第09講概率初步(9大考點(diǎn))(原卷版+解析)2

第09講概率初步（9大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件隨機(jī)事件與概率初步1.定義：（1）必然事件在一定條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件．（3）隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱(chēng)為隨機(jī)事件.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機(jī)事件又稱(chēng)為“不確定事件”；2.要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類(lèi)型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.二、概率的意義概率是從數(shù)量上刻畫(huà)了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率(probability)，記為.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；(2)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小；(3)事件A的概率是一個(gè)大于等于0，且小于等于1的數(shù)，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(隨機(jī)事件)<1.三、古典概型滿(mǎn)足下列兩個(gè)特點(diǎn)的概率問(wèn)題稱(chēng)為古典概型.（1）一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；（2）一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的.古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗(yàn)結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝绻谝淮卧囼?yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=.四、用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和樹(shù)形圖法.1.列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.2.樹(shù)形圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖.樹(shù)形圖是用樹(shù)狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)樹(shù)形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）在用列表法或樹(shù)形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.五、利用頻率估計(jì)概率當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來(lái)估計(jì)概率.要點(diǎn)詮釋?zhuān)河迷囼?yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．隨機(jī)事件（共3小題）1．（2022?德?？h二模）“正方形既是矩形又是菱形”是事件．（填“必然”、“隨機(jī)”、“不可能”）2．（2022春?武進(jìn)區(qū)期中）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．某商場(chǎng)對(duì)顧客健康碼的審查，選擇抽樣調(diào)查 B．在復(fù)學(xué)后，某校為了檢查全校學(xué)生的體溫，選擇全面調(diào)查 C．為了記錄康復(fù)后的新冠肺炎病人的體溫情況，適合選用折線統(tǒng)計(jì)圖 D．“發(fā)熱病人的核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性”是隨機(jī)事件3．（2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)三模）“隨手翻開(kāi)華師大版初中數(shù)學(xué)課本，翻到的頁(yè)碼恰好是3的倍數(shù)”，這個(gè)事件是事件（填“隨機(jī)”、“必然”或“不可能”）．二．可能性的大?。ü?小題）4．（2022秋?柳江區(qū)月考）從1﹣9的數(shù)字卡片中，任意抽一張，抽到奇數(shù)的可能性是．5．（2022秋?臨平區(qū)月考）擲一枚質(zhì)地均勻的標(biāo)有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字的立方體骰子，骰子停止后，出現(xiàn)可能性最小的是（）A．大于3的點(diǎn)數(shù) B．小于3的點(diǎn)數(shù) C．大于5的點(diǎn)數(shù) D．小于5的點(diǎn)數(shù)三．概率的意義（共5小題）6．（2022?禮縣模擬）一只不透明的布袋中有三種珠子（除顏色以外沒(méi)有任何區(qū)別），分別是3個(gè)紅珠子，4個(gè)白珠子和5個(gè)黑珠子，每次只摸出一個(gè)珠子，觀察后均放回?cái)噭?，在連續(xù)9次摸出的都是紅珠子的情況下，第10次摸出紅珠子的概率是．7．（2022?思明區(qū)校級(jí)二模）下列說(shuō)法正確的是（）A．甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說(shuō)明乙的跳遠(yuǎn)成績(jī)比甲穩(wěn)定 B．了解某市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查 C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5 D．可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生8．（2022?長(zhǎng)沙）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查 B．“太陽(yáng)東升西落”是不可能事件 C．為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是條形統(tǒng)計(jì)圖 D．任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次9．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）在一個(gè)不透明的口袋里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中有5個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球．若隨機(jī)摸出一個(gè)藍(lán)球的概率為，則隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率為．10．（2022?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）一則廣告聲稱(chēng)本次活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為20%，其中一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為1%．小明看到這則廣告后，想：“我抽5張就會(huì)有1張中獎(jiǎng)，抽100張就會(huì)有1張中一等獎(jiǎng)．”你認(rèn)為小明的想法對(duì)嗎？四．概率公式（共5小題）11．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，5個(gè)紅球，每個(gè)球除顏色外都相同．（1）從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球是事件；摸到黃球是事件；（填“不可能”或“必然”或“隨機(jī)”）（2）從中任意摸出一個(gè)球，摸到黑球的概率；（3）現(xiàn)在再將若干個(gè)同樣的黑球放入袋中、與原來(lái)10個(gè)球均勻混合在一起，使從袋中任意摸出一個(gè)球?yàn)楹谇虻母怕蕿?，?qǐng)求出后來(lái)放入袋中的黑球個(gè)數(shù)．12．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）為了解某市快遞員的收入情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩家快遞公司80天的送貨單，對(duì)兩個(gè)公司的快遞員人均每天的送貨單數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：已知這兩家快遞公司的快遞員的日工資方案為：甲公司規(guī)定底薪80元，每單抽成1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前40單無(wú)抽成，超過(guò)40單的部分每單抽成4元．每位快遞員平均每天送貨單數(shù)30405060天數(shù)甲10401812乙10352015（1）現(xiàn)從這80天中隨機(jī)抽取1天，求這一天甲公司快遞員人均送貨單數(shù)超過(guò)50（不含50）單的概率；（2）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若將各公司快遞員的人均送貨單數(shù)視為該公司各快遞員的送貨單數(shù)，①估計(jì)乙快遞公司各快遞員的日均送貨單數(shù)；②小明擬到甲、乙兩家快遞公司中的一家應(yīng)聘快遞員的工作．如果僅從工資收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說(shuō)明理由．13．（2022?青秀區(qū)校級(jí)三模）2021年4月，教育部印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》，明確要求初中生每天睡眠時(shí)間應(yīng)達(dá)到9小時(shí)．某初級(jí)中學(xué)為了解學(xué)生睡眠時(shí)間的情況，從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果用統(tǒng)計(jì)圖描述如下．調(diào)查問(wèn)卷1．近兩周你平均每天睡眠時(shí)間大約是______小時(shí)．如果你平均每天睡眠時(shí)間不足9小時(shí)，請(qǐng)回答第2個(gè)問(wèn)題2．影響你睡眠時(shí)間的主要原因是______（單選）．A．學(xué)習(xí)效率低B．校外學(xué)習(xí)任務(wù)重C．校內(nèi)課業(yè)負(fù)擔(dān)重D．其他平均每天睡眠時(shí)間x（時(shí)）分為5組：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查中，平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在第（填序號(hào)）組；（2）隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生睡眠時(shí)間達(dá)到9小時(shí)的概率是多少？（3）若全校有1000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校由于“學(xué)習(xí)效率低”而睡眠時(shí)間不足9小時(shí)的人數(shù)；（4）請(qǐng)對(duì)該校學(xué)生睡眠時(shí)間的情況作出評(píng)價(jià)，并提出一條合理化建議．14．（2022秋?