2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)試題含解析

2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)試題（含解析數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘；2．全卷共三道大題，總分120分；3．所有試題請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在試卷上答題無效．一、單項(xiàng)選擇題（本題10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.下列圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.3.由5個(gè)形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）A.1種 B.2種 C.3種 D.4種4.某校八年級(jí)3班承擔(dān)下周學(xué)校升旗任務(wù)，老師從備選的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中，選擇兩名擔(dān)任升旗手，則甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的概率是（）A. B. C. D.5.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.一種藥品原價(jià)每盒48元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒27元，兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為（）A. B. C. D.7.如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.20258.矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)D，與邊交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（）A. B. C. D.9.小明同學(xué)手中有一張矩形紙片，，，他進(jìn)行了如下操作：第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把沿折疊得到，交折痕于點(diǎn)E，則線段長(zhǎng)為（）A B. C. D.10.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是（）A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④二、填空題（本題8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是______________．12.如圖，中，D是上一點(diǎn)，，D、E、F三點(diǎn)共線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件______，使得．（只添一種情況即可）13.將拋物線向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過點(diǎn)，則______．14.如圖，在中，直徑于點(diǎn)E，，則弦的長(zhǎng)為______．15.已知一組正整數(shù)a，1，b，b，3有唯一眾數(shù)8，中位數(shù)是5，則這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______．16.若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為______．17.矩形的面積是90，對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊的三等分點(diǎn)，連接，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，連接，則的值為______．18.如圖，在正方形中，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，分別交于點(diǎn)F、M，過點(diǎn)F作，分別交、于點(diǎn)N、P，連接．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③若P是中點(diǎn)，，則；④；⑤若，則．其中正確的結(jié)論是______．三、解答題（共66分）19.先化簡(jiǎn)，再求值：，并從，0，1，2，3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．20.如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為米的測(cè)角儀，對(duì)垂直于地面的建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量，于點(diǎn)C．在B處測(cè)得A的仰角，然后將測(cè)角儀向建筑物方向水平移動(dòng)6米至處，于點(diǎn)G，測(cè)得A的仰角，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：）21.某校為掌握學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解情況，在全校范圍內(nèi)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查問卷，并將收集到的信息進(jìn)行整理，繪制成如圖所示不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中A為“非常了解”，B為“了解較多”，C為“基本了解”，D為“了解較少”．請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了______名學(xué)生；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“了解較少”所對(duì)應(yīng)圓心角度數(shù)；（3）若全校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)全校有多少名學(xué)生“非常了解”垃圾分類問題．22.在中，，，，以為邊向外作有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接，請(qǐng)用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出的面積．23.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，邊上的高的值為______．24.一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經(jīng)B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時(shí)到達(dá)目的地．甲、乙兩車之間的路程與兩車行駛時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問題：（1）甲車行駛的速度是_____，并在圖中括號(hào)內(nèi)填上正確的數(shù)；（2）求圖中線段所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）請(qǐng)直接寫出兩車出發(fā)多少小時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．25.數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問題，讓同學(xué)們探究．在中，，點(diǎn)D在直線上，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖①，求證：；分析問題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在上截取，連接，通過證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：推理證明：寫出圖①證明過程：探究問題：（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若，，則______．26.牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國(guó)總產(chǎn)量的以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準(zhǔn)備在該地購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品、特級(jí)干品兩種猴頭菇，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請(qǐng)解答下列問題：（1）特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）某商店計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇共80箱，特級(jí)鮮品猴頭菇每箱售價(jià)定為50元，特級(jí)干品猴頭菇每箱售價(jià)定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）的條件下，購(gòu)進(jìn)猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出，最終獲利1577元，請(qǐng)直接寫出商店的進(jìn)貨方案．