第11講整式(5種題型)(原卷版+解析)

第11講整式（5種題型）【知識梳理】一、單項(xiàng)式1.單項(xiàng)式的概念：如，，-1，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨(dú)的一個(gè)數(shù)；③單獨(dú)的一個(gè)字母．（2）單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算，但可以含有除法運(yùn)算．如：可以寫成。但若分母中含有字母，如就不是單項(xiàng)式，因?yàn)樗鼰o法寫成數(shù)字與字母的乘積．2.單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）確定單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，最好先將單項(xiàng)式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)；（2）圓周率π是常數(shù)．單項(xiàng)式中出現(xiàn)π時(shí)，應(yīng)看作系數(shù)；（3）當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1時(shí)，“1”通常省略不寫；（4）單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如：寫成．3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．要點(diǎn)詮釋：單項(xiàng)式的次數(shù)是計(jì)算單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和得到的，計(jì)算時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：（1）沒有寫指數(shù)的字母，實(shí)際上其指數(shù)是1，計(jì)算時(shí)不能將其遺漏；（2）不能將數(shù)字的指數(shù)一同計(jì)算．二、多項(xiàng)式1.多項(xiàng)式的概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．要點(diǎn)詮釋：“幾個(gè)”是指兩個(gè)或兩個(gè)以上．2.多項(xiàng)式的項(xiàng)：每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．要點(diǎn)詮釋：（1）多項(xiàng)式的每一項(xiàng)包括它前面的符號．（2）一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式，如：是一個(gè)三項(xiàng)式．3.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和，而是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次數(shù)．（2）一個(gè)多項(xiàng)式中的最高次項(xiàng)有時(shí)不止一個(gè)，在確定最高次項(xiàng)時(shí)，都應(yīng)寫出．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的區(qū)別：異注意單項(xiàng)式?jīng)]有加減運(yùn)算單項(xiàng)式注意系數(shù)（包括符號）和次數(shù)多項(xiàng)式有加減運(yùn)算多項(xiàng)式注意項(xiàng)數(shù)和次數(shù)三、整式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式這三者之間的關(guān)系如圖所示．即單項(xiàng)式、多項(xiàng)式必是整式，但反過來就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．【考點(diǎn)剖析】題型一：單項(xiàng)式概念例1.判斷下列各代數(shù)式哪些是單項(xiàng)式？

(1)；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y＋x；

(6)－xy2；(7)－5?！咀兪?】下列式子：2m+n，3ab，，a，-8，，0中，單項(xiàng)式有.題型二：單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)例2.指出下列各單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)：（1）（2）-mn3;（3）（4）－3．【變式1】單項(xiàng)式-x2yz2的系數(shù)、次數(shù)分別是（）．A．0.2B．0.4C．-1，5D．1，4【變式2】如果是關(guān)于的單項(xiàng)式，且系數(shù)為2，次數(shù)為3，則分別是多少？【變式3】指出下列代數(shù)式中的單項(xiàng)式，并寫出各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)．，，，，，a-3，，，【變式4】觀察下列一串單項(xiàng)式的特點(diǎn)：，，，，，…（1）按此規(guī)律寫出第9個(gè)單項(xiàng)式.（2）試猜想第n個(gè)單項(xiàng)式為多少？它的系數(shù)和次數(shù)分別是多少？題型三：多項(xiàng)式例3.說出下列各多項(xiàng)式分別是幾次幾項(xiàng)式．(1)；(2)； (3)；(4)；(5)； (6)．【變式1】多項(xiàng)式-+2x-3是_______次_______項(xiàng)式，最高次項(xiàng)的系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是________．【變式2】多項(xiàng)式2－－4是次項(xiàng)式，它的項(xiàng)數(shù)為，次數(shù)是．【變式3】多項(xiàng)式的各項(xiàng)為，次數(shù)為__________.例5.一個(gè)五次多項(xiàng)式，它的任何一項(xiàng)的次數(shù)都（）A．小于5B．等于5C．不小于5D．不大于5．【變式1】如果一個(gè)多項(xiàng)式是五次多項(xiàng)式，那么（）A．這個(gè)多項(xiàng)式最多有六項(xiàng)；B．