第01講一元二次方程(3大考點(diǎn)7種解題方法)(原卷版+解析)

第01講一元二次方程（3大考點(diǎn)7種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．四．解一元二次方程-直接開(kāi)平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方．五．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．六．解一元二次方程-公式法（1）把x=?b±b2?4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．八．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．九．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過(guò)來(lái)可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝，反過(guò)來(lái)也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿(mǎn)足的條件，確定字母的取值．這類(lèi)問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．十．由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問(wèn)題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問(wèn)題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．十一．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)問(wèn)題：（1）數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來(lái)數(shù)．（3）形積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線(xiàn)或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線(xiàn)與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問(wèn)題．6．答：寫(xiě)出答案．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一元二次方程的定義1.（2020秋?奈曼旗月考）關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)，是一元一次方程；當(dāng)時(shí)，是一元二次方程．一元二次方程的一般形式2.（2020秋?環(huán)江縣期中）已知一元二次方程，則它的二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為．3.（2020秋?揭西縣月考）若關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有一次項(xiàng)，則．一元二次方程的解4.（2021春?余姚市校級(jí)期中）若是關(guān)于的方程的解，則代數(shù)式的值是．5.（2021?汝陽(yáng)縣一模）已知實(shí)數(shù)是一元二次方程的根，求代數(shù)式的值為．解一元二次方程-直接開(kāi)平方、配方法6.（2021?南充一模）方程的解是A． B． C．， D．，7.（2020秋?環(huán)江縣期末）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．8.（2021?岳陽(yáng)二模）方程的根是．9.（2021?麗水）用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是A． B． C． D．10.（2020秋?耒陽(yáng)市期末）一元二次方程經(jīng)過(guò)配方后可變形為A． B． C． D．解一元二次方程-公式法11.（2020秋?鹽城期末）用公式法解一元二次方程時(shí)，化方程為一般式，當(dāng)中的，，依次為A．3，，8 B．3，， C．3，4， D．3，4，812.（2020秋?溆浦縣期末）是下列哪個(gè)一元二次方程的根A． B． C． D．13.（2021春?招遠(yuǎn)市期中）按要求解下列方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．解一元二次方程-因式分解法14.（2021?新疆）一元二次方程的解為A．， B．， C．， D．，15.（2021?天津模擬）一元二次方程的解是A． B．， C．， D．，由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程和一元二次方程的應(yīng)用16.（2021?河西區(qū)二模）要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式，每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)，計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)隊(duì)參賽，則滿(mǎn)足的關(guān)系式為A． B． C． D．17.（2021?香坊區(qū)二模）某中學(xué)初四學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都給其他同學(xué)寫(xiě)了一份畢業(yè)留言，全班共寫(xiě)了紀(jì)念留言1640份，則全班共有學(xué)生名．A．39 B．40 C．41 D．4218.（2021?越秀區(qū)校級(jí)模擬）目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2019年底有用戶(hù)2萬(wàn)戶(hù)，計(jì)劃到2021年底全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬(wàn)戶(hù)，設(shè)全市用戶(hù)數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程是A． B． C． D．19.（2021?安徽三模）根據(jù)安徽省統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，某市2020年一季度規(guī)上工業(yè)增加值與2019年一季度同期相比下降了，2021年一季度規(guī)上工業(yè)增加值與2020年一季度同期相比增長(zhǎng)了，則這兩年平均增長(zhǎng)率是A． B． C． D．20.（2021?萊蕪區(qū)二模）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的矩形場(chǎng)地上修建三條同樣寬的小路，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種草．若草坪部分的總面積為，則小路的寬度為．21.（2021?歷下區(qū)二模）如圖是一塊矩形鐵皮，將四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為2米的正方形后剩下的部分做成一個(gè)容積為96立方米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體箱子，已知長(zhǎng)方體箱子底面的長(zhǎng)比寬多2米，則矩形鐵皮的面積為平方米．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·云南）2021年5月11日我國(guó)第七次人口普查數(shù)據(jù)出爐，與第五次、第六次人口普查數(shù)據(jù)相比較，我國(guó)人口總量持續(xù)增長(zhǎng)．第五次人口普查全國(guó)總?cè)丝诩s12.95億，第七次人口普查全國(guó)總?cè)丝诩s14.11億，設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝谄骄鲩L(zhǎng)率為，則可列方程為（）A． B．C． D．2．（2021·貴州中考真題）在解一元二次方程x2+px+q＝0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q，得到方程的兩個(gè)根是﹣3，1．小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)P，得到方程的兩個(gè)根是5，﹣4，則原來(lái)的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝03．（2021·江蘇）對(duì)于方程，下列敘述正確的是（）A．不論c為何值，方程均有實(shí)數(shù)根B．