第11講直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”(5種題型)(原卷版+解析)

第11講直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”（5種題型）【知識梳理】一．直角三角形全等的判定——“HL”1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．二、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.【考點剖析】題型一．用“HL”直接證明直角三角形全等例1.如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【變式1】．如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【變式2】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點在邊上，連接，過點作，垂足為，若．

(1)求證：；(2)求證：．題型二．用“HL”間接證明直角三角形全等例2．（2022秋?大豐區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BD＝CD．試說明BE＝CF．【變式1】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的中點，，，垂足分別是、、且．求證：．

【變式2】根據(jù)題意，先在圖中作出輔助線，再完成下列填空：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直線是BC的垂直平分線，點E為垂足，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延長線于N，求證：BM＝CN．證明：連接DB，DC∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN∴DM＝①（②）∵DE是BC的垂直平分線∴DB＝③（④）在⑤和⑥中∴⑦≌⑧（⑨）∴BM＝CN（⑩）題型三.靈活選用方法證明全等例3．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，、是邊上的點．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使得．

(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明．【變式1】（2022秋·廣西南寧·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，點D是的中點，點E在上．找出圖中的全等三角形，并選一對證明它們?nèi)龋咀兪?】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，，垂足為，垂足為．求證：(1)；(2)．題型四．全等三角形綜合應用例4.如圖，已知正方形邊長為，動點M從點C出發(fā)，沿著射線的方向運動，動點P從點B出發(fā)，沿著射線的方向運動，連結，（1）若動點M和P都以每秒的速度運動，問t為何值時和全等？（2）若動點P的速度是每秒，動點M的速度是每秒問t為何值時和全等？【變式】在中，，，點D為直線BC上的一個動點（不與B、C重合），連結AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90°，使點A旋轉到點E，連結EC．（1）如果點D在線段BC上運動，如圖1：求證：（2）如果點D在線段BC上運動，請寫出AC與CE的位置關系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關系，請你寫出證明過程．（3）如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖3畫圖分析，（2）中的結論是否仍然成若成立，請證明；若不成立，請說明理由．題型五：尺規(guī)作圖—作直角三角形例5.尺規(guī)作圖題已知：如圖，線段，，直角．求作：，使，，．（注：不寫作法，保留作圖痕跡）

【變式】作圖題（1）如圖，已知線段m，n．求作△ABC，請在右面的空白處作△ABC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）婷婷將（1）中自己畫的△ABC剪下來，放在同桌悅悅所畫的△ABC上，發(fā)現(xiàn)兩三角形完全重合，這一過程驗證了三角形全等的哪一種判定定理：（直接寫出答案，不寫過程）．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）在課堂上，陳老師發(fā)給每人一張印有（如圖1）的卡片，然后要求同學們畫一個，使得．小趙和小劉同學先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．

對這兩種畫法的描述中正確的是（

）A．小趙同學作圖判定的依據(jù)是B．小趙同學第二步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長C．小劉同學作圖判定的依據(jù)是D．小劉同學第一步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長2．（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，于點D，點E，F(xiàn)在上，且，則圖中共有全等三角形（

）

A．2對 B．3對 C．4對 D．5對3．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，在和中，，，則證明全等于的方法是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東茂名·八年級?？计谥校┫铝袟l件，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩個銳角對應相等 B．斜邊和一直角邊分別對應相等C．兩條直角邊分別對應相等 D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對應相等5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤6．（2022春·七年級單元測試）下列說法中，不正確的個數(shù)有（

）①有一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等；②有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等；③有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等；④斜邊和斜邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等．A．個 B．個 C．個 D．個7．（2023春·山東泰安·七年級東平縣實驗中學?？茧A段練習）如圖，在中，于點，若，則等于（

）

A． B． C． D．8．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）在中，，是上的一點，且，過作交于，如果，則等于（

）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm9．（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，于點，于點，，，則的長是（

）A．2 B．5 C．7 D．910．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，已知，求證：．分析問題可知：需添加如圖所示輔助線AD，進而證明．下列證明過程中：①取的中點D，連接，證明的依據(jù)是；②作的角平分線，證明的依據(jù)是；③過點A作于點D，證明的依據(jù)是．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題11．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知，要使用“”證明，應添加條件：_______________；要使用“”證明，應添加條件：_______________________．12．（2022春·七年級單元測試）如圖，已知，若用判定，只需添加的一個條件是____________．13．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，P、Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，要使和全等，則______．14．（2023秋·八年級單元測試）如圖，，請你再添加一個條件，使，你添加的條件是_______．15．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，于點D，于點，且．若要根據(jù)證明，則還應添加的條件是______．16．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，垂足為D，E為外一點，連接，且，．若，則的長為_______．

