專題02數(shù)軸中的九類動(dòng)態(tài)模型(原卷版+解析)

專題02數(shù)軸中的九類動(dòng)態(tài)模型數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問題屬于七年級(jí)上冊(cè)必考?jí)狠S題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生的分析與綜合能力。解題時(shí)，一般遵循“點(diǎn)、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動(dòng)點(diǎn)的出發(fā)位置，移動(dòng)方向和速度，用含t的式子表示動(dòng)點(diǎn)，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動(dòng)點(diǎn)的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗(yàn)解是否符合動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍）?！局R(shí)儲(chǔ)備】①求A、B兩點(diǎn)間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無(wú)法確定左右位置：；②求A、B的中點(diǎn)：；③數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問題主要步驟：1）畫圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：運(yùn)動(dòng)方向和速度；2）寫點(diǎn)——寫出所有點(diǎn)表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動(dòng)用“+”表示，向左運(yùn)動(dòng)用“-”表示；3）表示距離——右—左，若無(wú)法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對(duì)值；4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。注意：要注意動(dòng)點(diǎn)是否會(huì)來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)。模型1.左右跳躍模型（動(dòng)態(tài)規(guī)律模型）【模型解讀】例1．（2022·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)O出發(fā)開始移動(dòng)，第1次向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P1，第2次向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P2，第3次向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P3，第4次向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P4，第5次向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P5…，點(diǎn)P按此規(guī)律移動(dòng)，則移動(dòng)第158次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A．159 B．-156 C．158 D．1例2．（2022·浙江嘉興·七年級(jí)期末）一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動(dòng)，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度，表示第n秒時(shí)機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是_______．變式1．（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）如圖，A點(diǎn)的初始位置在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)上，先對(duì)A做如下移動(dòng)：第一次向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，第二次從B點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，第三次從C點(diǎn)出發(fā)向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)D，第四次從D點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)E，……．以此類推，按照以上規(guī)律第（

）次移動(dòng)到的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為20.A．7 B．10 C．14 D．19變式2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸和5的位置上，沿?cái)?shù)軸做移動(dòng)游戲．每次的移動(dòng)游戲規(guī)則如下：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正另一面是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動(dòng)．①若都對(duì)或都錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位；②若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位；③若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位．(1)若第一次移動(dòng)游戲，甲、乙兩人都猜對(duì)了，則甲、乙兩人之間的距離是_______________個(gè)單位；(2)若完成了10次移動(dòng)游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對(duì)一錯(cuò)．設(shè)乙猜對(duì)n次，且他最終停留的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為m．請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示m；(3)經(jīng)過_______________次移動(dòng)游戲，甲、乙兩人相遇．模型2.點(diǎn)的常規(guī)運(yùn)動(dòng)模型【模型解讀】例1．（2023·江蘇、·七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點(diǎn)間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)），請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．變式1.（2022·河北石家莊·七年級(jí)期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①B對(duì)應(yīng)的數(shù)是－4；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，t＝6；③BP＝2時(shí)，t＝5；④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度不變A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式1．（2022·江蘇南京·七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點(diǎn)間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)），請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．變式2．（2022·河北·邯鄲七年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)軸上標(biāo)出數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；兩點(diǎn)間距離=____；兩點(diǎn)間距離=；數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，那么兩點(diǎn)之間的距離=；若動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；已知點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，問：①為何值時(shí)兩點(diǎn)重合？②為何值時(shí)兩點(diǎn)之間的距離為？模型3.中點(diǎn)與n等分點(diǎn)模型【模型解讀】例1．（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）如圖，已知在數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是．點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度在沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）_______；時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)是_______；當(dāng)_______時(shí)，、兩點(diǎn)相遇；（2）如圖，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)；（3）如圖，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．點(diǎn)為線段中點(diǎn)，則直接寫出用含的代數(shù)式表示的線段的長(zhǎng)．例2．（2022·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x．(1)請(qǐng)直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10．(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，他們的速度分別為每秒1、2、1個(gè)（單位長(zhǎng)度/秒）．①幾秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)？并求出此時(shí)x的值；②是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)，若存在請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1．（2022秋·成都市·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），點(diǎn)C是數(shù)軸上不與A，B兩點(diǎn)重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，如果點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，求線段MN的長(zhǎng)度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說(shuō)法判斷正確的是（

）甲說(shuō)：若點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為；乙說(shuō)：若點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為；丙說(shuō)：若點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為．A．只有甲正確 B．只有乙正確 C．只有丙正確 D．三人均不正確變式2．（2022秋·安徽滁州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別是、，則、兩點(diǎn)間的距離可以表示為，例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)間的距離是，表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)間的距離是，利用上述結(jié)論，解決問題：(1)若，則=_____；(2)若有一個(gè)半徑為的圓上有一點(diǎn)，與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，將圓沿?cái)?shù)軸無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)周，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則點(diǎn)表示的數(shù)為______用含有的代數(shù)式表示；(3)，為數(shù)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，且，點(diǎn)C表示的數(shù)為，若點(diǎn)、、、三點(diǎn)中的某一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求、的值．模型4.動(dòng)態(tài)定值（無(wú)參型）模型【模型解讀】設(shè)未知數(shù)并表示各動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，若是行程問題一般設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，從而表示出兩點(diǎn)之間的距離。當(dāng)計(jì)算結(jié)果中不含有未知數(shù)，則為定值。例1．