方程的根是C．當(dāng)時(shí)，方程可化為或D．當(dāng)時(shí)，4．（2020·珠海市九洲中學(xué)九年級(jí)月考）已知：畢業(yè)典禮后，小芳學(xué)習(xí)小組內(nèi)部的名同學(xué)，每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都互相交換了禮物，她們一共買(mǎi)了份禮物．根據(jù)以上條件可以列出以下哪個(gè)方程（）A． B．C． D．5．（2021·河北九年級(jí)期中）下列結(jié)論中，正確的是（）．①，∴，∴，；②，∴兩邊同除以，得；③關(guān)于的一元二次方程一定存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④元旦期間有名學(xué)生互贈(zèng)賀卡，共贈(zèng)賀卡30張，可列方程：A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④二、填空題6．（2021·全國(guó)九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）下面三個(gè)方程：x2＋2x－4＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x＝56，它們有什么共同點(diǎn)？特點(diǎn)：（1）都是_________方程；（2）只含有______個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是______．7．（2021·全國(guó)九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的_____，一元二次方程的解叫做一元二次方程的_______．8．（2021·江蘇九年級(jí)一模）據(jù)美國(guó)約翰斯?霍普金斯大學(xué)發(fā)布的全球新冠肺炎數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)，截至美國(guó)東部時(shí)間3月28日晚6時(shí)，全美共報(bào)告新冠肺炎確診人數(shù)超過(guò)3025萬(wàn)，死亡超過(guò)54.9萬(wàn)，已知有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有144人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均每人傳染了_____人．9．（2021·山東）由于手機(jī)市場(chǎng)的迅速成長(zhǎng)，某品牌的手機(jī)為了贏得消費(fèi)者，在一年之內(nèi)連續(xù)兩次降價(jià)，從5980元降到4698元，如果每次降低的百分率相同，求每次降低的百分率是多少？設(shè)這個(gè)降低百分率為，則根據(jù)題意，可列方程：____________．10．（2021·全國(guó)九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）觀察下面兩個(gè)方程，說(shuō)出這兩個(gè)方程的相同與不同之處：（1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200相同之處：兩邊都是整式，都只含有____個(gè)未知數(shù)．不同之處：方程（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是_____次，方程（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是____次．11．（2021·浙江中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足，求代數(shù)式的值．結(jié)合他們的對(duì)話(huà)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，a的值是__________．（2）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是__________．12．（2020·山東九年級(jí)期末）在一條直線(xiàn)上，按如圖所示的規(guī)律放置若干●與〇，組成圖案：●〇●●〇●●●〇●●●●〇…，當(dāng)圖案恰好以〇收尾，且圖案中●的個(gè)數(shù)是2278時(shí)，則該圖案中●與〇的個(gè)數(shù)之和是_______．13．（2021·浙江）商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷(xiāo)售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷(xiāo)售限價(jià)a，最高銷(xiāo)售限價(jià)以及常數(shù)確定實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)格為，這里的k被稱(chēng)為樂(lè)觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)k恰好使得，據(jù)此可得，最佳樂(lè)觀系數(shù)k的值等于____．三、解答題14．（2021·福建莆田二中九年級(jí)期末）為抗擊新型肺炎疫情，某服裝廠及時(shí)引進(jìn)了一條口罩生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)口罩，開(kāi)工第一天生產(chǎn)10萬(wàn)件，第三天生產(chǎn)14.4萬(wàn)件，若每天增長(zhǎng)的百分率相同．求每天增長(zhǎng)的百分率．15．（2021·遼寧鞍山市·九年級(jí)期中）在疫情影響下，口罩的需求量猛增，某口罩廠從2020年1月口罩生產(chǎn)數(shù)量2萬(wàn)個(gè)增長(zhǎng)到2020年3月口罩生產(chǎn)數(shù)量2.88萬(wàn)個(gè)．（1）求該口罩廠這兩個(gè)月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率？（2）按照這樣的月平均增長(zhǎng)速度，4月份的口罩生產(chǎn)數(shù)量能達(dá)到多少萬(wàn)個(gè)？16．（2021·江蘇）如果下列圖形由相同的小正方形組成，觀察圖形的變化，回答下列問(wèn)題：（1）第6個(gè)圖形有________個(gè)小正方形；第個(gè)圖形有________個(gè)小正方形；（2）若第個(gè)圖形有576個(gè)小正方形，求的值．17．（2021·湖北九年級(jí)期末）黨的十九大報(bào)告提出綠水青山就是金山銀山，建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計(jì)，植樹(shù)造林是實(shí)現(xiàn)天藍(lán)、地綠、水凈的重要途徑．為了保護(hù)生態(tài)環(huán)境，某集團(tuán)每年都購(gòu)進(jìn)大量的樹(shù)苗進(jìn)行種植．（1）若該集團(tuán)宜昌分公司今年種植黃桷樹(shù)和香樟樹(shù)共500棵，其中黃桷樹(shù)的數(shù)量比香樟樹(shù)的數(shù)量的6倍少25棵，求該集團(tuán)宜昌分公司今年種植香樟樹(shù)多少棵？（2）每年3月份，該集團(tuán)都會(huì)進(jìn)行植樹(shù)活動(dòng)，后勤部都會(huì)購(gòu)進(jìn)大量的樹(shù)苗，去年后勤部購(gòu)進(jìn)黃桷樹(shù)苗1000棵，單價(jià)為3元棵；購(gòu)進(jìn)香樟樹(shù)苗2000棵，單價(jià)為2元棵．今年黃桷樹(shù)苗的購(gòu)進(jìn)量比去年減少了，單價(jià)不變，香樟樹(shù)苗的購(gòu)進(jìn)量比去年增加了，單價(jià)減少了．若后勤部去年和今年購(gòu)進(jìn)樹(shù)苗的總費(fèi)用相同，求的值．18．（2021·湖北九年級(jí)一模）背景知識(shí)城鎮(zhèn)化是指農(nóng)村人口轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口的過(guò)程，城鎮(zhèn)化率是指一個(gè)地區(qū)城鎮(zhèn)人口數(shù)占該地區(qū)人口總數(shù)的比例．問(wèn)題解決：截止2016年底，某市人口總數(shù)約為400萬(wàn)人，城鎮(zhèn)化率為；到2020年底，該市總?cè)丝谠黾恿?0萬(wàn)人，城鎮(zhèn)人口增加了28萬(wàn)人，城鎮(zhèn)化率達(dá)到．（1）求2016年該市的城鎮(zhèn)化率；（2）2016年，該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為萬(wàn)元，農(nóng)村居民人均可支配收入比城鎮(zhèn)居民人均可支配收入少萬(wàn)元；2020年，該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，農(nóng)村居民人均可支配收入比2016年增長(zhǎng)的百分率為n．