2023學年二輪復習解答題專題三十六：拋物線上平移問題的探究(原卷版+解析)

2023學年二輪復習解答題專題三十六：拋物線上平移問題的探究典例分析例1（2022宜賓中考）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，其頂點為點D，連結(jié)AC．

（1）求這條拋物線所對應的二次函數(shù)的表達式及頂點D的坐標；（2）在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標；（3）在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．專題過關(guān)1．（2022棗莊中考）（12分）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當△OPE面積最大時，求出P點坐標；（3）將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．2.（2022濟寧中考）已知拋物線與x軸有公共點．（1）當y隨x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；（2）將拋物線先向上平移4個單位長度，再向右平移n個單位長度得到拋物線（如圖所示），拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B右側(cè)），與y軸交于點C．當OC＝OA時，求n的值；（3）D為拋物線的頂點，過點C作拋物線的對稱軸l的垂線，垂足為G，交拋物線于點E，連接BE交l于點F．求證：四邊形CDEF是正方形．3.（2022嘉興中考）已知拋物線L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）經(jīng)過點A(1，0)．（1）求拋物線L1的函數(shù)表達式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關(guān)于坐標原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，若點B(1，y1)，C(3，y2)在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．4.（2022岳陽中考）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線F1：y=x2+bx+c經(jīng)過點A(?3,0)和點B(1,0)．

(1)求拋物線F1的解析式；

(2)如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點O成中心對稱，請直接寫出拋物線F2的解析式；

(3)如圖3，將(2)中拋物線F2向上平移2個單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點(點C在點D的左側(cè))．

①求點C和點D的坐標；

②若點M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動點(5.（2022恩施中考）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與y軸交于點．（1）直接寫出拋物線的解析式．（2）如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．（3）直線BC與拋物線交于M、N兩點（點N在點M的右側(cè)），請?zhí)骄吭趚軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．（4）若將拋物線進行適當?shù)钠揭?，當平移后的拋物線與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標．6.（2022畢節(jié)中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點E．（1）求拋物線的表達式；（2）把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；（3）M是（1）中拋物線上一點，N是直線上一點．是否存在以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．7.（2022年重慶中考B卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸于點Q，交于點M，求的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點A．點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標，并把求其中一個點D的坐標的過程寫出來．8.（2022重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．9.（2022南陽西峽一模）如圖，直線與軸交于點A，拋物線經(jīng)過點（1，8），與軸的一個交點為B（B在A的左側(cè)），過點B作BC垂直軸交直線于C.

（1）求的值及點B的坐標；（2）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點B、C的對應點分別為點E、F.將拋物線沿x軸向右平移使它過點F，求平移后所得拋物線的解析式.10.（2022河南濟源一模）已知拋物線．