這個(gè)多項(xiàng)式只能有一項(xiàng)的次數(shù)是六；C．這個(gè)多項(xiàng)式一定是五次六項(xiàng)式；D．這個(gè)多項(xiàng)式最少有二項(xiàng)，并且最高次項(xiàng)的次數(shù)是五．【變式2】多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)是什么？一次項(xiàng)的系數(shù)是什么？常數(shù)項(xiàng)是什么？這是幾次幾項(xiàng)式?【變式3】已知多項(xiàng)式．(1)求多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù)．(2)如果多項(xiàng)式是七次五項(xiàng)式，求m的值．【變式4】多項(xiàng)式是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，求a與b的差的相反數(shù)．題型四：整式概念辨析例6.判斷下列各代數(shù)式，哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式，哪些不是整式．(1)－3xy2； (2)2x3＋1； (3)(x＋y＋1)； (4)； (5)0；(6)； (7)； (8)； (9)； (10)．【變式1】在代數(shù)式中，單項(xiàng)式有____個(gè)，多項(xiàng)式有____個(gè).【變式2】下列代數(shù)式：，其中是單項(xiàng)式的是_______________，是多項(xiàng)式的是_______________.【變式3】指出下列各式中哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？哪些是整式？，，，10，，，，，，題型五、整式的應(yīng)用例7.用整式填空：(1)某商場將一種商品A按標(biāo)價(jià)的9折出售(即優(yōu)惠10%)仍可獲利10%，若商場商品A的標(biāo)價(jià)為a元，那么該商品的進(jìn)價(jià)為________元(列出式子即可，不用化簡)．(2)甲商品的進(jìn)價(jià)為1400元，若標(biāo)價(jià)為a元，按標(biāo)價(jià)的9折出售；乙商品的進(jìn)價(jià)是400元，若標(biāo)價(jià)為b元，按標(biāo)價(jià)的8折出售，列式表示兩種商品的利潤率分別為甲：________乙：________．【變式1】對下列代數(shù)式作出解釋，其中不正確的是（）A.a﹣b：今年小明b歲，小明的爸爸a歲，小明比他爸爸?。╝﹣b）歲B.a﹣b：今年小明b歲，小明的爸爸a歲，則小明出生時(shí)，他爸爸為（a﹣b）歲C.ab：長方形的長為acm，寬為bcm，長方形的面積為abcm2D.ab：三角形的一邊長為acm，這邊上的高為bcm，此三角形的面積為abcm2例8.下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有6個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有9個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第⑦個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為（）A.21B.24C.27D.30【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中，正確的是（）A．是單項(xiàng)式 B．單項(xiàng)式的次數(shù)是C．單項(xiàng)式的系數(shù)是 D．多項(xiàng)式是五次三項(xiàng)2．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）式子的意義是（）A．2的平方 B．的平方 C．2的平方的相反數(shù) D．的平方的相反數(shù)3．（2022秋·廣東茂名·七年級?？计谥校┒囗?xiàng)式的次數(shù)及最高次項(xiàng)的系數(shù)分別是（

）A．， B．， C．， D．，4．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）在下列代數(shù)式：，，，，，，中，多項(xiàng)式有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)5．（2022秋·廣東肇慶·七年級?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．是六次六項(xiàng)式 B．是多項(xiàng)式 C．是三次二項(xiàng)式 D．是二次二項(xiàng)式6．（2022秋·河北秦皇島·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）某商品原價(jià)元，以元出售，則下列說法中，能正確表達(dá)該商品出售價(jià)格的是（）A．先打2折，再降10元 B．先降10元，再打2折C．先打8折，再降10元 D．先降10元，再打8折7．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）觀察這一系列單項(xiàng)式的特點(diǎn)：，，，，…那么第8個(gè)單項(xiàng)式為（）A． B． C． D．8．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）單項(xiàng)式的系數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．﹣29．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）某商品原價(jià)為a元，先提高20%，然后連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)10%．則該商品的價(jià)格是（）A．元 B．元 C．元 D．元10．（2023春·重慶北碚·七年級西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖所示的三個(gè)圖形都是由邊長為1的正方形組成，第1個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為4．第2個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為12．第3個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為24……按此規(guī)律，第6個(gè)圖形中所有線段的和為（