這樣，2020年全市居民人均可支配收入達(dá)到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．①用含，的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；②求的值．19．（2021·重慶九年級(jí)期中）跳繩一直是盛堡初中的特色項(xiàng)目，為保障同學(xué)們訓(xùn)練需求，學(xué)校后勤部門(mén)每年都要采購(gòu)一定數(shù)量的長(zhǎng)繩和彩繩．已知2020年采購(gòu)的長(zhǎng)繩價(jià)格為120元/根，彩繩價(jià)格為40元/根，所采購(gòu)的彩繩數(shù)量比長(zhǎng)繩多5根，共用資金3400元．（1）求2020年采購(gòu)的長(zhǎng)繩和彩繩分別是多少根？（2）與2020年相比，2021年長(zhǎng)繩的價(jià)格上漲了a%，彩繩的價(jià)格下降了5%，但采購(gòu)的長(zhǎng)繩的數(shù)量減少了，彩繩的數(shù)量增加了10根，且2021年學(xué)校采購(gòu)長(zhǎng)繩和彩繩的總支出費(fèi)用為3310元，求a的值．20．（2021·四川）商場(chǎng)以每件200元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，以單價(jià)300元銷(xiāo)售．預(yù)計(jì)每月可售出250件，該商場(chǎng)為盡可能減少庫(kù)存，決定降價(jià)銷(xiāo)售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商品單價(jià)每降低5元，可多售出25件，但最低售價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格；若該商場(chǎng)希望該商品每月獲利28000元，則銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？每月可銷(xiāo)售多少件？21．（2021·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)月考）為促銷(xiāo)新疆棉花，人們眾志成城，響應(yīng)號(hào)召，棉花是生活生產(chǎn)必需品．現(xiàn)有某生產(chǎn)商銷(xiāo)售珍珠棉和長(zhǎng)絨棉．（1）計(jì)劃珍珠棉每斤售價(jià)比長(zhǎng)絨棉貴16元，14斤長(zhǎng)絨棉和6斤珍珠棉的總售價(jià)相同，求長(zhǎng)絨棉和珍珠棉的每斤售價(jià)；（2）已知長(zhǎng)絨棉每斤進(jìn)價(jià)8元，按（1）中售價(jià)銷(xiāo)售一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)絨棉的日均銷(xiāo)售量為120斤，當(dāng)每斤售價(jià)降價(jià)1元時(shí)，日均銷(xiāo)售量增加20斤．該生產(chǎn)商秉承讓利于民的原則，對(duì)長(zhǎng)絨棉進(jìn)行降價(jià)銷(xiāo)售，但要保證當(dāng)天長(zhǎng)絨棉的利潤(rùn)為320元，求此時(shí)長(zhǎng)絨棉每斤售價(jià)．22．（2021·蘇州市立達(dá)中學(xué)校九年級(jí)二模）上午8點(diǎn)，某臺(tái)風(fēng)中心在A島正南方向處由南向北勻速移動(dòng)，同時(shí)在A島正西方向處有一艘補(bǔ)給船向A島勻速駛來(lái)，補(bǔ)給完后改變速度立即向A島正北方向的C港勻速駛?cè)?，如圖所示是臺(tái)風(fēng)中心、補(bǔ)給船與A島的距離S和時(shí)間t的圖象．已知臺(tái)風(fēng)影響的半徑是（包含邊界），請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：（1）臺(tái)風(fēng)的速度是_________，補(bǔ)給船在到達(dá)A島前的速度是_________，圖中點(diǎn)P的實(shí)際意義是_______________；（2）從幾點(diǎn)開(kāi)始，補(bǔ)給船將受到臺(tái)風(fēng)的影響？（3）設(shè)補(bǔ)給船駛出A島到駛到C港之前受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為a小時(shí)，出于安全考慮，補(bǔ)給船速度不超過(guò)、．求出圖中補(bǔ)給船航行時(shí)間m的正整數(shù)值及此時(shí)補(bǔ)給船在駛?cè)隒港之前受臺(tái)風(fēng)影響的總時(shí)間．23．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學(xué)附中九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）葡萄不僅味美可口，營(yíng)養(yǎng)價(jià)值很高，而且用途廣泛，堪稱(chēng)“果中珍品”，它既可鮮食又可加工成各種產(chǎn)品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．當(dāng)下正值食用葡萄的好時(shí)節(jié)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研顧客最喜歡“黑珍珠”、“仙粉黛”兩個(gè)品種，某商店老板看準(zhǔn)商機(jī)，決定購(gòu)進(jìn)這兩種葡萄銷(xiāo)售，商店原計(jì)劃在6月購(gòu)進(jìn)“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的質(zhì)量至少是“黑珍珠”質(zhì)量的3倍．（1）那么原計(jì)劃今年6月至少購(gòu)進(jìn)“仙粉黛”多少千克？（2）今年6月商店按照原計(jì)劃購(gòu)進(jìn)并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄，且“仙粉黛”的質(zhì)量恰好是原計(jì)劃的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”與“仙粉黛”的質(zhì)量比為1∶3購(gòu)進(jìn)兩種葡萄一共160千克，按照單價(jià)4∶3售出，共得銷(xiāo)售額1040元．通過(guò)7月對(duì)市場(chǎng)的觀察，商店老板決定增加兩種葡萄的進(jìn)貨量，同時(shí)降價(jià)促銷(xiāo)；8月商店購(gòu)進(jìn)“黑珍珠”、“仙粉黛”的質(zhì)量在6月的基礎(chǔ)上分別增加了，同時(shí)為了盡快全部售出，每千克售價(jià)在今年7月份的基礎(chǔ)上分別降價(jià)（降價(jià)幅度不超過(guò)50%），最終8月的銷(xiāo)售額比7月的銷(xiāo)售額增加了535元．求的值．第01講一元二次方程（3大考點(diǎn)7種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．四．解一元二次方程-直接開(kāi)平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方．五．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．六．解一元二次方程-公式法（1）把x=?b±b2?4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．八．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．九．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過(guò)來(lái)可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝，反過(guò)來(lái)也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿(mǎn)足的條件，確定字母的取值．這類(lèi)問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．十．由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問(wèn)題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問(wèn)題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．十一．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)問(wèn)題：（1）數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來(lái)數(shù)．