（1）求拋物線的頂點坐標；（2）如圖，當時，拋物線與軸的負半軸、軸分別交于點A、點．①將拋物線向右平移，使點A與原點重合．求平移后的拋物線的解析式；②點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，若點在由點向頂點運動的過程中，直線與拋物線、共有4個交點，請直接寫出點的縱坐標的取值范圍．11.（2022河南滑縣一模）如圖，某數(shù)學小組以等腰直角三角形紙板的直角頂點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，已知，點，請思考并解決下列問題：（1）若拋物線過三點O、A、B，求此拋物線的表達式；（2）設的中點為D，若使拋物線經(jīng)過平移頂點為D，寫出平移后的拋物線的解析式．若點，是拋物線上兩點，當時，求m的取值范圍；（3）將沿水平方向平移，當恰好有一個頂點落在拋物線上時，請直接寫出平移的距離．12.（2022鶴壁一模）如圖，已知拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點，且．點E是對稱軸左側(cè)的拋物線上一點，過點E作軸，交拋物線于點F．（1）若，求拋物線的解析式以及點E的坐標；（2）若點E沿拋物線向下移動，使得對應的EF的取值范圍為，求移動過程中點F的縱坐標的取值范圍．13.（2022河南二模）如圖，直線交x軸于點B，交y軸于點A，拋物線經(jīng)過點A，B，點C為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；（2）將拋物線向下平移m個單位長度．①當時，用含m的式子表示y的取值范圍；②點C的對應點為，連接，，若，求m的值．14.（2022陜師大附中三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線M的表達式為y＝﹣x2+2x，與x軸交于O、A兩點，頂點為點B．（1）求證：△OAB為等腰直角三角形：（2）已知點P在y軸上，且OP＝1，點C在第一象限，△ABC為等腰直角三角形，將拋物線M進行平移，使其對稱軸經(jīng)過點C，請問平移后的拋物線能否經(jīng)過點P？如果能，求出平移方式；如果不能，說明理由．15.（2022西安交大附中三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線L的解析式；（2）已知第一象限內(nèi)拋物線上一點P，其縱坐標為3，連接．將原拋物線L沿射線方向平移個單位，得到新的拋物線，點P的對應點為點D，點E為的對稱軸上任意一點，在上確定一點F，使得以點C，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，求出所有符合條件的點F的坐標．16.（2021麗水中考）如圖，已知拋物線經(jīng)過點．（1）求的值；（2）連結(jié)，交拋物線L的對稱軸于點M．①求點M的坐標；②將拋物線L向左平移個單位得到拋物線．過點M作軸，交拋物線于點N．P是拋物線上一點，橫坐標為，過點P作軸，交拋物線L于點E，點E在拋物線L對稱軸的右側(cè)．若，求m的值．17．（2021玉林中考）（12分）已知拋物線：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）與x軸交點為A，B（A在B的左側(cè)），頂點為D．（1）求點A，B的坐標及拋物線的對稱軸；（2）若直線y＝﹣x與拋物線交于點M，N，且M，N關(guān)于原點對稱，求拋物線的解析式；（3）如圖，將（2）中的拋物線向上平移，使得新的拋物線的頂點D′在直線l：y＝上，設直線l與y軸的交點為O′，原拋物線上的點P平移后的對應點為點Q，若O′P＝O′Q，求點P，Q的坐標．2023學年二輪復習解答題專題三十六：拋物線上平移問題的探究典例分析例1（2022宜賓中考）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，其頂點為點D，連結(jié)AC．

（1）求這條拋物線所對應的二次函數(shù)的表達式及頂點D的坐標；（2）在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標；（3）在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．【答案】（1），頂點D的坐標為（2）或（3）【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，再化成頂點式即可得出頂點坐標；（2）先用待定系數(shù)法求直線AC解析式為，再過點F作于點G，證，得，設F點的坐標為，則G點的坐標為，所以，即可求出或，從而求得點F坐標；（3），是平移得得點M的坐標為，則（2）知點與點關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)，對稱軸于點H，連結(jié)、，過點作于點N，交對稱軸于點P，則，，．在中，，則在中，，所以，所以為最小值，根據(jù)，所以，即可求出．【小問1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：=-(x-1)2+4，∴頂點D的坐標為；【小問2詳解】解：設直線AC的解析式為：，把點，代入得：，，∴直線AC解析式為：，過點F作于點G，

∵以A、C、E、F四點為頂點的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，∴，AC=EF，又∵，∴∴，∴，設F點的坐標為，則G點的坐標為，∴，∴或，當時，，∴，當時，∴，∴或；【小問3詳解】解：由題意，得點M的坐標為，由題意知：點與點關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)，對稱軸于點H，連結(jié)、，過點作于點N，交對稱軸于點P，則，，．