（2022秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀c(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使，若存在，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由；(3)如圖，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，的中點(diǎn)為為靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)判斷正確的結(jié)論，并求出其值．例2．（2022秋·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB）．（1）AB=，BC=，AC=．（2）若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問：2BC－AC的值是否隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求其值．（3）若點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．求隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．變式1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示數(shù)a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，記AB＝|a﹣b|．（1）求AB的值；（2）如圖，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)BQ＝2BP時(shí)，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M從原點(diǎn)與P、Q點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速度是每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度（1＜x＜2），若在運(yùn)動(dòng)過程中，2MP—MQ的值與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t無(wú)關(guān)，求x的值．變式1．（2022·江西·七年級(jí)期末）已知數(shù)軸上點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，到原點(diǎn)的距離為4，點(diǎn)在原點(diǎn)右邊，從點(diǎn)走到點(diǎn)，要經(jīng)過16個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）寫出、兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）若點(diǎn)也是數(shù)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到原點(diǎn)距離的3倍，求對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）已知點(diǎn)從點(diǎn)開始向右出發(fā)，速度每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)從點(diǎn)開始向右出發(fā)，速度每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的值是否會(huì)發(fā)生變化？若會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不會(huì)，請(qǐng)求出求其值．變式2.（2022·福建·廈門市七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點(diǎn)；(1)a＝，b＝.(2)若點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，求點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）(3)若點(diǎn)D以2個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以3個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以6個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，M、N分別為PD、OQ的中點(diǎn)，問的值是否發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：PD指的是點(diǎn)P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長(zhǎng)度的差.類似的，其它的兩個(gè)大寫字母寫在一起時(shí)意義一樣.模型5.折線數(shù)軸（雙動(dòng)點(diǎn)）模型【模型解讀】例1．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示6，點(diǎn)C表示12，點(diǎn)D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對(duì)值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離．例如，點(diǎn)A和點(diǎn)D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，過點(diǎn)C后繼續(xù)以原來(lái)的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，一直以3個(gè)單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動(dòng)到折線段上時(shí)，O、M兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時(shí)，M、N兩點(diǎn)相遇；(3)當(dāng)__________時(shí)，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)__________時(shí)，M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．變式1．（2023·廣東·七年級(jí)專題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)軸上相距20個(gè)長(zhǎng)度單位，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，它們?cè)凇八铰肪€”射線BA和射線CD上的運(yùn)動(dòng)速度相同均為2個(gè)單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問：(1)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B需要的時(shí)間為______秒；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)需要的時(shí)間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等時(shí)，求出動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)．變式2．（2022·重慶·七年級(jí)期中）數(shù)軸上點(diǎn)A表示－12，點(diǎn)B表示12，點(diǎn)C表示24，如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對(duì)值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離，那么我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在折線數(shù)軸上的和諧距離為36個(gè)單位長(zhǎng)度．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以3個(gè)單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，過點(diǎn)B后繼續(xù)以原來(lái)的速度向正方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，過點(diǎn)O后繼續(xù)以原來(lái)的速度向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)秒時(shí)，求M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離；（2）當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，立即以原速返回，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M、N立即停止運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻t使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等？若存在，請(qǐng)直接寫出t的取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．模型6.動(dòng)點(diǎn)往返運(yùn)動(dòng)模型【模型解讀】例1．（2022秋·重慶·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A、O、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣20、0、40，C點(diǎn)在A、B之間，在A、B兩點(diǎn)處各放一個(gè)擋板，M、N兩個(gè)小球同時(shí)從C處出發(fā)，M以2個(gè)單位/秒的速度向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，N以4個(gè)單位/秒的速度向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，碰到擋板后則反方向運(yùn)動(dòng)，速度大小不變．設(shè)兩個(gè)小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘（0＜t＜40），當(dāng)M小球第一次碰到A擋板時(shí)，N小球剛好第一次碰到B擋板．則：①C點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為0；②當(dāng)10＜t＜25時(shí)，N在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)可以表示為80﹣4t；③當(dāng)25＜t＜40時(shí)，2MA+NB始終為定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上結(jié)論正確的有（）A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④例2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┮阎獢?shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，M、N、P為數(shù)軸上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)速度為點(diǎn)M的3倍，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）求A、B兩點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．（2）若點(diǎn)M向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個(gè)單位長(zhǎng)度？（3）若點(diǎn)M、N、P同時(shí)都向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇后，點(diǎn)M、P繼續(xù)以原來(lái)的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N改變運(yùn)動(dòng)方向，以原來(lái)的速度向左運(yùn)動(dòng)，求從開始運(yùn)動(dòng)后，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等？變式1．（2023春·廣東·七年級(jí)期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為6？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)A、點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度/分、1個(gè)單位長(zhǎng)度/分的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P以6個(gè)單位長(zhǎng)度/分的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)遇到A時(shí)，點(diǎn)P立即以同樣的速度向右運(yùn)動(dòng)，并不停地往返于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，求當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過的總路程是多少？變式2．