天津市和平區(qū)雙菱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)4月階段檢測(cè)試題含解析

PAGE16-天津市和平區(qū)雙菱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)4月階段檢測(cè)試題（含解析）一、選擇題（每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程得到切線方程．詳解：∵，∴，∴，又，∴所求切線方程為，即．故選C．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時(shí)要留意“曲線在點(diǎn)P處的切線”和“曲線過(guò)點(diǎn)P的切線”兩種說(shuō)法的區(qū)分．對(duì)于第一種說(shuō)法可干脆利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，其次種說(shuō)法則要轉(zhuǎn)化為第一種說(shuō)法求解．2.函數(shù)在上的最大值為（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，其中解答中利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．3.若函數(shù)在x＝2處有極大值，則常數(shù)c為（）A.2 B.6 【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則，求出c值．然后再代回去檢驗(yàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負(fù)數(shù)．因?yàn)闈M意這個(gè)條件才能說(shuō)在處取得極大值．【詳解】∵函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)為，由題意知，在x＝2處的導(dǎo)數(shù)值為，∴c＝6，或c＝2，又函數(shù)在x＝2處有極大值，故導(dǎo)數(shù)值在x＝2處左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負(fù)數(shù).當(dāng)c＝2時(shí)，，不滿意導(dǎo)數(shù)值在x＝2處左側(cè)正數(shù)，右側(cè)為負(fù)數(shù).當(dāng)c＝6時(shí)，，滿意導(dǎo)數(shù)值在x＝2處左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負(fù)數(shù).故c＝6.故選B.【點(diǎn)睛】函數(shù)在處取得極值的充要條件是：1）2)導(dǎo)函數(shù)在處兩端異號(hào)．所以此類題先求，再推斷導(dǎo)函數(shù)在處是否異號(hào)即可．4.已知，則等于()A.-4 B.-2 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，將1代入，求出f′（1）的值，化簡(jiǎn)f′（x），最終將x＝3代入即可．【詳解】因?yàn)閒′（x）＝2x+2f′（1令x＝1，可得f′（1）＝2+2f′（1∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x+2f′（1）＝2x﹣4當(dāng)x＝3，f′（3）＝2．故選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求出f′（1）是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．5.平面的一個(gè)法向量為，則軸與平面所成的角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取軸上的單位向量，則軸與平面所成的角的大小，由公式可求解.【詳解】解：設(shè)軸與平面所成的角的大小為，在軸上的單位向量，平面的一個(gè)法向量為，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用向量方法求線面的夾角，屬于基礎(chǔ)題.6.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E為BB′的中點(diǎn)，異面直線CE與所成角的余弦值是（）A. B. C.- D.【答案】D【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)．以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，設(shè)異面直線與所成角為，則．異面直線與所成角的余弦值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)在處有極值10，則值為（）A.， B.，或，C.， D.以上都不正確【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件函數(shù)在處有極值10，則有且，解出的值，然后再代入檢驗(yàn)是否滿意條件，得出答案【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值10，所以且．即，解得或．當(dāng)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以此時(shí)函數(shù)沒有極值，所以不滿意條件．所以經(jīng)檢驗(yàn)值當(dāng)，時(shí)，滿意條件．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)取極值的狀況，求參數(shù)的值，留意要檢驗(yàn)，屬于中檔題.8.已知函數(shù)在R上為增函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】函數(shù)在R上為增函數(shù),等價(jià)于對(duì)恒成立，然后分別變量，得，求出的最小值，就能確定m的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上為增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，又因?yàn)?，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，分別變量是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）9.已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_____．【答案】，【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令可得到答案.【詳解】解：令，解得：或．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故答案為：，，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的減區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為_____．【答案】4【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，則，則可以得到答案.【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，故，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，可取，故，又直線與平面所成角的正弦值為，，解得．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)線面角，利用向量法求柱體的高，屬于中檔題.11.如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖像，現(xiàn)有四種說(shuō)法：①在上是增函數(shù)；②是微小值點(diǎn)；③在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；④是的微小值點(diǎn)；以上正確的序號(hào)為________．