定海區(qū)校級(jí)月考）有五張背面完全相同的紙質(zhì)卡片，其正面分別標(biāo)有數(shù)：6、、、﹣2、．將它們背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張卡片，則其正面的數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是．15．（2022?丹東）四張不透明的卡片，正面標(biāo)有數(shù)字分別是﹣2，3，﹣10，6，除正面數(shù)字不同外，其余都相同，將它們背面朝上洗勻后放在桌面上，從中隨機(jī)抽取一張卡片，則這張卡片正面的數(shù)字是﹣10的概率是（）A． B． C． D．1五．幾何概率（共5小題）16．（2022秋?拱墅區(qū)月考）把一轉(zhuǎn)盤(pán)先分成兩個(gè)半圓，再把其中一個(gè)半圓等分成三等份，并標(biāo)上數(shù)字如圖所示，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率是．17．（2022?朝陽(yáng)）如圖所示的是由8個(gè)全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．118．（2020秋?天河區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，分別以B，D為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)2為半徑畫(huà)弧，形成陰影部分的樹(shù)葉圖案．（計(jì)算時(shí)π取3）（1）求的長(zhǎng)和陰影部分的面積；（2）若在正方形ABCD中隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率．（豆子落在弧上不計(jì)）19．（2021?江岸區(qū)校級(jí)自主招生）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c．如圖②，現(xiàn)將與Rt△ABC全等的四個(gè)直角三角形拼成一個(gè)正方形EFMN．（1）若Rt△ABC的兩直角邊之比均為2：3．現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在四個(gè)直角三角形區(qū)域的概率是多少？（2）若正方形EFMN的邊長(zhǎng)為8，Rt△ABC的周長(zhǎng)為18，求Rt△ABC的面積．20．（2021春?任城區(qū)期中）“六一”兒童節(jié)期間，某商廈為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)（轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成16份），并規(guī)定：顧客每購(gòu)買(mǎi)100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)．如果轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)哪個(gè)區(qū)域，顧客就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．顏色獎(jiǎng)品紅色玩具熊黃色童話(huà)書(shū)綠色彩筆無(wú)色無(wú)獎(jiǎng)品小明和媽媽購(gòu)買(mǎi)了125元的商品，請(qǐng)你分析計(jì)算：（1）小明獲得獎(jiǎng)品的概率是多少？（2）小明獲得童話(huà)書(shū)的概率是多少？六．列表法與樹(shù)狀圖法（共2小題）21．（2022秋?沈陽(yáng)月考）將分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的三個(gè)小球放入一個(gè)不透明的袋子中，這些小球除數(shù)字外其他都相同．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字后放回．再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球并記下數(shù)字．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求兩次摸出的小球數(shù)字不同的概率．22．（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）在一個(gè)不透明的口袋中裝有四個(gè)大小質(zhì)地相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4每次摸球前將袋子攪拌均勻．（1）若從這四個(gè)小球中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，小球上的數(shù)字是“4”的概率是；（2）若從這四個(gè)小球中隨機(jī)抽取兩個(gè)小球，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是多少？七．游戲公平性（共2小題）23．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）有A，B兩個(gè)不透明的袋子，A袋4個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4；B袋的3個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．（每個(gè)袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同．）（1）若從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則小球上數(shù)字是偶數(shù)的概率是；（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，乙從B袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，若甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是否公平．24．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖是計(jì)算機(jī)“掃雷”游戲的畫(huà)面，在9×9個(gè)小方格的雷區(qū)中，隨機(jī)地埋藏著20顆地雷，每個(gè)小方格最多能埋藏1顆地雷．（1）如圖1，小南先踩中一個(gè)小方格，顯示數(shù)字2，它表示圍著數(shù)字2的8個(gè)方塊中埋藏著2顆地雷（包含數(shù)字2的黑框區(qū)域記為A）．接著，小語(yǔ)選擇了右下角的一個(gè)方格，出現(xiàn)了數(shù)字1（包含數(shù)字1的黑框區(qū)域記為B，A與B外圍區(qū)域記為C）．二人約定：在C區(qū)域內(nèi)的小方格中任選一個(gè)小方格，踩中雷則小南勝，否則小語(yǔ)勝，試問(wèn)這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．（2）如圖2，在D，E，F(xiàn)三個(gè)黑框區(qū)域中共藏有10顆地雷（空白區(qū)域無(wú)地雷），則選擇D，E，F(xiàn)三個(gè)區(qū)域踩到雷的概率分別是．八．利用頻率估計(jì)概率（共2小題）25．（2022秋?拱墅區(qū)月考）在一個(gè)不透明的箱子里裝有m個(gè)球，其中紅球4個(gè)，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，那么可以估算出m的值為（）A．8 B．12 C．16 D．2026．（2022春?工業(yè)園區(qū)期中）在一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的n個(gè)小球，其中有5個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)摸出一球，記下其顏色，稱(chēng)為一次摸球試驗(yàn)，之后把它放回袋中，攪勻后，再繼續(xù)摸出一球，利用計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果，摸出黑球的頻率在0.5附近波動(dòng)，由此可以估計(jì)出n的值是．九．模擬試驗(yàn)（共2小題）27．（2022?興化市一模）在研究“拋擲兩枚硬幣，落地后不同結(jié)果的概率”時(shí)．方案1：用兩枚相同的一元硬幣做試驗(yàn)；方案2：用一元和五角各一枚硬幣做試驗(yàn)．請(qǐng)用表格或樹(shù)狀圖分別求出兩種方案中的“兩個(gè)正面朝上”的概率，由此你有何發(fā)現(xiàn)？28．（2022?定西二模）一只不透明袋子中裝有1個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到白球的頻數(shù)7293130334532667摸到白球的頻率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335（1）該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)是（精確到0.01），由此估出紅球有個(gè)．（2）現(xiàn)從該袋中摸2次球，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法列出所有可能的結(jié)果，并求恰好摸到2個(gè)紅球的概率．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江省杭州市上泗中學(xué)九年級(jí)二模）在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)白球，若干個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是，則黃球的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2021·遼寧沈陽(yáng)·）下列說(shuō)法正確的是（）A．任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)一定是奇數(shù)B．“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是必然事件C．了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式D．若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，，，則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定3．（2021·東莞市東莞中學(xué)初中部九年級(jí)二模）如圖，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成幾個(gè)面積相等的扇形，分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字所在的扇形（如果指針恰好指在分格線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止）．將兩指針?biāo)傅膬蓚€(gè)扇形中的數(shù)相加，和為6的概率是（）A． B． C． D．4．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)，被分成面積相等的四個(gè)扇形，分別涂有紅、黃、藍(lán)三種顏色．固定指針，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，停止后指針?biāo)竻^(qū)域（指針指向區(qū)域分界線時(shí)，忽略不計(jì)）的顏色為黃色的概率是（）A． B． C． D．5．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）隨機(jī)地?cái)S兩次骰子，兩次擲得的點(diǎn)數(shù)相同的概率是（）A． B． C． D．6．