1.2 集合間的關(guān)系（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

1.2集合間的關(guān)系（精講）一．子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念定義符號(hào)表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集A?B(或B?A)真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A＝B2．Venn圖：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．3．子集的性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A.(2)對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.4.子集的個(gè)數(shù)假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有：(1)A的子集有2n個(gè)；(2)A的非空子集有(2n－1)個(gè)；(3)A的真子集有(2n－1)個(gè)；(4)A的非空真子集有(2n－2)個(gè).二．空集1.定義：不含任何元素的集合叫做空集2.記作：?3.規(guī)定:空集是任何集合的子集，即??A4.特性(1)空集只有一個(gè)子集，即它的本身，???；(2)若A≠?，則?A5.區(qū)分：0，{0}，?與{?}之間的關(guān)系?與0?與{0}?與{?}相同點(diǎn)都表示無(wú)的意思都是集合都是集合不同點(diǎn)?是集合；0是實(shí)數(shù)?不含任何元素；{0}含一個(gè)元素0?不含任何元素；{?}含一個(gè)元素，該元素是?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}一．判斷集合關(guān)系的方法1.觀察法：一一列舉觀察.2.元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.3.數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.二.求給定集合的子集的兩個(gè)注意點(diǎn)：1.按子集中元素個(gè)數(shù)的多少，以一定的順序來(lái)寫(xiě)；2.在寫(xiě)子集時(shí)要注意不要忘記空集和集合本身.三．由集合間的關(guān)系求參數(shù)1.若已知集合是有限集，求解時(shí)，一般根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系直接列方程．2.若已知集合是無(wú)限集，求解時(shí)，通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來(lái)，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無(wú)誤．一般含“＝”用實(shí)心圓點(diǎn)表示，不含“＝”用空心圓圈表示．3.注意點(diǎn)：①不能忽視集合為?的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí)，一般需要分類討論.考點(diǎn)一集合間的關(guān)系【例1-1】（2023·江蘇）設(shè)集合，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，則.故選：D.【例1-2】（2022·廣西桂林）已知集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榧?，所以根?jù)子集的定義可知，故選：D.【一隅三反】1．（2023·北京）已知集合，，則（

）A．? B． C． D．【答案】A【解析】，，則?.故選：A.2．（2022秋·福建福州）已知集合，則下列關(guān)系中，正確的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榧?，?duì)于A，因?yàn)?，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是一個(gè)集合，且，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榧?，所以集合與集合不存在包含關(guān)系，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榧希魏渭隙际撬旧淼淖蛹?，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：D.3．（2023·寧夏銀川）下列集合關(guān)系中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A：集合為點(diǎn)集，含有元素，集合含有兩個(gè)元素，，所以不包含于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故D正確；故選：A考法二空集【例2-1】（2023安徽）下列集合中為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；對(duì)于B中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；對(duì)于C中，由方程，即，此時(shí)方程無(wú)解，可得，符合題意；對(duì)于D中，不等式，解得，，不符合題意.故選：C.【例2-2】（2022·上海）下列命題中正確的是（

）A．空集沒(méi)有子集B．空集是任何一個(gè)集合的真子集C．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集D．設(shè)集合，那么，若，則【答案】D【解析】A選項(xiàng)，空集是其本身的子集，A錯(cuò)；B選項(xiàng)，空集是任一非空集合的真子集，B錯(cuò)；C選項(xiàng)，空集只有一個(gè)子集，即是空集本身；C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，則中元素都在中，中沒(méi)有的元素，則中也沒(méi)有；故D正確.故選：D.【一隅三反】1．（2023·天津）下列四個(gè)說(shuō)法中，正確的有（

）①空集沒(méi)有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，則；④任何集合至少有兩個(gè)子集．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】①空集是任何集合的子集，所以①錯(cuò)；②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯(cuò)；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③錯(cuò)；④空集只有自己本身一個(gè)子集，所以④錯(cuò).故選：A.2．（2023·北京）已知六個(gè)關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：是的一個(gè)元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒(méi)有元素，故，④正確；且、，⑤錯(cuò)誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C3．（2023·河南）下列四個(gè)命題：①空集沒(méi)有子集；②空集是任何一個(gè)集合的真子集；③?＝{0}；④任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因?yàn)榭占瞧浔旧淼淖蛹?，故①錯(cuò)誤；空集只有本身一個(gè)子集，故②④錯(cuò)誤；空集沒(méi)有元素，而集合{0}含有一個(gè)元素0，故③錯(cuò)誤．故正確命題個(gè)數(shù)為0.答案：A.考法三（真）子集的個(gè)數(shù)【例3-1】（2022秋·江蘇揚(yáng)州）已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】集合，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為：.故選：B.【例3-2】（2023·海南）若集合A滿足，則集合A所有可能的情形有（

）A．3種 B．5種 C．7種 D．9種【答案】C【解析】由，可知集合A必有元素，即至少有兩個(gè)元素，至多有四個(gè)元素，依次有以下可能：七種可能.故選：C【一隅三反】1．（2023·江蘇南京）集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】，故子集個(gè)數(shù)為.故選：B2．（2023·新疆）已知集合滿足，那么這樣的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】∵，∴要確定集合M,只需確定1和4是否放置在其中，共有4種情況，，故選：D3．（2023·河南開(kāi)封）已知集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】由題意得，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：C.考法四已知集合關(guān)系求參數(shù)【例4-1】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t有：若，解得，此時(shí)，，不符合題意；若，解得，此時(shí)，，符合題意；綜上所述：.故選：B.【例4-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，故時(shí)，則且，若中只有一個(gè)元素，①中的方程為一元二次方程，則，此時(shí),不合題意，舍去；②中的方程為一元一次方程，則，則，則，此時(shí)不符合，舍去，當(dāng)時(shí)，則符合題意，綜上可知：或，故選：D.【例4-3】（2023秋·河南鄭州）已知集合沒(méi)有非空真子集，則實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)榧蠜](méi)有非空真子集，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為1或0個(gè)，當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)，若，則有，解得，符合題意，若，則有，解得，當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)為0個(gè)時(shí)，則，解得，綜上或，即實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為.故答案為：.【例4-4】（2023·江蘇）已知集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)不存在【解析】（1）解：①當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)滿足；②當(dāng)時(shí)，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）解：由題意，要使得，則滿足，此時(shí)不等式組無(wú)解，所以實(shí)數(shù)不存在，即不存在實(shí)數(shù)使得.【一隅三反】1．（2023·福建）（多選）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B?A，則實(shí)數(shù)a的取值可能為（）A．－3 B．－2C．0 D．3【答案】BCD【解析】由題知B?A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝.所以B＝，，，.當(dāng)B＝時(shí)，此種情況不可能，所以舍去；當(dāng)B＝時(shí)，，解得a＝3；當(dāng)B＝時(shí)，，解得a＝－2；當(dāng)B＝時(shí)，a＝0.綜上可得實(shí)數(shù)a的可能取值為3，0，－2.故選：BCD.2．（2022秋·河南·高一統(tǒng)考期中）集合或，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，①當(dāng)時(shí)，即無(wú)解，此時(shí)，滿足題意．②當(dāng)時(shí)，即有解，當(dāng)時(shí)，可得，要使，則需要，解得．當(dāng)時(shí)，可得，要使，則需要，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．3．（2023·安徽蕪湖）若集合，，且，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】或或【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以或，所以或，綜上所述，或或.4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合．(1)若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】（1）解：由題可知，，，①若，則，即；②若，則，解得：；綜合①②，得實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）解：已知，，，則，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．5.（2023·安徽）已知集合，.（1）若，求的值；（2）若，求的