）

A．84 B．72 C．63 D．54二、填空題11．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）下列式子：①；②；③；④，其中格式書寫正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．12．（2023春·北京順義·七年級統(tǒng)考期中）把多項(xiàng)式按字母的降冪排列為．13．（2022秋·貴州貴陽·七年級統(tǒng)考期末）請寫出一個(gè)含有字母a，b，且次數(shù)是5的單項(xiàng)式．14．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）單項(xiàng)式的系數(shù)為．15．（2023春·北京延慶·七年級統(tǒng)考期末）觀察一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：第個(gè)式子是．（為正整數(shù)）16．（2022秋·廣東茂名·七年級?？计谥校┫铝惺阶樱?，，，，其中多項(xiàng)式有個(gè)．三、解答題17．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）找出下列各代數(shù)式中的單項(xiàng)式，并寫出各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)．，，，，，，，．18．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式？19．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）在代數(shù)式，0，中，哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？哪些是整式？20．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）有一列數(shù)，，3，7，9，……，已知這列數(shù)中任意連續(xù)五個(gè)數(shù)的和都相等，請你求出這列數(shù)前23個(gè)數(shù)的和．21．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）已知單項(xiàng)式的次數(shù)與多項(xiàng)式的次數(shù)相同，求的值．22．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）用大小一樣的黑白兩種顏色的小正方形紙片，按如圖的規(guī)律擺放：(1)第5個(gè)圖案有張黑色小正方形紙片；(2)第n個(gè)圖案有張黑色小正方形紙片；(3)第幾個(gè)圖案中白色紙片和黑色紙片共有81張？23．（2023春·浙江寧波·七年級校聯(lián)考期末）請仔細(xì)觀察下列各等式的規(guī)律：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；…(1)請用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式的規(guī)律；(2)將第1個(gè)等式至第2023個(gè)等式的左邊部分相加，值為多少？24．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）下面是按一定規(guī)律寫出的一列單項(xiàng)式中的前四個(gè)：，，，，……如果按此規(guī)律繼續(xù)寫下去，排在第21個(gè)的是什么樣的單項(xiàng)式？

第11講整式（5種題型）【知識梳理】一、單項(xiàng)式1.單項(xiàng)式的概念：如，，-1，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨(dú)的一個(gè)數(shù)；③單獨(dú)的一個(gè)字母．（2）單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算，但可以含有除法運(yùn)算．如：可以寫成。但若分母中含有字母，如就不是單項(xiàng)式，因?yàn)樗鼰o法寫成數(shù)字與字母的乘積．2.單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）確定單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，最好先將單項(xiàng)式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)；（2）圓周率π是常數(shù)．單項(xiàng)式中出現(xiàn)π時(shí)，應(yīng)看作系數(shù)；（3）當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1時(shí)，“1”通常省略不寫；（4）單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如：寫成．3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．要點(diǎn)詮釋：單項(xiàng)式的次數(shù)是計(jì)算單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和得到的，計(jì)算時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：（1）沒有寫指數(shù)的字母，實(shí)際上其指數(shù)是1，計(jì)算時(shí)不能將其遺漏；（2）不能將數(shù)字的指數(shù)一同計(jì)算．二、多項(xiàng)式1.多項(xiàng)式的概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．要點(diǎn)詮釋：“幾個(gè)”是指兩個(gè)或兩個(gè)以上．2.多項(xiàng)式的項(xiàng)：每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．要點(diǎn)詮釋：（1）多項(xiàng)式的每一項(xiàng)包括它前面的符號．