27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，線段的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)根．請(qǐng)解答下列問題：（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若線段垂直平分線交直線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，點(diǎn)E在第一象限，，連接，求的值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線上，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使以E、M、N為頂點(diǎn)的三角形是直角邊比為1∶2的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出的個(gè)數(shù)和其中兩個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)試題（含解析數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘；2．全卷共三道大題，總分120分；3．所有試題請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在試卷上答題無效．一、單項(xiàng)選擇題（本題10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.下列圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形定義是解題關(guān)鍵．中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重臺(tái)，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)定義依次對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了單項(xiàng)式的乘除法，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行逐項(xiàng)計(jì)算，即可作答．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D、，故該選項(xiàng)是正確的；故選：D．3.由5個(gè)形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）A.1種 B.2種 C.3種 D.4種【答案】C【解析】【分析】本題考查了三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義．根據(jù)小正方體一共5個(gè)，以及主視圖和左視圖，畫出俯視圖即可．【詳解】解：由主視圖可知，左側(cè)一列最高一層，右側(cè)一列最高三層，由左視圖可知，前一排最高三層，后一排最高一層，可知右側(cè)第一排一定為三層，可得該幾何體俯視圖如圖所示，故選：C．4.某校八年級(jí)3班承擔(dān)下周學(xué)校升旗任務(wù)，老師從備選的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中，選擇兩名擔(dān)任升旗手，則甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查畫樹狀圖或列表法求概率，列表適用于兩個(gè)因素的問題，三個(gè)或三個(gè)以上因素的問題只能用樹狀圖．根據(jù)列表法或者樹狀圖分析出所有可能的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）?。ǘ。祝ǘ?，乙）（丁，丙）由列表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的情況有2種，則甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的概率是．故選：A．5.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接，由是的直徑得到，根據(jù)圓周角定理得到，得到，再由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到答案.【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴∴∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故選：B6.一種藥品原價(jià)每盒48元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒27元，兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)原價(jià)每盒48元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒27元，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為，由題意，得：，解得：（舍去）；故選C．7.如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】B【解析】【分析】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律．根據(jù)前幾個(gè)圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含n的代數(shù)式表示出第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，從而可求第674個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，即，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，即，第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，即，…，按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖案有個(gè)三角形，則第674個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：（個(gè)）．故選：B．8.矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)D，與邊交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．過點(diǎn)E作，則，設(shè)，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值．【詳解】過點(diǎn)E作，則，∴，∴設(shè)，∵∴，∴∴即，解得：故選D9.小明同學(xué)手中有一張矩形紙片，，，他進(jìn)行了如下操作：第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把沿折疊得到，交折痕于點(diǎn)E，則線段的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出，進(jìn)而得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：，列出方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊可得：，，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即，故選：B．10.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是（）A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意得到拋物線的解析式為，即可得到，，代入即可判斷①；根據(jù)判斷②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把，代入解方程求出m的值判斷④．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為：，∴，，∴，故①正確；∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，∴，即，∴，故②正確；∵，∴，即，∴，又∵，∴，故③錯(cuò)誤；∵令相等，則∴，解得（舍），，∴，故④正確；故選A．二、填空題（本題8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是______________．【答案】x≥-3且x≠0【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列不等式組求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：x+3≥0且x≠0，解得x≥-3且x≠0．故答案為：x≥-3且x≠0．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍．