浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024學(xué)年第一學(xué)期浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟返校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合B,再求交集.【詳解】解一元二次不等式,得或,所以或.因?yàn)?所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合模長公式求解.【詳解】由可得，所以，故選：D3.已知向量，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解方程即可得出結(jié)果.【詳解】易知，由可得，即，解得故選：C4.將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼暮?，得到函?shù)的圖象.則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖象變換結(jié)論求的解析式，再求.【詳解】將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，橫坐標(biāo)不變，可得函數(shù)的圖象，所以，故.故選：C.5.身體質(zhì)量指數(shù)，簡稱體質(zhì)指數(shù)，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).該指標(biāo)是通過體重（kg）除以身高（）的平方計(jì)算得來.這個(gè)公式所得比值在一定程度可以反映人體密度.一般情況下，我國成年人的身體質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)屬正常范圍.已知三人的體質(zhì)指數(shù)的平均值為20，方差為兩人的體質(zhì)指數(shù)分別為18和22.則這5人的體質(zhì)指數(shù)的方差為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方差的計(jì)算公式即可求解.【詳解】由于三人的體質(zhì)指數(shù)的平均值為20，方差為3，故,則，由于,故5個(gè)人的體質(zhì)指數(shù)的平均數(shù)為20，故，故方差為故選：A6.已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線，即可求解.【詳解】如圖，為拋物線焦點(diǎn)，作，，，連接，，其中為準(zhǔn)線，由拋物線定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在上時(shí)，等號(hào)成立，則點(diǎn)到軸的最小距離是2，故的最小值為2，故選：B7.將若干個(gè)除顏色外完全相同的紅色小球和黑色小球排成一列，要求所有的紅球互不相鄰，當(dāng)小球的總數(shù)為8時(shí)，滿足條件的不同排列方法的總數(shù)之和為（）A.20 B.36 C.54 D.108【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知最多有4個(gè)紅球，因此根據(jù)紅球個(gè)數(shù)進(jìn)行討論即可，不相鄰問題用“插空法”.【詳解】8個(gè)除顏色外完全相同的球，要使紅球互不相鄰，則最多有4個(gè)紅球，根據(jù)紅球個(gè)數(shù)分類討論:1個(gè)紅球7個(gè)黑球：先排7個(gè)黑球共有1中排法，從8個(gè)空里面選出1個(gè)空讓紅球插入，有種選法;2個(gè)紅球6個(gè)黑球：先排6個(gè)黑球共有1中排法，從7個(gè)空里面選出2個(gè)空讓紅球插入，有種選法;3個(gè)紅球5個(gè)黑球：先排5個(gè)黑球共有1中排法，從6個(gè)空里面選出3個(gè)空讓紅球插入，有種選法;4個(gè)紅球4個(gè)黑球：先排4個(gè)黑球共有1中排法，從5個(gè)空里面選出4個(gè)空讓紅球插入，有種選法;所以滿足條件的不同排列方法的總數(shù)之和為.故選：C.8.已知函數(shù)，若對(duì)恒成立，則（）A. B.16 C. D.4【答案】B【解析】【分析】分別代入解析式，求出即可.【詳解】當(dāng)，則，，由于，則，則；經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.故.故選：B二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公差.則以下結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則的最大值為D.若成等比數(shù)列，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由可得，故，所以，故A正確，由可得，故，故B正確，若，則，且an單調(diào)遞減，故的最大值為或，故C錯(cuò)誤，若成等比數(shù)列，則，即，解得或（舍去），D正確，故選：ABD10.已知，函數(shù)，.則以下結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，在其定義域上單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義判斷A，證明函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象變換結(jié)論判斷B，計(jì)算可得排除C，化簡方程可得，令，可得，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性求其最值，判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?1,1，故函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以，即f?x=?fx所以函數(shù)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，所以，函?shù)定義域?yàn)?，所以函?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；因?yàn)?