4.2 指數(shù)函數(shù)（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

4.2指數(shù)函數(shù)（精講）一．指數(shù)函數(shù)的概念1.定義：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.2.具有三個(gè)特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x；(3)ax的系數(shù)是1.二．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1當(dāng)x＜0時(shí)，0＜y＜1當(dāng)x＜0時(shí)，y＞1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關(guān)于y軸對稱三．底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系1.由指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象與直線x＝1相交于點(diǎn)(1，a)可知在y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大．2.由指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象與直線x＝－1相交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))可知，在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小．如圖所示，指數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小關(guān)系為0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．單調(diào)性的應(yīng)用3.解指數(shù)型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解.4.與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)單調(diào)性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數(shù)的性質(zhì)有：(1)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有相同的定義域.(2)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相反的單調(diào)性.一．函數(shù)圖象1.抓住特殊點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0，1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點(diǎn).2.巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移).3.利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性.4.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；在y軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”.二.y＝af(x)型函數(shù)的定義域、值域的求法(1)形如y＝af(x)的函數(shù)的定義域就是f(x)的定義域.(2)形如y＝af(x)的函數(shù)的值域，先求出u＝f(x)的值域，再結(jié)合y＝au的單調(diào)性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范圍不確定，則需對a進(jìn)行分類討論.2.y＝f(ax)型函數(shù)的定義域、值域的求法三．比較指數(shù)冪大小的常用方法1.底數(shù)相同，指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷2.底數(shù)不同，指數(shù)相同：利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來判斷或者按冪函數(shù)性質(zhì)判斷3.底數(shù)不同，指數(shù)不同：通過中間量來比較考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念【例1-1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④．其中為指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B．C． D．【例1-2】（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校校考期末）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高一課堂例題）下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A．B．C．D．（且）3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的解析式與函數(shù)值【例2】（2023春·新疆）指數(shù)函數(shù)且圖像經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【一隅三反】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．92．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則．3．（2023春·貴州黔東南·高一校考期末）已知指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則．考點(diǎn)三定義域與值域【例3-1】（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）.【例3-2】（2023秋·江西）求下列函數(shù)的值域；(1)；(2)；(3).【例3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域是．4．（2023秋·高一單元測試）函數(shù)的值域?yàn)椋?．（2023·上海）已知，則的值域是；6．（2023黑龍江）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是考點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)的圖像【例4-1】（2022春·北京）已知對不同的值，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.【例4-2】（2023秋·高一單元測試）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（，且）的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

2．（2023·西藏林芝）的圖像大致是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）對于函數(shù)且），，在同一直角坐標(biāo)系下的圖象可能為（）A．

B．

C．

D．

4．（2023秋·寧夏石嘴山）函數(shù)，無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為.5．（2023·全國·高一課堂例題）利用函數(shù)的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．考點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)型的單調(diào)性及應(yīng)用【例5-1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【例5-2】（2023春·山東菏澤）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例5-3】（1）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則（

）.A． B． C． D．（2）（2022秋·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【例5-4】（2023·廣東）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【一隅三反】1．（2023秋·廣東湛江）已知函數(shù)，則的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（2023春·寧夏石嘴山）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·青海海東·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期中）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．5（2023·河北）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例6-1】（2023春·河北石家莊·高一?？计谀┮阎瘮?shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求不等式的解集．【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)判斷在上的單調(diào)性并用定義證明；(3)設(shè)，求在上的最小值．【一隅三反】1．（