江西省吉安一中北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-1教案3.3雙曲線的簡單性質(zhì)

3.3雙曲線的簡單性質(zhì)1．結(jié)合雙曲線的圖形掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．(重點(diǎn))2．感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的簡單性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形幾何性質(zhì)范圍對稱性頂點(diǎn)實(shí)虛軸離心率漸近線中心對稱軸a，b，c的關(guān)系考點(diǎn)一雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)(廣東高考)若實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A．焦距相等 B．實(shí)半軸長相等C．虛半軸長相等 D．離心率相等(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,4)－y2＝1，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，求|PA|的最小值為________．(3)雙曲線4x2－y2＝4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________，離心率為________，漸近線方程為________．【名師指津】1．由雙曲線方程探究簡單性質(zhì)時(shí)，需先看所給方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，若不是，需先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，這是依據(jù)方程求參數(shù)，a，b，c值的關(guān)鍵．2．寫頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程時(shí)，需先由方程確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，否則易出錯(cuò)，需注意雙曲線方程與漸近線方程的對應(yīng)關(guān)系．考點(diǎn)二利用雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)頂點(diǎn)在x軸上，焦距為10，離心率是eq\f(5,4)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線為y＝eq\f(3,4)x，實(shí)軸長為12；(3)離心率e＝eq\r(2)，且過點(diǎn)(－5,3)．【名師指津】1．求雙曲線方程，關(guān)鍵是求a，b的值，在解題過程中應(yīng)熟悉a，b，c，e等元素的幾何意義及它們之間的聯(lián)系，并注意方程思想的應(yīng)用．2．若已知雙曲線的漸近線方程ax±by＝0，可設(shè)雙曲線方程為a2x2－b2y2＝λ.練習(xí)1．將本例(2)中“焦點(diǎn)在y軸上”去掉，其他不變．考點(diǎn)三雙曲線的離心率例3(1)(全國卷Ⅰ)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的離心率為2，則a＝()A．2B．eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2)D．1(2)(重慶高考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B．eq\r(15)C．4D．eq\r(17)【名師指津】1．解決本題的關(guān)鍵是探尋a與c的關(guān)系．2．求雙曲線的離心率的常見方法：一是依據(jù)條件求出a，c，再計(jì)算e＝eq\f(c,a)；二是依據(jù)條件提供的信息建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，再解出e的值．練習(xí)2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(4,3)x，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(5,3)B．eq\f(4,3)C.eq\f(5,4)D．eq\f(3,2)例4求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x.(2)經(jīng)過點(diǎn)M(－3,2eq\r(3))，且與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的漸近線．【名師指津】求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的難點(diǎn)是設(shè)雙曲線方程，常用的技巧如下：①與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，若λ＞0，則表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，若λ＜0，則表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．②與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相等離心率的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0)．③與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2＜λ＜b2)．④已知漸近線方程y＝±eq\f(b,a)x，雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，通過求λ確定雙曲線方程，而無需考慮其實(shí)、虛軸的位置．練習(xí)3．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，則離心率為()A.eq\f(5,4)B．eq\f(\r(5),2)C.eq\f(5,3)或eq\f(5,4)D．eq\f(\r(5),2)或eq\f(\r(15),3)思考問題1何為雙曲線的“虛軸”？問題2如何確定雙曲線的形狀？問題3如何用幾何圖形解釋c2＝a2＋b2？a，b，c在雙曲線中分別表示哪些線段的長？問題4雙曲線的漸近線具有什么特點(diǎn)？問題5雙曲線的漸近線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么關(guān)系？課堂練習(xí)1．雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(0,2)(0，－2)B．(3,0)(－3,0)C．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0) D．(0,2)(3,0)2．如圖，雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,10)＝1的左焦點(diǎn)為F1，雙曲線上的點(diǎn)P1與P2關(guān)于y軸對稱，則|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3B．6C．4D．83．(全國卷)已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C.eq\