（2）一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式，如：是一個(gè)三項(xiàng)式．3.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和，而是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次數(shù)．（2）一個(gè)多項(xiàng)式中的最高次項(xiàng)有時(shí)不止一個(gè)，在確定最高次項(xiàng)時(shí)，都應(yīng)寫出．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的區(qū)別：異注意單項(xiàng)式?jīng)]有加減運(yùn)算單項(xiàng)式注意系數(shù)（包括符號）和次數(shù)多項(xiàng)式有加減運(yùn)算多項(xiàng)式注意項(xiàng)數(shù)和次數(shù)三、整式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式這三者之間的關(guān)系如圖所示．即單項(xiàng)式、多項(xiàng)式必是整式，但反過來就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．【考點(diǎn)剖析】題型一：單項(xiàng)式概念例1.判斷下列各代數(shù)式哪些是單項(xiàng)式？

(1)；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y＋x；

(6)－xy2；(7)－5。解：（2）abc；(3)b2；(4)－5ab2；(6)－xy2；(7)－5這些都是單項(xiàng)式?！咀兪?】下列式子：2m+n，3ab，，a，-8，，0中，單項(xiàng)式有.【答案】3ab，a，-8，0題型二：單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)例2.指出下列各單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)：（1）（2）-mn3;（3）（4）－3．解析：單項(xiàng)式的系數(shù)，包括前面的符號，當(dāng)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或－1時(shí)，“1”省略不寫，如-nm3中，系數(shù)是－1，則把“1”省略不寫；圓周率只是一個(gè)常數(shù)符號，不能把它作為字母，如：的系數(shù)是，次數(shù)是5。另外，像－3，，0等這樣的常數(shù)，是零次單項(xiàng)式．【答案】（1）的系數(shù)是，次數(shù)是3；（2）-mn3的系數(shù)是-1，次數(shù)是4；（3）的系數(shù)是，次數(shù)是5；（4）－3的系數(shù)是－3，次數(shù)是0．【變式1】單項(xiàng)式-x2yz2的系數(shù)、次數(shù)分別是（）．A．0.2B．0.4C．-1，5D．1，4【答案】C【變式2】如果是關(guān)于的單項(xiàng)式，且系數(shù)為2，次數(shù)為3，則分別是多少？【答案】【變式3】指出下列代數(shù)式中的單項(xiàng)式，并寫出各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)．，，，，，a-3，，，【答案與解析】，，，，，，是單項(xiàng)式，其中的系數(shù)是，次數(shù)是3；的系數(shù)是-1，次數(shù)是1；的系數(shù)是，次數(shù)是4；的系數(shù)是，次數(shù)是4；為非零常數(shù)，只有數(shù)字因式，系數(shù)是它本身，次數(shù)為0；的系數(shù)仍按科學(xué)記數(shù)法表示為-3×108，次數(shù)是3；只含有字母因數(shù)，系數(shù)是l，次數(shù)為字母指數(shù)之和為3．【變式4】觀察下列一串單項(xiàng)式的特點(diǎn)：，，，，，…（1）按此規(guī)律寫出第9個(gè)單項(xiàng)式.（2）試猜想第n個(gè)單項(xiàng)式為多少？它的系數(shù)和次數(shù)分別是多少？【答案】(1)28x9y(2)(-1)n+12n-1xny系數(shù)：(-1)n+12n-1次數(shù)：n+1題型三：多項(xiàng)式例3.說出下列各多項(xiàng)式分別是幾次幾項(xiàng)式．(1)；(2)； (3)；(4)；(5)； (6)．【答案】(1)多項(xiàng)式是一次二項(xiàng)式；(2)多項(xiàng)式是三次四項(xiàng)式；(3)因?yàn)?，所以多?xiàng)式是二次三項(xiàng)式；(4)因?yàn)?，所以多?xiàng)式是三次三項(xiàng)式；(5)多項(xiàng)式是六次五項(xiàng)式；(6)因?yàn)?，所以多?xiàng)式是三次四項(xiàng)式．【變式1】多項(xiàng)式-+2x-3是_______次_______項(xiàng)式，最高次項(xiàng)的系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是________．【答案】3，3,-1，-3【變式2】多項(xiàng)式2－－4是次項(xiàng)式，它的項(xiàng)數(shù)為，次數(shù)是．【答案】4，3，3，4【變式3】多項(xiàng)式的各項(xiàng)為，次數(shù)為__________.【答案】2，-xy2，-4x3y，4例5.一個(gè)五次多項(xiàng)式，它的任何一項(xiàng)的次數(shù)都（）A．小于5B．等于5C．不小于5D．不大于5．【答案】D．解析：由于多項(xiàng)式的次數(shù)是“多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)”，因此五次多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)是五次的，其余的項(xiàng)的次數(shù)可以是五次的，也可以是小于五次的，卻不能是大于五次的．因此，五次多項(xiàng)式中的任何一項(xiàng)都是不大于5次的．【變式1】如果一個(gè)多項(xiàng)式是五次多項(xiàng)式，那么（）A．這個(gè)多項(xiàng)式最多有六項(xiàng)；B．這個(gè)多項(xiàng)式只能有一項(xiàng)的次數(shù)是六；C．