在中，，則在中，∴，又∵∴為最小值，又∵，∴，∴求得的最小值為．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，利用軸對稱求最小值，本題屬二次函數(shù)綜合題目，掌握二交次函數(shù)圖象性質(zhì)和靈活運用是解題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1．（2022棗莊中考）（12分）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當△OPE面積最大時，求出P點坐標；（3）將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）過P作PG∥y軸，交OE于點G，設P（m，m2﹣4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標，表示PG的長，根據(jù)面積和可得△OPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；（3）求出原拋物線的對稱軸和頂點坐標以及對稱軸與OE的交點坐標、與AE的交點坐標，用含h的代數(shù)式表示平移后的拋物線的頂點坐標，列出不等式組求出h的取值范圍；（4）存在四種情況：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)|OM|＝|PN|，列方程可得點P的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）如圖，過P作PG∥y軸，交OE于點G，設P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直線OE的解析式為：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG＝PG?AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴當m＝時，△OPE面積最大，此時，P點坐標為（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得拋物線l的對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，﹣1），拋物線L向上平移h個單位長度后頂點為F（2，﹣1+h）．設直線x＝2交OE于點DM，交AE于點N，則E（2，3），∵直線OE的解析式為：y＝x，∴M（2，2），∵點F在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）設P（m，m2﹣4m+3），分四種情況：①當P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐標為（，）；②當P在對稱軸的左邊，且在x軸上方時，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐標為（，）；③當P在對稱軸的右邊，且在x軸下方時，如圖，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m＝或m2＝（舍）；P的坐標為（，）；④當P在對稱軸的右邊，且在x軸上方時，如圖，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐標為：（，）；綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及圖形的平移，全等三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，運用分類討論思想和方程的思想解決問題的關(guān)鍵．2.（2022濟寧中考）已知拋物線與x軸有公共點．（1）當y隨x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；（2）將拋物線先向上平移4個單位長度，再向右平移n個單位長度得到拋物線（如圖所示），拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B右側(cè)），與y軸交于點C．當OC＝OA時，求n的值；（3）D為拋物線的頂點，過點C作拋物線的對稱軸l的垂線，垂足為G，交拋物線于點E，連接BE交l于點F．求證：四邊形CDEF是正方形．【答案】（1）（2）n＝2（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸由公共點，可得，從而而求出的值，進而求得拋物線對稱軸，進一步得到結(jié)果；（2）根據(jù)圖像平移的特征可求出平移后拋物線的解析式，根據(jù)和分別得出點和的坐標，根據(jù)列出方程，進而求的結(jié)果；（3）從而得出點、點的坐標，由拋物線的解析式可得出點的坐標和點的坐標，進而求得的解析式，從而得出點的坐標，進而得出，進一步得出結(jié)論．【小問1詳解】解：∵拋物線與x軸有公共點，∴∴∴．∴，∴，∵，∴當時，y隨著x的增大而增大．【小問2詳解】解：由題意，得，當y＝0時，，解得：或，∵點A在點B的右側(cè)，∴點A的坐標為（1+n，0），點B的坐標為（－3+n，0）．∵點C的坐標為（0，－n2+2n+3），∴n+1＝－n2+2n+3．解得：n＝2或n＝－1（舍去）．故n的值為2.【小問3詳解】解：由（2）可知：拋物線C2的解析式為y＝－（x－1）2+4．∴點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（－1，0）點C的坐標為（0，3），點D的坐標為（1，4），拋物線C2的對稱軸是直線x＝1，∵點E與點C關(guān)于直線x＝1對稱，∴點E的坐標為（2，3）．∴點G的坐標為（1，3）．設直線BE解析式為y＝kx+b，∴解得：∴y＝x+1．當x＝1時，y＝1+1＝2．點F的坐標為（1，2）．∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．∴四邊形CDEF為矩形．又∵CE⊥DF，∴四邊形CDEF為正方形．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，平移圖像的特征，正方形的判定，解決問題的關(guān)鍵是平移前后拋物線解析式之間的關(guān)系．3.（2022嘉興中考）已知拋物線L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）經(jīng)過點A(1，0)．（1）求拋物線L1的函數(shù)表達式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關(guān)于坐標原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，若點B(1，y1)，C(3，y2)在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．【答案】（1）（2）的值為4（3）【解析】【分析】（1）把代入即可解得拋物線的函數(shù)表達式為；（2）將拋物線向上平移個單位得到拋物線，頂點為，關(guān)于原點的對稱點為，代入可解得的值為4；（3）把拋物線向右平移個單位得拋物線為，根據(jù)點B(1，y1)，C(3，y2)都在拋物線上，當y1＞y2時，可得，即可解得的取值范圍是．【小問1詳解】解：把代入得：，解得，；答：拋物線的函數(shù)表達式為；【小問2詳解】解：拋物線的頂點為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，則拋物線的頂點為，而關(guān)于原點的對稱點為，把代入得：，解得，答：的值為4；【小問3詳解】解：把拋物線向右平移個單位得到拋物線，拋物線解析式為，點，都拋物線上，，，y1＞y2，，整理變形得：，，解得，的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，對稱及平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是能得出含字母的式子表達拋物線平移后的解析式．4.（2022岳陽中考）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線F1：y=x2+bx+c經(jīng)過點A(?3,0)和點B(1,0)．