（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)O是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位/秒速度向左運(yùn)動(dòng)，O、B兩點(diǎn)之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，之后立刻恢復(fù)原速，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_____秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等．模型7.線段和差且含參模型【模型解讀】例1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，已知：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的為8，B是數(shù)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B兩點(diǎn)同時(shí)向左移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)；(2)經(jīng)過多少秒以后，P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，并求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是多少？(3)若點(diǎn)M為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，是否存在常數(shù)k使得的值為定值，若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例2．（2022春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，滿足，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)是．(1)直接寫______，______，______用含的代數(shù)式表示；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，①問點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)？②問點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)與點(diǎn)相距個(gè)單位長(zhǎng)度？并求出此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)；(3)點(diǎn)、以（2）中的速度同時(shí)分別從點(diǎn)、向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從原點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)，使得的值為定值，若存在請(qǐng)求出值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1．（2022秋·福建廈門·七年級(jí)?？计谥校┮阎欣頂?shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，且滿足，．(1)分別求a，b，c的值；(2)若點(diǎn)D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)A、D間距離是B、C間距離的4倍時(shí)，請(qǐng)求出x的值；(3)若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在一個(gè)常數(shù)k，使得的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的改變而改變？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式2．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|c|>|a|．（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反數(shù)是30，求a、b、c的值；（2）在（1）的條件下，a、b、c分別是A、B、C點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)，①線段AC的長(zhǎng)是________，將數(shù)軸折疊使得點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，則折痕處在數(shù)軸上表示的數(shù)是__________②數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到C點(diǎn)的距離加上P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離減去P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為50，即PC+PA?PB=50?若存在，求出P點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；③點(diǎn)C，B分別以4個(gè)單位/秒和3個(gè)單位/秒的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)m，使得3CA+2mOB-mOA為定值，若存在，請(qǐng)求出m值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.模型8.數(shù)軸折疊（翻折）模型【模型解讀】例1．（2022秋·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）操作探究：已知在紙上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與________表示的點(diǎn)重合．(2)操作二：折疊紙面，若使表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①5表示的點(diǎn)與數(shù)________表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間距離為10（A在B左側(cè)），且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)為________，點(diǎn)B表示的數(shù)為________；(3)操作三：點(diǎn)E以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從數(shù)5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，且兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)直接寫出多少秒后，折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合．變式1．（2023·浙江·七年級(jí)期中）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖）折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與數(shù)_____表示的點(diǎn)重合；（2）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①13表示的點(diǎn)與數(shù)_____表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2022（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期中）平移和翻折是初中數(shù)學(xué)中兩種重要的圖形變化，閱讀并回答下列問題：（一）平移：在平面內(nèi)，講一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移．（1）把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)筆尖的位置表示的數(shù)是；（2）一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸上原點(diǎn)出發(fā)，并在數(shù)軸上移動(dòng)2次，每次移動(dòng)2個(gè)單位后到達(dá)B點(diǎn)，則B點(diǎn)表示的數(shù)是；（3）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，點(diǎn)P從5出發(fā)，若P，A兩點(diǎn)的距離是A，B兩點(diǎn)距離的2倍，則需將點(diǎn)P向左移動(dòng)個(gè)單位．（二）翻折：將一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊的運(yùn)動(dòng)．（4）若折疊紙條，表示?3的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)重合，則表示?4的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；（5）若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離為10，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，折痕與數(shù)軸相交于表示?1的點(diǎn)，則A點(diǎn)表示的數(shù)為；（6）在數(shù)軸上，點(diǎn)M表示是的數(shù)為4，點(diǎn)N表示的數(shù)為x，將點(diǎn)M，N兩點(diǎn)重合后折疊，得折痕①，折痕①與數(shù)軸交于P點(diǎn)；將點(diǎn)M與點(diǎn)P重合后折疊，得折痕②，折痕②與數(shù)軸交于Q點(diǎn)．若此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)Q的距離為2，則x＝．模型9.數(shù)軸上的線段移動(dòng)模型【模型解讀】例1．（2022·廣東佛山·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有兩條線段，（單位長(zhǎng)度），（單位長(zhǎng)度）在數(shù)軸上，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．（1）點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，線段的長(zhǎng)=______；（2）若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？（3）若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度？變式1．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．(1)求m和n的長(zhǎng)度；(2)小亮把木棒m、n同時(shí)沿x軸正方向移動(dòng)，m、n的速度分別為4個(gè)單位/s和3個(gè)單位/s，設(shè)平移時(shí)間為t（s）①若在平移過程中原點(diǎn)O恰好是木棒m的中點(diǎn)，則t＝（s）；②在平移過程中，當(dāng)木棒m、n重疊部分的長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求t的值．變式2．（2022·河南信陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┮阎狹，N兩點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為m，n，且m，n滿足：|m﹣12|+（n+3）2＝0（1）則m＝，n＝；（2）①情境：有一個(gè)玩具火車AB如圖所示，放置在數(shù)軸上，將火車沿?cái)?shù)軸左右水平移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為n．則玩具火車的長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度：②應(yīng)用：一天，小明問奶奶的年齡，奶奶說(shuō)：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢；你若是我現(xiàn)在這么大，我已是老壽星，116歲了!”小明心想：奶奶的年齡到底是多少歲呢？聰明的你能幫小明求出來(lái)嗎？（3）在（2）①的條件下，當(dāng)火車AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q從N、M出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左和向右運(yùn)動(dòng)．記火車AB運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)的位置為A′B′．是否存在常數(shù)k使得3PQ﹣kB′A的值與它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)關(guān)？若存在，請(qǐng)求出k和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·四川樂山·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣3，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的是整數(shù)，點(diǎn)P不與A、B重合，且PA+PB＝5．則滿足條件的P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的整數(shù)有幾個(gè)（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是-2，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)8個(gè)單位長(zhǎng)度處，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，相向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為（