這個(gè)多項(xiàng)式一定是五次六項(xiàng)式；D．這個(gè)多項(xiàng)式最少有二項(xiàng)，并且最高次項(xiàng)的次數(shù)是五．【答案】D．解析：多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，與多項(xiàng)式有幾項(xiàng)無關(guān)。如果一個(gè)多項(xiàng)式是五次多項(xiàng)式，那么這個(gè)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)是五次，至于有幾項(xiàng)不能確定，但因?yàn)槭嵌囗?xiàng)式，所以至少要有兩項(xiàng)。所以選D．【變式2】多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)是什么？一次項(xiàng)的系數(shù)是什么？常數(shù)項(xiàng)是什么？這是幾次幾項(xiàng)式?【答案與解析】這個(gè)多項(xiàng)式中共有四項(xiàng)，分別為：，它們的次數(shù)分別為：3,6,1,0；其中的次數(shù)是6，是最高次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是-1，常數(shù)項(xiàng)是1，它是六次四項(xiàng)式．【總結(jié)升華】確定多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，分兩步：（1）先求多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的次數(shù)；（2）取這些次數(shù)中的最大的數(shù)即為多項(xiàng)式的次數(shù)．【變式3】已知多項(xiàng)式．(1)求多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù)．(2)如果多項(xiàng)式是七次五項(xiàng)式，求m的值．【答案與解析】(1)依題意知此多項(xiàng)式是五項(xiàng)式，第一項(xiàng)的系數(shù)是-6，次數(shù)是3；第二項(xiàng)的系數(shù)是-7，次數(shù)是3m+1；第三項(xiàng)的系數(shù)是，次數(shù)是4；第四項(xiàng)系數(shù)是-l，次數(shù)3；第五項(xiàng)-5系數(shù)是-5，次數(shù)是0．(2)由多項(xiàng)式是七次五項(xiàng)式，可得的次數(shù)是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．【變式4】多項(xiàng)式是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，求a與b的差的相反數(shù)．【答案】題型四：整式概念辨析例6.判斷下列各代數(shù)式，哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式，哪些不是整式．(1)－3xy2； (2)2x3＋1； (3)(x＋y＋1)； (4)； (5)0；(6)； (7)； (8)； (9)； (10)．【答案】單項(xiàng)式有：(1)－3xy2，(4)，(5)0，(7)；多項(xiàng)式有：(2)2x3＋1，(3)(x＋y＋1)；不是整式的有：(6)，(8)，(9)，(10)．【變式1】在代數(shù)式中，單項(xiàng)式有____個(gè)，多項(xiàng)式有____個(gè).【答案】4，3【變式2】下列代數(shù)式：，其中是單項(xiàng)式的是_______________，是多項(xiàng)式的是_______________.【答案】①②③，④⑥【變式3】指出下列各式中哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？哪些是整式？，，，10，，，，，，【答案與解析】單項(xiàng)式有：，10，，；多項(xiàng)式有：，，，；整式有：，，，10，，，，．題型五、整式的應(yīng)用例7.用整式填空：(1)某商場將一種商品A按標(biāo)價(jià)的9折出售(即優(yōu)惠10%)仍可獲利10%，若商場商品A的標(biāo)價(jià)為a元，那么該商品的進(jìn)價(jià)為________元(列出式子即可，不用化簡)．(2)甲商品的進(jìn)價(jià)為1400元，若標(biāo)價(jià)為a元，按標(biāo)價(jià)的9折出售；乙商品的進(jìn)價(jià)是400元，若標(biāo)價(jià)為b元，按標(biāo)價(jià)的8折出售，列式表示兩種商品的利潤率分別為甲：________乙：________．【答案】(1)；(2)甲商品的利潤率為×100%，乙商品的利潤率為：×100%．【解析】本例屬于實(shí)際生活問題，應(yīng)分清“進(jìn)價(jià)”、“標(biāo)價(jià)”、“利潤”、“利潤率”、“打折”等問題，打幾折就是標(biāo)價(jià)的十分之幾．【總結(jié)升華】解答本例需弄清以下兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：(1)利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià);(2)利潤率＝．【變式1】對下列代數(shù)式作出解釋，其中不正確的是（）A.a﹣b：今年小明b歲，小明的爸爸a歲，小明比他爸爸?。╝﹣b）歲B.a﹣b：今年小明b歲，小明的爸爸a歲，則小明出生時(shí)，他爸爸為（a﹣b）歲C.ab：長方形的長為acm，寬為bcm，長方形的面積為abcm2D.ab：三角形的一邊長為acm，這邊上的高為bcm，此三角形的面積為abcm2【答案】D.例8.下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有6個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有9個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第⑦個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為（）A.21B.24C.27D.30【答案】B【解析】觀察圖形得：第1個(gè)圖形有3+3×1=6個(gè)圓圈，第2個(gè)圖形有3+3×2=9個(gè)圓圈，第3個(gè)圖形有3+3×3=12個(gè)圓圈，…第n個(gè)圖形有3+3n=3（n+1）個(gè)圓圈，當(dāng)n=7時(shí)，3×（7+1）=24，故選B．