(1)求拋物線F1的解析式；

(2)如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點O成中心對稱，請直接寫出拋物線F2的解析式；

(3)如圖3，將(2)中拋物線F2向上平移2個單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點(點C在點D的左側(cè))．

①求點C和點D的坐標；

②若點M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動點24.【答案】解：(1)將點A(?3,0)和點B(1,0)代入y=x2+bx+c，

∴9?3b+c=01+b+c=0，

解得b=2c=?3，

∴y=x2+2x?3；

(2)∵y=x2+2x?3=(x+1)2?4，

∴拋物線的頂點(?1,?4)，

∵頂點(?1,?4)關(guān)于原點的對稱點為(1,4)，

∴拋物線F2的解析式為y=?(x?1)2+4，

∴y=?x2+2x+3；

(3)由題意可得，拋物線F3的解析式為y=?(x?1)2+6=?x2+2x+5，

①聯(lián)立方程組y=?x2+2x+5y=x2+2x?3，

解得x=2或x=?2，

∴C(?2,?3)或D(2,5)；

②設直線CD的解析式為y=kx+b，

∴?2k+b=?32k+b=5，

解得k=2b=1，

∴y=2x+1，

過點M作MF//y軸交CD于點F，過點N作NE//y軸交于點E，

設M(m,m2+2m?3)，N(n,?n2+2n+3)，

則【解析】(1)將點A(?3,0)和點B(1,0)代入y=x2+bx+c，即可求解；

(2)利用對稱性求出函數(shù)F1頂點(?1,?4)關(guān)于原點的對稱點為(1,4)，即可求函數(shù)F2的解析式；

(3)①通過聯(lián)立方程組y=?x2+2x+7y=x2+2x?3，求出C點和D點坐標即可；

②求出直線CD的解析式，過點M作MF//y軸交CD于點F，過點N作NE//y軸交于點E，設M(m,m2+2m?3)，N(n,?n2+2n+3)，則F(m,2m+2)，N(n,2n+1)，可求MF=?m2+4，NE=?n2+2，由S四邊形CMDN（1）直接寫出拋物線的解析式．（2）如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．（3）直線BC與拋物線交于M、N兩點（點N在點M的右側(cè)），請?zhí)骄吭趚軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．（4）若將拋物線進行適當?shù)钠揭疲斊揭坪蟮膾佄锞€與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標．【答案】（1）（2）以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由見解析（3）存在，或，（4）最短距離為，平移后的頂點坐標為【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）分別求得B、C、Q的坐標，勾股定理的逆定理驗證即可求解；（3）由，故分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求解；（4）如圖，作且與拋物線只有1個交點，交軸于點，過點作于點，則是等腰直角三角形，作于，進而求得直線與的距離，即為所求最短距離，進而求得平移方式，將頂點坐標平移即可求解．【小問1詳解】解：∵拋物線與y軸交于點∴拋物線解析式為【小問2詳解】以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：的頂點坐標為依題意得，平移后的拋物線解析式為令，解得令，則，即以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形【小問3詳解】存在，或，理由如下，，，是等腰直角三角形設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，聯(lián)立解得，，，是等腰直角三角形，設直線的解析式為,直線的解析式為當時，設的解析式為，由NT過點則解得的解析式為，令解得，②當時，則即解得綜上所述，或【小問4詳解】如圖，作，交軸于點，過點作于點，則是等腰直角三角形，作于直線的解析式為設與平行的且與只有一個公共點的直線解析式為則整理得：則解得直線的解析式為，即拋物線平移的最短距離為，方向為方向