（3）形積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線(xiàn)或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線(xiàn)與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問(wèn)題．6．答：寫(xiě)出答案．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一元二次方程的定義1.（2020秋?奈曼旗月考）關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)，是一元一次方程；當(dāng)時(shí)，是一元二次方程．【分析】利用一元二次方程和一元一次方程定義進(jìn)行解答．【解答】解：由題意得：，且，解得：，由題意得：，解得：，故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程定義和一元一次方程定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程和一元一次方程定義．一元二次方程的一般形式2.（2020秋?環(huán)江縣期中）已知一元二次方程，則它的二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為．【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且特別要注意的條件，其中，，分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，可得答案．【解答】解：一元二次方程化成一般式為，二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)分別為4，，，故答案是：4，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，是常數(shù)項(xiàng)．其中，，分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．3.（2020秋?揭西縣月考）若關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有一次項(xiàng)，則．【分析】根據(jù)沒(méi)有一次項(xiàng)可得，且再解即可．【解答】解：由題意得：，且，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的一般形式為一元二次方程的解4.（2021春?余姚市校級(jí)期中）若是關(guān)于的方程的解，則代數(shù)式的值是．【分析】先由方程的解的含義，得出，變形得，再將要求的代數(shù)式變形，然后將代入，計(jì)算即可．【解答】解：是關(guān)于的方程的解，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用一元二次方程的解的含義在代數(shù)式求值中的應(yīng)用，明確一元二次方程的解的含義并將要求的代數(shù)式正確變形是解題的關(guān)鍵．5.（2021?汝陽(yáng)縣一模）已知實(shí)數(shù)是一元二次方程的根，求代數(shù)式的值為．【分析】利用方程解的定義得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．【解答】解：是方程根，，，原式．故答案是：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．解一元二次方程-直接開(kāi)平方、配方法6.（2021?南充一模）方程的解是A． B． C．， D．，【分析】利用直接開(kāi)平方法求解即可．【解答】解：，或，解得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．7.（2020秋?環(huán)江縣期末）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)直接開(kāi)平方法求解可得．【解答】解：，，由知，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．8.（2021?岳陽(yáng)二模）方程的根是．【分析】先求4的平方根，然后解關(guān)于的一元一次方程．【解答】解：由原方程，得．解得．故答案是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程直接開(kāi)平方法．用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類(lèi)型有：；，同號(hào)且；；，同號(hào)且．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．9.（2021?麗水）用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是A． B． C． D．【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：方程，整理得：，配方得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．10.（2020秋?耒陽(yáng)市期末）一元二次方程經(jīng)過(guò)配方后可變形為A． B． C． D．【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得．【解答】解：，，則，即，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．解一元二次方程-公式法11.（2020秋?鹽城期末）用公式法解一元二次方程時(shí)，化方程為一般式，當(dāng)中的，，依次為A．3，，8 B．3，， C．3，4， D．3，4，8【分析】整理為一般式即可得出答案．【解答】解：，，則，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．12.（2020秋?溆浦縣期末）是下列哪個(gè)一元二次方程的根A． B． C． D．【分析】根據(jù)求根公式逐一列出每個(gè)方程根的算式即可得出答案．【解答】解：．此方程的解為，不符合題意；．此方程的解為，不符合題意；．此方程的解為，符合題意；．此方程的解為，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．13.（2021春?招遠(yuǎn)市期中）按要求解下列方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．【分析】（1）方程配方后，開(kāi)方即可求出解；（2）找出，，的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：（1），，即，則，，；（2），，，△，則，即，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程配方法與公式法，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．解一元二次方程-因式分解法14.（2021?新疆）一元二次方程的解為A．， B．， C．， D．，【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：，，則或，解得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．15.（2021?天津模擬）一元二次方程的解是A． B．， C．， D．，【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：，，則，或，解得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程和一元二次方程的應(yīng)用16.（2021?河西區(qū)二模）要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式，每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)，計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)隊(duì)參賽，則滿(mǎn)足的關(guān)系式為A． B． C． D．【分析】設(shè)邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參加比賽，那么第一個(gè)球隊(duì)和其他球隊(duì)打場(chǎng)球，第二個(gè)球隊(duì)和其他球隊(duì)打場(chǎng)，以此類(lèi)推可以知道共打場(chǎng)球，然后根據(jù)計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽即可列出方程求解．