17．（2023春·甘肅酒泉·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點D，A，E在直線l上，于點D，于點E，且．若，則________．18．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點在上，于點，交于點，，．若，則________________．三、解答題19．（2021秋·廣東河源·八年級?？计谀┏咭?guī)作圖：如圖，作一個直角三角形ABC，使其兩條直角邊分別等于已知線段m，n．（保留作圖痕跡，不寫作法）20．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形中，，，，，與相交于點F．(1)求證：(2)判斷線段與的位置關系，并說明理由．21．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）如圖，、、、四點共線，，，，求證：．

22．（2022秋·八年級單元測試）有一塊等腰三角形木板，其中（如圖），王師傅準備把它分成全等的兩部分，小明和小剛分別設計了兩種方案：（1）小明：確定BC的中點D，連結（如圖1）．（2）小剛：作于D（如圖2）．王師傅說兩種辦法都行，請選擇一種說出其中的道理（寫出已知、求證、證明）．

23．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知相交于點O，，于點M，于點N，．求證：．24．（2020秋·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，、、、四點共線，，，，．求證：．

25．（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，連接，且，點E在邊上，連接，過點A作，垂足為F，，求證：．

第11講直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”（5種題型）【知識梳理】一．直角三角形全等的判定——“HL”1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．二、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.【考點剖析】題型一．用“HL”直接證明直角三角形全等例1.如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD=BCBD=DB∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故選：A．【變式1】．如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】解：補充條件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案為：AB＝DE．【變式2】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點在邊上，連接，過點作，垂足為，若．

(1)求證：；(2)求證：．【詳解】（1）證明：，，，，在和中，．（2）連接，由證明可得，，在和中，．，，．

題型二．用“HL”間接證明直角三角形全等例2．（2022秋?大豐區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BD＝CD．試說明BE＝CF．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°．∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD．∴AE＝AF，DE＝DF．∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD（HL）．∴BE＝CF．【變式1】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的中點，，，垂足分別是、、且．求證：．

【詳解】解：證明：是邊的中點，，又，，，又∵，在和中，．．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是靈活運用全等三角形的判定方法，比較簡單．【變式2】根據(jù)題意，先在圖中作出輔助線，再完成下列填空：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直線是BC的垂直平分線，點E為垂足，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延長線于N，求證：BM＝CN．證明：連接DB，DC∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN∴DM＝①（②）∵DE是BC的垂直平分線∴DB＝③（④）在⑤和⑥中∴⑦≌⑧（⑨）∴BM＝CN（⑩）【答案】①DN；②角平分線上的點到角兩邊的距離相等；③DC；④線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL；⑩全等三角形的對應邊相等．【詳解】證明：（1）連接BD，如圖：

證明：連接DB，DC，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN，∴DM＝DN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），∵DE是BC的垂直平分線，∴DB＝CD（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等），在Rt△BDM和Rt△CDN中，∴Rt△BDM≌Rt△BDM（HL），∴BM＝CN（全等三角形的對應邊相等），故答案為：①DN；②角平分線上的點到角兩邊的距離相等；③DC；④線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL；⑩全等三角形的對應邊相等．題型三.靈活選用方法證明全等例3．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，、是邊上的點．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使得．

(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明．【詳解】（1）解：可選取①或③（只選一個即可），故答案為：①（答案不唯一）；（2）證明：當選?、贂r，，，在與中，，，；當選?、蹠r，，，在與中，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈活運用．【變式1】（2022秋·廣西南寧·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，點D是的中點，點E在上．找出圖中的全等三角形，并選一對證明它們?nèi)龋敬鸢浮?，，，證明見解析【詳解】解：圖中的全等三角形有：，，；∵D是的中點，∴，∵，，∴；∴，∵，，，∴；∴，∵，，，∴．【變式2】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，，垂足為，垂足為．求證：(1)；(2)．【詳解】（1）證明：在和中∴（2）∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．題型四．全等三角形綜合應用例4.如圖，已知正方形邊長為，動點M從點C出發(fā)，沿著射線的方向運動，動點P從點B出發(fā)，沿著射線的方向運動，連結，（1）若動點M和P都以每秒的速度運動，問t為何值時和全等？（2）若動點P的速度是每秒，動點M的速度是每秒問t為何值時和全等？【答案】（1）t=1；（2）t=或t=【詳解】解：（1）要使△DCP與△BCM全等，則PC=CM，由題意得：2t=4-2t，解得：t=1；（2）當點P在點C左側時，則△DCP≌△BCM，∴PC=CM，∴4-3t=1.5t，解得：t=；當點P在點C右側時，則△DCP≌△BCM，∴CP=CM，∴3t-4=1.5t，解得：t=，綜上：當t=或t=時，△DCP與△BCM全等．【變式】在中，，，點D為直線BC上的一個動點（不與B、C重合），連結AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90°，使點A旋轉到點E，連結EC．（1）如果點D在線段BC上運動，如圖1：求證：（2）如果點D在線段BC上運動，請寫出AC與CE的位置關系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關系，請你寫出證明過程．（3）如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖3畫圖分析，（2）中的結論是否仍然成若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）垂直，理由見解析；（3）成立，證明見解析【詳解】解：（1）證明：∵∴∵∴∴（2）垂直∵∴∵∴在和中∴∴，∵∴，∴即．∴又∵∴，且∴即．（3）（2）中的結論仍然成立如圖3所示，過點E作于F∵∴在和中∴∴，∴即∴∴∴∴．題型五：尺規(guī)作圖—作直角三角形例5.尺規(guī)作圖題已知：如圖，線段，，直角．求作：，使，，．（注：不寫作法，保留作圖痕跡）

