專題13易錯易混集訓(xùn)：一元二次方程之五大易錯類型(原卷版+解析)

專題13易錯易混集訓(xùn)：一元二次方程之五大易錯類型【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯類型一利用方程的定義求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】 1【易錯類型二利用方程的解求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】 3【易錯類型三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“a≠0”】 5【易錯類型四利用根與系數(shù)關(guān)系求值時忽略“△≠0”】 8【易錯類型五與幾何圖形結(jié)合時取舍不當或考慮不全】 12【典型例題】【易錯類型一利用方程的定義求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】例題：（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京門頭溝·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（

）A． B． C． D．2．（2022秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）若是關(guān)于x的一元二次方程，則．3．（2023春·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是多少？【易錯類型二利用方程的解求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是0，則k的值是（

）A． B．2 C．0 D．或2【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，則k的值為（

）A． B．3 C． D．92．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則的值為．3．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程的一個根為．則．4．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為0，則a的值等于．5．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是，則．【答案】1【易錯類型三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“a≠0”】例題：（2023春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（

）A．0或4 B．4或8 C．8 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有實數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且2．（2023·福建福州·校考二模）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為．3．（2023秋·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，求m的取值范圍．4．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當時，用配方法解方程．【易錯類型四利用根與系數(shù)關(guān)系求值時忽略“△≠0”】例題：（2023春·安徽馬鞍山·八年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期末）若、是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，且，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則實數(shù)．2．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，(1)求k的取值范圍；(2)若，滿足，求k的值．3．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍．(2)若兩個實數(shù)根分別是，，且，求m的值．4．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)若是方程的一個根，求的值和方程的另一根；(2)若是方程的兩個實數(shù)根，且滿足，求的值．【易錯類型五與幾何圖形結(jié)合時取舍不當或考慮不全】例題：（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長，另外兩邊的長恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則的周長為【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級單元測試）已知關(guān)于x的方程，若等腰三角形ABC的一邊長a=1，另外兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，則△ABC的周長為．2．（2023春·浙江·八年級期中）有一邊為3的等腰三角形，它的兩邊長是方程的兩根，則這個三角形的周長為．3．（2023春·安徽滁州·八年級校考階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰三角形的兩條邊長．則：（1）m的值為；（2）的周長為．

專題13易錯易混集訓(xùn)：一元二次方程之五大易錯類型【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯類型一利用方程的定義求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】 1【易錯類型二利用方程的解求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】 3【易錯類型三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“a≠0”】 5【易錯類型四利用根與系數(shù)關(guān)系求值時忽略“△≠0”】 8【易錯類型五與幾何圖形結(jié)合時取舍不當或考慮不全】 12【典型例題】【易錯類型一利用方程的定義求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】例題：（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴且，解得：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京門頭溝·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出，解之即可．【詳解】解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．2．（2022秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）若是關(guān)于x的一元二次方程，則．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，且）的方程叫做一元二次方程．3．（2023春·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是多少？【答案】2【分析】一元二次方程兩個條件：①二次項系數(shù)不為0；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2，由題意可以得到關(guān)于的方程和不等式，求解即可．【詳解】解：由題意可得：且，解得：．即的值是2．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．【易錯類型二利用方程的解求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是0，則k的值是（

）A． B．2 C．0 D．或2【答案】A【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．【詳解】解：原方程，把代入可得到，解得或，當時，，一元二次方程不成立，故舍去，所以．故選：A．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．本題容易出現(xiàn)的錯誤是忽視二次項系數(shù)不等于0這一條件．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，則k的值為（

）A． B．3 C． D．9【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將代入關(guān)于x的一元二次方程得到關(guān)于k的方程求解，再根據(jù)一元二次方程定義確定k值即可得到答案．【詳解】解：由題意得：把代入方程，得：，整理得解得：，，，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則的值為．【答案】【分析】將代入原方程，結(jié)合一元二次方程的定義即可求得的值．【詳解】解：根據(jù)題意，將代入方程可得，解得：或，，即，．故答案為：．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，是一個基礎(chǔ)題，解題時候注意二次項系數(shù)不能為，難度不大．3．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程的一個根為．則．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的意義，得到，根據(jù)題意求解即可．【詳解】解：將代入得，整理得，解得或當時，原方程二次項系數(shù)為零，不滿足題意，，故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的定義及一元二次方程的解，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為0，則a的值等于．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把代入得，再解關(guān)于a的方程，然后利用一元二次方程的定義確定a的值．【詳解】把代入得，解得，而，所以．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是，則．【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得，根據(jù)一元二次方程的解的定義將代入原方程，得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個根是，∴且，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的解的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【易錯類型三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“a≠0”】例題：（2023春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（