∴把點P先向右平移EF的長度，再向下平移FC的長度即得到平移后的坐標平移后的頂點坐標為，即【點睛】本題是二次函數(shù)綜合，考查了相似三角形的性質(zhì)，求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，勾股定理的逆定理，正確的添加輔助線以及正確的計算是解題的關(guān)鍵．6.（2022畢節(jié)中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點E．（1）求拋物線的表達式；（2）把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；（3）M是（1）中拋物線上一點，N是直線上一點．是否存在以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，或或，【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點坐標即可求求解；（2）由題意得，求BC的表達式為：；拋物線平移后的表達式為：，根據(jù)題意得，即可求解；（3）設，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進行求解即可；【小問1詳解】解：由可知，解得：，∴【小問2詳解】分別令中，得，，；設BC的表達式為：，將，代入得，解得：；∴BC的表達式為：；拋物線平移后的表達式為：，根據(jù)題意得，，即，∵該拋物線與直線始終有交點，∴，∴，∴h的最大值為；【小問3詳解】存在，理由如下：將代入中得，∵四邊形DEMN是平行四邊形，∴設，當時，解得：（舍去），∴當時，解得：，∴或，綜上，點N的坐標為：或或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應用是解題的關(guān)鍵．7.（2022年重慶中考B卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸于點Q，交于點M，求的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點A．點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標，并把求其中一個點D的坐標的過程寫出來．【答案】（1）（2）最大值為：，（3）、、【解析】【分析】（1）將、代入拋物線，即可求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)得到，推出，即可得到，則，求出直線的解析式為：，設，則，，求出，即可求解；（3）先求出平移后新拋物線解析式：，，，設，，再利用平行四邊形中心對稱性分情況列出方程組求解即可．【小問1詳解】解：將、代入拋物線可得：，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為：；【小問2詳解】解：∵、，∴，，在中，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，設直線的解析式為：，將、代入可得：，解得，∴直線的解析式為：，設，則，，∴∵，，∴當時，存在最大值，最大值為：，此時；【小問3詳解】解：∵對稱軸為：，∴，∵直線：，∴拋物線向右平移個單位，∴，，，設，，①以、為對角線時，，解得∴；②以、為對角線時，，解得∴；③以、為對角線時，，解得∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是能夠熟練應用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式．8.（2022重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】（1）（2），（3）；；【解析】【分析】（1）將點A，B的坐標代入拋物線中求出b，c即可；（2）設交于，可得，求出直線AB的解析式，設，則，，表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點E、F坐標，設，，分情況討論：①當為對角線時，②當為對角線時，③當為對角線時，分別根據(jù)對角線交點的橫坐標相同列式計算即可．【小問1詳解】解：將點，代入得：，解得：，∴該拋物線的函數(shù)表達式為：；【小問2詳解】如圖，設交于，∵，，∴OA＝OB＝4，∴，∵PC∥OB，PD∥OA，∴，，∴，設直線AB的解析式為，則，解得：，∴直線AB的解析式為，設，則，，∴，∴當時，取得最大值，此時；【小問3詳解】由題意得：平移后拋物線解析式為，，∴，∵拋物線的對稱軸為，∴設，，分情況討論：①當為對角線時，則，解得：，此時，∴；②當為對角線時，則，即，此時，∴；③當為對角線時，則，即，此時，∴，綜上所述，點的坐標為：，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質(zhì)列方程．9.（2022南陽西峽一模）如圖，直線與軸交于點A，拋物線經(jīng)過點（1，8），與軸的一個交點為B（B在A的左側(cè)），過點B作BC垂直軸交直線于C.

