質(zhì)，得∠4＝∠3，，．∴，．由（1），得∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴∠5＝∠B．∴，∴．由（2），得，∴．∴．∴繼續(xù)平移的距離為．（4）．∵，∴，．易得∠ACD＝∠B．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，．設(shè)，則．在中，根據(jù)勾股定理，．解得．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形、菱形的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2.（2022山西百校聯(lián)考）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題．如圖1，在正方形中，，分別以，為邊在正方形內(nèi)部作等邊三角形與等邊三角形，線段與交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)．猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（1）數(shù)學(xué)思考：請(qǐng)解答老師出示的問(wèn)題．（2）深入探究：試判斷四邊形的形狀，并加以證明．（3）問(wèn)題拓展：將從圖1的位置開始沿射線的方向平移得到，連接，．當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，得到圖2．請(qǐng)直接寫出平移的距離．【答案】（1）（2）菱形，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意先推導(dǎo)，證明，再借助正方形和等邊三角形性質(zhì)證明，進(jìn)而證明；（2）由題意可知，再借助外角的性質(zhì)推導(dǎo)，即可證明，，即四邊形是平行四邊形，由（1）結(jié)論，證明四邊形是菱形即可；（3）作，垂足為M，EM反向延長(zhǎng)線交AB與N，借助正方形和等邊三角形的性質(zhì)可計(jì)算，．再推導(dǎo)，借助勾股定理計(jì)算長(zhǎng)度，即可計(jì)算平移的距離．【小問(wèn)1詳解】猜想：．證明：∵四邊形是正方形，∴，．∵與都是等邊三角形，∴．∵，，∴，∴．∵與都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】四邊形是菱形．證明如下：∵與都是等邊三角形，∴．由（1）知，∴，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，由（1）得，，∴四邊形是菱形．【小問(wèn)3詳解】作，垂足為M，EM反向延長(zhǎng)線交AB與N．由題意可知，，即，且，四邊形BCMN為矩形，又∵，∴，，在中，，∵，∴∵，，∴∴∴即平移的距離為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定及勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行解題．3.（2022大同二模）數(shù)學(xué)活動(dòng)—三角形平移中的數(shù)學(xué)問(wèn)題．問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和的斜邊放在同一直線上，其中，頂點(diǎn)C與頂點(diǎn)E重合．（1）獨(dú)立思考：將向左平移使得AC的中點(diǎn)G恰好落在DE上，連接AE，CD，AD，如圖2，試判斷四邊形AECD的形狀并證明．（2）合作交流：①“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿CB方向平移，使得DE與AB交于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，DF交AB于點(diǎn)H，如圖3，求證：．②“希望”小組還發(fā)現(xiàn)圖3中還有其它相等的線段，在不添加字母的前提下，請(qǐng)你再寫出一組相等的線段．（3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索．“愛心”小組提出的問(wèn)題是：如圖3，若M恰好是DE的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段HM的長(zhǎng)度，請(qǐng)解答“愛心”小組提出的問(wèn)題．【答案】（1）矩形，理由見解析（2）①見解析；②（或者等）（3）【解析】【分析】（1）只需要證明AC與DE互相平分即可證明四邊形AECD是矩形；（2）①只需要證明△MBE≌△NFC得到MB=NF，即可證明；②由△ABC≌△DFE，得到AB=DF，即可證明，；（3）如圖所示，連接AD，由△ABC≌△DFE，得到點(diǎn)D到EF的距離與點(diǎn)A到BC的距離相等，得到，證明△DAM≌△EBM（AAS），得到，設(shè)，則，在Rt△MDH中，由，得到，由此求解即可．【小問(wèn)1詳解】四邊形AECD是矩形理由如下，，，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，，，∴，∴AG=CG，DG=EG，∴四邊形AECD是平行四邊形，又AC=DE，四邊形AECD是矩形；【小問(wèn)2詳解】解：①∵，，，，∴，即BE=FC，∴△MBE≌△NFC（ASA）∴MB=NF，∴HB-MB