第03講三角形的內(nèi)角(7種題型)(原卷版+解析)

第03講三角形的內(nèi)角（7種題型）【知識梳理】三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；②已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關(guān)系．【考點剖析】題型一、三角形的內(nèi)角和定理證明 例1．證明：三角形的內(nèi)角和為180°.題型二：利用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)例2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，試求∠A，∠B和∠C的度數(shù)．【變式1】已知，如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù).例3.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，則∠C的度數(shù)是多少?【變式1】三角形中至少有一個角不小于________度．題型三：直角三角形兩個銳角互余例3．（2023春·湖南婁底·八年級統(tǒng)考階段練習）在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期中）直角三角形的一銳角是，那么另一銳角是（

）A． B． C． D．【變式2】如圖，AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對互余的角？有對相等的銳角？

題型四、利用三角形內(nèi)角和判定三角形的形狀 例4．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，試判斷該三角形的形狀．題型五：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例5．（2023秋·山東濟南·八年級?？计谀┮阎本€，一個含角的直角三角尺如圖疊放在直線上，斜邊交于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式】．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在中，平分交于點，過點作交于點．若，，則______．題型六：三角形折疊中的角度問題例6．（2023秋·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D，將沿著平行于的直線折疊，得到，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式】．（2023秋·山東聊城·八年級?？计谀┤鐖D，把紙片沿折疊，當點A落在四邊形內(nèi)部時，則與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，這個關(guān)系是（

）A． B．C． D．題型七：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例7．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，是高，已知，，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式】．（2023秋·八年級課時練習）如圖，在中，，平分，若，，則的度數(shù)為_____________．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·湖南常德·八年級統(tǒng)考期中）在一個直角三角形中，有一個銳角等于，則另一個銳角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023春·貴州貴陽·八年級?？茧A段練習）在中，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中?？奸_學考試）如圖，在中，是邊上的高，平分交邊于E，，，則的大小是（）A． B． C． D．4．（2023秋·重慶渝北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點，．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）在中，，若，則等于（

）A． B． C． D．6．（2023春·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）將一副直角三角板如圖放置，使含角的三角板的短直角邊和含角的三角板的一條直角邊重合，則的度數(shù)為（

）度．A．60 B．75 C．45 D．307．（2023秋·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，將沿著折疊到所在平面內(nèi)，點A的對應(yīng)點是，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023秋·山東濟南·八年級?？计谀﹥蓚€直角三角板如圖擺放，其中，，，AB與DF交于點M．若，則的大小為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點D、E分別在、上，．若，則________．10．（2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，將沿折疊，點落在形內(nèi)的，則的度數(shù)為___________．11．（2023秋·甘肅定西·八年級?？计谀┤鐖D，中，，點、在、上，沿向內(nèi)折疊，得，則圖中等于_____．12．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，沿折疊，點落在三角形所在的平面內(nèi)的處，若，，則_________．13．（2023秋·河南鄭州·八年級?？计谀┤鐖D所示，將三角形紙片沿折疊，點A落在點P處，已知，則是_________度．14．（2023秋·北京東城·八年級北京市第五中學分校?？计谥校┤鐖D，D，E分別為的邊，上的點，，將沿折疊，使點A落在邊上的點F處．若，則的度數(shù)為________°．三、解答題15．（2023秋·八年級課時練習）如圖，點為的內(nèi)角平分線與的交點，求證：．16．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期中）為的高，相交于H點，，求．17．（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的平分線，高與相交于點．若，．求：(1)的度數(shù)；(2)的度數(shù)．18．（2023春·浙江·八年級專題練習）用反證法證明“三角形三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．”已知：，，是的內(nèi)角．求證：，，中至少有一個內(nèi)角小于或等于．19．（2023秋·貴州貴陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，平分，，求的度數(shù)．20．（2023春·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學?？计谀W習了證明的必要性，張明嘗試證明三角形內(nèi)角和定理，下面是他的部分證明過程．已知：如圖，，求證：．證明：過點A作直線…21．（2023秋·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點E在BC上，EF⊥AB，垂足為F，∠1=∠2．（1）試說明DG∥BC的理由；（2）如果∠B=34°，且∠ACD=47°，求∠3的度數(shù)．22．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在中，于點D，于點G，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．23．（2023秋·八年級單元測試）如圖，是的高，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．第03講三角形的內(nèi)角（7種題型）【知識梳理】三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；②已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關(guān)系．【考點剖析】題型一、三角形的內(nèi)角和定理證明 例1．證明：三角形的內(nèi)角和為180°.【答案與解析】解：已知：如圖，已知△ABC，求證：∠A+∠B+∠C＝180°.證法1：如圖1所示，延長BC到E，作CD∥AB．因為AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠B=∠2（兩直線平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定義），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代換）．證法2：如圖2所示，在BC邊上任取一點D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于點F．因為DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠DEC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．因為DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（兩直線平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代換）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定義），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）．證法3：如圖3所示，過A點任作直線，過B點作∥，過C點作∥，因為∥（已作）．所以∠l=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．同理∠3=∠4．又∥（已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代換）．又∠2+∠3=∠ACB，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代換）．證法4：如圖4，將ΔABC的三個內(nèi)角剪下，拼成以C為頂點的平角.證法5：如圖5－1和圖5－2，在圖5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在圖5－2中過A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，進而將三個內(nèi)角拼成平角.【總結(jié)升華】三角形內(nèi)角和定理的證明方法有很多種，無論哪種證明方法，都是應(yīng)用的平行線的性質(zhì).題型二：利用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)例2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，試求∠A，∠B和∠C的度數(shù)．【思路點撥】題中給出兩個條件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度數(shù)．【答案與解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是利用隱含條件∠A+∠B+∠C＝180°．本題可以設(shè)∠B＝x，則∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【變式1】已知，如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù).【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A設(shè)∠A=x則∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中，BD是AC邊上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°例3.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，則∠C的度數(shù)是多少?【思路點撥】按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論．【答案與解析】解：分兩種情況討論：（1）當△ABC為銳角三角形時，如圖所示，在△ABD中，∵BD是AC邊上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定義)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)當△ABC為鈍角三角形時，如圖所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．綜上，∠C的度數(shù)為60°或30°．【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們在學習過程中應(yīng)該注意的一個重要環(huán)節(jié)．【變式1】三角形中至少有一個角不小于________度．【答案】60題型三：直角三角形兩個銳角互余例3．（2023春·湖南婁底·八年級統(tǒng)考階段練習）在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，則可求解．【詳解】解：，，，故選：B．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確直角三角形的兩個銳角互余．【變式1】（2023春·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期中）直角三角形的一銳角是，那么另一銳角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直角三角形的兩銳角互余可得答案．【詳解】解：直角三角形的一銳角是，那么另一銳角是，故選：C．【點睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，熟記知識點是解本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對互余的角？有對相等的銳角？