【詳解】解：先作∠ECF=，在射線CF上截取點B，使，以B為圓心，c的長為半徑作弧，交射線CE于點A，連接AB，如圖所示，即為所求．

【變式】作圖題（1）如圖，已知線段m，n．求作△ABC，請在右面的空白處作△ABC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）婷婷將（1）中自己畫的△ABC剪下來，放在同桌悅悅所畫的△ABC上，發(fā)現(xiàn)兩三角形完全重合，這一過程驗證了三角形全等的哪一種判定定理：（直接寫出答案，不寫過程）．【詳解】（1）如圖，步驟①用直尺任意畫一條線，用圓規(guī)的兩腳量取等于長度的線段，交直線與A、C兩點；②以C為圓心，任意長半徑作圓；③分別以圓與直線的交點為圓心，畫兩個等圓，連接兩個等圓的交點，可作出直線的垂線；④以A為圓心，線段長為半徑作圓，交垂線于點B；⑤連接AB即可（2），在中，直角邊，斜邊在兩個直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等可用證明兩個三角形全等【過關檢測】一、單選題1．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）在課堂上，陳老師發(fā)給每人一張印有（如圖1）的卡片，然后要求同學們畫一個，使得．小趙和小劉同學先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．

對這兩種畫法的描述中正確的是（

）A．小趙同學作圖判定的依據(jù)是B．小趙同學第二步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長C．小劉同學作圖判定的依據(jù)是D．小劉同學第一步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長【答案】A【分析】根據(jù)演示確定作圖的具體步驟，結合全等的判定方法判斷．【詳解】由圖示知，小趙第一步為截取線段，第二步為作線段，判定方法為；小劉第一步為截取線段，第二步為作線段，判定方法為．故選：A．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．2．（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）如圖，在中，，于點D，點E，F(xiàn)在上，且，則圖中共有全等三角形（

）

A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【答案】C【分析】根據(jù)題中條件即可證明、、、．【詳解】解：∵，，，∴；∵，∴，∵，∴；∴，∵，，∴；∵，，，∴，∴，∴；∴全等三角形共有4對，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定，仔細找出全等三角形有幾對，并加以證明是關鍵．3．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，在和中，，，則證明全等于的方法是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由于公共邊為兩直角三角形的斜邊，于是根據(jù)“”可判斷．【詳解】解：，和都為直角三角形，在和中，，．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的種判定方法是解決問題的關鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．4．（2023春·廣東茂名·八年級校考期中）下列條件，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩個銳角對應相等 B．斜邊和一直角邊分別對應相等C．兩條直角邊分別對應相等 D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對應相等【答案】A【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、，逐條排除即可．【詳解】解：A．兩銳角對應相等的兩個直角三角形，不能判定全等，故此選項符合題意；B．斜邊和一直角邊分別對應相等的兩個直角三角形，根據(jù)能判定全等，故此選項不符合題意；C．兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形，根據(jù)能判定全等，故此選項不符合題意；D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對應相等，先根據(jù)，再用可判定全等，故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】A【分析】根據(jù)判定三角形全等的方法分析即可求解．【詳解】解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，故選：A．【點睛】本題考查了判定三角形全等的方法，熟練掌握判定三角形全等的判定定理是解題的關鍵．6．（2022春·七年級單元測試）下列說法中，不正確的個數(shù)有（

