4.2 指數(shù)函數(shù)（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練必修一

4.2指數(shù)函數(shù)（精講）一．指數(shù)函數(shù)的概念1.定義：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.2.具有三個特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x；(3)ax的系數(shù)是1.二．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過定點過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1函數(shù)值的變化當x＞0時，y＞1當x＞0時，0＜y＜1當x＜0時，0＜y＜1當x＜0時，y＞1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關(guān)于y軸對稱三．底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系1.由指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象與直線x＝1相交于點(1，a)可知在y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大．2.由指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象與直線x＝－1相交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))可知，在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變?。鐖D所示，指數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小關(guān)系為0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．單調(diào)性的應(yīng)用3.解指數(shù)型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解.4.與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)單調(diào)性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數(shù)的性質(zhì)有：(1)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有相同的定義域.(2)當a>1時，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調(diào)性；當0<a<1時，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相反的單調(diào)性.一．函數(shù)圖象1.抓住特殊點：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0，1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只要令指數(shù)為0，求出對應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點.2.巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移).3.利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性.4.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；在y軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”.二.y＝af(x)型函數(shù)的定義域、值域的求法(1)形如y＝af(x)的函數(shù)的定義域就是f(x)的定義域.(2)形如y＝af(x)的函數(shù)的值域，先求出u＝f(x)的值域，再結(jié)合y＝au的單調(diào)性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范圍不確定，則需對a進行分類討論.2.y＝f(ax)型函數(shù)的定義域、值域的求法三．比較指數(shù)冪大小的常用方法1.底數(shù)相同，指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷2.底數(shù)不同，指數(shù)相同：利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來判斷或者按冪函數(shù)性質(zhì)判斷3.底數(shù)不同，指數(shù)不同：通過中間量來比較考點一指數(shù)函數(shù)的概念【例1-1】（2023秋·高一課時練習）下列函數(shù)：①；②；③；④．其中為指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】指數(shù)函數(shù)解析式為且，對于①②④，、和不符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，①②④錯誤；對于③，符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，③正確.故選：B.【例1-2】（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學校校考期末）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以.故選：C【一隅三反】1．（2023·全國·高一課堂例題）下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，可得函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)不是指數(shù)函數(shù).故選：C.2．（2023秋·高一課時練習）（多選）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A．B．C．D．（且）【答案】AD【解析】對于A選項，為指數(shù)函數(shù)；對于B選項，不是指數(shù)函數(shù)；對于C選項，不是指數(shù)函數(shù)；對于D選項，當且時，且，則（且）為指數(shù)函數(shù).故選：AD.3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由指數(shù)函數(shù)形式為且，顯然A、D不符合，C符合；對于B，且，故符合.故選：BC考點二指數(shù)函數(shù)的解析式與函數(shù)值【例2】（2023春·新疆）指數(shù)函數(shù)且圖像經(jīng)過點，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】由題意，得，故，故選：C【一隅三反】1．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．9【答案】D【解析】由題意可知，，，且，得，所以，.故選：D2．（2023秋·高一課時練習）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則．【答案】/【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)且，過點，，解得：，，.故答案為：.3．（2023春·貴州黔東南·高一?？计谀┮阎笖?shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則．【答案】/0.5【解析】設(shè)（，且），由于其圖像經(jīng)過點，所以，解得或（舍去），因此，故.故答案為：.考點三定義域與值域【例3-1】（2023秋·高一課前預(yù)習）求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得，即，又指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，得.所以函數(shù)的定義域為；（2）由題意，得，得，又指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，且.所以函數(shù)的定義域為.【例3-2】（2023秋·江西）求下列函數(shù)的值域；(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）的定義域為R，值域為；（2）由知，故的定義域為；由知，故的值域為；（3）的定義域為；由知，故的值域為.【例3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，當時，，因為函數(shù)的值域為，所以，得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得所以，即，又指數(shù)函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，所以，解得.故選：C.2．（2022秋·高一課時練習）函數(shù)的定義域為.【答案】【解析】由題意可得，解得：，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.3．（2023秋·高一課時練習）函數(shù)的值域是．【答案】【解析】由函數(shù)值域為，則函數(shù)的值域為.故答案為：4．（2023秋·高一單元測試）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，，故函數(shù)值域為：，故答案為：.5．（2023·上海）已知，則的值域是；【答案】【解析】當時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當時,.綜上:的值域為.故答案為：.6．（2023黑龍江）已知函數(shù)的值域為R，則a的取值范圍是【答案】【解析】當時，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上的值域為，當時，函數(shù)的值域為，而函數(shù)的值域為R，因此，而當時，，必有，解得，所以a的取值范圍是.考點四指數(shù)函數(shù)的圖像【例4-1】（2022春·北京）已知對不同的值，函數(shù)的圖象恒過定點，則點的坐標是.【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點而要得到函數(shù)的圖象，可將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位.則點平移后得到點.則點的坐標是故答案為：【例4-2】（2023秋·高一單元測試）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，函數(shù)為減函數(shù)，從而有；法一：由圖象，函數(shù)與軸的交點縱坐標，令，得，由，即，解得.法二：函數(shù)圖象可看作是由向左平移得到的，則，即.故選：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習）函數(shù)（，且）的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】A，B選項中，，于是，所以圖象與y軸的交點的縱坐標應(yīng)在之間，顯然A，B的圖象均不正確；C，D選項中，，于是，圖象與y軸的交點的縱坐標應(yīng)在小于，所以D項符合.故選：D2．（2023·西藏林芝）的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題知，根據(jù)，，，則，排除B，D，當時，沒有意義，排除A.故選：C3．（2023·全國·高三專題練習）（多選）對于函數(shù)且），，在同一直角坐標系下的圖象可能為（）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【解析】當a＞1時，f（x）＝ax是指數(shù)函數(shù)，單調(diào)遞增，且圖象過點（0，1），而g（x）＝ax2﹣x＝a（x）2，對稱軸x1，故A正確，B錯誤；當0＜a＜1時，f（x）＝ax是指數(shù)函數(shù)，單調(diào)遞減，且圖象過點（0，1），而g（x）＝ax2﹣x＝a（x）2，對稱軸x，故D正確，C錯誤.故選：AD．4．（2023秋·寧夏石嘴山）函數(shù)，無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個定點，則定點坐標為.【答案】【解析】則定點坐標為.故答案為:.5．（2023·全國·高一課堂例題）利用函數(shù)的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】作圖見解析【解析】（1）將圖象向右平移一個單位即得，如下圖，