【解答】解：設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，此題和實(shí)際生活結(jié)合比較緊密，準(zhǔn)確找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，從而根據(jù)等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17.（2021?香坊區(qū)二模）某中學(xué)初四學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都給其他同學(xué)寫(xiě)了一份畢業(yè)留言，全班共寫(xiě)了紀(jì)念留言1640份，則全班共有學(xué)生名．A．39 B．40 C．41 D．42【分析】設(shè)全班共有學(xué)生名，則每名學(xué)生需寫(xiě)份畢業(yè)留言，根據(jù)全班共寫(xiě)了紀(jì)念留言1640份，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)全班共有學(xué)生名，則每名學(xué)生需寫(xiě)份畢業(yè)留言，依題意得：，解得：，（不合題意，舍去）．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．18.（2021?越秀區(qū)校級(jí)模擬）目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2019年底有用戶(hù)2萬(wàn)戶(hù)，計(jì)劃到2021年底全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬(wàn)戶(hù)，設(shè)全市用戶(hù)數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程是A． B． C． D．【分析】設(shè)全市用戶(hù)數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，則2020年底有用戶(hù)萬(wàn)戶(hù)，2021年底有用戶(hù)萬(wàn)戶(hù)，根據(jù)到2021年底全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬(wàn)戶(hù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)全市用戶(hù)數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，則2020年底有用戶(hù)萬(wàn)戶(hù)，2021年底有用戶(hù)萬(wàn)戶(hù)，依題意得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19.（2021?安徽三模）根據(jù)安徽省統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，某市2020年一季度規(guī)上工業(yè)增加值與2019年一季度同期相比下降了，2021年一季度規(guī)上工業(yè)增加值與2020年一季度同期相比增長(zhǎng)了，則這兩年平均增長(zhǎng)率是A． B． C． D．【分析】設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率是，由題意可列出一元二次方程，解方程可得出答案．【解答】解：設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率是，由題意可得，，解得：或（舍去）．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，若設(shè)變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為．20.（2021?萊蕪區(qū)二模）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的矩形場(chǎng)地上修建三條同樣寬的小路，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種草．若草坪部分的總面積為，則小路的寬度為2．【分析】此題是典型的“平移”方法，將三條道路平移到場(chǎng)地的邊上，形成整體的草坪．再設(shè)修建的路寬應(yīng)為米，根據(jù)題意可知：新草坪的仍然是矩形，這樣草坪面積可以建立，解方程即可．【解答】解：如圖，設(shè)修建的小路寬應(yīng)為米，則新的草坪面積等于矩形的面積，即得到方程：，整理得：，解得或．但不合題意，舍去，所以修建的小路寬應(yīng)為2米．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了幾何圖形的平移，用“平移”的方法，將分散的圖形拼成一個(gè)“整體”，再建立幾何圖形面積，得到方程，方程的解注意需要檢驗(yàn)．21.（2021?歷下區(qū)二模）如圖是一塊矩形鐵皮，將四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為2米的正方形后剩下的部分做成一個(gè)容積為96立方米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體箱子，已知長(zhǎng)方體箱子底面的長(zhǎng)比寬多2米，則矩形鐵皮的面積為120平方米．【分析】設(shè)矩形鐵皮的寬為米，則長(zhǎng)為米，根據(jù)做成無(wú)蓋長(zhǎng)方體箱子的容積為96立方米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值，再利用矩形的面積計(jì)算公式，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)矩形鐵皮的寬為米，則長(zhǎng)為米，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），，（平方米）．故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·云南）2021年5月11日我國(guó)第七次人口普查數(shù)據(jù)出爐，與第五次、第六次人口普查數(shù)據(jù)相比較，我國(guó)人口總量持續(xù)增長(zhǎng)．第五次人口普查全國(guó)總?cè)丝诩s12.95億，第七次人口普查全國(guó)總?cè)丝诩s14.11億，設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝谄骄鲩L(zhǎng)率為，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，第五次人口總數(shù)約是12.95億，由于兩次的增長(zhǎng)率為，可列出一元二次方程．【詳解】解：設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝谄骄鲩L(zhǎng)率為，根據(jù)題意得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用—增長(zhǎng)率問(wèn)題，關(guān)鍵在于弄清題意，列出方程．2．（2021·貴州中考真題）在解一元二次方程x2+px+q＝0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q，得到方程的兩個(gè)根是﹣3，1．小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)P，得到方程的兩個(gè)根是5，﹣4，則原來(lái)的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分別按照看錯(cuò)的情況構(gòu)建出一元二次方程，再舍去錯(cuò)誤信息，從而可得正確答案.【詳解】解：小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q，得到方程的兩個(gè)根是﹣3，1，所以此時(shí)方程為：即：小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)P，得到方程的兩個(gè)根是5，﹣4，所以此時(shí)方程為：即：從而正確的方程是：故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)一元二次方程的根構(gòu)建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根構(gòu)建方程的方法是解題的關(guān)鍵.3．（2021·江蘇）對(duì)于方程，下列敘述正確的是（）A．不論c為何值，方程均有實(shí)數(shù)根B．方程的根是C．當(dāng)時(shí)，方程可化為或D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】根據(jù)題意，需要對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，分別求出每一種情況的答案，即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，則，解得，；當(dāng)時(shí)，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程．