，，又，，故，所以，所以在其定義域上不可能為單調(diào)遞增函數(shù)，C錯(cuò)誤；方程，可化為，且，所以，且，令，則，則，所以，令，則，所以時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，方程無解，故當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根，D正確.故選：BD.11.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，為的右支上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），的內(nèi)切圓圓心為.則以下結(jié)論正確的是（）A.直線與的斜率之積為4B.若，則C.以為直徑的圓與圓相切D.若，則點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】【分析】由題意設(shè)點(diǎn),，,，,，把點(diǎn)，坐標(biāo)代入雙曲線方程，兩式相減得，即可判斷A；利用余弦定理，結(jié)合；記，則雙曲線定義即可判斷B，由于，利用勾股定理以及雙曲線定義，結(jié)合等面積法進(jìn)而可求內(nèi)切圓半徑，利用切線長的性質(zhì)即可求解C；畫出圖形，利用是線段的中點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及定義，轉(zhuǎn)化推出以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系即可判斷D．【詳解】設(shè)點(diǎn),，,，,，則且，兩式相減得，，，故A錯(cuò)誤，由于，，若，由余弦定理可得，解得，由于，故，故B正確，在雙曲線右支上，，是線段的中點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)，，，，，即圓心距等于兩圓的半徑之差，以線段為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是內(nèi)切，故C正確．記，則，，，解得或（舍去），，的面積為，設(shè)三角的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，設(shè)圓與三邊相切于，則設(shè)則故，解得，所以,故,D正確，故選：BCD．非選擇題部分三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.在的展開式中，的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)令即可求得的系數(shù).【詳解】設(shè)展開式第項(xiàng)含有項(xiàng)，令，解得，所以，即的系數(shù)為.故答案為：13.若曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與圓相切，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】首先,我們需要求出曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程。然后,根據(jù)切線與圓相切的條件,求出實(shí)數(shù)a的值.【詳解】對(duì)求導(dǎo)，得到，設(shè)切點(diǎn)為，斜率為.斜率還可以表示為，即，解得，則斜率為.則切線方程為.切線與圓相切,則，整理得，，解得.故答案為：14.如圖，在四面體中，，，則該四面體的外接球體積為______.【答案】##【解析】【分析】可根據(jù)四面體的棱長利用線面垂直的判定定理求得平面，再利用正弦定理求得的外接圓半徑為，再利用勾股定理確定該四面體的外接球球心的位置計(jì)算出該球半徑，即可求出該四面體的外接球體積.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示:又可知，且；又，且平面，所以平面，取的中點(diǎn)為，連接，又，可得，且;又平面，所以，又，平面，所以平面；在中，可知；設(shè)外接圓半徑為，可得，解得；易知的外接圓圓心必在直線上，設(shè)，則，解得，即可得為的中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫妫栽撍拿骟w的外接球球心一定在過且平行于的直線上，設(shè)，外接球半徑為，所以，即，解得；因此該四面體的外接球球心與的外接圓圓心重合，此時(shí)所以該四面體的外接球體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理求得的外接圓半徑并確定圓心位置，以此能確定該四面體的外接球球心的位置進(jìn)而求得外接球半徑，即可得出該四面體的外接球體積.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）15.設(shè)中的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若的周長為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，求得，進(jìn)而得到，即可求得的值；（2）根據(jù)題意，得到，再由（1）和余弦定理，求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)椋傻?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，即，因?yàn)?，可得，所以，即，可得，即，因?yàn)?，所以，解?【小問2詳解】解：因?yàn)榈闹荛L為，可得，由（1）知，由余弦定理得，可得，解得，所以的面積為.16.中國數(shù)學(xué)奧林匹克（）競(jìng)賽由中國數(shù)學(xué)會(huì)主辦，是全國中學(xué)生級(jí)別最高?規(guī)模最大?最具影響力的數(shù)學(xué)競(jìng)賽.某中學(xué)為了選拔參賽隊(duì)員，組織了校內(nèi)選拔賽.比賽分為預(yù)賽和決賽，預(yù)賽成績合格者可進(jìn)入決賽.（1）根據(jù)預(yù)賽成績統(tǒng)計(jì)，學(xué)生預(yù)賽的成績，成績超過85分的學(xué)生可進(jìn)入決賽.