期末考試點對點壓軸題訓(xùn)練(四)(B卷26題)(原卷版+解析)

期末考試點對點壓軸題訓(xùn)練（四）（B卷26題）1．如圖所示，點D是線段BC的中點，AD⊥BC，點N是線段BC延長線上一點，在∠ACN內(nèi)部有一動點E，且∠BEC＝2∠BAD，點F在線段CE的延長線上，AC與BE交于點P，過點A作AM⊥BE于點M．（1）求證：∠ACE＝∠ABE；（2）求證：EA平分∠BEF；（3）當點E在∠ACN內(nèi)部運動時，的值是否會發(fā)生變化？若不變化，請求出其值；若變化，請說明理由．2．如圖，和都是等邊三角形，連接，，與交于點，連接，與交于點．(1)求證：；(2)求的大?。?3)若，，求的長度．3．探究等邊三角形“手拉手”問題．（1）如圖1，已如△ABC，△ADE均為等邊三角形，點D在線段BC上，且不與點B、點C重合，連接CE，試判斷CE與BA的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC＝60°，試說明點B，點D，點E在同一直線上；（3）如圖3，已知點E在ABC外，并且與點B位于線段AC的異側(cè)，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測線段BE、AE、CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點D是AC中點，連接BD，過點A作AE⊥BD交BD的延長線于點E，過點C作CF⊥BD于點F．（1）求證：∠EAD＝∠CBD；（2）求證：BF＝2AE；（3）如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．5．如圖1，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點，D、E分別在BC、AC邊上，點F是AD的中點，連接CF．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）判斷BE與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，把△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0＜α＜90°），即∠BCD＝∠ACE＝α，點F是AD的中點，其他條件不變，判斷BE與CF的關(guān)系是否不變？若不變，請說明理由；若要變，請求出相應(yīng)的正確結(jié)論．6．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，分別以AB，AC為邊向三角形外作等邊△ABD和等邊△ACE，解答下列各題，并要求標注推導(dǎo)理由：（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）如圖2，連接CD、BE，求證：DC＝BE；（3）如圖3，連接DE，交AB于點F，求證：DF＝EF．7．如圖，已知是等邊三角形．(1)如圖1，D是上一點，以為邊作等邊，連接，求證：；(2)在（1）的條件下，于F，若，求的長；(3)如圖2，為穿越的一條射線，點P是點C關(guān)于的對稱點，連接并延長交于Q，連接．已知，觀察、猜測并證明，，之間的關(guān)系．8．（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）9．以為斜邊在它的同側(cè)作和，其中，，、交于點．（1）如圖1，平分，求證：；（2）如圖2，過點作，分別交、于點、點，連接，過作，交于點，連接，交于點，求證：；（3）如圖3，點為邊的中點，點是邊上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，當，時，求的最小值．10．如圖，在中，，，邊沿著過點的某條直線對折得到，連接，以為邊在左側(cè)作，其中，，與交于點，連接．(1)如圖1，連接，當點在外部時，試說明；(2)如圖2，連接，當點在的斜邊上時，試判斷的形狀并說明理由；(3)如圖3，當點在的內(nèi)部時，若點為的中點，且，求的長．11．在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中線，G、H分別為射線BA、AC上一點，且滿足∠GEH+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠CAE＝45°，且G、H分別在線段BA、AC上，求證：AEH≌BEG；(2)在（1）的條件下，AG＝3，求線段CH的長度；(3)如圖2，延長AE至點D，使DE＝AE，過點E作EF⊥BD于點F，當點G在線段BA的延長線上，點H在線段AC的延長線上時，探求線段BF、CH、BG三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．在△ABD中∠A＝45°，BC⊥AD于點C，E為AB上一點，連接DE交BC于點F，且∠ADE＝∠CBD．（1）如圖1，求證：DE＝BD．（2）如圖2，作AM⊥BD于點M，交BC于點H，判斷AH與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）在（2）的條件下，當CH：BH＝4：7，△ADE的面積為時，①求線段AD的值；②設(shè)AH＝a，用含a的代數(shù)式表示線段BM的值．13．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點E在邊AB上移動（不與端點重合）．連接CE，以CE為一邊在其右側(cè)作△CEF，其中∠CEF＝90°，CE＝EF，點G為FC的中點，過點F作FH⊥AD，垂足為點H，連接GD，GH，F(xiàn)A．（1）求證：∠EAF＝135°；（2）請判斷線段GD和GH之間有何關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明；（3）在點E移動過程中，△EAF的面積有最大值嗎？