（2021·佛山市華英學(xué)校九年級(jí)期末）四張完全相同的卡片上，分別畫(huà)有菱形、矩形、等邊三角形、等腰梯形，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫(huà)的恰好是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為（）A． B． C． D．1二、填空題7．（2021·遼寧錦州·中考真題）一個(gè)口袋中有紅球、白球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸了300次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，則這個(gè)口袋中紅球的個(gè)數(shù)約為_(kāi)___．8．（2021·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)三模）不透明的袋子中有5張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)字1，2，3，4，5，除數(shù)字外五張卡片無(wú)其它差別，從袋子中隨機(jī)摸出一張卡片，其數(shù)字為偶數(shù)的概率是_______．9．（2021·江蘇鹽城·景山中學(xué)九年級(jí)月考）在□ABCD中，點(diǎn)E在AD上，在平行四邊形內(nèi)隨意取一個(gè)點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在△BCE內(nèi)的概率為_(kāi)_____．10．（2021·福建省福州延安中學(xué)九年級(jí)月考）在一個(gè)不透明的袋中裝有10個(gè)只有顏色不同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)白球．從袋中任意摸出一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)_______．11．（2021·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的袋中裝有黃、白兩種顏色的球共40個(gè)，這些球除顏色外都相同，小亮通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右，則袋中白球可能有______個(gè)．12．（2021·西寧市教育科學(xué)研究院中考真題）從，-1，1，2，-5中任取一個(gè)數(shù)作為a，則拋物線的開(kāi)口向上的概率是______．13．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）若從，1，2這三個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)在函數(shù)圖象上的概率是__．14．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用下面的兩個(gè)圓盤(pán)進(jìn)行“配紫色”游戲，則配得紫色的概率為_(kāi)_____________．15．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)三模）一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，，4，，隨機(jī)摸取一個(gè)小球記作，然后不放回，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球記作，則為正數(shù)的概率是______．三、解答題16．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在一個(gè)暗箱里放有a個(gè)除顏色外都完全相同的紅、白、藍(lán)三種球，其中紅球有4個(gè)，白球有10個(gè)，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色再放回暗箱．通過(guò)大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%．（1）試求出a的值；（2）從中任意摸出一個(gè)球，下列事件：①該球是紅球；②該球是白球；③該球是藍(lán)球．試估計(jì)這三個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，并將三個(gè)事件按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列（用序號(hào)表示事件）．17．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某商場(chǎng)“五一”期間為進(jìn)行有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)．商場(chǎng)規(guī)定：顧客購(gòu)物100元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．下表是此次活動(dòng)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)n1002004005008001000落在“可樂(lè)”區(qū)域的次數(shù)m60122240298604落在“可樂(lè)”區(qū)域的頻率0.60.610.60.590.604（1）完成上述表格；（結(jié)果全部精確到0.1）（2）請(qǐng)估計(jì)當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近，假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，你獲得“可樂(lè)”的概率約是；（結(jié)果全部精確到0.1）（3）轉(zhuǎn)盤(pán)中，表示“洗衣粉”區(qū)域的扇形的圓心角約是多少度？18．（2021·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)九年級(jí)月考）一個(gè)不透明的布袋里，裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中有紅球個(gè)，藍(lán)球個(gè)，黃球個(gè)．（1）現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)球，求摸到黃球的概率；（2）現(xiàn)規(guī)定：摸到紅球得分，摸到藍(lán)球得分，摸到黃球得分，甲同學(xué)先隨機(jī)摸出一個(gè)小球（不放回），乙同學(xué)再隨機(jī)摸出一個(gè)小球?yàn)橐淮斡螒颍?qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或者列表法，求一次游戲甲、乙摸球所得分?jǐn)?shù)之和不低于分的概率．19．（2021·靖江市靖城中學(xué)九年級(jí)一模）對(duì)某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行3分球投籃測(cè)試結(jié)果如下表：投籃次數(shù)n1050100150200命中次數(shù)m4256590120命中率0.40.50.65（1）計(jì)算、直接填表：表中投籃150次、200次相應(yīng)的命中率．（2）這個(gè)運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率約是_____．（3）估計(jì)這個(gè)運(yùn)動(dòng)員3分球投籃15次能得多少分？20．（2021·沈陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)二模）我校初高中學(xué)生正在為積極籌備“藝體節(jié)”活動(dòng)，校學(xué)生會(huì)為此次活動(dòng)演出選擇以下四個(gè)場(chǎng)地：A“籃球館”、B“羽毛球館”、C“未來(lái)廣場(chǎng)”、D“田徑場(chǎng)”，四個(gè)場(chǎng)地各有優(yōu)缺點(diǎn)，體育館場(chǎng)地干凈整潔，但不易搭建舞臺(tái)；羽毛球館室內(nèi)采光較好，但場(chǎng)地較??；未來(lái)廣場(chǎng)安靜優(yōu)雅，但地面不平坦；田徑場(chǎng)場(chǎng)地平坦而且較大，但受天氣影響較大，于是對(duì)本校學(xué)生進(jìn)行調(diào)查了解，調(diào)查結(jié)果如圖所示，并完成下列問(wèn)題：（1）本次一共調(diào)查了______名學(xué)生；（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）本次活動(dòng)策劃人想從這四個(gè)場(chǎng)地中隨機(jī)選取兩個(gè)場(chǎng)地為活動(dòng)候選場(chǎng)地，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求恰好選中“籃球館”和“羽毛球館”的概率．第09講概率初步（9大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件隨機(jī)事件與概率初步1.定義：（1）必然事件在一定條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件．（3）隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱(chēng)為隨機(jī)事件.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機(jī)事件又稱(chēng)為“不確定事件”；2.要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類(lèi)型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.二、概率的意義概率是從數(shù)量上刻畫(huà)了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率(probability)，記為.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；(2)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大??；(3)事件A的概率是一個(gè)大于等于0，且小于等于1的數(shù)，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(隨機(jī)事件)<1.三、古典概型滿(mǎn)足下列兩個(gè)特點(diǎn)的概率問(wèn)題稱(chēng)為古典概型.（1）一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；（2）一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的.古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗(yàn)結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝绻谝淮卧囼?yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=.四、用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和樹(shù)形圖法.1.列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.2.樹(shù)形圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖.樹(shù)形圖是用樹(shù)狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)樹(shù)形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）在用列表法或樹(shù)形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.