2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十五：拋物線上有關(guān)等腰直角三角形問題的探究(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十五：拋物線上有關(guān)等腰直角三角形問題的探究典例分析例1（2022棗莊中考）（12分）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（1，0），過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將拋物線L向上平移h個(gè)單位長度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．專題過關(guān)1.（2022吉林中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍；（3）若此拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分（包括點(diǎn)）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．①求值；②以為邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．2.（2022陜師大附中三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線M的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x，與x軸交于O、A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求證：△OAB為等腰直角三角形：（2）已知點(diǎn)P在y軸上，且OP＝1，點(diǎn)C在第一象限，△ABC為等腰直角三角形，將拋物線M進(jìn)行平移，使其對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，請(qǐng)問平移后的拋物線能否經(jīng)過點(diǎn)P？如果能，求出平移方式；如果不能，說明理由．3.（2022西安高新一中三模）已知拋物線L：y＝x2﹣4x＋2，其頂點(diǎn)為C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若M為拋物線L上一點(diǎn)，拋物線L關(guān)于點(diǎn)M所在直線x＝m對(duì)稱的拋物線為L'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，在拋物線L上是否存在點(diǎn)M，使得△CMC′為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4.（2022山西一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在段上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）________，________；（2）在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5.（2022運(yùn)城二模）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，以PD為斜邊，在PD的右側(cè)作等腰直角．（1）求拋物線的表達(dá)式，并直接寫出直線BC的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)?shù)妊苯堑拿娣e為9時(shí)，請(qǐng)求出m的值；（3）連接AC，該拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．6.（2022太原二模）綜合與探究：如圖，已知直線和拋物線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為，判斷的形狀，并說明理由；（3）試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．（2021懷化中考）（14分）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走到拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)F，最后返回到點(diǎn)C．要使動(dòng)點(diǎn)G走過的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫出坐標(biāo)，并求出最短路程．（4）點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△CQR？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．8.（2021廣安中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接、．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求、的值；（2）在、運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．9.（2021張家界中考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；（3）判斷的形狀，試說明理由；（4）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且的半徑為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．10.（2021上海中考）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(1,4).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形ABC，①當(dāng)Q與A重合時(shí)，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo).11．（2021衡陽中考）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點(diǎn)”．（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時(shí)．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數(shù)；（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點(diǎn)，連接BP，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰Rt△BPC，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2021隨州中考）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N，Q是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QMN為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．13．（2021黃石中考）（12分）拋物線y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3），且拋物線的對(duì)稱軸為x＝3，D為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于E、F兩點(diǎn)，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面積；（3）若P（3，t）是對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值（用含t的代數(shù)式表示）．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十五：拋物線上有關(guān)等腰直角三角形問題的探究典例分析例1（2022棗莊中考）（12分）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（1，0），過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將拋物線L向上平移h個(gè)單位長度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得△OPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；（3）求出原拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱軸與OE的交點(diǎn)坐標(biāo)、與AE的交點(diǎn)坐標(biāo)，用含h的代數(shù)式表示平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出不等式組求出h的取值范圍；（4）存在四種情況：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)|OM|＝|PN|，列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）如圖，過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直線OE的解析式為：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG＝PG?AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，△OPE面積最大，此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得拋物線l的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)為（2，﹣1），拋物線L向上平移h個(gè)單位長度后頂點(diǎn)為F（2，﹣1+h）．