）A． B． C．或 D．或3．（2022·北京·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，下列結(jié)論①；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，若點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動(dòng)過程中，若為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變．其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④4．（2022·浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，數(shù)軸上線段，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是－10，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是16，若線段以6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，是線段上一點(diǎn)，且有關(guān)系式成立，則線段的長(zhǎng)為_________．5．（2022·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．例如：若數(shù)軸上數(shù)2表示的點(diǎn)與數(shù)﹣2表示的點(diǎn)重合，則數(shù)軸上數(shù)﹣4表示的點(diǎn)與數(shù)4表示的點(diǎn)重合，根據(jù)你對(duì)例題的理解，解答下列問題：若數(shù)軸上數(shù)﹣3表示的點(diǎn)與數(shù)1表示的點(diǎn)重合．（根據(jù)此情境解決下列問題）（1）則數(shù)軸上數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合．（2）若點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長(zhǎng)度，并且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則B點(diǎn)表示的數(shù)是_________．（3）若數(shù)軸上M、N兩點(diǎn)之間的距離為2020，并且M、N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，如果M點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)表示的數(shù)大，則M點(diǎn)表示的數(shù)是________，N點(diǎn)表示的數(shù)是________．6．（2022·四川·宜賓八中七年級(jí)階段練習(xí)）已知數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，分別表示數(shù)﹣24，﹣10，10．兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位/秒，乙的速度為6個(gè)單位/秒．（1）問甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？（2）問多少秒后甲到，，三點(diǎn)的距離之和為40個(gè)單位？．（3）若甲、乙兩只電子螞蟻（用表示甲螞蟻、表示乙螞蟻）分別從，兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，乙的速度不變，直接寫出多少時(shí)間后，原點(diǎn)、甲螞蟻與乙螞蟻三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是另兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)．7．（2022·湖南·鳳凰縣七年級(jí)期末）已知：A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別用a，b表示，O表示原點(diǎn)，且，P是數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)在數(shù)軸上標(biāo)出A、B的位置，并求出A、B之間的距離．(2)已知線段OA上有點(diǎn)C且|AC|=9，當(dāng)數(shù)軸上有點(diǎn)P滿足PB=2PC時(shí)，求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P第一次向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，第二次向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，第三次向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度第四次向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P能移動(dòng)到與A或B重合的位置嗎？若都不能，請(qǐng)直接回答．若能，請(qǐng)指出，第幾次移動(dòng)與哪一點(diǎn)重合？8．（2022·吉林·四平市七年級(jí)期中）如圖，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，再向右移動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，然后再向右移動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，數(shù)軸上一個(gè)單位長(zhǎng)度表示．（1）請(qǐng)你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點(diǎn)的位置；（2）把點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離記為，則_______．（3）若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸以每秒勻速向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒后點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為？（4）若點(diǎn)A以每秒的速度勻速向左移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C分別以每秒、的速度勻速向右移動(dòng)。設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，試探索：的值是否會(huì)隨著t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若無(wú)變化，請(qǐng)直接寫出的值．9．（2022·廣東廣州·七年級(jí)期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6，點(diǎn)B表示的數(shù)為10，點(diǎn)M、N分別從原點(diǎn)O、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求點(diǎn)M、點(diǎn)N分別所對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）；（2）若點(diǎn)M、點(diǎn)N均位于點(diǎn)A右側(cè)，且AN＝2AM，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；（3）若點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段BN的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PQ+AM＝17時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．10．（2022·廣東七年級(jí)期中）如圖，若點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，且a，b滿足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB＝|a﹣b|．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）在（1）、（2）的條件下，點(diǎn)A，B，C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和C分別以每秒4單位長(zhǎng)度和9個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后，請(qǐng)問：AB﹣BC的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其常數(shù)值．11．（2022·河北·景縣七年級(jí)期中）自主學(xué)習(xí)：連接兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離．[問題1]數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離與這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的關(guān)系．觀察數(shù)軸如圖，填空：①點(diǎn)與點(diǎn)的距離是2；②點(diǎn)與點(diǎn)的距離是________；③點(diǎn)與點(diǎn)的距離是________；[發(fā)現(xiàn)1]在數(shù)軸上如果點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，則、兩點(diǎn)之間的距離是________（用含，的代數(shù)式表示）如果線段上有一點(diǎn)，把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線段的中點(diǎn)．[問題2]以數(shù)軸上任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)所表示的數(shù)與這兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的關(guān)系．①的中點(diǎn)表示的數(shù)是1；②的中點(diǎn)表示的數(shù)是________；③的中點(diǎn)表示的數(shù)是________；[發(fā)現(xiàn)2]在數(shù)軸上如果點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，則線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是________（用含，的代數(shù)式表示）[應(yīng)用]在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為-6，且、兩點(diǎn)之間的距離是9，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)是______．12．（2022·四川·成都市七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（1）點(diǎn)與點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為______．（2）在（1）的條件下，如圖，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到所在的點(diǎn)處時(shí)，求，兩點(diǎn)間距離．（3）如圖，若點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是10，現(xiàn)有點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．在運(yùn)動(dòng)過程中，到的距離、到的距離以及到的距離中，是否會(huì)有某兩段距離相等的時(shí)候？若有，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)期末）如圖，射線上有三點(diǎn)，滿足cm，cm，cm.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以2cm/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為3cm/秒，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩點(diǎn)相遇?(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度;(3)自點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，分別取和的中點(diǎn)，求的值.14．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為一1、5，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．（1）若點(diǎn)P到點(diǎn)A點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是；（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A點(diǎn)B的距離之和為8？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）現(xiàn)在點(diǎn)A點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度每分和1個(gè)單位長(zhǎng)度每分的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以6個(gè)單位長(zhǎng)度每分的速度向O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)遇到A時(shí)，點(diǎn)P以原來(lái)的速度向右運(yùn)動(dòng)，并不停得往返于A與B之間，求當(dāng)A遇到B重合時(shí)，P所經(jīng)過的總路程．