如果有，求出△EAF面積的最大值及此時BE的長；如果沒有，說明理由．期末考試點對點壓軸題訓(xùn)練（四）（B卷26題）1．如圖所示，點D是線段BC的中點，AD⊥BC，點N是線段BC延長線上一點，在∠ACN內(nèi)部有一動點E，且∠BEC＝2∠BAD，點F在線段CE的延長線上，AC與BE交于點P，過點A作AM⊥BE于點M．（1）求證：∠ACE＝∠ABE；（2）求證：EA平分∠BEF；（3）當點E在∠ACN內(nèi)部運動時，的值是否會發(fā)生變化？若不變化，請求出其值；若變化，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不變化，2．【分析】（1）先判斷出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，進而判斷出∠BEC＝∠BAC，即可得出結(jié)論；（2）過點A作AQ⊥CF于Q，判斷出∠AMB＝∠AQC＝90°，進而判斷出△AMB≌△AQC（AAS），得出AM＝AQ，再判斷出Rt△AME≌Rt△AQE（HL），即可得出結(jié)論；（3）由（2）知，BM＝CQ，ME＝EQ，判斷出CE＝CQ﹣EQ＝BM﹣ME，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵點D是BC的中點，AD⊥BC，∴BD＝CD，AB＝AC，∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵∠BEC＝2∠BAD，∴∠BEC＝∠BAC，∵∠APB＝∠CPE，∴180°﹣∠BAC﹣∠APB＝180°﹣∠BEC﹣∠CPE，∴∠ACE＝∠ABE；（2）如圖，過點A作AQ⊥CF于Q，∴∠AQC＝90°，∵AM⊥BE，∴∠AMB＝90°，∴∠AMB＝∠AQC＝90°，由（1）知，AB＝AC，∠ACE＝∠ABE，∴△AMB≌△AQC（AAS），∴AM＝AQ，在Rt△AME和Rt△AQE中，，∴Rt△AME≌Rt△AQE（HL），∴∠AEM＝∠AEQ，∴EA平分∠BEF；（3）當點E在∠ACN內(nèi)部運動時，的值是不發(fā)生變化，其值為2，理由：由（2）知，BM＝CQ，ME＝EQ，∴CE＝CQ﹣EQ＝BM﹣ME，∵BE＝BM+ME，當點E在∠ACN內(nèi)部運動時，的值是不發(fā)生變化，其值為2．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題關(guān)鍵．2．如圖，和都是等邊三角形，連接，，與交于點，連接，與交于點．(1)求證：；(2)求的大小；(3)若，，求的長度．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)推出≌即可解答；（2）如圖，過點作于，作于，先根據(jù)（1）中≌，可得，由三角形的面積公式可得高，由角平分線的逆定理可得平分，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，所以，從而得結(jié)論；（3）如圖，作輔助線構(gòu)建等邊三角形和全等三角形，證明≌，得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，由同高三角形面積的關(guān)系可得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，和為等邊三角形，，，，，在和中，，≌，；（2）解：如圖，過點作于，作于，≌，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖，在上截取，連接，過點作于，作于，則是等邊三角形，，，，，≌，，平分，，，，，的面積的面積，，，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和判定定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．3．探究等邊三角形“手拉手”問題．（1）如圖1，已如△ABC，△ADE均為等邊三角形，點D在線段BC上，且不與點B、點C重合，連接CE，試判斷CE與BA的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC＝60°，試說明點B，點D，點E在同一直線上；（3）如圖3，已知點E在ABC外，并且與點B位于線段AC的異側(cè)，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測線段BE、AE、CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）CE∥AB，理由見解析；（2）見解析；（3）BE＝AE+EC．理由見解析．【分析】（1）結(jié)論：CE∥AB．證明△BAD≌△CAE（SAS）可得結(jié)論．（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明∠ADB＝∠AEC＝120°，證明∠ADB+∠ADE＝180°即可解決問題．（3）結(jié)論：BE＝AE+EC．在線段BE上取一點H，使得BH＝CE，設(shè)AC交BE于點O．利用全等三角形的性質(zhì)證明△AEH是等邊三角形即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：CE∥AB．理由：如圖1中，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE＝60°，∴AB∥CE．（2）證明：如圖2中，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，∴B，D，E共線．（3）解：結(jié)論：BE＝AE+EC．理由：在線段BE上取一點H，使得BH＝CE，設(shè)AC交BE于點O．