五、利用頻率估計(jì)概率當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來(lái)估計(jì)概率.要點(diǎn)詮釋?zhuān)河迷囼?yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．隨機(jī)事件（共3小題）1．（2022?德?？h二模）“正方形既是矩形又是菱形”是必然事件．（填“必然”、“隨機(jī)”、“不可能”）【分析】利用正方形的性質(zhì)和必然事件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：“正方形既是矩形又是菱形”是必然事件．故答案為必然．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱(chēng)為隨機(jī)事件；事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的也考查了正方形的性質(zhì)．2．（2022春?武進(jìn)區(qū)期中）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．某商場(chǎng)對(duì)顧客健康碼的審查，選擇抽樣調(diào)查 B．在復(fù)學(xué)后，某校為了檢查全校學(xué)生的體溫，選擇全面調(diào)查 C．為了記錄康復(fù)后的新冠肺炎病人的體溫情況，適合選用折線統(tǒng)計(jì)圖 D．“發(fā)熱病人的核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性”是隨機(jī)事件【分析】根據(jù)全面調(diào)查、抽樣調(diào)查、隨機(jī)事件的概念判斷即可．【解答】解：A、某商場(chǎng)對(duì)顧客健康碼的審查，選擇全面調(diào)查，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；B、在復(fù)學(xué)后，某校為了檢查全校學(xué)生的體溫，選擇全面調(diào)查，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；C、為了記錄康復(fù)后的新冠肺炎病人的體溫情況，適合選用折線統(tǒng)計(jì)圖，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；D、“發(fā)熱病人的核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性”是隨機(jī)事件，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、隨機(jī)事件，掌握隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關(guān)鍵．3．（2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)三模）“隨手翻開(kāi)華師大版初中數(shù)學(xué)課本，翻到的頁(yè)碼恰好是3的倍數(shù)”，這個(gè)事件是隨機(jī)事件（填“隨機(jī)”、“必然”或“不可能”）．【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，即可判斷．【解答】解：“隨手翻開(kāi)華師大版初中數(shù)學(xué)課本，翻到的頁(yè)碼恰好是3的倍數(shù)”，這個(gè)事件是隨機(jī)事件，故答案為：隨機(jī)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件，熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二．可能性的大小（共2小題）4．（2022秋?柳江區(qū)月考）從1﹣9的數(shù)字卡片中，任意抽一張，抽到奇數(shù)的可能性是．【分析】用奇數(shù)的個(gè)數(shù)除以總個(gè)數(shù)即可得出答案．【解答】解：1﹣9的數(shù)字卡片中奇數(shù)有1，3，5，7，9，共5個(gè)數(shù)，則抽到奇數(shù)的可能性是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了可能性的大小，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．（2022秋?臨平區(qū)月考）擲一枚質(zhì)地均勻的標(biāo)有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字的立方體骰子，骰子停止后，出現(xiàn)可能性最小的是（）A．大于3的點(diǎn)數(shù) B．小于3的點(diǎn)數(shù) C．大于5的點(diǎn)數(shù) D．小于5的點(diǎn)數(shù)【分析】根據(jù)概率公式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中各事件出現(xiàn)的概率，再比較即可．【解答】解：擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6種等可能的結(jié)果．A、點(diǎn)數(shù)大于3的數(shù)有4，5，6，三種情況，∴P點(diǎn)數(shù)大于3＝＝；B、點(diǎn)數(shù)小于3的數(shù)有1，2，兩種情況，∴P點(diǎn)數(shù)小于3＝＝；C、點(diǎn)數(shù)大于5的數(shù)有6，一種情況，∴P點(diǎn)數(shù)大于5＝；D、點(diǎn)數(shù)小于5的數(shù)有1，2，3，4，四種情況，∴P點(diǎn)數(shù)小于5＝＝；∵＞＞＞，∴點(diǎn)數(shù)大于5的概率最小，出現(xiàn)可能性最?。蔬x：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．三．概率的意義（共5小題）6．（2022?禮縣模擬）一只不透明的布袋中有三種珠子（除顏色以外沒(méi)有任何區(qū)別），分別是3個(gè)紅珠子，4個(gè)白珠子和5個(gè)黑珠子，每次只摸出一個(gè)珠子，觀察后均放回?cái)噭?，在連續(xù)9次摸出的都是紅珠子的情況下，第10次摸出紅珠子的概率是．【分析】每次只摸出一個(gè)珠子時(shí)，布袋中共有珠子12個(gè)，其中紅珠子3個(gè)，可以直接應(yīng)用求概率的公式．【解答】解：因?yàn)槊看沃幻鲆粋€(gè)珠子時(shí)，布袋中共有珠子12個(gè)，其中紅珠子3個(gè)，所以第10次摸出紅珠子的概率是＝．故答案是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，是一道列舉法求概率的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，可以直接應(yīng)用求概率的公式．7．（2022?思明區(qū)校級(jí)二模）下列說(shuō)法正確的是（）A．甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說(shuō)明乙的跳遠(yuǎn)成績(jī)比甲穩(wěn)定 B．了解某市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查 C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5 D．可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生【分析】根據(jù)方差、中位數(shù)、眾數(shù)、概率的意義以及全面調(diào)查與抽樣調(diào)查分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分想，即可得出答案．【解答】解：A、甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說(shuō)明甲的跳遠(yuǎn)成績(jī)比乙穩(wěn)定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、了解某市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是＝2.5，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中也可能發(fā)生，只是發(fā)生的可能性很小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方差、中位數(shù)、眾數(shù)、概率的意義以及全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，熟記定義與公式是解題的關(guān)鍵．8．（2022?長(zhǎng)沙）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查 B．“太陽(yáng)東升西落”是不可能事件 C．為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是條形統(tǒng)計(jì)圖 D．任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次【分析】根據(jù)概率的意義，全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，條形統(tǒng)計(jì)圖，隨機(jī)事件，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查，故A符合題意；B、“太陽(yáng)東升西落”是必然事件，故B不符合題意；C、為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是扇形統(tǒng)計(jì)圖，故C不符合題意；D、任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)可能是13次，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，條形統(tǒng)計(jì)圖，隨機(jī)事件，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）在一個(gè)不透明的口袋里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中有5個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球．若隨機(jī)摸出一個(gè)藍(lán)球的概率為，則隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率為．【分析】設(shè)紅球有x個(gè)，根據(jù)摸出一個(gè)球是藍(lán)球的概率是，得出紅球的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率．【解答】解：∵在一個(gè)不透明的口袋里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，三種球除顏色外其他完全相同，其中有5個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)摸出一個(gè)藍(lán)球的概率是，設(shè)紅球有x個(gè)，∴＝，解得：x＝3∴隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率是：＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到所求的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）一則廣告聲稱(chēng)本次活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為20%，其中一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為1%．小明看到這則廣告后，想：“我抽5張就會(huì)有1張中獎(jiǎng)，抽100張就會(huì)有1張中一等獎(jiǎng)．”