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中，正確的是（）A．是單項(xiàng)式 B．單項(xiàng)式的次數(shù)是C．單項(xiàng)式的系數(shù)是 D．多項(xiàng)式是五次三項(xiàng)【答案】A【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的定義、單項(xiàng)式次數(shù)和系數(shù)的定義以及多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】A、單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式，所以是單項(xiàng)式，該項(xiàng)符合題意；B、單項(xiàng)式的次數(shù)是，該項(xiàng)不符合題意；C、單項(xiàng)式的系數(shù)是，該項(xiàng)不符合題意；D、多項(xiàng)式是三次三項(xiàng)式，該項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式的定義、單項(xiàng)式次數(shù)和系數(shù)的定義以及多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)的定義，牢記這些定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）式子的意義是（）A．2的平方 B．的平方 C．2的平方的相反數(shù) D．的平方的相反數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)乘方的意義和相反數(shù)的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：的意義為2的平方的相反數(shù)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．讀作a的n次方．也考查了相反數(shù)．3．（2022秋·廣東茂名·七年級?？计谥校┒囗?xiàng)式的次數(shù)及最高次項(xiàng)的系數(shù)分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的相關(guān)定義求解即可．多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中最高次項(xiàng)的次數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：多項(xiàng)式的次數(shù)為3，最高次項(xiàng)的系數(shù)是，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．4．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）在下列代數(shù)式：，，，，，，中，多項(xiàng)式有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，可得答案．【詳解】解：在：，，，，，，中，，π+2是單項(xiàng)式，，不是整式，不是多項(xiàng)式，多項(xiàng)式有：，，，有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的定義，熟記多項(xiàng)式的定義（由幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式）是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·廣東肇慶·七年級?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．是六次六項(xiàng)式 B．是多項(xiàng)式 C．是三次二項(xiàng)式 D．是二次二項(xiàng)式【答案】B【分析】幾個(gè)單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式，多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高項(xiàng)次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．【詳解】解：A.是五次二項(xiàng)式，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B.是多項(xiàng)式，故B正確，符合題意；C.中是常數(shù)項(xiàng)，是二次二項(xiàng)式，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D.是三次二項(xiàng)式，故D錯(cuò)誤，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式的定義、次數(shù)和項(xiàng)數(shù)等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·河北秦皇島·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）某商品原價(jià)元，以元出售，則下列說法中，能正確表達(dá)該商品出售價(jià)格的是（）A．先打2折，再降10元 B．先降10元，再打2折C．先打8折，再降10元 D．先降10元，再打8折【答案】C【分析】可以根據(jù)出售價(jià)的代數(shù)式的計(jì)算順序來說出商品價(jià)格的意義．【詳解】解：∵商品原價(jià)m元，∴商品出售價(jià)格元，是商品原價(jià)m打八折再減去10元，∴只有C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的實(shí)際意義，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意和代數(shù)式．7．