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠BAO＝∠OEC＝60°，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠ABH＝∠ACE，∵BA＝CA，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠BAC＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AE＝EH，∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC．【點睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定及等邊三角形，熟練掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意平時常用的輔助線作法．4．如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點D是AC中點，連接BD，過點A作AE⊥BD交BD的延長線于點E，過點C作CF⊥BD于點F．（1）求證：∠EAD＝∠CBD；（2）求證：BF＝2AE；（3）如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）：AG＝AB，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角度的等量代換即可求解．（2）證明△AEC≌△BPC后，運用角度等量代換，求得CF＝PF；證明△AED≌△CFD即可求解．（3）證明△AEB≌△BHA，根據(jù)線段的等量代換以及運用等腰三角形三線合一的證明即可求解．【詳解】（1）證明：∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠EAD＝∠CBD；（2）證明：如圖1，連接CE，在BF上截取BP＝AE，連接CP，∵∠EAD＝∠CBD，AC＝BC，∴△AEC≌△BPC（SAS），∴CE＝CP，∠ACE＝∠BCP，∴∠ACE+∠DCP＝∠BCP+∠DCP，∴∠ECP＝∠DCB＝90°，∵CE＝CP，CF⊥BD，∴∠CEP＝∠CPF＝∠PCF＝45°，∴CF＝PF，∵點D是AC的中點，∴AD＝CD，∵∠AED＝∠CFD＝90°，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∴AE＝PF，∴BF＝BP+PF＝2AE；（3）結(jié)論：AG＝AB，證明如下：如圖2，取BG的中點H，連接CE，CH，AH，∴BH＝＝＝AE，∵∠HBC＝∠PBC＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAB＝∠HBC+∠CBA，∴∠EAB＝∠HBA，∵AB＝BA，∴△AEB≌△BHA（SAS），∴∠BHA＝∠AEB＝90°，∴AH⊥BG，∵BH＝HG，∴AG＝AB．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及運用等邊三角形三線合一的證明，運用全等可以進行角度與線段的等量代換進行題目求解，全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS、HL要熟記．5．如圖1，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點，D、E分別在BC、AC邊上，點F是AD的中點，連接CF．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）判斷BE與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，把△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0＜α＜90°），即∠BCD＝∠ACE＝α，點F是AD的中點，其他條件不變，判斷BE與CF的關(guān)系是否不變？若不變，請說明理由；若要變，請求出相應(yīng)的正確結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）BE=2CF，BE⊥CF，理由見解析；（3）把△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角后，（2）中的關(guān)系依然成立，理由見解析．【分析】（1）直接利用SAS證明三角形全等即可；（2）由△ADC≌△BEC可證得BE=AD，再利用直角三角形的性質(zhì)可證明BE=CF，由直角三角形的性質(zhì)可得CF=DF，可證明∠FCD=∠ADC，可證得∠EBC+∠FCD=90即BE⊥CF；（3）如圖2：延長CF到G使FG=CF，連結(jié)AG、DG，可證明四邊形ACDG為平行四邊形，進一步可證明△GAC≌△ECB可得GC=BE，可得BE=CF，再結(jié)合∠ACB=90°，可證明BE⊥CF．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，=90°在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）解：BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：∵△ADC≌△BEC∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，∵F為線段AD的中點，∴CF=AF=DF=AD∴BE=2CF，即∵AF=CF，∴∠DAC=∠FCA，∴∠BCF+∠ACF=90°∴∠BCF+∠EBC=90°，即BE⊥CF；（3）把△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角后，（2）中的關(guān)系依然成立，理由如下：如圖2，延長CF到G使FG=CF，連結(jié)AG、DG，如圖2，∵AF=DF，F(xiàn)G=FC，∴四邊形ACDG為平行四邊形，∴AG=CD，AG//CD，∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°﹣∠ACD，∴CD=CE=AG，∵△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0＜α＜90°），∴∠BCD=α，∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠GAC=∠ECB，在△AGC和△CEB中，∴△AGC≌△CEB，∴CG=BE，∠2=∠1，∴BE=2CF，而∠2+∠BCF=90°，∴∠BCF+∠1=90°，∴CF⊥BE．