3.2.2 函數(shù)的奇偶性（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學精講精練必修一

3.2.2函數(shù)的奇偶性（精講）一．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱1.奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0，偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0.2.x具有對稱性．因為函數(shù)y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)與f(x)的關(guān)系，所以f(x)與f(－x)都有意義，即x與－x都應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)，所以定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱．否則，這個函數(shù)一定不具有奇偶性，例3.若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.4.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集.二.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1.若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為增函數(shù)，即在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致(相同).2.若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為減函數(shù)，即在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反.三.奇偶函數(shù)的運算性質(zhì)在公共定義域內(nèi)：1.兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；2.兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)；3.一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù).四.函數(shù)的對稱軸與對稱中心(拓展)(1)若函數(shù)f(x)的定義域為D，對?x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T為常數(shù))，則x＝T是f(x)的對稱軸.(2)若函數(shù)f(x)的定義域為D，對?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b為常數(shù))，則(a，b)是f(x)的對稱中心.一．判斷函數(shù)奇偶性的方法1.定義法：一求二看三判斷2.圖象法3.性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關(guān)系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性．二．利用奇偶性求解析式1.求哪個區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在那個區(qū)間上；(2)把x對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；2.利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).三．利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式1.利用圖象解不等式．2.轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解．（1）利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；（2）根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，去掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡單不等式(組)求解．注意：列不等式(組)時不要忘掉函數(shù)定義域．四．比較大小的1.在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?.不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大?。澹瘮?shù)的周期性、奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用函數(shù)周期性的概念：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期，T的最小正數(shù)取值稱為函數(shù)f(x)的最小正周期．考點一函數(shù)奇偶性的判斷【例1-1】（2023·山西）判斷下列函數(shù)的奇偶性：；(2)；(3).（4）；（5）【一隅三反】1．（2023春·上海寶山）函數(shù)的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)2．（2023·高一課時練習）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)3．（2023·北京）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津濱海）下列判斷正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)5．（2023·全國·高一假期作業(yè)）對于兩個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)和在它們的公共定義域內(nèi)，下列說法中正確的是（

）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)考點二奇偶函數(shù)的圖像特征【例2】（2022秋·安徽馬鞍山）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，．(1)求和的值；(2)求函數(shù)的解析式；(3)作函數(shù)的圖象，并寫出它的單調(diào)區(qū)間和值域．【一隅三反】1．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習）已知．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的大致圖像．2．（2023·河南三門峽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當時，．

(1)試求在上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間．3．（2022秋·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，如圖所示，現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象，

(1)請畫出y軸右側(cè)的圖像，并寫出函數(shù)的解析式和單調(diào)減區(qū)間；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的最大值．考點三利用奇偶性求函數(shù)值【例3-1】（2023春·云南紅河）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則___.【例3-2】（2023·廣東）已知函數(shù)，且，則______．【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是上的奇函數(shù)，當時，，則（

）A．4 B． C．7 D．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·湖南）已知函數(shù)，且，則______．考點四利用奇偶性求函數(shù)解析式【例4-1】（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）若是上的奇函數(shù)，且當時，，則當，______．【例4-2】（2023·廣西）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)在R上的表達式為______．【一隅三反】1．（2023·重慶璧山）已知函數(shù)在上為偶函數(shù)，且當時，，則當時，的解析式是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則當時，的表達式為_________．3．（2023·山東）已知奇函數(shù)則__________．考點五函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例5-1】（2022秋·江西宜春·高一?？茧A段練習）設(shè)是定義在上偶函數(shù)，則在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減函數(shù) D．與，有關(guān)，不能確定【例5-2】（2023安徽）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【例5-3】（2023春·河南）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當時，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．B．C．D．【例5-4】（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，對于任意的，（），都有成立．若，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．C．或 D．【一隅三反】1．（2023·江蘇鹽城）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．2．（2023福建）已知是奇函數(shù)且對任意正實數(shù)，恒有，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一單元測試）設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．4．（2023·廣東深圳）定義在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·高一課時練習）若函數(shù)在上是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則，，的大小關(guān)系是___________.6．（2023·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)且.若對于任意，不等式恒成立，則的取值范圍為_______.考點六函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例6-1】（2023·北京）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)確定的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)解關(guān)于的不等式．【例6-2】（2023春·廣西南寧·高一校聯(lián)考開學考試）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)解不等式．【一隅三反】1．（2023·江蘇蘇州）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；(3)解不等式.2．（2023·陜西渭南）已知二次函數(shù).(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)