（1）求的值及點B的坐標；（2）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點B、C的對應點分別為點E、F.將拋物線沿x軸向右平移使它過點F，求平移后所得拋物線的解析式.【答案】（1）a=1，B(-3，0)（2）3#【解析】【分析】(1)把已知坐標代入解析式，得到8=a+4+2a+1，求得a值，回代a值，得到拋物線的解析式，求得拋物線與x軸的交點坐標，根據(jù)直線解析式確定A的坐標，根據(jù)已知即確定B的坐標．(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到F(0，1)，設拋物線向右平移m個單位，解析式為，把點F坐標代入解析式求解即可．【小問1詳解】∵直線與軸交于點A，拋物線經(jīng)過點（1，8），∴A(-2，0)，8=a+4+2a+1，解得a=1；∴拋物線解析式為，∴，∴，解得，，∵與軸的一個交點為B（B在A的左側(cè)），∴B(-3，0)．【小問2詳解】∵B(-3，0)，直線，∴C(-3，2)，∴AB=1，BC=2，OA=2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得AE=AB=1，EF=BC=2，AC=AF，∠CAF=90°，連接OF，∴∠FAO+∠BAC=90°，BC=OA，∵∠BCA+∠BAC=90°，∴∠FAO=∠ACB，∴△FAO≌△ACB，∴FO=1，∠AOF=∠CBA=90°，

∴點F在x軸的正半軸，∴點F(0，1)，∵，設拋物線向右平移了m個單位后經(jīng)過點F，∴過點F(0，1)，∴，解得m=或m=，∴拋物線的解析式為3或．【點睛】本題考查了拋物線與一次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法確定解析式，拋物線與軸的交點，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，函數(shù)的平移，三角形全等，熟練掌握拋物線的平移，拋物線與x軸交點問題是解題的關(guān)鍵．10.（2022河南濟源一模）已知拋物線．

（1）求拋物線的頂點坐標；（2）如圖，當時，拋物線與軸的負半軸、軸分別交于點A、點．①將拋物線向右平移，使點A與原點重合．求平移后的拋物線的解析式；②點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，若點在由點向頂點運動的過程中，直線與拋物線、共有4個交點，請直接寫出點的縱坐標的取值范圍．【答案】（1）(1，4)（2）①；②或【解析】【分析】（1）將拋物線一般式改為頂點式即可解答；（2）①根據(jù)，即得出A(-1，0)．由題意可知將拋物線向右平移1個單位，點A與原點重合，故拋物線的解析式為；②根據(jù)，得出B(0，3)，再求出兩個拋物線的交點坐標結(jié)合圖象即可得出點的縱坐標的取值范圍．【小問1詳解】解：∵，∴拋物線的頂點坐標為(1，4)；【小問2詳解】①當時，該拋物線解析式為，令，則，解得：，∴A(-1，0)．當點A與原點重合，即將拋物線向右平移1個單位，∴拋物線的解析式為；②對于，令x=0，則，∴B(0，3)．如圖，