你認(rèn)為小明的想法對(duì)嗎？【分析】概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會(huì)的大小，機(jī)會(huì)大也不一定發(fā)生．【解答】解：小明的想法不對(duì)．因?yàn)樾∶鲗⒈敬纬楠?jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)率為20%，一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率為1%，理解錯(cuò)了，其中的20%、1%是針對(duì)所有的獎(jiǎng)券而言，而不是任抽幾張，這幾張的1%為一等獎(jiǎng)，20%都獲獎(jiǎng)，所抽取的幾張，可能都有獎(jiǎng)，也可能都沒(méi)有中獎(jiǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義．正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵．四．概率公式（共5小題）11．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，5個(gè)紅球，每個(gè)球除顏色外都相同．（1）從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球是隨機(jī)事件；摸到黃球是事件不可能；（填“不可能”或“必然”或“隨機(jī)”）（2）從中任意摸出一個(gè)球，摸到黑球的概率；（3）現(xiàn)在再將若干個(gè)同樣的黑球放入袋中、與原來(lái)10個(gè)球均勻混合在一起，使從袋中任意摸出一個(gè)球?yàn)楹谇虻母怕蕿?，?qǐng)求出后來(lái)放入袋中的黑球個(gè)數(shù)．【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件的定義即可求解；（2）求出黑球占總數(shù)的幾分之幾即可；（3）根據(jù)概率公式列方程求解即可．【解答】解：（1）∵在一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球和5個(gè)紅球，每個(gè)球除顏色外都相同，∴任意摸出一球，摸到紅球是隨機(jī)事件，摸到黃球是不可能事件．故答案為：隨機(jī)，不可能；（2）＝，故摸到黑球的概率是；（3）設(shè)后來(lái)放入袋中的黑球的個(gè)數(shù)是x個(gè)，依題意有：＝，解得x＝18．答：后來(lái)放入袋中的黑球的個(gè)數(shù)為18個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，掌握概率的計(jì)算方法是正確解答的前提，理解“摸出一個(gè)球是黑球的概率是，就是黑球占總數(shù)的，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）為了解某市快遞員的收入情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩家快遞公司80天的送貨單，對(duì)兩個(gè)公司的快遞員人均每天的送貨單數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：已知這兩家快遞公司的快遞員的日工資方案為：甲公司規(guī)定底薪80元，每單抽成1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前40單無(wú)抽成，超過(guò)40單的部分每單抽成4元．每位快遞員平均每天送貨單數(shù)30405060天數(shù)甲10401812乙10352015（1）現(xiàn)從這80天中隨機(jī)抽取1天，求這一天甲公司快遞員人均送貨單數(shù)超過(guò)50（不含50）單的概率；（2）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若將各公司快遞員的人均送貨單數(shù)視為該公司各快遞員的送貨單數(shù)，①估計(jì)乙快遞公司各快遞員的日均送貨單數(shù)；②小明擬到甲、乙兩家快遞公司中的一家應(yīng)聘快遞員的工作．如果僅從工資收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說(shuō)明理由．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）①用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法求得平均數(shù)即可；②計(jì)算平均工資，通過(guò)比較平均工資進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（1）因?yàn)榧坠究爝f員人均送貨單數(shù)超過(guò)50（不含50）的80天中有30天，所以甲公司快遞員人均送貨單數(shù)超過(guò)50（不含50）的概率為＝．（2）①乙快遞公司各快遞員的日均送貨單數(shù)為：×（30×10+40×35+50×20+60×15）＝45（件）；②甲快遞公司各快遞員的日平均工資為80+×（30×10+40×40+50×18+60×12）＝124（元），乙快遞公司各快遞員的日平均工資為100+（20×10×4+15×20×4）＝125（元），因?yàn)?25＞124，所以?xún)H從工資收入的角度考慮，小明應(yīng)到乙公司應(yīng)聘．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式及用樣本估計(jì)總體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，難度不大．13．（2022?青秀區(qū)校級(jí)三模）2021年4月，教育部印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》，明確要求初中生每天睡眠時(shí)間應(yīng)達(dá)到9小時(shí)．某初級(jí)中學(xué)為了解學(xué)生睡眠時(shí)間的情況，從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果用統(tǒng)計(jì)圖描述如下．調(diào)查問(wèn)卷1．近兩周你平均每天睡眠時(shí)間大約是______小時(shí)．如果你平均每天睡眠時(shí)間不足9小時(shí)，請(qǐng)回答第2個(gè)問(wèn)題2．影響你睡眠時(shí)間的主要原因是______（單選）．A．學(xué)習(xí)效率低B．校外學(xué)習(xí)任務(wù)重C．校內(nèi)課業(yè)負(fù)擔(dān)重D．其他平均每天睡眠時(shí)間x（時(shí)）分為5組：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查中，平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在第③（填序號(hào)）組；（2）隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生睡眠時(shí)間達(dá)到9小時(shí)的概率是多少？（3）若全校有1000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校由于“學(xué)習(xí)效率低”而睡眠時(shí)間不足9小時(shí)的人數(shù)；（4）請(qǐng)對(duì)該校學(xué)生睡眠時(shí)間的情況作出評(píng)價(jià)，并提出一條合理化建議．【分析】（1）由中位數(shù)的定義即可得出結(jié)論；（2）用樣本中每天睡眠時(shí)間達(dá)到9小時(shí)的學(xué)生人數(shù)除以樣本容量即可；（3）用1000乘以40%即可；（4）根據(jù)（1）中求出的每天睡眠時(shí)間達(dá)到9小時(shí)的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比可對(duì)該校學(xué)生睡眠時(shí)間的情況做出評(píng)價(jià)，并提出兩條建議，答案不唯一．【解答】解：（1）由統(tǒng)計(jì)圖可知，抽取的這100名學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)為第50個(gè)和第51個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故落在第③組；故答案為：③．（2）＝，答：學(xué)生睡眠時(shí)間達(dá)到9小時(shí)的概率是為．（3）1000×40%＝400（人），答：估計(jì)該校由于“學(xué)習(xí)效率低”而睡眠時(shí)間不足9小時(shí)的人數(shù)有400人．（4）答案不唯一，言之有理即可．例如：該校大部分學(xué)生睡眠時(shí)間沒(méi)有達(dá)到通知要求；建議①：該校各學(xué)科授課老師精簡(jiǎn)家庭作業(yè)內(nèi)容，師生一起提高在校學(xué)習(xí)效率；建議②：建議學(xué)生減少參加校外培訓(xùn)班，校外輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)嚴(yán)禁布置課后作業(yè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，讀懂頻數(shù)分布直方圖和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?定海區(qū)校級(jí)月考）有五張背面完全相同的紙質(zhì)卡片，其正面分別標(biāo)有數(shù)：6、、、﹣2、．將它們背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張卡片，則其正面的數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是．【分析】用無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)除以數(shù)的總數(shù)即可求得答案．【解答】解：在6、、、﹣2、中，無(wú)理數(shù)有、，共2個(gè)，則其正面的數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的知識(shí)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．（2022?丹東）四張不透明的卡片，正面標(biāo)有數(shù)字分別是﹣2，3，﹣10，6，除正面數(shù)字不同外，其余都相同，將它們背面朝上洗勻后放在桌面上，從中隨機(jī)抽取一張卡片，則這張卡片正面的數(shù)字是﹣10的概率是（）A． B． C． D．1【分析】用﹣10的個(gè)數(shù)除以總數(shù)即可求得概率．【解答】解：由題意可知，共有4張標(biāo)有數(shù)字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一張的可能性是均等的，其中為﹣10的有1種，所以隨機(jī)抽取一張，這張卡片正面的數(shù)字是﹣10的概率是，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，理解概率的意義，掌握概率的計(jì)算方法是正確解答的前提．五．幾何概率（共5小題）16．（2022秋?拱墅區(qū)月考）把一轉(zhuǎn)盤(pán)先分成兩個(gè)半圓，再把其中一個(gè)半圓等分成三等份，并標(biāo)上數(shù)字如圖所示，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率是．【分析】根據(jù)幾何概率的求法：指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率是就是所標(biāo)數(shù)字為奇數(shù)的面積與總面積的比值．【解答】解：觀察這個(gè)圖可知：所標(biāo)數(shù)字為奇數(shù)的面積占總面積的，∴指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝相應(yīng)的面積與總面積之比．