2023學年二輪復習解答題專題四十四：圖形平移引起的綜合探究(原卷版+解析)

2023學年二輪復習解答題專題四十四：圖形平移引起的綜合探究典例分析例.（2022河北中考）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點P與A重合，點B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．（1）求證：△PQM≌△CHD；（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當點P到達點D后立刻繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3），當邊PM旋轉(zhuǎn)50°時停止．①邊PQ從平移開始，到繞點D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過的面積；②如圖2，點K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．專題過關(guān)1.（2022山西侯馬二模）綜合與實踐問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，連接AC，AC⊥BC，過點C作CE⊥AB于點E，且CE＝CD．（1）求證：AD＝AE．操作探究：如圖2，將△ACD沿直線AB方向向右平移一定距離，點A，C，D的對應(yīng)點分別為點，，，且點與點E重合．（2）①連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②求出△ACD平移的距離．（3）若將△ACD繼續(xù)沿直線AB方向向右平移，當點恰好落在BC邊上時，請在圖1中畫出平移后的圖形，并求出繼續(xù)平移的距離。拓展創(chuàng)新：如圖3，在（2）的條件下，將繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記直線分別與邊AB，BC交于點N，M．（4）當時，請直接寫出BN的長．2.（2022山西百校聯(lián)考）問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題．如圖1，在正方形中，，分別以，為邊在正方形內(nèi)部作等邊三角形與等邊三角形，線段與交于點，線段與交于點．猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（1）數(shù)學思考：請解答老師出示的問題．（2）深入探究：試判斷四邊形的形狀，并加以證明．（3）問題拓展：將從圖1的位置開始沿射線的方向平移得到，連接，．當四邊形是矩形時，得到圖2．請直接寫出平移的距離．3.（2022大同二模）數(shù)學活動—三角形平移中的數(shù)學問題．問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和的斜邊放在同一直線上，其中，頂點C與頂點E重合．（1）獨立思考：將向左平移使得AC的中點G恰好落在DE上，連接AE，CD，AD，如圖2，試判斷四邊形AECD的形狀并證明．（2）合作交流：①“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將沿CB方向平移，使得DE與AB交于點M，DF交AC于點N，DF交AB于點H，如圖3，求證：．②“希望”小組還發(fā)現(xiàn)圖3中還有其它相等的線段，在不添加字母的前提下，請你再寫出一組相等的線段．（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索．“愛心”小組提出的問題是：如圖3，若M恰好是DE的中點，請直接寫出線段HM的長度，請解答“愛心”小組提出的問題．2023學年二輪復習解答題專題四十四：圖形平移引起的綜合探究典例分析例.（2022河北中考）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點P與A重合，點B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．（1）求證：△PQM≌△CHD；（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當點P到達點D后立刻繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3），當邊PM旋轉(zhuǎn)50°時停止．①邊PQ從平移開始，到繞點D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過的面積；②如圖2，點K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．【答案】（1）見詳解（2）①；②；③【解析】【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再根據(jù)算出CD長度，即可證明；（2）①平移掃過部分是平行四邊形，旋轉(zhuǎn)掃過部分是扇形，分別算出兩塊面積相加即可；②運動分兩個階段：平移階段：；旋轉(zhuǎn)階段：取剛開始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，H為圓心，延長DK與圓相交于點G，連接GH，GM，過點G作于T；設(shè)，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，發(fā)現(xiàn)，從而得到，度數(shù)，求出旋轉(zhuǎn)角，最后用旋轉(zhuǎn)角角度計算所用時間即可；③分兩種情況：當旋轉(zhuǎn)角＜30°時，DE在DH的左側(cè)，當旋轉(zhuǎn)角≥30°時，DE在DH上或右側(cè)，證明，結(jié)合勾股定理，可得，即可得CF與d的關(guān)系．【小問1詳解】∵，∴則在四邊形中故四邊形為矩形，在中，∴，∵∴；【小問2詳解】①過點Q作于S由（1）得：在中，∴平移掃過面積：旋轉(zhuǎn)掃過面積：故邊PQ掃過的面積：②運動分兩個階段：平移和旋轉(zhuǎn)平移階段：旋轉(zhuǎn)階段：由線段長度得：取剛開始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，則H為圓心，延長DK與圓相交于點G，連接GH，GM，過點G作于T設(shè)，則在中：設(shè)，則，，，，∵DM為直徑∴在中：在中：在中：∴，PQ轉(zhuǎn)過的角度：s總時間：③設(shè)CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，當旋轉(zhuǎn)角＜30°時，DE在DH的左側(cè)，如圖：∵∠EDF=30°，∠C=30°，∴∠EDF=∠C，又∵∠DEF=∠CED，∴，∴，即，∴，∵在中，，∴，∴當旋轉(zhuǎn)角≥30°時，DE在DH上或右側(cè)，如圖：CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，同理：可得綜上所述：．【點睛】本題考查動點問題，涉及到平移，旋轉(zhuǎn)，矩形，解直角三角形，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；注意第（2）問第②小題以PM為直徑作圓算出是難點，第（2）問第③小題用到相似三角形的判定和性質(zhì)．