熟練掌握解一元二次方程的方法是解答此題的關(guān)鍵．4．（2020·珠海市九洲中學(xué)九年級(jí)月考）已知：畢業(yè)典禮后，小芳學(xué)習(xí)小組內(nèi)部的名同學(xué)，每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都互相交換了禮物，她們一共買(mǎi)了份禮物．根據(jù)以上條件可以列出以下哪個(gè)方程（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)每?jī)擅瑢W(xué)之間交換禮物一個(gè)，則m人共贈(zèng)賀卡m（m-1）張，列方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得m（m-1）=20，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．5．（2021·河北九年級(jí)期中）下列結(jié)論中，正確的是（）．①，∴，∴，；②，∴兩邊同除以，得；③關(guān)于的一元二次方程一定存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④元旦期間有名學(xué)生互贈(zèng)賀卡，共贈(zèng)賀卡30張，可列方程：A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④【答案】B【分析】①②方程求出解，即可判斷；③利用根的判別式進(jìn)行判斷；④根據(jù)每人要贈(zèng)送（x-1）張賀卡，有x個(gè)人，可得方程．【詳解】解：①，提取公因式得：，∴，，故正確；②方程整理得：x2-x=0，即x（x-1）=0，解得：x1=0，x2=1，故錯(cuò)誤；③在中，，∴一定存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故正確；④元旦期間有名學(xué)生互贈(zèng)賀卡，共贈(zèng)賀卡30張，可列方程：，故正確；故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，根的判別式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題6．（2021·全國(guó)九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）下面三個(gè)方程：x2＋2x－4＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x＝56，它們有什么共同點(diǎn)？特點(diǎn)：（1）都是_________方程；（2）只含有______個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是______．【答案】整式一27．（2021·全國(guó)九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的_____，一元二次方程的解叫做一元二次方程的_______．【答案】解根8．（2021·江蘇九年級(jí)一模）據(jù)美國(guó)約翰斯?霍普金斯大學(xué)發(fā)布的全球新冠肺炎數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)，截至美國(guó)東部時(shí)間3月28日晚6時(shí)，全美共報(bào)告新冠肺炎確診人數(shù)超過(guò)3025萬(wàn)，死亡超過(guò)54.9萬(wàn)，已知有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有144人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均每人傳染了_____人．【答案】11【分析】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，然后由題意可得，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），∴每輪傳染中平均每人傳染了11人；故答案為11．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．（2021·山東）由于手機(jī)市場(chǎng)的迅速成長(zhǎng)，某品牌的手機(jī)為了贏得消費(fèi)者，在一年之內(nèi)連續(xù)兩次降價(jià)，從5980元降到4698元，如果每次降低的百分率相同，求每次降低的百分率是多少？設(shè)這個(gè)降低百分率為，則根據(jù)題意，可列方程：____________．【答案】5980（1－）2＝4698【分析】根據(jù)原售價(jià)×(1-降低率）2=降低后的售價(jià)，然后列出方程求解即可．【詳解】解：由題意可得：5980（1－x）2＝4698，故答案為：5980（1－x）2＝4698．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)原售價(jià)×(1-降低率)2=降低后的售價(jià)列出方程．10．（2021·全國(guó)九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）觀察下面兩個(gè)方程，說(shuō)出這兩個(gè)方程的相同與不同之處：（1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200相同之處：兩邊都是整式，都只含有____個(gè)未知數(shù)．不同之處：方程（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是_____次，方程（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是____次．【答案】11211．（2021·浙江中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足，求代數(shù)式的值．結(jié)合他們的對(duì)話(huà)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，a的值是__________．（2）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是__________．【答案】或17【分析】（1）將代入解方程求出，的值，再代入進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）當(dāng)時(shí)，求出，再把通分變形，最后進(jìn)行整體代入求值即可．【詳解】解：已知，實(shí)數(shù)，同時(shí)滿(mǎn)足①，②，①-②得，∴∴或①+②得，（1）當(dāng)時(shí)，將代入得，解得，，∴，把代入得，3=3，成立；把代入得，0=0，成立；∴當(dāng)時(shí)，a的值是1或-2故答案為：1或-2；（2）當(dāng)時(shí)，則，即∵∴∴∴∴故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵．12．（2020·山東九年級(jí)期末）在一條直線(xiàn)上，按如圖所示的規(guī)律放置若干●與〇，組成圖案：●〇●●〇●●●〇●●●●〇…，當(dāng)圖案恰好以〇收尾，且圖案中●的個(gè)數(shù)是2278時(shí)，則該圖案中●與〇的個(gè)數(shù)之和是_______．【答案】2345【分析】該圖案中有x個(gè)〇，則有個(gè)●，根據(jù)題意列出方程即可求出x，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)該圖案中有x個(gè)〇，則有1+2+3+?+x=個(gè)●，依題意得，=2278，整理得，x2+x-4556=0，解得，x1=-68（舍去），x2=67，∴該圖案中●與〇的個(gè)數(shù)之和是：67+2278=2345，故答案為：2345．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形變化的規(guī)律，根據(jù)題意列出關(guān)于圖案中●的個(gè)數(shù)的方程式解題的關(guān)鍵．13．（2021·浙江）商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷(xiāo)售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷(xiāo)售限價(jià)a，最高銷(xiāo)售限價(jià)以及常數(shù)確定實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)格為，這里的k被稱(chēng)為樂(lè)觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)k恰好使得，據(jù)此可得，最佳樂(lè)觀系數(shù)k的值等于____．