17．（2022?朝陽(yáng)）如圖所示的是由8個(gè)全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．1【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可．【解答】解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的，即這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概率的知識(shí)，熟練根據(jù)幾何圖形的面積得出概率是解題的關(guān)鍵．18．（2020秋?天河區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，分別以B，D為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)2為半徑畫(huà)弧，形成陰影部分的樹(shù)葉圖案．（計(jì)算時(shí)π取3）（1）求的長(zhǎng)和陰影部分的面積；（2）若在正方形ABCD中隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率．（豆子落在弧上不計(jì)）【分析】（1）樹(shù)葉形圖案的面積是兩個(gè)圓心角為90°，且半徑為2的扇形的面積與正方形的面積的差，可據(jù)此求出樹(shù)葉形圖案的面積；（2）用陰影部分的面積除以正方形的面積即可求得概率．【解答】解：（1）＝＝3；S樹(shù)葉形圖案＝2S扇形﹣S正方形＝2×﹣22＝2；（2）豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率＝＝．【點(diǎn)評(píng)】考查了幾何概率及扇形的面積的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的求得陰影部分的面積．19．（2021?江岸區(qū)校級(jí)自主招生）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c．如圖②，現(xiàn)將與Rt△ABC全等的四個(gè)直角三角形拼成一個(gè)正方形EFMN．（1）若Rt△ABC的兩直角邊之比均為2：3．現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在四個(gè)直角三角形區(qū)域的概率是多少？（2）若正方形EFMN的邊長(zhǎng)為8，Rt△ABC的周長(zhǎng)為18，求Rt△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到c，根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意求出c，得到a+b的值，根據(jù)三角形的面積公式、完全平方公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）∵Rt△ABC的兩直角邊之比均為2：3，∴設(shè)b＝2k，a＝3k，由勾股定理得，a2+b2＝c2，∴c＝k，∴針尖落在四個(gè)直角三角形區(qū)域的概率是＝；（2）∵正方形EFMN的邊長(zhǎng)為8，即c＝8，∵Rt△ABC的周長(zhǎng)為18，∴a+b+c＝18，∴a+b＝10，則Rt△ABC的面積＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是幾何概率，勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．20．（2021春?任城區(qū)期中）“六一”兒童節(jié)期間，某商廈為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)（轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成16份），并規(guī)定：顧客每購(gòu)買(mǎi)100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)．如果轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)哪個(gè)區(qū)域，顧客就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．顏色獎(jiǎng)品紅色玩具熊黃色童話(huà)書(shū)綠色彩筆無(wú)色無(wú)獎(jiǎng)品小明和媽媽購(gòu)買(mǎi)了125元的商品，請(qǐng)你分析計(jì)算：（1）小明獲得獎(jiǎng)品的概率是多少？（2）小明獲得童話(huà)書(shū)的概率是多少？【分析】（1）看有顏色部分的面積占總面積的多少即為所求的概率．（2）看黃色部分的面積占總面積的多少即為所求的概率．【解答】解：（1）∵轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成16份，其中有顏色部分占6份，∴小明獲得獎(jiǎng)品的概率＝＝．（2）∵轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成16份，其中黃色部分占2份，∴小明獲得童話(huà)書(shū)的概率＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題將概率的求解設(shè)置于轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)游戲中，考查學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單幾何概率的掌握情況，既避免了單純依靠公式機(jī)械計(jì)算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活、甚至娛樂(lè)中的運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝相應(yīng)的面積與總面積之比．六．列表法與樹(shù)狀圖法（共2小題）21．（2022秋?沈陽(yáng)月考）將分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的三個(gè)小球放入一個(gè)不透明的袋子中，這些小球除數(shù)字外其他都相同．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字后放回．再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球并記下數(shù)字．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求兩次摸出的小球數(shù)字不同的概率．【分析】先利用樹(shù)狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果，再找出兩次摸出的小球數(shù)字不同的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球數(shù)字不同的結(jié)果數(shù)為6，所以?xún)纱蚊龅男∏驍?shù)字不同的概率是＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．22．（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）在一個(gè)不透明的口袋中裝有四個(gè)大小質(zhì)地相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4每次摸球前將袋子攪拌均勻．（1）若從這四個(gè)小球中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，小球上的數(shù)字是“4”的概率是；（2）若從這四個(gè)小球中隨機(jī)抽取兩個(gè)小球，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是多少？【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12個(gè)等可能的結(jié)果，取得兩球的數(shù)字之積為奇數(shù)的有2個(gè)，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）若從這四個(gè)小球中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，小球上的數(shù)字是“4”的概率是．故答案為：；（2）畫(huà)圖如下：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的有2個(gè)，∴取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．七．游戲公平性（共2小題）23．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）有A，B兩個(gè)不透明的袋子，A袋4個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4；B袋的3個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．（每個(gè)袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同．）（1）若從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則小球上數(shù)字是偶數(shù)的概率是；（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，乙從B袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，若甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是否公平．【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)和偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算出甲、乙獲勝的概率即可得出答案．【解答】解：（1）小球上數(shù)字是偶數(shù)的概率是＝，故答案為：；（2）這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是公平的．畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)有6種，兩人摸到小球的數(shù)字之和為偶數(shù)的也有6種，∴P甲獲勝＝P乙獲勝＝，∴此游戲?qū)﹄p方是公平的．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性以及列表法與樹(shù)狀圖法．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．24．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖是計(jì)算機(jī)“掃雷”游戲的畫(huà)面，在9×9個(gè)小方格的雷區(qū)中，隨機(jī)地埋藏著20顆地雷，每個(gè)小方格最多能埋藏1顆地雷．（1）如圖1，小南先踩中一個(gè)小方格，顯示數(shù)字2，它表示圍著數(shù)字2的8個(gè)方塊中埋藏著2顆地雷（包含數(shù)字2的黑框區(qū)域記為A）．接著，小語(yǔ)選擇了右下角的一個(gè)方格，出現(xiàn)了數(shù)字1（包含數(shù)字1的黑框區(qū)域記為B，A與B外圍區(qū)域記為C）．二人約定：在C區(qū)域內(nèi)的小方格中任選一個(gè)小方格，踩中雷則小南勝，否則小語(yǔ)勝，試問(wèn)這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．（2）如圖2，在D，E，F(xiàn)三個(gè)黑框區(qū)域中共藏有10顆地雷（空白區(qū)域無(wú)地雷），則選擇D，E，F(xiàn)三個(gè)區(qū)域踩到雷的概率分別是1，，．