【答案】3,2．題型四、利用三角形內(nèi)角和判定三角形的形狀 例4．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，試判斷該三角形的形狀．【思路點撥】由∠A＝∠B＝∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度數(shù)，從而判斷三角形的形狀．【答案與解析】解：設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【總結(jié)升華】本題利用設(shè)未知數(shù)的方法求出三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，解法較為巧妙．題型五：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例5．（2023秋·山東濟南·八年級?？计谀┮阎本€，一個含角的直角三角尺如圖疊放在直線上，斜邊交于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判定∠A=30°，∠ACB=60°，然后根據(jù)平行的性質(zhì)得出∠1=∠ACB.【詳解】∵含角的直角三角尺∴∠A=30°，∠ACB=60°∵∴∠1=∠ACB=60°故選：D.【點睛】此題主要考查直角三角形以及平行的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.【變式】．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在中，平分交于點，過點作交于點．若，，則______．【答案】39°．【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出即可解決問題．【詳解】解：，，，平分，，，，故答案為：39°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．題型六：三角形折疊中的角度問題例6．（2023秋·四川達州·八年級校考期末）如圖，將沿著平行于的直線折疊，得到，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意得，，又∵，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，靈活運用所學知識求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式】．（2023秋·山東聊城·八年級?？计谀┤鐖D，把紙片沿折疊，當點A落在四邊形內(nèi)部時，則與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，這個關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義先得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，由此即可得到結(jié)論．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，∴，由三角形內(nèi)角和定理可知，∴，∴，∴故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．題型七：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例7．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，是高，已知，，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解的大小，再利用角平分線的定義可求解的度數(shù)，由三角形的高線可得，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解的度數(shù)，進而可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的高線的含義，求解，的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2023秋·八年級課時練習）如圖，在中，，平分，若，，則的度數(shù)為_____________．【答案】/度【分析】先利用角平分線的定義求得，在利用直角三角形的兩銳角互余求得，最后在中利用三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：∵平分，，，∴，∵，AD⊥BC，∴，∴在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握定義和定理是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·湖南常德·八年級統(tǒng)考期中）在一個直角三角形中，有一個銳角等于，則另一個銳角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形中兩銳角互余可直接求得．【詳解】解：一個直角三角形中，有一個銳角等于，則另一個銳角的度數(shù)是，故選D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·貴州貴陽·八年級校考階段練習）在中，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和可得結(jié)果．【詳解】解：．故選：C．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中校考開學考試）如圖，在中，是邊上的高，平分交邊于E，，，則的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)計算即可得解．【詳解】解：平分，，是邊上的高，，．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·重慶渝北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點，．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義，直角三角形的兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的兩個銳角互余，求得是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）在中，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求出結(jié)果．【詳解】解：在中，，，，，故選：D．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）將一副直角三角板如圖放置，使含角的三角板的短直角邊和含角的三角板的一條直角邊重合，則的度數(shù)為（