15．（2022·山東·梁山縣水泊街道初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）已知，如圖，、、分別為數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為60，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，并且與點(diǎn)的距離為30，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)到距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的4倍．（1）求出數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)及的距離．（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以3單位/秒的速度項(xiàng)終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①點(diǎn)點(diǎn)在之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則_______．（用含的代數(shù)式表示）②點(diǎn)在點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，何時(shí)、、三點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)？求出相應(yīng)的時(shí)間．③當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)以5單位/秒速度從點(diǎn)出發(fā)，也向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即原速返回到點(diǎn)，那么點(diǎn)在往返過程中與點(diǎn)相遇幾次？直接寫出相遇是點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)．

專題02數(shù)軸中的九類動(dòng)態(tài)模型數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問題屬于七年級(jí)上冊(cè)必考?jí)狠S題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生的分析與綜合能力。解題時(shí)，一般遵循“點(diǎn)、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動(dòng)點(diǎn)的出發(fā)位置，移動(dòng)方向和速度，用含t的式子表示動(dòng)點(diǎn)，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動(dòng)點(diǎn)的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗(yàn)解是否符合動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍）。【知識(shí)儲(chǔ)備】①求A、B兩點(diǎn)間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無(wú)法確定左右位置：；②求A、B的中點(diǎn)：；③數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問題主要步驟：1）畫圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：運(yùn)動(dòng)方向和速度；2）寫點(diǎn)——寫出所有點(diǎn)表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動(dòng)用“+”表示，向左運(yùn)動(dòng)用“-”表示；3）表示距離——右—左，若無(wú)法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對(duì)值；4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。注意：要注意動(dòng)點(diǎn)是否會(huì)來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)。模型1.左右跳躍模型（動(dòng)態(tài)規(guī)律模型）【模型解讀】例1．（2022·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)O出發(fā)開始移動(dòng)，第1次向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P1，第2次向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P2，第3次向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P3，第4次向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P4，第5次向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P5…，點(diǎn)P按此規(guī)律移動(dòng)，則移動(dòng)第158次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A．159 B．-156 C．158 D．1【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，按題目敘述的移動(dòng)方法即可得到點(diǎn)前五次移動(dòng)后在數(shù)軸上表示的數(shù)；根據(jù)移動(dòng)的規(guī)律即可得移動(dòng)第158次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)．【詳解】解：設(shè)向右為正，向左為負(fù)，則表示的數(shù)為+1，表示的數(shù)為+3表示的數(shù)為0，表示的數(shù)為-4，表示的數(shù)為+1……由以上規(guī)律可得，每移動(dòng)四次相當(dāng)于向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度．所以當(dāng)移動(dòng)156次時(shí)，156=39×4相當(dāng)于向左移動(dòng)了39次四個(gè)單位長(zhǎng)度．此時(shí)表示的數(shù)為．則第157次向右移動(dòng)157個(gè)單位長(zhǎng)度，；第158次還是向右，移動(dòng)了158個(gè)單位長(zhǎng)度，所以．故在數(shù)軸上表示的數(shù)為159．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，正確理解題意，找出點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)次數(shù)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·浙江嘉興·七年級(jí)期末）一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動(dòng)，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度，表示第n秒時(shí)機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】①②④【分析】“前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，先根據(jù)題意列出幾組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)找尋規(guī)律：第一個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，第m個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)就是第5m個(gè)數(shù)，即x5m=m．然后再根據(jù)“前進(jìn)3步后退2步”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)求取對(duì)應(yīng)的數(shù)值．【詳解】根據(jù)題意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列舉知①②正確，符合題意；由上可知：第一個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，即第m個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③錯(cuò)誤，不合題意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正確．符合題意．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——數(shù)字的變化類，主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律是“左減右加”．把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)．前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，讓n÷5看余數(shù)，余數(shù)是幾，那么第n秒時(shí)就是循環(huán)節(jié)中對(duì)應(yīng)的第幾個(gè)數(shù)．變式1．（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）如圖，A點(diǎn)的初始位置在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)上，先對(duì)A做如下移動(dòng)：第一次向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，第二次從B點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，第三次從C點(diǎn)出發(fā)向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)D，第四次從D點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)E，……．以此類推，按照以上規(guī)律第（

）次移動(dòng)到的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為20.A．7 B．10 C．14 D．19【答案】C【分析】次數(shù)的序號(hào)為奇數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的右邊，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次增加3，序號(hào)為偶數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的左側(cè)，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次減少3，用n的代數(shù)式表示出一般規(guī)律，即可解答．【詳解】解：第1次點(diǎn)A向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)B，則B表示的數(shù)，1+3=4；第2次從點(diǎn)B向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)C，則C表示的數(shù)為46=2；第3次從點(diǎn)C向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)D，則D表示的數(shù)為2+9=7；第4次從點(diǎn)D向左移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)E，則E表示的數(shù)為712=5；第5次移動(dòng)后表示的數(shù)為5+15=10；第6次移動(dòng)后表示的數(shù)為1018=8；…；當(dāng)移動(dòng)次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)是4，7，10，…，第n次移動(dòng)后表示的數(shù)是，當(dāng)時(shí)，解得，n=（不符合題意，舍去）．當(dāng)移動(dòng)次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，5，8，…，第n次移動(dòng)后表示的數(shù)是，當(dāng)時(shí)，解得，n=14．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，探索出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸和5的位置上，沿?cái)?shù)軸做移動(dòng)游戲．每次的移動(dòng)游戲規(guī)則如下：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正另一面是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動(dòng)．①若都對(duì)或都錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位；②若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位；③若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位．