設(shè)直線x＝2交OE于點(diǎn)DM，交AE于點(diǎn)N，則E（2，3），∵直線OE的解析式為：y＝x，∴M（2，2），∵點(diǎn)F在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）設(shè)P（m，m2﹣4m+3），分四種情況：①當(dāng)P在對(duì)稱軸的左邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐標(biāo)為（，）；②當(dāng)P在對(duì)稱軸的左邊，且在x軸上方時(shí)，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐標(biāo)為（，）；③當(dāng)P在對(duì)稱軸的右邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m＝或m2＝（舍）；P的坐標(biāo)為（，）；④當(dāng)P在對(duì)稱軸的右邊，且在x軸上方時(shí)，如圖，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐標(biāo)為：（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及圖形的平移，全等三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022吉林中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍；（3）若此拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分（包括點(diǎn)）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．①求值；②以為邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或（3）①或3；②或或【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，再畫出函數(shù)圖象，由此即可得；（3）①先求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)、以及點(diǎn)的坐標(biāo)，再分和兩種情況，分別畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)的增減性求解即可得；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰直角三角形的定義建立方程組，解方程組即可得．【小問1詳解】解：將點(diǎn)代入得：，解得，則此拋物線的解析式為．【小問2詳解】解：對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得或，則此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，畫出函數(shù)圖象如下：則當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，的取值范圍為或．【小問3詳解】解：①二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即，（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則此時(shí)點(diǎn)即為最低點(diǎn)，所以，解得或（不符題設(shè)，舍去）；（Ⅱ）如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)即為最低點(diǎn)，所以，解得，符合題設(shè)，綜上，的值為或3；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意，分以下兩種情況：（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)對(duì)稱軸直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，則在等腰中，只能是，垂直平分，且，（等腰三角形的三線合一），，解得，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（3）①可知，此時(shí)，則點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，則，即，方程組無解，所以此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，則，即，解得，所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，則，即，方程組無解，所以此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn)；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰直角三角形、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2.（2022陜師大附中三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線M的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x，與x軸交于O、A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求證：△OAB為等腰直角三角形：（2）已知點(diǎn)P在y軸上，且OP＝1，點(diǎn)C在第一象限，△ABC為等腰直角三角形，將拋物線M進(jìn)行平移，使其對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，請(qǐng)問平移后的拋物線能否經(jīng)過點(diǎn)P？如果能，求出平移方式；如果不能，說明理由．【答案】（1）見詳解（2）將拋物線M向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)點(diǎn)，得過點(diǎn)C1和點(diǎn)P的拋物線；拋物線M向右平移個(gè)單位，再向上平移得出過點(diǎn)C2和點(diǎn)P的拋物線；拋物線M向右平移個(gè)單位。再向上平移個(gè)單位，得點(diǎn)過點(diǎn)C3與P的拋物線【解析】【分析】（1）將拋物線M配方為頂點(diǎn)式得出拋物線的對(duì)稱軸為x=2，拋物線的頂點(diǎn)B（2，2），然后求出點(diǎn)A（4，0），根據(jù)對(duì)稱軸求出點(diǎn)E（2，O），BE⊥OA，證明△OEB為等腰直角三角形，再證△AEB為等腰直角三角形即可；（2）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，分以下三種情況，以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，將AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得出點(diǎn)C1（4，4）將拋物線M向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)點(diǎn)，得出以C1為頂點(diǎn)的拋物線為，以AB為直角邊，以點(diǎn)A直角頂點(diǎn)，將AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得AC2，求出點(diǎn)C2（6，2），拋物線M向右平移4個(gè)單位得出過頂點(diǎn)C2的拋物線；以AB為斜邊，點(diǎn)C3為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)C3在AC1的中點(diǎn)，C3（4，2）即可．【小問1詳解】解：拋物線M的表達(dá)式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，拋物線的頂點(diǎn)B（2，2），拋物線與x軸的交點(diǎn)，解得：，∴點(diǎn)A（4，0），∵拋物線對(duì)稱軸為x=2，∴點(diǎn)E（2，O），BE⊥OA，∵OE=BE=2，∠OEB=90°，∴△OEB為等腰直角三角形，∴∠BOE=∠OBE=45°，∵AE=OA-OE=4-2=2，∴BE=AE，∠AEB=90°，∴△AEB為等腰直角三角形，∴∠EBA=∠EAB=45°，∴∠BOE=∠OBE=∠EBA=∠EAB=45°，∴OB=AB，∠OBA=∠OBE+∠ABE=45°+45°=90°，∴△OAB為等腰直角三角形【小問2詳解】解：∵△ABC為等腰直角三角形，分以下三種情況，以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，將AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴∠BAC1=45°，∴∠CAO=∠OAB+∠C1AB=45°+45°=90°，∴CA⊥x軸，∵∠OBA+∠ABC1=90°+90°=180°，∴點(diǎn)O、B、C1三點(diǎn)共線，∵∠C1OA=45°，∴△OAC1為等腰直角三角形，∴C1A=OA=4，∴點(diǎn)C1（4，4）∵OP=1，∴點(diǎn)P（0,1）設(shè)過點(diǎn)P與C1形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標(biāo)得解得∴，將拋物線M向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)點(diǎn)，得過點(diǎn)C1和點(diǎn)P的拋物線以AB為直角邊，以點(diǎn)A直角頂點(diǎn)，將AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得AC2，∵∠C2BA=45°=∠BAO，∴BC2∥OA，∠OBA=∠C2AB，∴AC2∥OB，∴四邊形OBC2A，∴BC2=OA=4，∴點(diǎn)C2橫坐標(biāo)為OE+BC2=2+4=6，∴點(diǎn)C2（6，2），∴點(diǎn)P（0,1）設(shè)過點(diǎn)P與C2形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標(biāo)得解得∴∴，∴拋物線M向右平移個(gè)單位，再向上平移得出過點(diǎn)C2和點(diǎn)P的拋物線；以AB為斜邊，點(diǎn)C3為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)C3在AC1的中點(diǎn)，C3（4，2）∵點(diǎn)P（0，1）設(shè)過點(diǎn)P與C3形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標(biāo)得解得∴∴，∴拋物線M向右平移個(gè)單位。