）度．A．60 B．75 C．45 D．30【答案】B【分析】利用三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等即可求解．【詳解】解：由題意得，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，將沿著折疊到所在平面內(nèi)，點A的對應(yīng)點是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)折疊求出和的補角，再求即可．【詳解】∵將沿著折疊到所在平面內(nèi)，點A的對應(yīng)點是，∴的補角為，的補角為，∵，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·山東濟南·八年級校考期末）兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，AB與DF交于點M．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】由圖可得∵，∴∴故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點D、E分別在、上，．若，則________．【答案】100【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A=80°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出，即可．【詳解】解：∵，∴∠A=180°-40°-60°=80°，∵，∴180°-80°=100°．故答案是100．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，將沿折疊，點落在形內(nèi)的，則的度數(shù)為___________．【答案】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進而得出的度數(shù)，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出的度數(shù)，最后由四邊形的內(nèi)角和為即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，由折疊而成，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和折疊問題，熟知三角形內(nèi)角和是，折疊前后對應(yīng)的角相等是解答此題的關(guān)鍵．11．（2023秋·甘肅定西·八年級校考期末）如圖，中，，點、在、上，沿向內(nèi)折疊，得，則圖中等于_____．【答案】/120度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后根據(jù)平角等于解答．【詳解】解：，，沿向內(nèi)折疊，得，，．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，沿折疊，點落在三角形所在的平面內(nèi)的處，若，，則_________．【答案】/度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵沿折疊，點落在三角形所在的平面內(nèi)的處，∴，，∵，∴，∴∴∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊問題中的三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·河南鄭州·八年級校考期末）如圖所示，將三角形紙片沿折疊，點A落在點P處，已知，則是_________度．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，利用平角是，求出與的和，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：將紙片沿折疊，點落在點處，，，，，又，，．故答案是：．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），解題的關(guān)鍵是挖掘出隱含于題中的已知條件：三角形內(nèi)角和是、平角的度數(shù)也是．14．（2023秋·北京東城·八年級北京市第五中學分校?？计谥校┤鐖D，D，E分別為的邊，上的點，，將沿折疊，使點A落在邊上的點F處．若，則的度數(shù)為________°．【答案】【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，再根據(jù)平角的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，熟練掌握和運用各圖形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2023秋·八年級課時練習）如圖，點為的內(nèi)角平分線與的交點，求證：．【答案】見解析【分析】由角平分線的定義求得，，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可證明．【詳解】證明：、是角平分線，，，，，又，．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期中）為的高，相交于H點，，求．【答案】【分析】根據(jù)同角的余角相等求出，從而得解．【詳解】解：∵是的高，∴，∵是的高，∴，∴，∵，∴．.【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的平分線，高與相交于點．若，．求：(1)的度數(shù)；(2)的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．（2）利用角平分線求出度數(shù)，在根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)，利用對頂角相等可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，是的平分線，，高與相交于點，，，，（對頂角相等），.【點睛】本題主要考查的知識點有三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義和對頂角相等，解題過程中是否能熟練運用定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·浙江·八年級專題練習）用反證法證明“三角形三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．”已知：，，是的內(nèi)角．求證：，，中至少有一個內(nèi)角小于或等于．【答案】見解析【分析】根據(jù)反證法證明方法，先假設(shè)結(jié)論不成立，然后得到與定理矛盾，從而證得原結(jié)論成立．【詳解】證明：假設(shè)求證的結(jié)論不成立，那么三角形中所有角都大于，，這與三角形的三內(nèi)角和為相矛盾．假設(shè)不成立，三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于度．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．19．（2023秋·貴州貴陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，平分，，求的度數(shù)．【答案】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線的定義推出，進而利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學?？计谀W習了證明的必要性，張明嘗試證明三角形內(nèi)角和定理，下面是他的部分證明過程．已知：如圖，，求證：．證明：過點A作直線…【答案】見解析【分析】過點A作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得，，再根據(jù)平角的性質(zhì)，即可證得．【詳解】證明：如圖：過點A作直