聯(lián)立，解得：，∴C(，)．∴當P點縱坐標位于B點縱坐標與C點縱坐標和C點縱坐標與拋物線頂點縱坐標之間時，直線l與拋物線、共有4個交點，∴當或時，直線l與拋物線、共有4個交點．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的平移以及兩拋物線的交點坐標．（1）將一般式改為頂點式是關(guān)鍵；（2）根據(jù)題意找出二次函數(shù)圖象平移的方式是關(guān)鍵；（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想是關(guān)鍵．11.（2022河南滑縣一模）如圖，某數(shù)學小組以等腰直角三角形紙板的直角頂點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，已知，點，請思考并解決下列問題：（1）若拋物線過三點O、A、B，求此拋物線的表達式；（2）設的中點為D，若使拋物線經(jīng)過平移頂點為D，寫出平移后的拋物線的解析式．若點，是拋物線上兩點，當時，求m的取值范圍；（3）將沿水平方向平移，當恰好有一個頂點落在拋物線上時，請直接寫出平移的距離．【答案】（1）（2）；（3）或或或【解析】【分析】（1）、設拋物線的表達式為，把三點坐標代入，即可求解；（2）、由中點坐標公式即可求出D點坐標，再由平移拋物線的a值不變，由拋物線的頂點公式即可求出拋物線的解析式，再由函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解；（3）、設點平移后的對應點為：，再分①當在拋物線上時，②當在拋物線上時，兩種情況分別求解即可．【小問1詳解】解：設拋物線的表達式為，把三點坐標代入，得，解得，∴；【小問2詳解】∵的中點為D，，，∵拋物線是由拋物線平移得到，且頂點為D，∴拋物線的解析式為：，∴拋物線的對稱軸為直線，關(guān)于對稱軸的對稱點為：，，開口向下，；【小問3詳解】當沿水平方向平移t個單位時，點平移后的對應點為：，當在拋物線上時，可得：，解得或者，∴向右平移個單位或向左平移個單位，當在拋物線上時，可得：，解得：或者，∴向左平移個單位或向左平移個單位，綜上所述：平移距離為：或者或者或者．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，圖像的平移性質(zhì)，綜合掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12.（2022鶴壁一模）如圖，已知拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點，且．點E是對稱軸左側(cè)的拋物線上一點，過點E作軸，交拋物線于點F．（1）若，求拋物線的解析式以及點E的坐標；（2）若點E沿拋物線向下移動，使得對應的EF的取值范圍為，求移動過程中點F的縱坐標的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件求出A坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；設點，利用E是對稱軸左側(cè)的拋物線上一點，EF=3，得到，利用拋物線的對稱軸為直線x=1，得到，聯(lián)立即可求得的值，再代入拋物線即可求出答案；（2）設點，利用E是對稱軸左側(cè)的拋物線上一點，得到EF=，利用拋物線的對稱軸為直線x=1，得到，則，可得，利用已知條件求出的取值范圍，結(jié)合圖象，再利用拋物線解析式即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：點，，，，點，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點，解得：∴拋物線的解析式為，軸，設點，點E是對稱軸左側(cè)的拋物線上一點，，，，∴拋物線的對稱軸：直線，，∴解得：當時，點．【小問2詳解】軸，設點，，拋物線的對稱軸：直線，，，，，，，當時，，當時，，∴移動過程中點F的縱坐標的取值范圍：．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，拋物線上點的坐標的特征，拋物線與x軸的交點，配方法求得拋物線的對稱軸，利用點的坐標表示相應線段的長度是解題的關(guān)鍵．13.（2022河南二模）如圖，直線交x軸于點B，交y軸于點A，拋物線經(jīng)過點A，B，點C為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；（2）將拋物線向下平移m個單位長度．①當時，用含m的式子表示y的取值范圍；②點C的對應點為，連接，，若，求m的值．【答案】（1），（2）①，②，或【解析】【分析】（1）根據(jù)直線解析式求得的坐標，代入拋物線解析式待定系數(shù)法求解析式即可，然后化為頂點式即可求得的坐標，（2）①根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律求得平移后的頂點坐標，即可求得當時，最大值，根據(jù)離對稱軸越遠的點，函數(shù)值越小，即可求得最小值，進而求得y的取值范圍；②設直線與交于點，求得點的坐標，根據(jù)三角形面積公式建立絕對值方程求解即可．