再向上平移個(gè)單位，得點(diǎn)過點(diǎn)C3與P的拋物線【點(diǎn)睛】本題考查圖形與坐標(biāo)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形，圖形旋轉(zhuǎn)，拋物線平移，掌握?qǐng)D形與坐標(biāo)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形，圖形旋轉(zhuǎn)，拋物線平移是解題關(guān)鍵．3.（2022西安高新一中三模）已知拋物線L：y＝x2﹣4x＋2，其頂點(diǎn)為C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若M為拋物線L上一點(diǎn)，拋物線L關(guān)于點(diǎn)M所在直線x＝m對(duì)稱的拋物線為L'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，在拋物線L上是否存在點(diǎn)M，使得△CMC′為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】(1)化成頂點(diǎn)式即可求得；(2)設(shè)，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，拋物線L關(guān)于點(diǎn)M所在直線x=m對(duì)稱的拋物線為L'，可得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為，可證得等腰三角形，再根據(jù)為等腰直角三角形，可得，解此方程即可求得．【小問1詳解】解：，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：存在；點(diǎn)M在拋物線L:上，設(shè)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，拋物線L關(guān)于點(diǎn)M所在直線x=m對(duì)稱的拋物線為L'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為，點(diǎn)C、C'關(guān)于直線x=m對(duì)稱，點(diǎn)M在直線x=m上，等腰三角形，要使為等腰直角三角形，則，即，當(dāng)時(shí)，解得m=3或m=2(舍去)，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，解得m=1或m=2(舍去)，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)M，且當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或時(shí)，等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題的關(guān)鍵．4.（2022山西一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在段上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）________，________；（2）在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)t=2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為4；（3）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，利用表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）畫出圖形，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．【詳解】解：∵拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得：；（2）由（1）得：拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C（0,3），∴OC=3，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為，∴OA=3，∴OA=OC，∴△AOC為等腰直角三角形，∴∠OAC=∠OCA=45°，由題意得：，BQ=t，則OQ=1-t，∴點(diǎn)Q（-1+t，0），如圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，∴∠APE=45°，∴∠APE=∠OAC，∴PE=AE，∵PE2+AE2=AP2，∴，∴OE=OA-AE=3-t，∴點(diǎn)E（3-t，0），∴，∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，，∴0≤t≤3，∴當(dāng)t=2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為4；（3）存在，理由如下：假設(shè)點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，連接MQ，MP，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，∵∠F=∠QEP，∠PMF=∠QPE，PM=PQ，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：或（舍去），∴，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴在線段上方的拋物線上存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．5.（2022運(yùn)城二模）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，以PD為斜邊，在PD的右側(cè)作等腰直角．（1）求拋物線的表達(dá)式，并直接寫出直線BC的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)?shù)妊苯堑拿娣e為9時(shí)，請(qǐng)求出m的值；（3）連接AC，該拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），（2）當(dāng)或6時(shí)，的面積為9（3）存在．點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線的表達(dá)式即可；（2）設(shè)出、，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式表示出長，解法一：再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列出的面積表達(dá)式，結(jié)合面積為建立方程求解，即可解決問題；解法二：利用，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式建立方程求解，即可解決問題；解法三：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)推出，依此建立方程求解，即可解決問題；（3）分點(diǎn)在的上方和點(diǎn)在的下方兩種情況討論，根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造三角形全等，求出直線上的一點(diǎn)坐標(biāo)，則可利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，最后和拋物線的解析式聯(lián)立求解，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．小問1詳解】解：將，分別代入中，得解得，∴該拋物線的表達(dá)式為，當(dāng)，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的表達(dá)式為：；【小問2詳解】解法一：依題得，，∴，過點(diǎn)F作于N，∵是等腰直角三角形，PD為斜邊，∴∴，∴，∴，∴解得，，又∵∴當(dāng)或6時(shí)，的面積為9；解法二：依題得，，∴，在中，當(dāng)時(shí)，，∴．∴，又∵．∴，∴為等腰直角三角形，由勾股定理得，∴，．∴即．∴，∴，解得，，又∵，∴當(dāng)或6時(shí)，的面積為9；解法三：解：依題得，，∴，過點(diǎn)F作于N，∵是等腰直角三角形，PD為斜邊，∴，∴，∴，∴，∴，∴（取正），∴，解得，，又∵，∴當(dāng)或6時(shí)，的面積為9；【小問3詳解】解：存在，理由如下：由（2）得為等腰直角三角形，∴①如圖，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，設(shè)與與軸交于一點(diǎn)，