【答案】【分析】由，得：，再根據(jù)，可得，在列方程，解方程可得答案．【詳解】解：由，得：即：∴∵∴∴解得：，∵∴不合題意∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等式的變形，一元二次方程的解法等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，變形為，從而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程．三、解答題14．（2021·福建莆田二中九年級(jí)期末）為抗擊新型肺炎疫情，某服裝廠及時(shí)引進(jìn)了一條口罩生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)口罩，開(kāi)工第一天生產(chǎn)10萬(wàn)件，第三天生產(chǎn)14.4萬(wàn)件，若每天增長(zhǎng)的百分率相同．求每天增長(zhǎng)的百分率．【答案】20%．【分析】設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率x，根據(jù)第一天和第三天的生產(chǎn)數(shù)量，結(jié)合每天的增長(zhǎng)率相同列出方程求解即可得到答案.【詳解】解：設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率x，由題意可得：10（1+x）2=14.4，（1+x）2=1.441+x=±1.2解得：x=0.2或x=-2.2（舍去）∴每天增長(zhǎng)的百分率為20%答：每天增長(zhǎng)的百分率為20%．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列出方程求解.15．（2021·遼寧鞍山市·九年級(jí)期中）在疫情影響下，口罩的需求量猛增，某口罩廠從2020年1月口罩生產(chǎn)數(shù)量2萬(wàn)個(gè)增長(zhǎng)到2020年3月口罩生產(chǎn)數(shù)量2.88萬(wàn)個(gè)．（1）求該口罩廠這兩個(gè)月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率？（2）按照這樣的月平均增長(zhǎng)速度，4月份的口罩生產(chǎn)數(shù)量能達(dá)到多少萬(wàn)個(gè)？【答案】（1）這兩個(gè)月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為20%；（2）3.456萬(wàn)個(gè)．【分析】（1）設(shè)該口罩廠這兩個(gè)月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x，然后根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）中計(jì)算的結(jié)果求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)該口罩廠這兩個(gè)月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意得，2（1+x）2＝2.88．解方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該口罩廠這兩個(gè)月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為20%．（2）按照（1）中的月平均增長(zhǎng)速度，4月份的口罩生產(chǎn)數(shù)量能達(dá)到2.88（1+20%）＝3.456（萬(wàn)個(gè)）．答：4月份的口罩生產(chǎn)數(shù)量能達(dá)到3.456萬(wàn)個(gè).【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列出方程求解.16．（2021·江蘇）如果下列圖形由相同的小正方形組成，觀察圖形的變化，回答下列問(wèn)題：（1）第6個(gè)圖形有________個(gè)小正方形；第個(gè)圖形有________個(gè)小正方形；（2）若第個(gè)圖形有576個(gè)小正方形，求的值．【答案】（1）49；（或）；（2）第23個(gè)圖形有576個(gè)小正方形．【分析】根據(jù)已知的四個(gè)圖找出規(guī)律即可推導(dǎo)出第n個(gè)．【詳解】（1）根據(jù)前四個(gè)圖知：第一個(gè)圖有4個(gè)，第二個(gè)圖有9個(gè)，第三個(gè)圖有16個(gè)，第四個(gè)圖有25個(gè)，則依次類(lèi)推每個(gè)圖都有個(gè)，則第六個(gè)圖有49個(gè)，

故答案為：49；（或）；（2）根據(jù)題意，得，解得（舍去），；故第23個(gè)圖形有576個(gè)小正方形．【點(diǎn)睛】此題屬于探索規(guī)律題，根據(jù)已知圖總結(jié)出規(guī)律找出對(duì)應(yīng)的規(guī)律公式代入計(jì)算即可，涉及到解一元二次方程．17．（2021·湖北九年級(jí)期末）黨的十九大報(bào)告提出綠水青山就是金山銀山，建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計(jì)，植樹(shù)造林是實(shí)現(xiàn)天藍(lán)、地綠、水凈的重要途徑．為了保護(hù)生態(tài)環(huán)境，某集團(tuán)每年都購(gòu)進(jìn)大量的樹(shù)苗進(jìn)行種植．（1）若該集團(tuán)宜昌分公司今年種植黃桷樹(shù)和香樟樹(shù)共500棵，其中黃桷樹(shù)的數(shù)量比香樟樹(shù)的數(shù)量的6倍少25棵，求該集團(tuán)宜昌分公司今年種植香樟樹(shù)多少棵？（2）每年3月份，該集團(tuán)都會(huì)進(jìn)行植樹(shù)活動(dòng)，后勤部都會(huì)購(gòu)進(jìn)大量的樹(shù)苗，去年后勤部購(gòu)進(jìn)黃桷樹(shù)苗1000棵，單價(jià)為3元棵；購(gòu)進(jìn)香樟樹(shù)苗2000棵，單價(jià)為2元棵．今年黃桷樹(shù)苗的購(gòu)進(jìn)量比去年減少了，單價(jià)不變，香樟樹(shù)苗的購(gòu)進(jìn)量比去年增加了，單價(jià)減少了．若后勤部去年和今年購(gòu)進(jìn)樹(shù)苗的總費(fèi)用相同，求的值．【答案】（1）集團(tuán)宜昌分公司今年種植香樟樹(shù)75棵；（2）的值為12.5【分析】（1）設(shè)該集團(tuán)宜昌分公司今年種植香樟樹(shù)x棵，種植黃桷樹(shù)y棵，根據(jù)“該集團(tuán)宜昌分公司今年種植黃桷樹(shù)和香樟樹(shù)共500棵，其中黃桷樹(shù)的數(shù)量比香樟樹(shù)的數(shù)量的6倍少25棵”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合去年和今年購(gòu)進(jìn)樹(shù)苗的總費(fèi)用相同，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)該集團(tuán)宜昌分公司今年種植香樟樹(shù)棵，種植黃桷樹(shù)棵，依題意得：，解得：．答：該集團(tuán)宜昌分公司今年種植香樟樹(shù)75棵．（2）依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：的值為12.5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．18．（2021·湖北九年級(jí)一模）背景知識(shí)城鎮(zhèn)化是指農(nóng)村人口轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口的過(guò)程，城鎮(zhèn)化率是指一個(gè)地區(qū)城鎮(zhèn)人口數(shù)占該地區(qū)人口總數(shù)的比例．問(wèn)題解決：截止2016年底，某市人口總數(shù)約為400萬(wàn)人，城鎮(zhèn)化率為；到2020年底，該市總?cè)丝谠黾恿?0萬(wàn)人，城鎮(zhèn)人口增加了28萬(wàn)人，城鎮(zhèn)化率達(dá)到．（1）求2016年該市的城鎮(zhèn)化率；（2）2016年，該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為萬(wàn)元，農(nóng)村居民人均可支配收入比城鎮(zhèn)居民人均可支配收入少萬(wàn)元；2020年，該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，農(nóng)村居民人均可支配收入比2016年增長(zhǎng)的百分率為n．這樣，2020年全市居民人均可支配收入達(dá)到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．