【分析】（1）求出小南勝的概率和小語(yǔ)勝的概率，再比較即可；（2）分別求出D，E，F(xiàn)三個(gè)黑框區(qū)域中共藏的地雷顆數(shù)，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）這個(gè)游戲不公平，理由如下：∵在C區(qū)域的（9×9﹣9﹣4）＝68（個(gè)）方塊中隨機(jī)埋藏著（20﹣2﹣1）＝17（顆）地雷，C區(qū)域中有（68﹣17）＝51（個(gè)）方塊中沒(méi)有地雷，∴小南勝的概率為＝，小語(yǔ)勝的概率為＝，∵＜，∴這個(gè)游戲不公平；（2）∵圍著數(shù)字2的8個(gè)方塊中埋藏著2顆地雷，空白區(qū)域無(wú)地雷，∴D區(qū)域中有2個(gè)地雷，∴選擇D區(qū)域踩到雷的概率為1；∵圍著數(shù)字2的8個(gè)方塊中埋藏著2顆地雷，空白區(qū)域無(wú)地雷，∴E區(qū)域中有2個(gè)地雷，∴選擇E區(qū)域踩到雷的概率為；∵在D，E，F(xiàn)三個(gè)黑框區(qū)域中共藏有10顆地雷（空白區(qū)域無(wú)地雷），∴F區(qū)域中有：10﹣2﹣2＝6（顆）地雷，∴選擇F區(qū)域踩到雷的概率為＝；故答案為：1，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲公平性以及概率公式等知識(shí)，概率相等游戲就公平，否則就不公平；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．八．利用頻率估計(jì)概率（共2小題）25．（2022秋?拱墅區(qū)月考）在一個(gè)不透明的箱子里裝有m個(gè)球，其中紅球4個(gè)，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，那么可以估算出m的值為（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，根據(jù)紅球的個(gè)數(shù)除以總數(shù)等于頻率，求解即可．【解答】解：∵大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，∴任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率為0.2，∴＝0.2，∴m＝20．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，解答此題的關(guān)鍵是利用紅球的個(gè)數(shù)除以總數(shù)等于頻率．26．（2022春?工業(yè)園區(qū)期中）在一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的n個(gè)小球，其中有5個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)摸出一球，記下其顏色，稱(chēng)為一次摸球試驗(yàn)，之后把它放回袋中，攪勻后，再繼續(xù)摸出一球，利用計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果，摸出黑球的頻率在0.5附近波動(dòng)，由此可以估計(jì)出n的值是10．【分析】先根據(jù)頻率估計(jì)概率求出球的總個(gè)數(shù)，繼而可得答案．【解答】解：根據(jù)頻率估計(jì)概率知，球的總個(gè)數(shù)n＝5÷0.5＝10，∴n的估計(jì)值為10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．九．模擬試驗(yàn)（共2小題）27．（2022?興化市一模）在研究“拋擲兩枚硬幣，落地后不同結(jié)果的概率”時(shí)．方案1：用兩枚相同的一元硬幣做試驗(yàn)；方案2：用一元和五角各一枚硬幣做試驗(yàn)．請(qǐng)用表格或樹(shù)狀圖分別求出兩種方案中的“兩個(gè)正面朝上”的概率，由此你有何發(fā)現(xiàn)？【分析】列表法或樹(shù)狀圖法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而求出兩種方案中的“兩個(gè)正面朝上”的概率，根據(jù)所求的概率總結(jié)出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可．【解答】解：方案1：用兩枚相同的一元硬幣做試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表：共有4個(gè)結(jié)果，其中“兩個(gè)正面朝上”的結(jié)果為1個(gè)，∴“兩個(gè)正面朝上”的概率為；方案2：用一元和五角各一枚硬幣做試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表：共有4個(gè)結(jié)果，其中“兩個(gè)正面朝上”的結(jié)果為1個(gè)，∴“兩個(gè)正面朝上”的概率為；發(fā)現(xiàn)：使用相同或不同的硬幣不會(huì)影響到試驗(yàn)的結(jié)果，兩個(gè)方案中出現(xiàn)“兩個(gè)正面朝上”的概率均為．【點(diǎn)評(píng)】考查等可能事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是利用列表法或樹(shù)狀圖列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．28．（2022?定西二模）一只不透明袋子中裝有1個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到白球的頻數(shù)7293130334532667摸到白球的頻率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335（1）該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)是0.33（精確到0.01），由此估出紅球有2個(gè)．（2）現(xiàn)從該袋中摸2次球，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法列出所有可能的結(jié)果，并求恰好摸到2個(gè)紅球的概率．【分析】（1）通過(guò)表格中數(shù)據(jù)，隨著次數(shù)的增多，摸到白球的頻率越穩(wěn)定在0.33左右，估計(jì)得出答案；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有6個(gè)等可能的結(jié)果，恰好摸到2個(gè)紅球的情況數(shù)，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）觀察表格發(fā)現(xiàn)，隨著摸球次數(shù)的增多，摸到白球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.33附近，設(shè)紅球有x個(gè)，則，解得x≈2．故答案為：0.33，2；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中恰好摸到2個(gè)紅球的有4種．故恰好摸到2個(gè)紅球的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了利用頻率估計(jì)概率．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江省杭州市上泗中學(xué)九年級(jí)二模）在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)白球，若干個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是，則黃球的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：，解此分式方程即可求得答案．【詳解】解：設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：x＝12，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝12是原分式方程的解；∴黃球的個(gè)數(shù)為12．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2021·遼寧沈陽(yáng)·）下列說(shuō)法正確的是（）A．任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)一定是奇數(shù)B．“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是必然事件C．了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式D．若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，，，則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定【答案】C【分析】依據(jù)隨機(jī)事件、抽樣調(diào)查以及方差的概念進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：．任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)不一定是奇數(shù)，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意；．“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是隨機(jī)事件，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意；．了解一批冰箱的使用壽命，適合采用抽樣調(diào)查的方式，說(shuō)法正確，符合題意；．若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，，，則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件、抽樣調(diào)查以及方差的概念，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則各數(shù)據(jù)與平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．3．（2021·東莞市東莞中學(xué)初中部九年級(jí)二模）如圖，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成幾個(gè)面積相等的扇形，分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字所在的扇形（如果指針恰好指在分格線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止）．將兩指針?biāo)傅膬蓚€(gè)扇形中的數(shù)相加，和為6的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有6個(gè)等可能的結(jié)果，兩指針?biāo)傅膬蓚€(gè)扇形中的數(shù)相加，和為6的結(jié)果有2個(gè)，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：共有6個(gè)等可能的結(jié)果，兩指針?biāo)傅膬蓚€(gè)扇形中的數(shù)相加，和為6的結(jié)果有2個(gè)，∴兩指針?biāo)傅膬蓚€(gè)扇形中的數(shù)相加，和為6的概率為＝，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握概率計(jì)算公式.4．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)，被分成面積相等的四個(gè)扇形，分別涂有紅、黃、藍(lán)三種顏色．