【點睛】本題屬于旋轉(zhuǎn)綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),、等腰直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)，靈活運用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，分別以AB，AC為邊向三角形外作等邊△ABD和等邊△ACE，解答下列各題，并要求標注推導(dǎo)理由：（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）如圖2，連接CD、BE，求證：DC＝BE；（3）如圖3，連接DE，交AB于點F，求證：DF＝EF．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的判定可得；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)判斷△DAC≌△BAE即可得；（3）過點D作DG∥AE交AB于點G，連接DG，利用等邊三角形的性質(zhì)證明△DBG≌△ABC，得到DG＝AC，得到四邊形AEGD為平行四邊形，進而可證．【詳解】證明：（1）∵△ADB為等邊三角形，∴∠DAB＝60°＝∠ABC，∴AD∥BC，（2）∵△ADB和△ACE為等邊三角形，∴AC＝AE，AD＝AB，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC＝BE，（3）過點D作DG∥AE交AB于點G，連接EG，則∠GAE＝∠DGA，∵△ADB和△ACE為等邊三角形，∴AB＝BD，AC＝AE，∠DBA＝∠ABC＝∠CAE＝60°，∵∠GAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+∠BAC，∠DGA＝∠DBA+∠BDG＝60°+∠BDG，∴∠BAC＝∠BDG，在△DBG和△ABC中，，∴△DBG≌△ABC（ASA）∴DG＝AC，∴四邊形AEGD為平行四邊形，∴DF＝FE．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題時過點D作DG∥AE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到△DBG≌△ABC是解題關(guān)鍵．7．如圖，已知是等邊三角形．(1)如圖1，D是上一點，以為邊作等邊，連接，求證：；(2)在（1）的條件下，于F，若，求的長；(3)如圖2，為穿越的一條射線，點P是點C關(guān)于的對稱點，連接并延長交于Q，連接．已知，觀察、猜測并證明，，之間的關(guān)系．【答案】(1)見解析；(2)9；(3)BQ=AQ+CQ，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，求得∠CBD=∠EBA，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DF=EF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）在BQ上截取QH=AQ，連接AH，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到PQ=CQ，QM⊥PC，PM=CM，推出△AQH是等邊三角形，求得∠HAQ=∠BAC=60°，AH=AQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．（1）證明：∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠CBD=∠EBA，在△BCD和△BAE中，，∴△BCD≌△BAE(SAS)；（2）∵△BDE是等邊三角形，DE⊥AB，∴DF=EF，∴AB垂直平分DE，∴AE=AD，∵△BCD≌△BAE，∴AE=CD，∴AD=CD，∵△ABC是等邊三角形，∴BD⊥AC，∴∠ABD=30°，∵∠BAC=60°，∴∠ADF=30°，∴AD=2AF，∴AB=2AD=4AF=12，∴BF=AB-AF=9；（3）BQ=AQ+CQ，證明：在BQ上截取QH=AQ，連接AH，∵點P是點C關(guān)于BN的對稱點，∴PQ=CQ，QM⊥PC，PM=CM，∵∠P=30°，∴∠QCP=∠P=30°，∴∠PQM=∠CQM=60°，∴△AQH是等邊三角形，∴∠HAQ=∠BAC=60°，AH=AQ，∴∠BAH=∠QAC，∵AB=AC，∴△ABH≌△ACQ(SAS)，∴BH=CQ，∴BQ=BH+HQ=CQ+AQ．