∵，∴，∵，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線的函數(shù)式為，則，解得，∴，則，解得或（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，過作軸的垂線，過作軸的垂線，兩條垂線交于一點(diǎn)，作，交拋物線與點(diǎn)，

由（2）得為等腰直角三角形，∴，∴，即，∵∴，又∵，∵，∴四邊形正方形，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線函數(shù)式為，∴，解得，∴，則，解得或（舍去）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的動(dòng)態(tài)幾何問題，二次函數(shù)與面積的綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題．6.（2022太原二模）綜合與探究：如圖，已知直線和拋物線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為，判斷的形狀，并說明理由；（3）試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2）是等腰直角三角形，理由見解析（3）存在，或【解析】【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入中，求出的值，進(jìn)而可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式，把代入中，解得，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖，過點(diǎn)A和點(diǎn)C分別作x軸的垂線AE，CF，與過點(diǎn)D的x軸的平行線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則，，，，，，，可知，，證明，則，，，進(jìn)而可證是等腰直角三角形；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，，由題意知，分三種情況求解：①當(dāng)時(shí)，，求解滿足要求的，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，，求解滿足要求的，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)；③當(dāng)時(shí)，且，有，由（2）可知，P為（2）中的點(diǎn)D或點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，這兩點(diǎn)都不在拋物線上；整理可得滿足要求的點(diǎn)坐標(biāo)．【小問1詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，∴解得∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；把代入中得，，解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【小問2詳解】解：是等腰直角三角形．理由如下：如圖，過點(diǎn)A和點(diǎn)C分別作x軸的垂線AE，CF，與過點(diǎn)D的x軸的平行線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，

∴，，∴∵，，∴，，，∴，在和中∵∴∴，∴∴∴是等腰直角三角形．【小問3詳解】解：存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為∵，∴，，由題意知，分三種情況求解：①當(dāng)時(shí)，，即解得（不合題意，舍去），∴當(dāng)時(shí)，，∴，即此時(shí)為等腰直角三角形∴；②當(dāng)時(shí)，，即解得（不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，，∴，即此時(shí)為等腰直角三角形∴；③當(dāng)時(shí)，且，有由（2）可知，P為（2）中的點(diǎn)D或點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，∴這兩點(diǎn)都不在拋物線上綜上所述，存在點(diǎn)或，使得為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)與幾何綜合．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．7．（2021懷化中考）（14分）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走到拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)F，最后返回到點(diǎn)C．要使動(dòng)點(diǎn)G走過的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫出坐標(biāo)，并求出最短路程．（4）點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△CQR？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）由題意得，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，則，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+8；（2）存在，理由：當(dāng)∠CP′M為直角時(shí)，則以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似時(shí)，則P′C∥x軸，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（1，8）；當(dāng)∠PCM為直角時(shí)，在Rt△OBC中，設(shè)∠CBO＝α，則tan∠CBO＝＝2＝tanα，則sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，則BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，BC＝＝4，則CM＝BC＝MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，則PM＝＝＝，則PN＝MN+PM＝6+＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，8）或（1，）；（3）∵D為CO的中點(diǎn)，則點(diǎn)D（0，4），作點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（2，8），作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（0，﹣4），連接C′D′交x軸于點(diǎn)E，交函數(shù)的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)E、F為所求點(diǎn)，理由：G走過的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′為最短，由點(diǎn)C′、D′的坐標(biāo)得，直線C′D′的表達(dá)式為y＝6x﹣4，對(duì)于y＝6x﹣4，當(dāng)y＝6x﹣4＝0時(shí)，解得x＝，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，故點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（，0）、（1，2）；G走過的最短路程為C′D′＝＝2；（4）存在，理由：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+8），故點(diǎn)Q作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)N，交過點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC（AAS），∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合題意的值已舍去），故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．8.（2021廣安中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接、．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求、的值；（2）在、運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（，）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）畫出圖形，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），則，解得：；（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)可知：AP=，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴當(dāng)t==2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為=4；（3）∵點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．