【小問1詳解】解：∵直線交x軸于點B，交y軸于點A，令，則，令，則代入得解得點C為拋物線的頂點∴【小問2詳解】解：將拋物線向下平移m個單位長度，則平移后的解析式為，頂點坐標為，對稱軸為①當時，最大值為，，根據(jù)離對稱軸越遠的點，函數(shù)值越小，最小值為時，，②依題意，設直線的解析式為解得直線的解析式為設直線與交于點，當時，則解得：，或【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，面積問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.（2022陜師大附中三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線M的表達式為y＝﹣x2+2x，與x軸交于O、A兩點，頂點為點B．（1）求證：△OAB為等腰直角三角形：（2）已知點P在y軸上，且OP＝1，點C在第一象限，△ABC為等腰直角三角形，將拋物線M進行平移，使其對稱軸經(jīng)過點C，請問平移后的拋物線能否經(jīng)過點P？如果能，求出平移方式；如果不能，說明理由．【答案】（1）見詳解（2）將拋物線M向右平移個單位，再向上平移個點，得過點C1和點P的拋物線；拋物線M向右平移個單位，再向上平移得出過點C2和點P的拋物線；拋物線M向右平移個單位。再向上平移個單位，得點過點C3與P的拋物線【解析】【分析】（1）將拋物線M配方為頂點式得出拋物線的對稱軸為x=2，拋物線的頂點B（2，2），然后求出點A（4，0），根據(jù)對稱軸求出點E（2，O），BE⊥OA，證明△OEB為等腰直角三角形，再證△AEB為等腰直角三角形即可；（2）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，分以下三種情況，以AB為直角邊，點B為直角頂點，將AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得出點C1（4，4）將拋物線M向右平移2個單位，再向上平移2個點，得出以C1為頂點的拋物線為，以AB為直角邊，以點A直角頂點，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得AC2，求出點C2（6，2），拋物線M向右平移4個單位得出過頂點C2的拋物線；以AB為斜邊，點C3為直角頂點，點C3在AC1的中點，C3（4，2）即可．【小問1詳解】解：拋物線M的表達式為，∴拋物線的對稱軸為x=2，拋物線的頂點B（2，2），拋物線與x軸的交點，解得：，∴點A（4，0），∵拋物線對稱軸為x=2，∴點E（2，O），BE⊥OA，∵OE=BE=2，∠OEB=90°，∴△OEB為等腰直角三角形，∴∠BOE=∠OBE=45°，∵AE=OA-OE=4-2=2，∴BE=AE，∠AEB=90°，∴△AEB為等腰直角三角形，∴∠EBA=∠EAB=45°，∴∠BOE=∠OBE=∠EBA=∠EAB=45°，∴OB=AB，∠OBA=∠OBE+∠ABE=45°+45°=90°，∴△OAB為等腰直角三角形【小問2詳解】解：∵△ABC為等腰直角三角形，分以下三種情況，以AB為直角邊，點B為直角頂點，將AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，∴∠BAC1=45°，∴∠CAO=∠OAB+∠C1AB=45°+45°=90°，∴CA⊥x軸，∵∠OBA+∠ABC1=90°+90°=180°，∴點O、B、C1三點共線，∵∠C1OA=45°，∴△OAC1為等腰直角三角形，∴C1A=OA=4，∴點C1（4，4）∵OP=1，∴點P（0,1）設過點P與C1形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標得解得∴，將拋物線M向右平移個單位，再向上平移個點，得過點C1和點P的拋物線以AB為直角邊，以點A直角頂點，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得AC2，∵∠C2BA=45°=∠BAO，∴BC2∥OA，∠OBA=∠C2AB，∴AC2∥OB，∴四邊形OBC2A，∴BC2=OA=4，∴點C2橫坐標為OE+BC2=2+4=6，∴點C2（6，2），∴點P（0,1）設過點P與C2形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標得解得∴∴，∴拋物線M向右平移個單位，再向上平移得出過點C2和點P的拋物線；以AB為斜邊，點C3為直角頂點，點C3在AC1的中點，C3（4，2）∵點P（0，1）設過點P與C3形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標得解得∴∴，∴拋物線M向右平移個單位。再向上平移個單位，得點過點C3與P的拋物線【點睛】本題考查圖形與坐標，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形，圖形旋轉(zhuǎn)，拋物線平移，掌握圖形與坐標，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形，圖形旋轉(zhuǎn)，拋物線平移是解題關(guān)鍵．15.（2022西安交大附中三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線L的解析式；（2）已知第一象限內(nèi)拋物線上一點P，其縱坐標為3，連接．將原拋物線L沿射線方向平移個單位，得到新的拋物線，點P的對應點為點D，點E為的對稱軸上任意一點，在上確定一點F，