【點睛】本題考查了幾何變換綜合題，全等三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由見詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見詳解；（3）BE＝，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)SAS直接可證△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，連接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，從而SAS證△ABG≌△ADF，再通過SAS證△GAE≌△FAE，得GE＝EF，從而解決問題；（3）作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，由（2）同理可兩次全等證明出DE＝GD即可．【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE?DF＝EF，理由如下：如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE?DF＝EF；（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a?BE＝c＋BE，∴BE＝．【點睛】本題主要考查了全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合問題引入，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．以為斜邊在它的同側(cè)作和，其中，，、交于點．（1）如圖1，平分，求證：；（2）如圖2，過點作，分別交、于點、點，連接，過作，交于點，連接，交于點，求證：；（3）如圖3，點為邊的中點，點是邊上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，當，時，求的最小值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）8【分析】（1）過點P作PT⊥BC于點T，根據(jù)等腰直角三角形和角平分線的性質(zhì)可得AP=PT=TC，證明Rt△ABP≌Rt△TBP，進而問題可求證；（2）過點C作CR⊥AF交AF延長線于點R，首先證明△ABE≌△CAR，由全等三角形的性質(zhì)得AE=CR，再證△ABG≌△ACD，可得AG=AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=GE=DE，等量代換得CR=GE，然后證明△EHG≌△RHC，即可得出結(jié)論；（3）過點A作AO⊥BC于點O，連接OM、BK，先證明△MBQ≌△MOK，可得∠MBQ=∠MOK=45°，可得點K在OA所在的直線上移動，則有PK+CK=PK+BK≥BP，可得當且僅當B、K、P三點共線時PK+CK取得最小值，然后根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：過點P作PT⊥BC于點T，如圖所示：∵，平分，∴，∵BP=BP，∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），∴AB=BT，∵，，∴，∵，∴，∴AP=PT=TC，∵，∴；（2）證明：過點C作CR⊥AF交AF延長線于點R，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∵，∴△ABE≌△CAR（AAS），∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴△ABG≌△ACD（ASA），∴AG=AD，∴△AGD為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴△EHG≌△RHC（AAS），∴；（3）解：過點A作AO⊥BC于點O，連接OM、BK，如圖所示：∵，，∴，∵點M是AB的中點，∴，，∴，∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，∴，即，∴△MBQ≌△MOK（SAS），∴，∴點K在OA所在的直線上移動，∵OA垂直平分BC，∴，∴PK+CK=PK+BK≥BP，∴當且僅當B、K、P三點共線時PK+CK取得最小值，∵，∴，在Rt△BAP中，∠BAP=90°，AP=4，∴，∴的最小值為8．【點睛】本題主要考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形解決問題．10．如圖，在中，，，邊沿著過點的某條直線對折得到，連接，以為邊在左側(cè)作，其中，，與交于點，連接．(1)如圖1，連接，當點在外部時，試說明；(2)如圖2，連接，當點在的斜邊上時，試判斷的形狀并說明理由；(3)如圖3，當點在的內(nèi)部時，若點為的中點，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)△AEF是等腰三角形；理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；（2）△AEF是等腰三角形．證明∠AEF＝∠AFE＝67.5°即可；（3）延長AF到T，使得FT＝CF，連接AT，DT．證明△ADT是等腰三角形，推出點E是三角形的重心，可得ET＝2EF＝4，再證明EA＝ET，可得結(jié)論．【解析】（1）證明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∠ADC＋∠ADE＝90°，∴∠BCD＝∠ADE，∵CA＝CB，AC＝AD，∴DA＝CB，∵在△ADE和△BCD中，∴△ADE≌△BCD（SAS）．（2）解：結(jié)論：△AEF是等腰三角形．理由如下：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝67.5°，∵△ADE≌△BCD，∴∠DAE＝∠B＝45°，∴∠EAF＝∠DCF，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CDF＝67.5°，∴∠AFE＝180°?45°?67.5°＝67.5°，∴∠AFE＝∠AEF＝67.5°，∴△AEF是等腰三角形．