（2）將右側(cè)圖象以y軸為對稱軸作出左側(cè)圖象，去掉原圖象左側(cè)部分即得，如下圖，

（3）將圖象向下平移一個單位即得，如下圖，

（4）以x軸為對稱軸，畫出與對稱的圖象即得，如下圖，

（5）將（3）所得圖象在x軸下方部分，翻折到上方即得，如下圖，

考點五指數(shù)函數(shù)型的單調(diào)性及應(yīng)用【例5-1】（2023秋·高一課時練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以函數(shù)的定義域為，因為開口向下，對稱軸為，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.【例5-2】（2023春·山東菏澤）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：A【例5-3】（1）（2023·全國·高一專題練習）已知，，，則（

）.A． B． C． D．（2）（2022秋·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】（1）B（2）A【解析】（1），即；，即；，即.所以有.故選：B.（2）由冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，又指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則.則故選：A.【例5-4】（2023·廣東）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【解析】構(gòu)建函數(shù)，，可得函數(shù)單調(diào)遞增，，，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，因此函數(shù)在上是增函數(shù)．，，解得，于是不等式的解集為．故答案為：.【一隅三反】1．（2023秋·廣東湛江）已知函數(shù)，則的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)定義域為，令，又在上單調(diào)遞增，的增區(qū)間為，所以的增區(qū)間為.故選：A.2．（2023春·寧夏石嘴山）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為外層函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，故.故選：D.3．（2022秋·青海海東·高一校考階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】最小，又，在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上，，故選：A．4．（2022秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期中）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，因為，所以，因此.故選：B.5（2023·河北）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以在上是奇函數(shù).因為在上是增函數(shù)，又在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù).所以，所以，所以不等式的解集是.故選：考點六指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例6-1】（2023春·河北石家莊·高一?？计谀┮阎瘮?shù)為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【解析】（1）（1）因為為奇函數(shù)，定義域為，因為，即，所以，經(jīng)檢驗，符合題意．（2）因為，所以，所以，因為為奇函數(shù)，，所以，由（1）知：因為在R上遞增，所以在上是增函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集是.【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學校考期末）已知函數(shù)奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)判斷在上的單調(diào)性并用定義證明；(3)設(shè)，求在上的最小值．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析(3)答案見解析【解析】（1）解：是定義域為的奇函數(shù)，；經(jīng)檢驗符合題意；（2）在上單調(diào)遞增．證明如下：，則，因為，所以，所以，，可得．即當時，有所以在上單調(diào)遞增．（3），令，又，則，所以，，對稱軸為，則當時，；當，；當時，．【一隅三反】1．（2023秋·安徽）已知函數(shù)．(1)若為奇函數(shù)，求的值；(2)在（1）的條件下，求的值域．【答案】(1)(2)【解析】（1）因為為奇函數(shù)，所以，即，所以.（2）,令，則，因為，所以，所以的值域．2．（2023秋·河北衡水）已知函數(shù)（，且）是奇函數(shù)，且．(1)求，的值；(2)若對于，不等式成立，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【