3.2.1 函數(shù)的單調(diào)性（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

3.2.1函數(shù)的單調(diào)性（精講）一.增函數(shù)與減函數(shù)1．增函數(shù)與減函數(shù)的定義前提條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I條件?x1，x2∈D，x1<x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)圖示結(jié)論f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減特殊情況當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)（1）定義中x1，x2有三個(gè)特征：一是x1，x2同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間；二是x1，x2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，證明單調(diào)性時(shí)不可隨意用兩個(gè)特殊值代替；三是x1與x2有大小，通常規(guī)定x1＜x2，但也可規(guī)定x2＜x1.(2)函數(shù)的遞增(或遞減)是針對(duì)定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D而言的，顯然D?I.(3)當(dāng)函數(shù)值的改變量與其對(duì)應(yīng)的自變量的改變量符號(hào)相同時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；符號(hào)相反時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．(4)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域內(nèi)的某一個(gè)區(qū)間，故討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須先確定函數(shù)的定義域.(5)若函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)遞增(或遞減)的，這兩個(gè)單調(diào)區(qū)間不能用并集符號(hào)“∪”連接.2．函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)．(1)f(x)與f(x)＋C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性．(2)若a為常數(shù)，則當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性．Q（3）在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減二．函數(shù)的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：?x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)(1)最值首先是一個(gè)函數(shù)值，即存在一個(gè)自變量x0，使得f(x0)等于最值.(2)對(duì)于定義域內(nèi)的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”兩個(gè)字不可省略.(3)使函數(shù)f(x)取得最大(小)值的自變量的值有時(shí)可能不止一個(gè).(4)函數(shù)f(x)在其定義域(某個(gè)區(qū)間)內(nèi)的最大值的幾何意義是其圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是其圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).一．利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：1.取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2；2.作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的關(guān)系式；3.定號(hào)：確定f(x1)－f(x2)的符號(hào)；4.結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號(hào)與定義確定單調(diào)性.二．常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)a＞0時(shí)，在R上單調(diào)遞增；a＜0時(shí)，在R上單調(diào)遞減反比例函數(shù)y＝eq\f(a,x)(a≠0)a＞0時(shí)，減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)；a＜0時(shí)，增區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)二次函數(shù)y＝a(x－m)2＋n(a≠0)a＞0時(shí)，減區(qū)間是(－∞，m]，增區(qū)間是[m，＋∞)；a＜0時(shí)，減區(qū)間是[m，＋∞)，增區(qū)間是(－∞，m]三．利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的常用結(jié)論1.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(a)，最大值ymax＝f(b)．2.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(b)，最大值ymax＝f(a)．3.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b處有最大值f(b)，最小值為f(a)與f(c)中的較小者．4.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b處有最小值f(b)，最大值為f(a)與f(c)中的較大者．四．求二次函數(shù)最值的常見(jiàn)類型及解法1、類型一：是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R法一：根據(jù)開(kāi)口方向，用配方法即可求出最大(小)值法二：根據(jù)開(kāi)口和對(duì)稱軸求出最值2.類型二：定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間----開(kāi)口方向和對(duì)稱軸的位置來(lái)決定對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一般有如下幾種類型：(1)區(qū)間固定，對(duì)稱軸變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；(2)對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；(3)區(qū)間固定，最值也固定，對(duì)稱軸變動(dòng)，求參數(shù).通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論.求二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在區(qū)間[m，n]上的最值一般分為以下幾種情況：①若x＝－eq\f(b,2a)在區(qū)間[m，n]內(nèi)，則最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))，最大值為f(m)，f(n)中較大者(或區(qū)間端點(diǎn)m，n中與x＝－eq\f(b,2a)距離較遠(yuǎn)的一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值)；②若x＝－eq\f(b,2a)＜m，則f(x)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，最大值為f(n)，最小值為f(m)；③若x＝－eq\f(b,2a)＞n，則f(x)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減，最大值為f(m)，最小值為f(n)．五．函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用1.由函數(shù)解析式求參數(shù)若為二次函數(shù)——判斷開(kāi)口方向與對(duì)稱軸——利用單調(diào)性確定參數(shù)滿足的條件．若為一次函數(shù)——由一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定單調(diào)性．若為復(fù)合函數(shù)y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——數(shù)形結(jié)合，探求參數(shù)滿足的條件．2.解不等式當(dāng)函數(shù)f(x)的解析式未知時(shí)，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，將符號(hào)“f”去掉，列出關(guān)于自變量的不等式(組)，然后求解，此時(shí)注意函數(shù)的定義域．3.比較大小利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小，在解決比較函數(shù)值大小的問(wèn)題時(shí)，需要自變量在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小考點(diǎn)一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】（2023·新疆烏魯木齊）已知函數(shù)，判斷并證明在上的單調(diào)性.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)．2．（2023·福建）求證：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．3．（2023·云南）根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.考點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2-1】（1）（2023·北京）函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間為（

） B． C． D．（2）（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）（3）（2023·天津和平）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．，（4）．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知的圖象如圖所示，則該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．和C． D．和（5）（2023春·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的單增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（

）A．函數(shù)在上是增函數(shù) B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性相同 D．函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性相同2．（2023·浙江溫州）函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是___________.3．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________.4．（2023·上海楊浦）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)__________.考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3-1】（1）（2023·北京）設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，則有（

）A． B． C． D．（2）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（3）（2023安徽蕪湖）已知函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例3-2】（1）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋以诙x域內(nèi)是增函數(shù)，若，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）（2023·江西撫州）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．【例3-3】（2023·福建）已知函數(shù)是區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)，則與的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．不確定【一隅三反】1．（2023·湖南常德）若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

)A． B． C． D．2．（2022·廣東梅州）已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）己知是函數(shù)的增區(qū)間，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)函數(shù)滿足：對(duì)任意的都有，則與大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知是定義在上的減函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_______.考點(diǎn)四函數(shù)的最值【例4-1】（2023·北京）函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值分別是（）A． B．2，5 C．1，2 D．【例4-2】（2022秋·高一單元測(cè)試）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【例4-3】（2023·內(nèi)蒙古通遼）已知函數(shù)的最大值為m，的最小值為n，則______．【一隅三反】1．（2023春·云南普洱）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．以上都不對(duì)2．（2022秋·天津和平）設(shè)函數(shù)，則的值域是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·新疆·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┤艉瘮?shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．考點(diǎn)五二次函數(shù)的最值【例5】（2023·廣東）已知函數(shù).(1)求的最小值;(2)求的最大值.【一隅三反】1．（2023·上海閔行）已知函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，且的最大值為8，求實(shí)數(shù)的值.2．（2022秋·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，非空集合.(1)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)__________時(shí)，求二次函數(shù)的最值以及取到最值時(shí)的取值.在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在（2）問(wèn)中的橫線上，并求解.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）3．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的解