）①有一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等；②有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等；③有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等；④斜邊和斜邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一進行判斷，即可得出結論．【詳解】解：①有一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形，根據(jù)即可得到兩個直角三角形全等，故①正確；②有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形，不能得到兩個三角形全等，故②錯誤；③有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形不一定相等，如：和，的邊，高，但和不全等，故③錯誤；④斜邊和斜邊上的中線對應相等，只要斜邊相等，斜邊上的中線必然相等，故一組斜邊相等，一組直角相等，兩個條件不能判定全等，故④錯誤；綜上：不正確的有3個；故選C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關鍵．7．（2023春·山東泰安·七年級東平縣實驗中學校考階段練習）如圖，在中，于點，若，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可證明，則可求得，可求得答案．【詳解】解：，，在和中，，，，，故選：D．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，證得得到是解題的關鍵．8．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）在中，，是上的一點，且，過作交于，如果，則等于（

）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【答案】A【分析】利用“”得到，利用全等三角形對應邊相等得到，最后根據(jù)，等量代換即可確定出的長．【詳解】∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故選A．【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形全等的判定定理及性質(zhì)定理是解題關鍵．9．（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，于點，于點，，，則的長是（

）A．2 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：于點，于點，，在與中，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是根據(jù)已知條件判定三角形的全等．10．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，已知，求證：．分析問題可知：需添加如圖所示輔助線AD，進而證明．下列證明過程中：①取的中點D，連接，證明的依據(jù)是；②作的角平分線，證明的依據(jù)是；③過點A作于點D，證明的依據(jù)是．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】利用全等三角形的判定，及兩直角三角形全等的判定，即可得到答案．【詳解】解：①取的中點D，連接，∵，∴，在與中∴∴，∴，故①正確；②作的角平分線，∵，∴，在與中∴∴，∴，故②正確；③過點A作于點D，∴，在與中∴∴，∴，故③錯誤．故選：A．【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關知識點并靈活運用是解題的關鍵，本題為基礎題．二、填空題11．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知，要使用“”證明，應添加條件：_______________；要使用“”證明，應添加條件：_______________________．【答案】（或）（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，使，已知，，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知，，要使用“”，添加的條件是直角邊相等，故答案為：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：（或）．故答案為：（或）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定．本題的關鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．12．（2022春·七年級單元測試）如圖，已知，若用判定，只需添加的一個條件是____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，在和中，，為公共邊，則只需要添加，即可根據(jù)判定全等．【詳解】解：添加的條件為：，∵，∴，在和中，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據(jù)判定三角形全等，解題的關鍵是掌握一條直角邊和一條斜邊相等的兩個直角三角形全等．13．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，P、Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，要使和全等，則______．【答案】6或12/12或6【分析】分情況討論：①，此時，可據(jù)此求出P的位置；②，此時，點P與點C重合．【詳解】解：①當時，∵，在與中，∴，∴；②當P運動到與C點重合時，，在與中，∴，∴，∴當點P與點C重合時，才能和全等，綜上所述，或12，故答案為：6或12．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩個三角形全等的判定定理是解題的關鍵，當題中沒有明確全等三角形的對應邊和對應角時，要分情況討論，以免漏解．14．（2023秋·八年級單元測試）如圖，，請你再添加一個條件，使，你添加的條件是_______．【答案】或或或（選其中一個條件即可）．本題答案不唯一．【分析】已知，圖形條件，可以從角，邊兩方面添加條件．【詳解】添加的條件：或，此時；添加的條件：或，此時；故答案為：或或或（選其中一個條件即可）．本題答案不唯一．【點睛】本題考查了全等三角形的判定．關鍵是根據(jù)題目的已知條件，圖形條件，合理地選擇判定方法．15．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，于點D，于點，且．若要根據(jù)證明，則還應添加的條件是______．【答案】【分析】根據(jù)證明，只需要添加斜邊相等，即可求解．【詳解】根據(jù)證明，只需要添加斜邊相等，∴需要添加的條件是，故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形全等的判定，解題的關鍵是掌握直角三角形全等判定的方法，“”指的是一直角邊一斜邊．16．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，垂足為D，E為外一點，連接，且，．若，則的長為_______．

【答案】5【分析】如圖，過作的延長線于，證明，則，，證明，則，，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，過作的延長線于，

∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∴，故答案為：5．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關鍵在于明確線段之間的數(shù)量關系．17．（2023春·甘肅酒泉·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點D，A，E在直線l上，于點D，于點E，且．若，則________．【答案】8【分析】用證明得到，則．【詳解】解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知直角三角形全等的判定條件是解題的關鍵．18．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點在上，于點，交于點，，．若，則________________．【答案】55°/55度【分析】利用證明得到，利用三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，證明得到，是解題的關鍵．三、解答題19．（2021秋·廣東河源·八年級校考期