固定指針，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，停止后指針?biāo)竻^(qū)域（指針指向區(qū)域分界線時(shí)，忽略不計(jì)）的顏色為黃色的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用黃色的區(qū)域個(gè)數(shù)除以所有顏色區(qū)域總數(shù)即可求得答案．【詳解】解：∵共被分成了均勻的4個(gè)區(qū)域，其中黃色區(qū)域有2個(gè)，∴止后指針?biāo)竻^(qū)域（指針指向區(qū)域分界線時(shí)，忽略不計(jì)）的顏色為黃色的概率是：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率：求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．5．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）隨機(jī)地?cái)S兩次骰子，兩次擲得的點(diǎn)數(shù)相同的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有36種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出點(diǎn)數(shù)相同結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有36種等可能的結(jié)果數(shù)，其點(diǎn)數(shù)相同數(shù)為6，所以點(diǎn)數(shù)相同的概率＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．6．（2021·佛山市華英學(xué)校九年級(jí)期末）四張完全相同的卡片上，分別畫(huà)有菱形、矩形、等邊三角形、等腰梯形，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫(huà)的恰好是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】找到中心對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)除以總卡片數(shù)4即為卡片上畫(huà)的恰好是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率．【詳解】解；菱形，矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，所以現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫(huà)的恰好是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為．故選：B．【點(diǎn)睛】本小題主要等可能事件的概率，注意綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念及概率公式解答．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題7．（2021·遼寧錦州·中考真題）一個(gè)口袋中有紅球、白球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸了300次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，則這個(gè)口袋中紅球的個(gè)數(shù)約為_(kāi)___．【答案】8【分析】估計(jì)利用頻率估計(jì)概率可估計(jì)摸到紅球的概率為0.4，然后根據(jù)概率公式計(jì)算這個(gè)口袋中紅球的數(shù)量．【詳解】解：因?yàn)楣裁?00次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，所以估計(jì)摸到紅球的概率為0.4，所以估計(jì)這個(gè)口袋中紅球的數(shù)量為20×0.4＝8（個(gè)）．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率，用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．8．（2021·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)三模）不透明的袋子中有5張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)字1，2，3，4，5，除數(shù)字外五張卡片無(wú)其它差別，從袋子中隨機(jī)摸出一張卡片，其數(shù)字為偶數(shù)的概率是_______．【答案】【分析】根據(jù)等可能事件的概率公式，直接求解即可．【詳解】解：∵一共有5個(gè)數(shù)字，偶數(shù)有2個(gè)，∴從袋子中隨機(jī)摸出一張卡片，其數(shù)字為偶數(shù)的概率是=2÷5=，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等可能事件的概率，掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇鹽城·景山中學(xué)九年級(jí)月考）在□ABCD中，點(diǎn)E在AD上，在平行四邊形內(nèi)隨意取一個(gè)點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在△BCE內(nèi)的概率為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)題意可以求得△BCE的面積是平行四邊形ABCD面積的一半，由此即可求得概率．【詳解】解：設(shè)三角形EBC中BC邊上的高為h，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴三角形EBC中BC邊上的高于平行四邊形中BC邊上的高相等，∵，，∴，∴點(diǎn)P落在△BCE內(nèi)的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率，解題的關(guān)鍵在于求出△BCE的面積是平行四邊形ABCD面積的一半．10．（2021·福建省福州延安中學(xué)九年級(jí)月考）在一個(gè)不透明的袋中裝有10個(gè)只有顏色不同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)白球．從袋中任意摸出一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：∵袋子中共有10個(gè)小球，其中紅球有5個(gè)，∴摸出一個(gè)球是紅球的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率的求法，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）．11．（2021·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的袋中裝有黃、白兩種顏色的球共40個(gè)，這些球除顏色外都相同，小亮通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右，則袋中白球可能有______個(gè)．【答案】26【分析】利用頻率估計(jì)概率得到摸到白球的概率為1-0.35，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)袋子中白球有x個(gè)，根據(jù)題意，得：＝1-0.35，解得：x＝26，即布袋中白球可能有26個(gè)，故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．12．（2021·西寧市教育科學(xué)研究院中考真題）從，-1，1，2，-5中任取一個(gè)數(shù)作為a，則拋物線的開(kāi)口向上的概率是______．【答案】【分析】根據(jù)概率計(jì)算公式，可得事件總的可能結(jié)果數(shù)5，事件發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)2，問(wèn)題即可解決．【詳解】從5個(gè)數(shù)中任取一個(gè)的可能結(jié)果數(shù)為5，使拋物線的開(kāi)口向上的a值有2個(gè)，分別為1和2，則所求的概率為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單事件的概率的計(jì)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出事件總的可能結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)是關(guān)鍵．13．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）若從，1，2這三個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)在函數(shù)圖象上的概率是__．【答案】【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖表示所以等可能的結(jié)果，再找出在函數(shù)圖象上的情況，然后利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有6種種等可能的結(jié)果，它們是，，，，，，，，，在函數(shù)圖象上，點(diǎn)在函數(shù)圖象上的概率．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，掌握畫(huà)樹(shù)狀圖表示所有情況，再找出符合條件的情況利用概率公式計(jì)算是解題關(guān)鍵．14．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用下面的兩個(gè)圓盤(pán)進(jìn)行“配紫色”游戲，則配得紫色的概率為_(kāi)_____________．【答案】【分析】列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出配成紫色的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【詳解】解：列表如下：紅藍(lán)紅（紅，紅）（紅，藍(lán)）白（白，紅）（白，藍(lán)）藍(lán)（藍(lán)，紅）（藍(lán)，藍(lán)）所有等可能的情況有6種，其中配成紫色的情況有2種，則P==．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)三模）一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，，4，，隨機(jī)摸取一個(gè)小球記作，然后不放回，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球記作，則為正數(shù)的概率是______．【答案】【分析】列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來(lái)，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：1-24-81-24-8-2-2-81644-8-32-8-816-32由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩次取出的小球上數(shù)字之積等于正數(shù)的有4種結(jié)果，所以?xún)纱稳〕龅男∏蛏蠑?shù)字之積等于正數(shù)的概率為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠用列表或列樹(shù)狀圖將所有等可能的結(jié)果列舉出來(lái)，難度不大．三、解答題16．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在一個(gè)暗箱里放有a個(gè)除顏色外都完全相同的紅、白、藍(lán)三種球，其中紅球有4個(gè)，白球有10個(gè)，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色再放