(1)若第一次移動(dòng)游戲，甲、乙兩人都猜對(duì)了，則甲、乙兩人之間的距離是_______________個(gè)單位；(2)若完成了10次移動(dòng)游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對(duì)一錯(cuò)．設(shè)乙猜對(duì)n次，且他最終停留的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為m．請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示m；(3)經(jīng)過_______________次移動(dòng)游戲，甲、乙兩人相遇．【答案】(1)6(2)(3)4【分析】（1）利用規(guī)則可知甲乙都對(duì)兩人移動(dòng)后兩人的距離縮短2個(gè)單位，甲對(duì)乙錯(cuò)兩人移動(dòng)后兩人的距離縮短2個(gè)單位，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)乙猜對(duì)n次，則甲猜對(duì)次，利用平移規(guī)則即可推算出結(jié)果；（3）由題意可得開始時(shí)兩人相距8個(gè)單位，根據(jù)情況推算3種情況縮小的距離即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：∵甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸和5的位置上，∴甲乙之間的距離為8，∵若甲乙都對(duì)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離縮小2個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離為：個(gè)單位)；（2）解：由題意可得，乙猜對(duì)n次，則乙猜錯(cuò)次，則有：；（3）解：由題意可得，∵若甲乙都對(duì)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離縮小2個(gè)單位，∵若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離縮小2個(gè)單位，∵若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離縮小2個(gè)單位，∵甲乙之間的距離為8，∴甲、乙兩人相遇要經(jīng)過：（次）．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，數(shù)軸，本題是動(dòng)點(diǎn)型題目，找出移動(dòng)后甲乙距離變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．模型2.點(diǎn)的常規(guī)運(yùn)動(dòng)模型【模型解讀】例1．（2023·江蘇、·七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點(diǎn)間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)），請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，PQ＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，PQ＝2t－16；當(dāng)12＜t≤20時(shí)，PQ＝20－t．【分析】（1）由題意根據(jù)數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)向正方向移動(dòng)用加法以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行分析計(jì)算；（2）根據(jù)題意點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒列出代數(shù)式即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤8時(shí)，當(dāng)8＜t≤12時(shí)，當(dāng)12＜t≤20時(shí)三種情況進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，P、Q兩點(diǎn)間的距離為：，故答案為：－5,－11；

6．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：－10＋t．故答案為：－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

當(dāng)12＜t≤20時(shí)，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握列代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)以及兩點(diǎn)間距離公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維和分類討論思維進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.變式1.（2022·河北石家莊·七年級(jí)期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①B對(duì)應(yīng)的數(shù)是－4；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，t＝6；③BP＝2時(shí)，t＝5；④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度不變A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)兩點(diǎn)間距離進(jìn)行計(jì)算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，由題意求出AP的長(zhǎng)，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，利用線段的中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且AB=12，∴8-x=12，∴x=-4，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是-4，故①正確；由題意得：12÷2=6（秒），∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，t=6，故②正確；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2時(shí)，t=5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2時(shí)，t=7，綜上所述，BP=2時(shí)，t=5或7，故③錯(cuò)誤；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度不變，故④正確；所以，上列結(jié)論中正確的有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇南京·七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點(diǎn)間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)），請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，PQ＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，PQ＝2t－16；當(dāng)12＜t≤20時(shí)，PQ＝20－t．【分析】（1）由題意根據(jù)數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)向正方向移動(dòng)用加法以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行分析計(jì)算；（2）根據(jù)題意點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒列出代數(shù)式即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤8時(shí)，當(dāng)8＜t≤12時(shí)，當(dāng)12＜t≤20時(shí)三種情況進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，P、Q兩點(diǎn)間的距離為：，故答案為：－5,－11；

6．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：－10＋t．故答案為：－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

當(dāng)12＜t≤20時(shí)，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握列代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)以及兩點(diǎn)間距離公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維和分類討論思維進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.變式2．（2022·河北·邯鄲七年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)軸上標(biāo)出數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；兩點(diǎn)間距離=____；兩點(diǎn)間距離=；數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，那么兩點(diǎn)之間的距離=；若動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；已知點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，問：①為何值時(shí)兩點(diǎn)重合？②為何值時(shí)兩點(diǎn)之間的距離為？【答案】（1）見解析；（2）；（3）（4）①；②2或4【分析】直接根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可得出答案；用數(shù)軸上右邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)減去左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)即可求出距離；根據(jù)距離等于兩點(diǎn)表示的數(shù)之差的絕對(duì)值即可得出答案；①分別用含t的代數(shù)式表示出P，Q表示的有理數(shù)，通過題意建立方程，解方程即可；②根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離為1，建立方程，解方程即可．【詳解】如圖，之間的距離為，B，C兩點(diǎn)間距離為；兩點(diǎn)之間的距離為；①設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，令解得，②間的為，令解得．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的求法是解題的關(guān)鍵．模型3.中點(diǎn)與n等分點(diǎn)模型【模型解讀】例1．（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）如圖，已知在數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是．點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度在沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）_______；時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)是_______；當(dāng)_______時(shí)，、兩點(diǎn)相遇；（2）如圖，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)；（3）如圖，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．點(diǎn)為線段中點(diǎn)，則直接寫出用含的代數(shù)式表示的線段的長(zhǎng)．【答案】（1）15；；3；（2）不變化，=7.5；（3）．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義，線段的和差定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)定義，可得MN=MP+NP=（AP+BP）=AB；（3）由題意根據(jù)線段的中點(diǎn)定義，線段和差定義計(jì)算即可.【詳解】解：（1）AB=9-（-6）=15，t=1時(shí)，BQ=3，OQ=6，設(shè)t秒后相遇，由題意（2+3）t=15，t=3，故答案為：15，6，3.（2）答：MN長(zhǎng)度不變，理由如下：∵M(jìn)為AP中點(diǎn)，N為BP中點(diǎn)∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7.5．（3）根據(jù)題意分別得到點(diǎn)M表示的數(shù)為t-6；點(diǎn)T表示的數(shù)為9-1.5t；根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義可得MT=9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，線段中點(diǎn)定義，線段的和差定義等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)基本知識(shí)．