若共有600名學(xué)生參加了預(yù)賽，試估計(jì)進(jìn)入決賽的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；（2）決賽試題共設(shè)置了10個(gè)題目，其中單選題6題，每題10分，每題有1個(gè)正確選項(xiàng)，答對(duì)的10分，答錯(cuò)得0分；多選題4題，每題15分，每題有多個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得15分，部分選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分.假設(shè)甲同學(xué)進(jìn)入了決賽，且在決賽中，每個(gè)單選題答對(duì)的概率均為；每個(gè)多選題得15分?5分?0分的概率均分別為.求甲同學(xué)決賽成績的數(shù)學(xué)期望.附：若，則，【答案】（1）95（2）60【解析】【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率，即可求解人數(shù)，（2）分別求解單選題和多選題每一道題目得分的期望，即可求解成績的期望.【小問1詳解】由于，故，故，所以，故進(jìn)入決賽的人數(shù)為.小問2詳解】甲同學(xué)每個(gè)單選題得分的數(shù)學(xué)期望分，甲同學(xué)每個(gè)多選題得分的數(shù)學(xué)期望分，因此甲同學(xué)的成績的數(shù)學(xué)期望為分17.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）【解析】【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由，解得，可得函數(shù)解析式，由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0，分別求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值求解.【小問1詳解】由題意知，，由，解得，此時(shí)，，令，得，令，得，故是函數(shù)的極值點(diǎn)，故符合要求，進(jìn)而函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．【小問2詳解】由恒成立可得恒成立，令則，令，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，且時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，因此18.如圖，在四棱臺(tái)中，底面為等腰梯形，，，，，.（1）證明：平面平面；（2）求該四棱臺(tái)的體積；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）四棱臺(tái)的體積（3）平面與平面夾角的余弦值為.【解析】【分析】（1）由條件證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，再由面面垂直判斷定理證明結(jié)論；（2）過作，垂足為，證明平面，結(jié)合棱臺(tái)體積公式求結(jié)論，（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，結(jié)合平面與平面夾角的向量公式求結(jié)論.【小問1詳解】連接，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)榈酌鏋榈妊菪?，，，所以，所以，所以為直角三角形，為其斜邊，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】過作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，故為四棱臺(tái)的高，由（1），又，，所以，又，故，所以，所以，連接，為的中點(diǎn)，由（1），所以，，又，所以梯形的面積為，由棱臺(tái)的性質(zhì)可得梯形與梯形相似，又，所以梯形的面積為，所以棱臺(tái)的體積，【小問3詳解】過作，因?yàn)槠矫?，所以平面，又，如圖以為原點(diǎn)，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，所以A2,0,0，，，C?1,3所以，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，所以，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，所以，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則所以平面與平面夾角的余弦值為.19.閱讀材料：“到角公式”是解析幾何中的一個(gè)術(shù)語，用于解決兩直線對(duì)稱的問題.其內(nèi)容為：若將直線繞與的交點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線第一次重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角為，則稱為到的角，當(dāng)直線與不垂直且斜率都存在時(shí)，（其中分別為直線和的斜率）.結(jié)合閱讀材料，回答下述問題：已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，，四邊形的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求的角平分線所在的直線的方程；（3）過點(diǎn)的且斜率存在的直線分別與橢圓交于點(diǎn)（均異于點(diǎn)），若點(diǎn)到直線的距離相等，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）（3）直線過定點(diǎn)，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓過點(diǎn)、四邊形的面積可得答案；（2）求出，設(shè)的角平分線所在的直線的斜率為，根據(jù)到角公式可得答案；（3）設(shè)直線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離相等得，由橢圓方程與直線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，可得直線的斜率，由點(diǎn)斜式求出的