【答案】②【解析】【詳解】試題分析：由的圖像可知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的微小值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤，②正確；從圖中可以看到在有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，是函數(shù)有極大值點(diǎn)，故③錯(cuò)誤，④錯(cuò)誤；綜上可知，②正確.考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù).12.已知函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)隨意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意即等價(jià)于，求出，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出最小值，從而得出答案.【詳解】解：對(duì)隨意的，存在，使得，等價(jià)于，令，解得，且當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，則，解得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查兩函數(shù)構(gòu)成的不等式中的隨意和存在性問題求參數(shù)，屬于中檔題.13.正三棱錐P﹣ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為45°，則二面角P﹣AB﹣C的正切值是_____，點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離是_____．【答案】(1).2(2).【解析】【分析】作底面，交面于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則點(diǎn)在上，是二面角的平面角，依據(jù)棱錐的高、結(jié)合側(cè)棱與底面成的角，可得；求得，利用，可得點(diǎn)到面的距離．【詳解】作底面，交面于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)并于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則點(diǎn)在上，是二面角的平面角，∵正三棱錐的高為2，側(cè)棱與底面所成的角為，，，∴二面角的正切值，又，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，，，，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，，解得，∴點(diǎn)到面的距離為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查二面角的正切值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查線面角的定義、棱錐的體積公式，考查空間想象實(shí)力，是中檔題．求二面角的大小既能考查線線垂直關(guān)系，又能考查線面垂直關(guān)系，同時(shí)可以考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，是高考命題的熱點(diǎn)，求二面角的方法通常有兩個(gè)思路：一是利用空間向量，建立坐標(biāo)系，這種方法優(yōu)點(diǎn)是思路清楚、方法明確，但是計(jì)算量較大；二是傳統(tǒng)方法，求出二面角平面角的大小，這種解法的關(guān)鍵是找到平面角.14.已知函數(shù)在上的最大值為3，則實(shí)數(shù)_______．【答案】【解析】【分析】由，分和探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的最值，得出答案.【詳解】解：，令，，①當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，，即（舍去），②當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)，，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即，即，令，，在上單調(diào)遞減，且.解得.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得出函數(shù)的最值，求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.三、解答題（本題共2小題，共30分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）見解析；（3）（﹣1，0）【解析】分析】（1）求出函數(shù)在區(qū)間上的極值和端點(diǎn)值，比較后可得最值；（2）依據(jù)的不同取值進(jìn)行分類探討，得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的最小值為，故問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)恒成立，整理得到關(guān)于的不等式，解不等式可得所求范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴．∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，也為最小值，且最小值為．又，，∴．所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為．（2）由題意得，．①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增．③當(dāng)時(shí)，，由得，或（舍去），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．（3）由（2）可得，當(dāng)時(shí)，，若不等式恒成立，則只需，即，整理得，解得，∴，又，∴．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】（1）涉及含參數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的問題，肯定要弄清參數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)是否有影響．若有影響，則必需分類探討．（2）解決關(guān)于恒成立問題時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題處理．對(duì)于含有多個(gè)變量的恒成立問題，則可實(shí)行逐步消去變量的方法求解，此時(shí)須要分清誰(shuí)是主變量誰(shuí)是次變量，一般狀況下，知道誰(shuí)的范圍誰(shuí)就是主變量，求誰(shuí)的范圍誰(shuí)就是參數(shù)．16.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，，．是棱的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為若存在，懇求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)答案見解析.【解析】【分析】（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量即可證明平面；（2）分別求出平面與平面的法向量，利用法向量的夾角即可得出；（3）假設(shè)存在，利用線面角的夾角公式即可得出表達(dá)式，解方程即可?！驹斀狻拷猓海?）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．則，，．設(shè)平面的法向量是，則，即令，則，．