例2．（2022·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x．(1)請(qǐng)直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10．(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，他們的速度分別為每秒1、2、1個(gè)（單位長(zhǎng)度/秒）．①幾秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)？并求出此時(shí)x的值；②是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)，若存在請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)或(2)①2秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)；②或【分析】(1)分計(jì)算即可．（2）①根據(jù)題意,點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，根據(jù)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，得到，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．②分兩種情況計(jì)算求解即可．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x，P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10，當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，不符號(hào)題意，故或．（2）①根據(jù)題意,點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，因?yàn)辄c(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，所以，解得．②因?yàn)閿?shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和4，所以，當(dāng)時(shí)，則，解得．當(dāng)時(shí)，則，解得．當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，兩點(diǎn)間的距離，線段的中點(diǎn)即線段上一點(diǎn)把線段分成相等的兩條相等，線段的三等分點(diǎn)，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·成都市·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），點(diǎn)C是數(shù)軸上不與A，B兩點(diǎn)重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，如果點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，求線段MN的長(zhǎng)度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說(shuō)法判斷正確的是（

）甲說(shuō)：若點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為；乙說(shuō)：若點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為；丙說(shuō)：若點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為．A．只有甲正確 B．只有乙正確 C．只有丙正確 D．三人均不正確【答案】A【分析】分別求得點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度，判定即可．【詳解】解：點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖：甲說(shuō)法正確；當(dāng)點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖：乙說(shuō)法不正確；當(dāng)點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖：丙說(shuō)法不正確故選A【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)以及兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是對(duì)點(diǎn)C的位置進(jìn)行分類討論分別求解．變式2．（2022秋·安徽滁州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別是、，則、兩點(diǎn)間的距離可以表示為，例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)間的距離是，表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)間的距離是，利用上述結(jié)論，解決問題：(1)若，則=_____；(2)若有一個(gè)半徑為的圓上有一點(diǎn)，與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，將圓沿?cái)?shù)軸無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)周，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則點(diǎn)表示的數(shù)為______用含有的代數(shù)式表示；(3)，為數(shù)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，且，點(diǎn)C表示的數(shù)為，若點(diǎn)、、、三點(diǎn)中的某一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求、的值．【答案】(1)10或-4；(2)或；(3)，或，或，．【分析】（1）根據(jù)距離公式進(jìn)行求解即可；（2）分向左和向右兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)左減右加進(jìn)行求解即可；（3）分、、分別為線段的中點(diǎn)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴在數(shù)軸上，表示數(shù)的點(diǎn)與數(shù)的點(diǎn)之間的距離為，或，解得或．故答案為：或；（2）解：∵圓的半徑為，此圓的周長(zhǎng)，當(dāng)圓向左滾動(dòng)時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)是；當(dāng)圓向右滾動(dòng)時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)是．故答案為：或；（3）解：∵，∴在數(shù)軸上，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)．①當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)表示的數(shù)為，，．②當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)表示的數(shù)為，，．③當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)表示的數(shù)為，，．綜上所述，，或，或，．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離問題．熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．模型4.動(dòng)態(tài)定值（無(wú)參型）模型【模型解讀】設(shè)未知數(shù)并表示各動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，若是行程問題一般設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，從而表示出兩點(diǎn)之間的距離。當(dāng)計(jì)算結(jié)果中不含有未知數(shù)，則為定值。例1．（2022秋·福建福州·七年級(jí)校考期末）點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使，若存在，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由；(3)如圖，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，的中點(diǎn)為為靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)判斷正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】(1)4(2)或(3)正確的結(jié)論為①的值不變，其值為2【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可確定出的長(zhǎng)；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，由確定出P位置，即可做出判斷；（3）設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為n，就有，，根據(jù)條件就可以表示出，，再分別代入①和②求出其值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴．答：的長(zhǎng)為4；（2）∵，∴，∴BC==5．設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，∵，∴，令，，∴或．①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，（舍去）；③當(dāng)時(shí)，，．∴當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為或時(shí)，；（3）解：設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為n，∴，．∵PA的中點(diǎn)為M，∴．∵N為的四等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，∴B，∴①=2（不變），②（隨點(diǎn)P的變化而變化），∴正確的結(jié)論為①，且．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸的運(yùn)用，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用，去絕對(duì)值的運(yùn)用，一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式．例2．（2022秋·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB）．（1）AB=，BC=，AC=．（2）若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問：2BC－AC的值是否隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求其值．（3）若點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．求隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）3，5，8；（2）不會(huì)，理由見解析；（3）當(dāng)t<1時(shí)，AB+BC=AC；當(dāng)t大于或等于1，且t小于或等于2時(shí)，BC+AC=AB；當(dāng)t>2時(shí)，AB+AC=BC【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上的位置，寫出AB、BC、AC的長(zhǎng)度；（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC?AC的值，判斷即可；（3）分別表示出AB、BC、AC的長(zhǎng)度，然后分情況討論得出之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）由圖可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案為：3，5，8；（2）2BC?AC的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則2BC?AC＝2[6＋5t?（1＋2t）]?[6＋5t?（?2?t）]＝12＋10t?2?4t?8?6t＝2，故2BC?AC的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變；（3）由題意得，AB＝t＋3，BC＝5?5t（t＜1時(shí)）或BC＝5t?5（t≥1時(shí)），AC＝8?4t（t≤2時(shí)）或AC＝4t?8（t＞2時(shí)），當(dāng)t＜1時(shí)，AB＋BC＝（t＋3）＋（5?5t）＝8?4t＝AC；當(dāng)1≤t≤2時(shí)，BC＋AC＝（5t?5）＋（8?4t）＝t＋3＝AB；當(dāng)t＞2時(shí)，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t?8）＝5t?5＝BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是能求出兩點(diǎn)間的距離．