專題過關(guān)1.（2022山西侯馬二模）綜合與實踐問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，連接AC，AC⊥BC，過點C作CE⊥AB于點E，且CE＝CD．（1）求證：AD＝AE．操作探究：如圖2，將△ACD沿直線AB方向向右平移一定距離，點A，C，D的對應(yīng)點分別為點，，，且點與點E重合．（2）①連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②求出△ACD平移的距離．（3）若將△ACD繼續(xù)沿直線AB方向向右平移，當點恰好落在BC邊上時，請在圖1中畫出平移后的圖形，并求出繼續(xù)平移的距離。拓展創(chuàng)新：如圖3，在（2）的條件下，將繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記直線分別與邊AB，BC交于點N，M．（4）當時，請直接寫出BN的長．【答案】（1）證明見解析；（2）①四邊形是菱形，理由見解析，②；（3）；（4）．【解析】【分析】（1）利用“HL”證明Rt△ACD≌Rt△ACE，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)和菱形的判定即可求解；②先證明△ACE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出AC得長度，即可求解；（3）根據(jù)平移作圖進行作圖即可；由平移的性質(zhì)證明，進行計算即可；（4）先證明，再通過三角形的面積求出CE的長，設(shè)，則，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵AD⊥CD，CE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEC＝90°．又∵CD＝CE，AC＝AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACE．∴AD＝AE．（2）①四邊形是菱形．理由：由平移的性質(zhì)，得，．∴四邊形是平行四邊形．由（1），得AD＝AE．∴四邊形是菱形．②∵∠AEC＝∠ACB＝90°，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC．∴，在Rt△ABC中，．∴，解得．∴△ACD平移的距離為．（3）所作圖形如解圖所示．由平移的性質(zhì)，得∠4＝∠3，，．∴，．由（1），得∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴∠5＝∠B．∴，∴．由（2），得，∴．∴．∴繼續(xù)平移的距離為．（4）．∵，∴，．易得∠ACD＝∠B．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，．設(shè)，則．在中，根據(jù)勾股定理，．解得．∴．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形、菱形的判定，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．2.（2022山西百校聯(lián)考）問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題．如圖1，在正方形中，，分別以，為邊在正方形內(nèi)部作等邊三角形與等邊三角形，線段與交于點，線段與交于點．猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（1）數(shù)學思考：請解答老師出示的問題．（2）深入探究：試判斷四邊形的形狀，并加以證明．（3）問題拓展：將從圖1的位置開始沿射線的方向平移得到，連接，．當四邊形是矩形時，得到圖2．請直接寫出平移的距離．【答案】（1）（2）菱形，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意先推導，證明，再借助正方形和等邊三角形性質(zhì)證明，進而證明；（2）由題意可知，再借助外角的性質(zhì)推導，即可證明，，即四邊形是平行四邊形，由（1）結(jié)論，證明四邊形是菱形即可；（3）作，垂足為M，EM反向延長線交AB與N，借助正方形和等邊三角形的性質(zhì)可計算，．再推導，借助勾股定理計算長度，即可計算平移的距離．【小問1詳解】猜想：．證明：∵四邊形是正方形，∴，．∵與都是等邊三角形，∴．∵，，∴，∴．∵與都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴．【小問2詳解】四邊形是菱形．證明如下：∵與都是等邊三角形，∴．由（1）知，∴，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，由（1）得，，∴四邊形是菱形．【小問3詳解】作，垂足為M，EM反向延長線交AB與N．由題意可知，，即，且，四邊形BCMN為矩形，又∵，∴，，在中，，∵，∴∵，，∴∴∴即平移的距離為．【點睛】本題主要考查了正方形和等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定及勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強，解題關(guān)鍵是靈活運用幾何圖形的性質(zhì)進行解題．3.（2022大同二模）數(shù)學活動—三角形平移中的數(shù)學問題．問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和的斜邊放在同一直線上，其中，頂點C與頂點E重合．（1）獨立思考：將向左平移使得AC的中點G恰好落在DE上，連接AE，CD，AD，如圖2，試判斷四邊形AECD的形狀并證明．（2）合作交流：①“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將沿CB方向平移，使得DE與AB交于點M，DF交AC于點N，DF交AB于點H，如圖3，求證：．②“希望”小組還發(fā)現(xiàn)圖3中還有其它相等的線段，在不添加字母的前提下，請你再寫出一組相等的線段．（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索．“愛心”小組提出的問題是：如圖3，若M恰好是DE的中點，請直接寫出線段HM的長度，請解答“愛心”小組提出的問題．【答案】（1）矩形，理由見解析（2）①見解析；②（或者等）（3）【解析】【分析】（1）只需要證明AC與DE互相平分即可證明四邊形AECD是矩形；（2）①只需要證明△MBE≌△NFC得到MB=NF，即可證明；②由△ABC≌△DFE，得到AB=DF，即可證明，；（3）如圖所示，連接AD，由△ABC≌△DFE，得到點D到EF的距離與點A到BC的距離相等，得到，證明△DAM≌△EBM（AAS），得到，設(shè)，則，在Rt△MDH中，由，得到，由此求解即可．【小問1詳解】四邊形AECD是矩形理由如下，，，點G是AC的中點，，，∴，∴AG=CG，DG=EG，∴四邊形AECD是平行四邊形，又AC=DE，四邊形AECD是矩形；【小問2詳解】解：①∵，，，，∴，即BE=FC，∴△MBE≌△NFC（ASA）∴MB=NF，∴HB-MB