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）觀察這一系列單項(xiàng)式的特點(diǎn)：，，，，…那么第8個(gè)單項(xiàng)式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，，，，…可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第個(gè)單項(xiàng)式為：，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由，，，，…可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第個(gè)單項(xiàng)式為，∴第8個(gè)單項(xiàng)式為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律．8．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）單項(xiàng)式的系數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．﹣2【答案】D【分析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的定義來求解，單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)．【詳解】解：單項(xiàng)式的系數(shù)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式系數(shù)的定義，確定單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，把一個(gè)單項(xiàng)式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準(zhǔn)單項(xiàng)式的系數(shù)的關(guān)鍵．9．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）某商品原價(jià)為a元，先提高20%，然后連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)10%．則該商品的價(jià)格是（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】根據(jù)題目要求列出代數(shù)式化簡計(jì)算即可．【詳解】依題意，該商品經(jīng)過一次的升價(jià)，再經(jīng)過兩次的降價(jià)，目前的價(jià)格為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用字母表示數(shù)，較為簡單；另外本題為選擇題，在化簡計(jì)算時(shí)可采用尾數(shù)判別法（即的結(jié)果應(yīng)有三位小數(shù)且尾數(shù)是）可快速選出答案．10．（2023春·重慶北碚·七年級西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖所示的三個(gè)圖形都是由邊長為1的正方形組成，第1個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為4．第2個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為12．第3個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為24……按此規(guī)律，第6個(gè)圖形中所有線段的和為（

）

A．84 B．72 C．63 D．54【答案】A【分析】根據(jù)每個(gè)圖形可得所有線段的和，找出規(guī)律即可得出結(jié)果【詳解】解：第1個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為，第2個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為，第3個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為，第6個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，所有線段的和為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）下列式子：①；②；③；④，其中格式書寫正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．【答案】2【分析】根據(jù)代數(shù)式的書寫要求判斷各項(xiàng)即可．【詳解】解：①應(yīng)表示為；②應(yīng)表示為；③；④正確；綜上分析可知，格式書寫正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的書寫要求：（1）在代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號，通常簡寫成“?”或者省略不寫；（2）數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字要寫在字母的前面；（3）在代數(shù)式中出現(xiàn)的除法運(yùn)算，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫．帶分?jǐn)?shù)要寫成假分?jǐn)?shù)的形式．12．（2023春·北京順義·七年級統(tǒng)考期中）把多項(xiàng)式按字母的降冪排列為．【答案】【分析】先分清多項(xiàng)式的各項(xiàng)，然后按多項(xiàng)式降冪排列的定義排列．【詳解】多項(xiàng)式含項(xiàng)，分別是、、，的指數(shù)分別是、、，多項(xiàng)式按字母的降冪排列為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式，我們把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照某個(gè)字母的指數(shù)從大到小或從小到大的順序排列，稱為按這個(gè)字母的降冪或升冪排列．要注意，在排列多項(xiàng)式各項(xiàng)時(shí)，要保持其原有的符號．13．（2022秋·貴州貴陽·七年級統(tǒng)考期末）請寫出一個(gè)含有字母a，b，且次數(shù)是5的單項(xiàng)式．