變式1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示數(shù)a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，記AB＝|a﹣b|．（1）求AB的值；（2）如圖，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)BQ＝2BP時(shí)，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M從原點(diǎn)與P、Q點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速度是每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度（1＜x＜2），若在運(yùn)動(dòng)過程中，2MP—MQ的值與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t無(wú)關(guān)，求x的值．【答案】（1）6；（2）1；（3）【分析】（1）由（a+2）2+|b﹣4|＝0，得a＝—2，b＝4，即可求解；（2）設(shè)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BQ＝2BP，①當(dāng)0≤t＜6時(shí)，BP＝6?t，BQ＝2t，得2t＝2（6?t），②當(dāng)t≥6時(shí)，BQ＝2BP不成立；（3）點(diǎn)P、M、Q向運(yùn)動(dòng)t秒后，分別表示的數(shù)是：?2＋t，xt，4＋2t，得MP＝xt?（?2＋t），MQ＝4＋2t?xt，表示出2MP?MQ＝2[xt?（?2＋t）]?（2＋2t?xt）＝（3x?4）t，由當(dāng)2MP?MQ的值與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t無(wú)關(guān)時(shí)，得3x?4＝0，解方程即可．【詳解】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣4|＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴AB＝|﹣2﹣4|＝6；（2）設(shè)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BQ＝2BP，①當(dāng)0≤t＜6時(shí)，BP＝6﹣t，BQ＝2t，2t＝2（6﹣t），解得t＝3，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣2+1×3＝1；②當(dāng)t≥6時(shí)，BQ＝2BP不成立，綜上，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是1；（3）點(diǎn)P、M、Q向運(yùn)動(dòng)t秒后，分別表示的數(shù)是：﹣2+t，xt，4+2t，∴MP＝xt﹣（﹣2+t），MQ＝4+2t﹣xt，∴2MP﹣MQ＝2[xt﹣（﹣2+t）]﹣（2+2t﹣xt）＝（3x﹣4）t，∵當(dāng)2MP﹣MQ的值與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t無(wú)關(guān)時(shí)，∴3x﹣4＝0，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸表示數(shù)的方法和意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離與這兩點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系式解決問題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江西·七年級(jí)期末）已知數(shù)軸上點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，到原點(diǎn)的距離為4，點(diǎn)在原點(diǎn)右邊，從點(diǎn)走到點(diǎn)，要經(jīng)過16個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）寫出、兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）若點(diǎn)也是數(shù)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到原點(diǎn)距離的3倍，求對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）已知點(diǎn)從點(diǎn)開始向右出發(fā)，速度每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)從點(diǎn)開始向右出發(fā)，速度每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的值是否會(huì)發(fā)生變化？若會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不會(huì)，請(qǐng)求出求其值．【答案】（1）-4，12；（2）-6或3；（3）不變化，6【分析】（1）直接根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求出A，B表示的數(shù)即可；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為c，再根據(jù)點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離的3倍列出關(guān)于c的方程，求出c的值即可；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=t，NO=12+2t，再根據(jù)點(diǎn)P是NO的中點(diǎn)用t表示出PO的長(zhǎng)，再求出PO-AM的值即可．【詳解】（1）∵數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，到原點(diǎn)的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，從點(diǎn)A走到點(diǎn)B，要經(jīng)過16個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)A表示-4，點(diǎn)B表示12；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為c，∵點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離的3倍，∴|c-12|=3|c|，∴c-12=3c或c-12=-3c，解得c=-6或c=3；（3）不變化．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=t，NO=12+2t，∵點(diǎn)P是NO的中點(diǎn)，∴PO=6+t，∴PO-AM=6+t-t=6，∴PO-AM的值沒有變化．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．變式2.（2022·福建·廈門市七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點(diǎn)；(1)a＝，b＝.(2)若點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，求點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）(3)若點(diǎn)D以2個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以3個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以6個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，M、N分別為PD、OQ的中點(diǎn)，問的值是否發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：PD指的是點(diǎn)P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長(zhǎng)度的差.類似的，其它的兩個(gè)大寫字母寫在一起時(shí)意義一樣.【答案】（1）-3、9；（2）點(diǎn)C的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)數(shù)都是0，建立關(guān)于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根據(jù)點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，可表示，，再由CA=CB建立關(guān)于x的方程求解即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和方向，分別用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)D、P、Q、M、N對(duì)應(yīng)的數(shù)，再分別求出PQ、OD、MN的長(zhǎng)，然后求出的值為常量，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；（2）設(shè)3秒后點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則，，∵CA=CB，∴，當(dāng)，無(wú)解；當(dāng)，解得x=3，此時(shí)點(diǎn)C的速度為3÷3=1個(gè)單位每秒，∴點(diǎn)C的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t；點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3-3t；點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為9+6t；點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1.5-0.5t；點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為4.5+3t；則PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，∴，為定值，即的值沒有發(fā)生變化.【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸表示的數(shù)正確列出代數(shù)式.模型5.折線數(shù)軸（雙動(dòng)點(diǎn)）模型【模型解讀】例1．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示6，點(diǎn)C表示12，點(diǎn)D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對(duì)值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離．例如，點(diǎn)A和點(diǎn)D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，過點(diǎn)C后繼續(xù)以原來(lái)的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，一直以3個(gè)單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動(dòng)到折線段上時(shí)，O、M兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時(shí)，M、N兩點(diǎn)相遇；(3)當(dāng)__________時(shí)，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)__________時(shí)，M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或【分析】（1）當(dāng)秒時(shí)，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，即的M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為；（2）當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動(dòng)到折線段上，即時(shí)，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，而M、N兩點(diǎn)相遇時(shí)，M、N表示的數(shù)相同，即得，可解得答案；（3）根據(jù)M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，得，可解得或，由時(shí)，M運(yùn)動(dòng)到O，同時(shí)N運(yùn)動(dòng)到C，可知時(shí)，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當(dāng)，即M在從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，有，可解得或，當(dāng)時(shí)，M在從C運(yùn)動(dòng)到D，速度變?yōu)?個(gè)單位/秒，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，即可得答案．【詳解】（1）當(dāng)秒時(shí)，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，∴M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為，故答案為：12；（2）由（1）知，2秒時(shí)M運(yùn)動(dòng)到O，N運(yùn)動(dòng)到C，∴當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動(dòng)到折線段上，即時(shí)