考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0，二次根式有意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．12.如圖，中，D是上一點(diǎn)，，D、E、F三點(diǎn)共線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件______，使得．（只添一種情況即可）【答案】或（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．【詳解】解：∵∴，，∴添加條件，可以使得，添加條件，也可以使得，∴；故答案為：或（答案不唯一）．13.將拋物線向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過點(diǎn)，則______．【答案】2【解析】【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到，再整體代入變形后代數(shù)式即可．詳解】解：拋物線向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，把點(diǎn)代入得到，，得到，∴，故答案為：214.如圖，在中，直徑于點(diǎn)E，，則弦的長(zhǎng)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．15.已知一組正整數(shù)a，1，b，b，3有唯一眾數(shù)8，中位數(shù)是5，則這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______．【答案】5【解析】【分析】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的知識(shí)．根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的概念求解．【詳解】解：∵這組數(shù)據(jù)有唯一眾數(shù)8，∴b8，∵中位數(shù)是5，∴a是5，∴這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故答案為：5．16.若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)的值即可．【詳解】解：，化簡(jiǎn)得：，去分母得：，移項(xiàng)合并得：，解得：，由方程的解是正整數(shù)，得到為正整數(shù)，即或，解得：或（舍去，會(huì)使得分式無意義）．故答案為：．17.矩形的面積是90，對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊的三等分點(diǎn)，連接，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，連接，則的值為______．【答案】13或【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理．當(dāng)時(shí)，利用三角形中位線定理求得，再求得矩形的邊長(zhǎng)，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)即可求解；當(dāng)時(shí)，同理求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，∵矩形，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，，∵點(diǎn)E是邊的三等分點(diǎn)，∴，，∵矩形的面積是90，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，∵矩形，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，，∵點(diǎn)E是邊的三等分點(diǎn)，∴，，∵矩形的面積是90，∴，∴，∴，∴；故答案為：13或．18.如圖，在正方形中，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，分別交于點(diǎn)F、M，過點(diǎn)F作，分別交、于點(diǎn)N、P，連接．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③若P是中點(diǎn)，，則；④；⑤若，則．其中正確的結(jié)論是______．【答案】①②③⑤【解析】【分析】如圖1，作于，則四邊形是矩形，證明，則，可判斷①的正誤；如圖2，作交于，連接，證明，則，，由，，可得，，，證明，則，由勾股定理得，，由，可得，可判斷②的正誤；如圖3，連接，由勾股定理得，，，可求，設(shè)，則，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求滿足要求的解為，則，，由，可得，可求，可判斷③的正誤；由題意知，，不相似，，可判斷④的正誤；由設(shè)，，，則，，，，證明，則，證明，則，即，可求，同理，，則，即，同理，，則，即，可得，將代入得，，整理得，，可得，，則，可判斷⑤的正誤．【詳解】解：∵正方形，∴，，，如圖1，作于，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，①正確，故符合要求；如圖2，作交于，連接，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，，，∴，∴，由勾股定理得，，∵，∴，②正確，故符合要求；∵P是中點(diǎn)，，∴，如圖3，連接，由勾股定理得，，，解得，，設(shè)，則，，由勾股定理得，，∵，∴，整理得，，解得，或（舍去），∴，，∵，∴，解得，，③正確，故符合要求；由題意知，，∴不相似，，④錯(cuò)誤，故不符合要求；∵，∴，，設(shè)，，，則，，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，同理，，∴，即，同理，，∴，即，∴，將代入得，，整理得，，解得，，∴，⑤正確，故符合要求；故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共66分）19.先化簡(jiǎn)，再求值：，并從，0，1，2，3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【答案】，取，原式【解析】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先計(jì)算括號(hào)內(nèi)減法，再計(jì)算除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選取合適的值代入計(jì)算即可得．【詳解】解：．且，或或．當(dāng)時(shí)，原式．或當(dāng)時(shí)，原式．或當(dāng)時(shí)，原式．20.如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為米的測(cè)角儀，對(duì)垂直于地面的建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量，于點(diǎn)C．在B處測(cè)得A的仰角，然后將測(cè)角儀向建筑物方向水平移動(dòng)6米至處，于點(diǎn)G，測(cè)得A的仰角，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】17.5米【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，由題意可得四邊形是矩形，則．解直角三角形得到，進(jìn)而得到，據(jù)此求出即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知四邊形是矩形，．如圖，．，．，．（米）答：建筑物的高度約為米．21.某校為掌握學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解情況，在全校范圍內(nèi)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查問卷，并將收集到的信息進(jìn)行整理，繪制成如圖所示不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中A為“非常了解”，B為“了解較多”，C為“基本了解”，D為“了解較少”．請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了______名學(xué)生；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“了解較少”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）若全校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)全校有多少名學(xué)生“非常了解”垃圾分類問題．【答案】（1）50（2），圖形見詳解（3）480名【解析】【分析】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?）用A、C、D的總?cè)藬?shù)除以所占比例即可求解；（2）先用“了解較少”的占比，用總?cè)藬?shù)減去A、C、D的人數(shù)即可得B的人數(shù)，據(jù)此即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）用樣本估算總體即可．【小問1詳解】解：這次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（名）；【小問2詳解】“了解較少”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：，（人）補(bǔ)全圖形如下：【小問3詳解】（名），估計(jì)全校有多少名學(xué)生“非常了解”垃圾分類問題有480名．