（3）解：延長CE到T，使得FT＝CF，連接AT，DT，延長DE交AT于點M，如圖所示：∵AF＝DF，CF＝FT，，∴（SAS）∴AC＝DT，∠CAD＝∠ADT，∵AC＝AD，∴DA＝DT，∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠CAD＋2∠ACD＝180°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠DCB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADT＝2∠DCB，∵∠DCB＝∠EDT，∴∠ADE＝∠TDE，∵DA＝DT，∴DE⊥AT，∴DE平分AT，∵AF＝FD，∴點E是△ADT是重心，∴ET＝2EF＝4，∵DE垂直平分線段AT，∴EA＝ET＝4，∵△ADE≌△BCD，∴BD＝AE＝4．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)，屬于中考壓軸題．11．在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中線，G、H分別為射線BA、AC上一點，且滿足∠GEH+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠CAE＝45°，且G、H分別在線段BA、AC上，求證：AEH≌BEG；(2)在（1）的條件下，AG＝3，求線段CH的長度；(3)如圖2，延長AE至點D，使DE＝AE，過點E作EF⊥BD于點F，當點G在線段BA的延長線上，點H在線段AC的延長線上時，探求線段BF、CH、BG三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)3(3)，理由見解析【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和已知條件，先證∠BAC＝90°，，，再結(jié)合∠GEH+∠BAC＝180°，證明∠GEH＝90°，進而證明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可證明AEH≌BEG；（2）利用（1）中結(jié)論，參照（1）中方法利用ASA即可證明CEH≌AEG，即可得出；（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，連接EJ．先利用AAS證明JEG≌CEH，推出，再證明BFE≌BIE，推出BF＝BI，即可得出．【解析】（1）證明：如圖所示：∵AB＝AC，AE是ABC的中線，∴∠C＝∠B，AE⊥BC，又∵∠CAE＝45°，∴∠C＝∠CAE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，∴∠BAC＝90°，，，∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，∴∠GEH＝90°，∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG+∠BEG＝90°，∴∠AEH＝∠BEG，在AEH和BEG中，，∴AEH≌BEG；（2）解：由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，，∠GEH＝90°，AE⊥BC，∴∠AEC＝∠GEH＝90°，∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH+∠AEG＝90°，∴∠CEH＝∠AEG，在CEH和AEG中，，∴CEH≌AEG，∴；（3）解：，理由如下：如圖，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，連接EJ．則EI是線段BJ的垂直平分線，∴，∵E是BC的中點，∴，∴．∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，∴∠GEH＝∠GAH，又∵∠GOA＝∠HOE，∴∠JGE＝∠CHE，∵，，∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，∴∠EJG＝∠ECH，在JEG和CEH中，，∴JEG≌CEH，∴，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴BD＝AB，∴∠ABE＝∠DBE，∵EI⊥AB，EF⊥BD，∴∠BIE＝∠BFE＝90°，又∵BE＝BE，∴BFE≌BIE，∴BF＝BI，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是添加輔助線、構(gòu)造全等三角形．12．在△ABD中∠A＝45°，BC⊥AD于點C，E為AB上一點，連接DE交BC于點F，且∠ADE＝∠CBD．（1）如圖1，求證：DE＝BD．（2）如圖2，作AM⊥BD于點M，交BC于點H，判斷AH與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）在（2）的條件下，當CH：BH＝4：7，△ADE的面積為時，①求線段AD的值；②設(shè)AH＝a，用含a的代數(shù)式表示線段BM的值．【答案】（1）見詳解；（2）AH=BD，理由見詳解；（3）①，②【分析】（1）由題意易得∠ABC=∠A=45°，然后根據(jù)三角形外角及角的和差關(guān)系可得∠DEB=∠DBE，進而問題可求證；（2）由（1）可得AC=BC，根據(jù)題意可得∠ACH=∠BCD=∠AMB=90°，然后根據(jù)等角的余角相等可得∠CAH=∠CBD，進而可得△ACH≌△BCD，則問題可求解；（3）①過點E作EG⊥AD于點G，由題意易得∠DGE=∠BCD=90°，則有△DGE≌△BCD，然后可得CH=CD=GE，設(shè)CH=CD=GE=4x，BH=7x，則有AC=BC=11x，進而根據(jù)三角形面積公式可建立方程求解；②由①可