①用含，的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；②求的值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由城鎮(zhèn)化率得出城鎮(zhèn)人口的等量關(guān)系式，從而列出一元一次方程，解決問(wèn)題；（2）①分別求出2016年農(nóng)村居民和城鎮(zhèn)居民人均可支配收入相加即為所求；②列出2020年全市居民人均可支配收入的等量關(guān)系，并列出方程即可解決．【詳解】解：（1）由2016年總?cè)藬?shù)400萬(wàn)，到2020年底，該市總?cè)丝谠黾恿?0萬(wàn)人，以及2016年城鎮(zhèn)化率為，可得城鎮(zhèn)人口為：；由題意知2016年城鎮(zhèn)人口為，加上2020年底增加的28萬(wàn)人，可得城鎮(zhèn)人口為：；從而列出方程：；解之得：；（2）①2016年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為萬(wàn)元，農(nóng)村居民人均可支配收入比城鎮(zhèn)居民人均可支配收入少萬(wàn)元，則農(nóng)村居民人均可支配收入為故2016年全市居民的人均可支配收入為：，即；②∵2020年全市居民人均可支配收入為2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍，∴2020年全市居民人均可支配收入為：，又∵2020年，該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入是2016年的1.5倍∴2020年，該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為：，∵2020年，農(nóng)村居民人均可支配收入比2016年增長(zhǎng)的百分率為，∴2020年，農(nóng)村居民人均可支配收入為：，故2020年全市居民人均可支配收入還可以為：，從而列出方程：，解之得：，或（舍）．故答案為：①；②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程與一元二次方程的實(shí)際問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵需要找出等量關(guān)系式，從而列出方程解決問(wèn)題．19．（2021·重慶九年級(jí)期中）跳繩一直是盛堡初中的特色項(xiàng)目，為保障同學(xué)們訓(xùn)練需求，學(xué)校后勤部門(mén)每年都要采購(gòu)一定數(shù)量的長(zhǎng)繩和彩繩．已知2020年采購(gòu)的長(zhǎng)繩價(jià)格為120元/根，彩繩價(jià)格為40元/根，所采購(gòu)的彩繩數(shù)量比長(zhǎng)繩多5根，共用資金3400元．（1）求2020年采購(gòu)的長(zhǎng)繩和彩繩分別是多少根？（2）與2020年相比，2021年長(zhǎng)繩的價(jià)格上漲了a%，彩繩的價(jià)格下降了5%，但采購(gòu)的長(zhǎng)繩的數(shù)量減少了，彩繩的數(shù)量增加了10根，且2021年學(xué)校采購(gòu)長(zhǎng)繩和彩繩的總支出費(fèi)用為3310元，求a的值．【答案】（1）2020年采購(gòu)長(zhǎng)繩20根，彩繩25根；（2）a的值為10．【分析】（1）設(shè)2020年采購(gòu)長(zhǎng)繩x根，彩繩y根，根據(jù)“采購(gòu)的彩繩數(shù)量比長(zhǎng)繩多5根，共用資金3400元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合2021年學(xué)校采購(gòu)長(zhǎng)繩和彩繩的總支出費(fèi)用為3310元，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)2020年采購(gòu)長(zhǎng)繩x根，彩繩y根，依題意得：，解得：，答：2020年采購(gòu)長(zhǎng)繩20根，彩繩25根；（2）依題意得：120(1+a%)×20(1-a%)+40×(1-5%)×(25+10)=3310，整理得：a2+60a-700=0，解得：a1=10，a2=-70（不合題意，舍去）．答：a的值為10．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．20．（2021·四川）商場(chǎng)以每件200元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，以單價(jià)300元銷(xiāo)售．預(yù)計(jì)每月可售出250件，該商場(chǎng)為盡可能減少庫(kù)存，決定降價(jià)銷(xiāo)售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商品單價(jià)每降低5元，可多售出25件，但最低售價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格；若該商場(chǎng)希望該商品每月獲利28000元，則銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？每月可銷(xiāo)售多少件？【答案】售價(jià)應(yīng)定為270元，每月銷(xiāo)售400件【分析】設(shè)售價(jià)降低x個(gè)5元，由銷(xiāo)售額﹣進(jìn)價(jià)＝利潤(rùn)，作為相等關(guān)系列方程，解方程求解后要代入實(shí)際問(wèn)題中檢驗(yàn)是否符合題意，進(jìn)行值的取舍．【詳解】解：設(shè)售價(jià)降低x個(gè)5元，得（300﹣200﹣5x）（250+25x）＝28000．解得：x1＝4，x2＝6．當(dāng)x＝4時(shí)，300﹣5×4＝280（元）＞200元；當(dāng)x＝6時(shí)，300﹣5×6＝270（元）＞200元；因?yàn)橐獪p少庫(kù)存，所以，售價(jià)為：300﹣5×6＝270（元）．銷(xiāo)售件數(shù)為：250+6×25＝400（件）．答：售價(jià)應(yīng)定為270元，每月銷(xiāo)售400件．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．有關(guān)銷(xiāo)售問(wèn)題中的等量關(guān)系一般為：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)．21．（2021·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)月考）為促銷(xiāo)新疆棉花，人們眾志成城，響應(yīng)號(hào)召，棉花是生活生產(chǎn)必需品．現(xiàn)有某生產(chǎn)商銷(xiāo)售珍珠棉和長(zhǎng)絨棉．（1）計(jì)劃珍珠棉每斤售價(jià)比長(zhǎng)絨棉貴16元，14斤長(zhǎng)絨棉和6斤珍珠棉的總售價(jià)相同，求長(zhǎng)絨棉和珍珠棉的每斤售價(jià)；（2）已知長(zhǎng)絨棉每斤進(jìn)價(jià)8元，按（1）中售價(jià)銷(xiāo)售一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)絨棉的日均銷(xiāo)售量為120斤，當(dāng)每斤售價(jià)降價(jià)1元時(shí)，日均銷(xiāo)售量增加20斤．該生產(chǎn)商秉承讓利于民的原則，對(duì)長(zhǎng)絨棉進(jìn)行降價(jià)銷(xiāo)售，但要保證當(dāng)天長(zhǎng)絨棉的利潤(rùn)為320元，求此時(shí)長(zhǎng)絨棉每斤售價(jià)．【答案】（1）長(zhǎng)絨棉的每斤售價(jià)為12元，珍珠棉的每斤售價(jià)為28元；（2）此時(shí)長(zhǎng)絨棉每斤售價(jià)為10元．【分析】（1）設(shè)長(zhǎng)絨棉的每斤售價(jià)為元，則珍珠棉的每斤售價(jià)為元，根據(jù)14斤長(zhǎng)絨棉和6斤珍珠棉的總售價(jià)相同，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)長(zhǎng)絨棉每斤售價(jià)為元，則每斤的利潤(rùn)為元，日均銷(xiāo)售量為斤，根據(jù)總利潤(rùn)每斤的利潤(rùn)日均銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合即可確定的值．【詳解】解：（1）設(shè)長(zhǎng)絨棉的每斤售價(jià)為x元，則珍珠棉的每斤售價(jià)為（x+16）元，依題意得：14x＝6（x+16），解得：x＝12，∴x+16＝28（元）．答：長(zhǎng)絨棉的每斤售價(jià)為12元，珍珠棉的每斤售價(jià)為28元．（2）設(shè)長(zhǎng)絨棉每斤售價(jià)為m元，則每斤的利潤(rùn)為（m﹣8）元，日均