22.在中，，，，以為邊向外作有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接，請(qǐng)用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出的面積．【答案】圖形見解析，的面積為12或36．【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．分兩種情況討論，作，垂足為，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求得的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，所作圖形如圖，作，垂足為，∵菱形，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴的面積為；當(dāng)時(shí)，所作圖形如圖，作，垂足為，∵菱形，，∴，，∵，∴，，∴，，∴的面積為；綜上，的面積為12或36．23.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，邊上的高的值為______．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與圖形的面積，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）先求出直線的解析式，然后過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，根據(jù)求出面積的最大值，然后求高即可．小問1詳解】解：把和代入得：，解得，∴二次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：令，則，解得：，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，設(shè)直線的解析式為，代入得：，解得，∴直線的解析式為，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，∴，∴最大為，∴．24.一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經(jīng)B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時(shí)到達(dá)目的地．甲、乙兩車之間的路程與兩車行駛時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問題：（1）甲車行駛的速度是_____，并在圖中括號(hào)內(nèi)填上正確的數(shù)；（2）求圖中線段所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）請(qǐng)直接寫出兩車出發(fā)多少小時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．【答案】（1）70，300（2）（3）或【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，求出A、B、C兩兩之間的距離是解題的關(guān)鍵．（1）利用時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系求解；（2）利用待定系數(shù)法求解；（3）先求出A、B、C兩兩之間的距離和乙車的速度，設(shè)兩車出發(fā)x小時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后兩種情況，列一元一次方程分別求解即可．【小問1詳解】解：由圖可知，甲車小時(shí)行駛的路程為，甲車行駛的速度是，∴A、C兩地的距離為：，故答案為：70；300；【小問2詳解】解：由圖可知E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為，，設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，則，解得，線段所在直線的函數(shù)解析式為；【小問3詳解】解：由題意知，A、C兩地的距離為：，乙車行駛的速度為：，C、B兩地的距離為：，A、B兩地的距離為：，設(shè)兩車出發(fā)x小時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，分兩種情況，當(dāng)甲乙相遇前時(shí)：，解得；當(dāng)甲乙相遇后時(shí)：，解得；綜上可知，兩車出發(fā)或時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．25.數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問題，讓同學(xué)們探究．在中，，點(diǎn)D在直線上，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖①，求證：；分析問題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在上截取，連接，通過證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：推理證明：寫出圖①的證明過程：探究問題：（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若，，則______．【答案】（1）見解析；（2）圖②：，圖③：；（3）10或18【解析】【分析】（1）在邊上截取，連接，根據(jù)題意證明出，得到，然后證明出是等邊三角形，得到，進(jìn)而求解即可；（2）圖②：在上取點(diǎn)H，使，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)G使，連接，首先證明出是等邊三角形，得到，然后求出，然后證明出，得到，，然后證明出是等邊三角形，得到，進(jìn)而求解即可；圖③：在上取點(diǎn)H使，同理證明出，得到，，進(jìn)而求解即可；（3）根據(jù)勾股定理和含角直角三角形的性質(zhì)求出，，然后結(jié)合，分別（1）（2）的條件下求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）證明：在邊上截取，連接．在中，．，．又，．又，，．又，．．．．，．是等邊三角形．，，；（2）圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，，證明如下：如圖所示，在上取點(diǎn)H，使，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)G使，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴；圖③：當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，證明如下∶如圖所示，在上取點(diǎn)H使，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）如圖所示，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，由（1）可知，，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，與矛盾，∴不符合題意；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，，∴，由（2）可知，，∵，∴．綜上所述，或18．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．26.牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國(guó)總產(chǎn)量的以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準(zhǔn)備在該地購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品、特級(jí)干品兩種猴頭菇，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請(qǐng)解答下列問題：（1）特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）某商店計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇共80箱，特級(jí)鮮品猴頭菇每箱售價(jià)定為50元，特級(jí)干品猴頭菇每箱售價(jià)定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）的條件下，購(gòu)進(jìn)猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出，最終獲利1577元，請(qǐng)直接寫出商店的進(jìn)貨方案．【答案】（1）特級(jí)鮮品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為40元，特級(jí)干品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為150元（2）有3種方案，詳見解析（3）特級(jí)干品猴頭菇40箱，特級(jí)鮮品猴頭菇40箱【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量