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的概念解答即可．【詳解】解：這個(gè)單項(xiàng)式可以是．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的概念，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的的系數(shù)，系數(shù)包括它前面的符號，單項(xiàng)式的次數(shù)是所有字母的指數(shù)的和．14．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）單項(xiàng)式的系數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的定義：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)，得出結(jié)果即可．【詳解】解：單項(xiàng)式的系數(shù)是．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式的系數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式系數(shù)的定義．15．（2023春·北京延慶·七年級統(tǒng)考期末）觀察一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：第個(gè)式子是．（為正整數(shù)）【答案】【分析】根據(jù)已知的式子可以看出：每個(gè)式子的第一項(xiàng)中a的次數(shù)是式子的序號；第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號的2倍減1，而第二項(xiàng)的符號是第奇數(shù)項(xiàng)時(shí)是正號，第偶數(shù)項(xiàng)時(shí)是負(fù)號．【詳解】解：∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∵每個(gè)式子的第一項(xiàng)中a的次數(shù)是式子的序號；第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號的2倍減1，∴第個(gè)式子是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式規(guī)律，認(rèn)真觀察式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·廣東茂名·七年級?？计谥校┫铝惺阶樱?，，，，其中多項(xiàng)式有個(gè)．【答案】【分析】根據(jù)幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，結(jié)合各式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，，，中，，是多項(xiàng)式，共個(gè)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是理解多項(xiàng)式的定義．三、解答題17．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）找出下列各代數(shù)式中的單項(xiàng)式，并寫出各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)．，，，，，，，．【答案】見解析【分析】由數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)字母或一個(gè)數(shù)也是單項(xiàng)式，所有字母次數(shù)的和是單項(xiàng)式的次數(shù)．【詳解】解：以上代數(shù)式是單項(xiàng)式的有：，，，，，．的系數(shù)為，次數(shù)為3；的系數(shù)為，次數(shù)為1；，系數(shù)為，次數(shù)為7；，系數(shù)為，次數(shù)為6；2，系數(shù)為2，次數(shù)為0；，系數(shù)，次數(shù)為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題目．18．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式？【答案】五次五項(xiàng)式【分析】先觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，再確定每項(xiàng)的次數(shù)，最高次項(xiàng)的次數(shù)就是多項(xiàng)式的次數(shù)，注意單項(xiàng)式的次數(shù)是所有字母指數(shù)的和．【詳解】解：多項(xiàng)式有五項(xiàng)，最高次項(xiàng)為，它的次數(shù)是五，故該多項(xiàng)式是五次五項(xiàng)式．故答案為：五次五項(xiàng)式．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的問題，掌握多項(xiàng)式的定義以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）在代數(shù)式，0，中，哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？哪些是整式？【答案】單項(xiàng)式：，，0；多項(xiàng)式：，；整式：，，，0，【分析】整式是代數(shù)式的一部分，在代數(shù)式中可以包含加，減，乘，除，乘方五種運(yùn)算，但在整式中除數(shù)（分母）不能含有字母，整式分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式．【詳解】解：分母中含有字母，不屬于整式，單項(xiàng)式：，，0；多項(xiàng)式：，；整式：，，，0，．【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代數(shù)式是解決此題的關(guān)鍵．20．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）有一列數(shù)，，3，7，9，……，已知這列數(shù)中任意連續(xù)五個(gè)數(shù)的和都相等，請你求出這列數(shù)前23個(gè)數(shù)的和．【答案