安徽省阜陽(yáng)市臨泉縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

臨泉一中2024—2025學(xué)年高二年級(jí)開學(xué)考一、單選題（本大題共8題，每小題5分，共計(jì)40分）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.32 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可根據(jù)模長(zhǎng)公式求解.【詳解】由可得，所以，故選：C2.已知集合、集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合之間的包含關(guān)系求解即可.【詳解】，∵，∴，當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，有，方程組無解，當(dāng)時(shí)，有，方程組無解，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：C.3.若兩個(gè)向量，的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積公式求出，然后由數(shù)量積定義可得夾角；【詳解】因?yàn)椋?，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選：B.4.已知二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和3，則二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意求得對(duì)稱軸，再由開口方向求解.【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和3，所以其對(duì)稱軸方程：，又，所以二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，再由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和根式與指數(shù)式的互化分別得出和即可得解.【詳解】由題，又由是增函數(shù)可知，，∴，故選：B.6.已知直線a，b與平面，，，下面能使成立的條件是（）A.， B.，，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由線面、面面的平行與垂直的判定與性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，則可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由線面垂直判定定理可知，與不一定垂直，因此相交，不一定垂直，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得存在過直線與平面相交的平面，令交線為，則，又，于是，因此，D正確.故選：D7.已知數(shù)據(jù)，滿足：，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.中位數(shù)不變B.若，則數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為7.5C.平均數(shù)不變D.方差變小【答案】B【解析】【分析】利用中位數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析計(jì)算即可.【詳解】原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A正確；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：.因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)8，故B錯(cuò)誤；由于，故,,,,,原來的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，故C正確；原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，故D正確.故選：B.8.已知一對(duì)不共線的向量，的夾角為，定義為一個(gè)向量，其模長(zhǎng)為，其方向同時(shí)與向量，垂直（如圖1所示）．在平行六面體中（如圖2所示），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.若，，則D.平行六面體的體積【答案】C【解析】【分析】A.根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合新定義公式，即可判斷；B.結(jié)合新定義和數(shù)量積公式，即可判斷；B.根據(jù)條件求，即可判斷；D.根據(jù)新定義和數(shù)量積的幾何意義，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，而，故，正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，有意義，則，正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，的模長(zhǎng)即為平行六面體底面OACB的面積，且方向垂直于底面，由數(shù)量積的幾何意義可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模長(zhǎng)（即為平行六面體的高）乘以底面的面積，即為平行六面體的體積，正確．故選：C二、多選題（本大題共3題，每小題5分，共計(jì)15分）9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中（其中為虛數(shù)單位），正確的是（）A.B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2C.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為2D.若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，，故；B選項(xiàng)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得到B正確；C選項(xiàng)，求出的軌跡為圓，圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值為2，C正確；D選項(xiàng)，得到為方程的另一個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，，而，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故虛部為2，B正確；C選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)滿足，則的軌跡為復(fù)平面內(nèi)，以0,1為圓心，1為半徑的圓，此圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，最大值為2，即0,2到原點(diǎn)距離，故的最大值為2，C正確；D選項(xiàng)，若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，為方程另一個(gè)根，故，D不正確.故選：BC10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)是偶函數(shù)D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖象依次求出,再根據(jù)選項(xiàng)，分別運(yùn)用代入檢驗(yàn)對(duì)稱性，利用奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，利用伸縮變換得到新函數(shù)逐一判斷即得.【詳解】由圖可得，，，解得，故A正確；又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，即，因，故，解得，故.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，故B正確；對(duì)于C，，是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，將得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所角的余弦值為C.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積是定值D.點(diǎn)到直線距離的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用空間向量求出向量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離最小值判斷D.【詳解】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，對(duì)于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)到平面的距離為，而的面積，因此三棱錐的體積23是定值，C正確；對(duì)于D，，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3題，每小題5分，共計(jì)15分）12.在棱長(zhǎng)是的正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線和間的距離是______【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)與異面直線和都垂直的向量為，則，令，則，又，故異面直線和間的距離是，故答案為：13.已知，，則最大值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的夾角公式可得，即可結(jié)合基本不等式求解最值.【詳解】由題意可得：，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：的最大值為，故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是中點(diǎn)，則下列命題正確的有______．①直線與所成角的正切值為②三棱柱外接球的半徑為③平面截正方體所得截面為等腰梯形④點(diǎn)到平面的距離為【答案】①②④【解析】【分析】借助等角定理可得直線與所成角與直線與所成角相等，計(jì)算出可判斷①；由三棱柱外接球與正方體外接球相同，故計(jì)算正方體體對(duì)角線的一半可判斷②；借助平行線的性質(zhì)可作出該截面，計(jì)算邊長(zhǎng)可判斷③：借助等體積法計(jì)算可判斷④.【詳解】對(duì)于①：由，故直線與所成角與直線與所成角相等，連接，可得，又，平面，平面，所以，故，故①正確；對(duì)于②：三棱柱外接球與正方體外接球相同，故其外接球半徑為，故②正確；對(duì)于③：如圖：取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，所以平面截正方體所得截面為梯形，由，所以，所以，，所以，所以梯形不是等腰梯形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：如圖：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，而，，所以，故④正確.故答案為：①②④.四、解答題15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，求外接圓的面積.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.（2）由（1）求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓半徑即得.【小問1詳解】依題意，，所以函數(shù)的最小正周期；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，，而，則，由，得，解得，由余弦定理得，則外接圓的半徑，所以外接圓的面積為.16.某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)，單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)眾數(shù)；（2）求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)．（3）延伸探究：若本例的條件不變，求數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．（4）若本例條件不變，求80分以下的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）75分（2）73.3分（3）72分（4）56【解析】【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)中位數(shù)的知識(shí)求得正確答案.（3）根據(jù)平均數(shù)的知識(shí)求得正確答案.（4）根據(jù)頻率分布直方圖來求得正確答案.【小問1詳解】由題圖知，眾數(shù)為分.【小問2詳解】設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為0.4，第四個(gè)矩形面積為0.3，，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，則，解得分．故這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)約為分．【小問3詳解】數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為分.【小問4詳解】因?yàn)榉值念l率為，所以分以下的學(xué)生人數(shù)為．17.在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，結(jié)合面面垂直可得平面，利用面面垂直的判定定理即可證明；（2）先求解點(diǎn)到平面的距離，再求解的面積，利用錐體的體積公式即可求解.【小問1詳解】解：∵，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵，∴，∵平面平面，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng).∵，，∴，∴，從而，∵四邊形為平行四邊形，，∴，，∴，∴.18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．【答案】（1）證明見解析；（2）直角三角形.【解析】【分析】（1）利用正弦定理計(jì)算即可；（2）利用正弦定理及（1）結(jié)論證明即可.小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，整理可得，，又，于是，即，因?yàn)?，所以，所以或（舍去），所以；【小?詳解】根據(jù)等面積法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.（1）求證：平面；（2）求二面角正弦值；（3）在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析（2）.（3）.【解析】【分析】（1）由已知四邊形為矩形，證明，由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面