）A．0或4 B．4或8 C．8 D．4【答案】D【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式，建立方程，求出值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得，（舍去）．∴k的值為4，故選：D．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：（1）?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）?方程沒有實數(shù)根．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有實數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】由于關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，且，據(jù)此列不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，且，解得，，且.故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程沒有實數(shù)根．2．（2023·福建福州·校考二模）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為．【答案】且【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根，則有且，然后求它們的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，且，即，∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴且．故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程（，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元一次不等式的解法．3．（2023秋·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，求m的取值范圍．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的性質(zhì)列出算式，計算即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴且，解得且，故m的取值范圍且．【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當時，方程無實數(shù)根．4．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當時，用配方法解方程．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根據(jù)題意，可得，注意一元二次方程的系數(shù)問題，即可解答，（2）將代入，利用配方法解方程即可．【詳解】（1）解：依題意得：，解得且；（2）解：當時，原方程變?yōu)椋海瑒t有：，，，方程的根為，．【點睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【易錯類型四利用根與系數(shù)關(guān)系求值時忽略“△≠0”】例題：（2023春·安徽馬鞍山·八年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谀┤簟⑹顷P(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，且，則的值為．【答案】3【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)得到，解方程求出k的值，最后用根的判別式驗證是否符合題意即可．【詳解】解：∵、是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，∴，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則實數(shù)．【答案】3【分析】利用一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根求出m的取值范圍，由根與系數(shù)關(guān)系得到，代入，解得的值，根據(jù)求得的m的取值范圍，確定m的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合題意，舍去），∴故答案為：3【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，(1)求k的取值范圍；(2)若，滿足，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可得到的范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，由題意得出關(guān)于的方程，則可求出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得；的取值范圍是．（2）根據(jù)題意得，，，滿足，，，，，經(jīng)檢驗是原方程的根，，．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．也考查了根的判別式的意義．3．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍．(2)若兩個實數(shù)根分別是，，且，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，繼而求得實數(shù)的取值范圍；（2）由方程的兩個實數(shù)根為、，且，可得方程，解關(guān)于的方程求得答案．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．，即；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，，，解得或，而，的值為．【點睛】此題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．注意方程有兩個不相等的實數(shù)根，若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：，是方程的兩根時，，．4．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)若是方程的一個根，求的值和方程的另一根；(2)若是方程的兩個實數(shù)根，且滿足，求的值．【答案】(1)的值為，另一個根為(2)的值為【分析】（1）直接把代入方程中，求出m的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個根即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再利用判別式求出，結(jié)合已知條件推出，即，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：將代入方程得，，解得設(shè)另一個根為，則，解得∴的值為，另一個根為；（2）解：由題意得：，同時滿足即，∴，∵，∴∴解得或，∵∴，∴的值為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【易錯類型五與幾何圖形結(jié)合時取舍不當或考慮不全】例題：（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長，另外兩邊的長恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則的周長為【答案】15【分析】分情況討論：若a作為腰，則方程的一個根為6，將6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周長；將a作為底，則說明方程有兩個相等的實數(shù)根，則根據(jù)求出k的值，然后將k的值代入方程求出解，得出周長．【詳解】若為腰，則中還有一腰，即6是方程的一個根．∴解得：將代入得：解得：．，此時能構(gòu)成三角形，的周長為：若為底，則，即方程有兩個相等的實根．∴解得：將代入得：解得：．，∵∴此時不能構(gòu)成三角形，不能計算周長綜上可得：的周長為15．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判別式等知識，按若是否為底邊分類討論和構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵．特別注意驗證是否能構(gòu)成三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級單元測試）已知關(guān)于x的方程，若等腰三角形ABC的一邊長a=1，另外兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，則△ABC的周長為．【答案】5【分析】已知a=1，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進行檢驗．【詳解】解：①若a=1為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則Δ=0．∴，解得：k=2．此時原方程化為，∴==2，即b=c=2．此時△ABC三邊為1，2，2能構(gòu)成三角形，∴△ABC的周長為：1+2+2=5；②若b≠c，則b=a=1或c=a=1，即方程有一根為1，∵把x=1代入方程，得1-（k+2）+2k=0，解得k=1，∴此時方