9.（2021張家界中考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；（3）判斷的形狀，試說明理由；（4）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且的半徑為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由見解析；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)求出AB解析式即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知為等腰三角形，再根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，求出三條線段的長，利用勾股定理驗(yàn)證即可；（4）根據(jù)題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，在上取點(diǎn)，使，可證明，根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得，即，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)∴，二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：將，代入得：解這個(gè)方程組得∵二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為（2）∵點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有：解之得：∴直線的函數(shù)表達(dá)式為（3）是等腰直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易知其坐標(biāo)為∵的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，∴，且滿足∴是等腰直角三角形（4）如圖，以為圓心，為半徑作圓，則點(diǎn)在圓周上，依題意知：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為在上取點(diǎn)，使，連接，則和中，滿足：，，∴，∴，從而得：∴顯然當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由于，且為等腰直角三角形，則有，，∴動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值轉(zhuǎn)換為線段長度的最小值是解題的關(guān)鍵．10.（2021上海中考）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(1,4).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形ABC，①當(dāng)Q與A重合時(shí)，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo).【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【解答】解：（1）將P(3,0)、Q(1,4)兩點(diǎn)分別帶入，得，解出：，故拋物線的解析式是（2）①如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，當(dāng)Q與A重合時(shí)，AB=4，作CH⊥AB于H，∵△ABC是等腰直角三角形∴CH=AH=BH=2∴C到拋物線對(duì)稱軸的距離為1②如圖3，由P(3,0)、Q(1,4)得到直線PQ的解析式為y=-2x+6設(shè)A（m,-2m+6）,則AB=|-2m+6|,∴CH=AH=BH=|-m+3|當(dāng)m＜3時(shí)，=2m-3,=-m+3,將點(diǎn)C（2m-3,-m+3）代入中，解出：m=或m=3（與點(diǎn)B重合，舍）此時(shí)：=-2，=，故：C（-2，）當(dāng)m＞3時(shí)，同理得到C（3,0），此時(shí)A（3,0）與P重合，不合題意，舍去綜上可知：C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．11．（2021衡陽中考）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點(diǎn)”．（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時(shí)．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數(shù)；（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點(diǎn)，連接BP，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰Rt△BPC，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；（2）①由△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，即可求解；②求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0）、點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，﹣），即可求解；（3）證明△CMP≌△PNB（AAS），則PM＝BN，CM＝PN，即可求解．【解答】解：（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，當(dāng)x＝±2時(shí)，y＝＝±2，故“雁點(diǎn)”坐標(biāo)為（2,2）或（﹣2，﹣2）；（2）①∵“雁點(diǎn)”的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，故“雁點(diǎn)”的函數(shù)表達(dá)式為y＝x，∵物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，則ax2+5x+c＝x，則△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，∵a＞1，故c＜4；②∵ac＝4，則ax2+5x+c＝0為ax2+5x+＝0，解得x＝﹣或﹣，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0），由ax2+5x+c＝x，ac＝4，解得x＝﹣，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，﹣），故點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，則HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，故∠EMN的度數(shù)為45°；（3）存在，理由：由題意知，點(diǎn)C在直線y＝x上，故設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，t），過點(diǎn)P作x軸的平行線交過點(diǎn)C與y軸的平行線于點(diǎn)M，交過點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t,∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,∴∠NPB＝∠CPM,∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,∴△CMP≌△PNB（AAS），∴PM＝BN，CM＝PN，即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+（舍去）或1﹣或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．12．（2021隨州中考）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N，Q是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QMN為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y＝2x﹣6，過點(diǎn)C作CP1∥BD，交拋物線于點(diǎn)P1，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CP1的解析式為y＝2x﹣3，聯(lián)立方程組即可求出P1（4，5），過點(diǎn)B作y軸平行線，過點(diǎn)C作x軸平行線交于點(diǎn)G，證明△OCE≌△GCF（ASA），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CF解析式為y＝x﹣3，即可求出P2（，﹣）；（3）利用待定系數(shù)法求出直線AC解析式為y＝﹣3x﹣3，直線BC解析式為y＝x﹣3，再分以下三種情況：①當(dāng)△QMN是以NQ為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，②當(dāng)△QMN是以MQ為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，③當(dāng)△QMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，分別畫出圖形結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），設(shè)直線BD解析式為y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直線B