廣東省深圳市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-廣東省深圳市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題:本大題共10小題。1.若集合，，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過集合B中，用列舉法表示出集合B，再利用交集的定義求出．【詳解】由題意，集合，所以故答案為：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及集合的運(yùn)算，其中熟記集合的表示方法，以及精確利用集合的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．2.連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，出現(xiàn)正面對(duì)上與反面對(duì)上各一次的概率是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列舉法求得基本領(lǐng)件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解．【詳解】由題意，連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，基本領(lǐng)件包含：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中狀況，出現(xiàn)正面對(duì)上與反面對(duì)上各一次，包含基本領(lǐng)件：（正面，反面），（反面，正面），共2種，所以的概率為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算問題，其中解答中嫻熟利用列舉法求得基本領(lǐng)件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一推斷各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故解除A；由于函數(shù)是偶函數(shù)，但它在區(qū)間上單調(diào)遞增，故解除B；由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故解除C；由于函數(shù)是偶函數(shù)，且滿意在區(qū)間上單調(diào)遞減，故滿意條件．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，以及基本初等函數(shù)的奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．4.如圖，扇形的圓心角為，半徑為1，則該扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將整個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個(gè)半球，利用球面的表面積公式及圓的表面積公式即可求得．【詳解】由已知可得：以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將整個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個(gè)半球，其中半球半徑為1，故半球的表面積為：故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的概念，以及球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記旋轉(zhuǎn)體的定義，以及球的表面積公式，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確是（

）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱D.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得到的圖象【答案】D【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)A、B、C三個(gè)選項(xiàng)逐一推斷，再利用平移“左加右減”及誘導(dǎo)公式得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】由題意，函數(shù)其最小正周期為，故選項(xiàng)A正確；函數(shù)在上為減函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得，所以選項(xiàng)D不正確．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知直線是平面的斜線，則內(nèi)不存在與（

）A.相交的直線 B.平行的直線C.異面的直線 D.垂直的直線【答案】B【解析】【分析】依據(jù)平面的斜線的定義，即可作出判定，得到答案．【詳解】由題意，直線是平面的斜線，由斜線的定義可知與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線，所以在平面內(nèi)確定不存在與直線平行的直線．故答案為：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記平面斜線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．7.若，且，則“”是“函數(shù)有零點(diǎn)”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷，即可得出答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與有交點(diǎn)，故函數(shù)有零點(diǎn)；當(dāng)有零點(diǎn)時(shí)，不確定取，只要滿意都符合題意．所以“”是“函數(shù)有零點(diǎn)”的充分不必要條件．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)零點(diǎn)的定義，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．8.如圖，中，分別是邊中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的加減法的法則，利用是的重心，進(jìn)而得出，再利用向量的加減法的法則，即可得出答案．【詳解】由題意，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，所以是的重心，則，又因?yàn)?，所以故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，以及三角形重心的性質(zhì)，其中解答中熟記三角形重心的性質(zhì)，以及向量的線性運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．9.英國數(shù)學(xué)家布魯克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：。試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.01）A.0.99 B.0.98 C.0.97

D.0.96【答案】B【解析】【分析】利用題設(shè)中給出的公式進(jìn)行化簡，即可估算，得到答案．【詳解】由題設(shè)中的余弦公式得，故答案為：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了新信息試題的應(yīng)用，其中解答中理解題意，利用題設(shè)中的公式，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿意，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意可知方程有解即可，代入解析式化簡后，利用基本不等式得出，再利用分類探討思想即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意知，方程有解，則，化簡得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，化簡得，解得；當(dāng)時(shí)，化簡得，解得，綜上所述的取值范圍為．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中利用題設(shè)條件化簡，合理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題．二、填空題。11.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為______。【答案】5【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，然后代入復(fù)數(shù)模的公式，即可求得答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為．故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，其中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，和復(fù)數(shù)模的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知，則________．【答案】【解析】【分析】利用向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的坐標(biāo)表示，精確運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，向量，則，，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．13.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊競賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.7，現(xiàn)兩人各自獨(dú)立射擊一次，均中靶的概率為______．【答案】0.56【解析】【分析】依據(jù)在一次射擊中，甲、乙同時(shí)射中目標(biāo)是相互獨(dú)立的，利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式，即可求解．【詳解】由題意，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.7，所以兩人均中靶的概率為，故答案為：0.56【點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式的應(yīng)用，其中解答中合理利用相互獨(dú)立的概率乘法公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．14.某學(xué)校高一年級(jí)實(shí)行選課培訓(xùn)活動(dòng)，共有1024名學(xué)生、家長、老師參與，其中家長256人．學(xué)校按學(xué)生、家長、老師分層抽樣，從中抽取64人，進(jìn)行某問卷調(diào)查，則抽到的家長有___人【答案】16【解析】【分析】利用分層抽樣性質(zhì)，干脆計(jì)算，即可求得，得到答案．【詳解】由題意，可知共有1024名學(xué)生、家長、老師參與，其中家長256人，通過分層抽樣從中抽取64人，進(jìn)行某問卷調(diào)查，則抽到的家長人數(shù)為人．故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念和性質(zhì)，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．15.函數(shù)的部分圖象如圖，其中，，．則____；_____．【答案】(1).2(2).【解析】【分析】由圖求得，再由求出，利用圖象過點(diǎn)，求出，進(jìn)而求出，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，依據(jù)三角函數(shù)的部分圖象，可得即，因?yàn)?，所以，又由圖可知，依據(jù)，解得，因?yàn)?，所以，所以．故答案為?；【點(diǎn)睛】本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．16.棱長均為1m的正三棱柱透亮封閉容器盛有水，當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，液面高為（如圖1）；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)容器至截面水平放置時(shí)，盛水恰好充溢三棱錐（如圖2），則___；_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用體積相等得出，進(jìn)而算出，進(jìn)而得出，通過面積比值，進(jìn)而求出的值，得到答案．【詳解】由題意，正三棱柱的棱長均為，所以，由題意可得，又由得，∴，∴∵，∴，∴在等邊中，邊上的高為因?yàn)椋喙蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理利用椎體的體積公式和三棱錐的結(jié)構(gòu)特征求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能，以及推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題．三、解答題．17.已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）通過正弦定理得，進(jìn)而求出，再依據(jù)，進(jìn)而求得的大??；（2）由正弦定理中的三角形面積公式求出，再依據(jù)余弦定理，求得，進(jìn)而求得的周長．【詳解】（1）由題意知，由正弦定理得，又由，則，所以，又因?yàn)椋瑒t，所以．（2）由三角形的面積公式，可得，解得，又因?yàn)?，解得，即，所以，所以的周長為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為單位圓上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)沿單位圓按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后到點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的定義得出，通過當(dāng)時(shí)，，，進(jìn)而求出的值；（2）利用三角恒等變換的公式化簡得，得出，進(jìn)而得到的取值范圍．【詳解】（1）由三角函數(shù)的定義，可得當(dāng)時(shí)，，即，所以．（2）因?yàn)椋?，由三角恒等變換的公式，化簡可得：，因?yàn)?，所以，即的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨意角的三角函數(shù)的定義，兩角和與差的正、余弦函數(shù)的公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義與性質(zhì)，以及兩角和與差的三角函數(shù)的運(yùn)算公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．19.某科研課題組通過一款手機(jī)APP軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表周跑量（km/周）人數(shù)100120130180220150603010（1）在答題卡上補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖:注:請(qǐng)先用鉛筆畫，確定后再用黑色水筆描黑（2）依據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本的平均數(shù)為，試求樣本的中位數(shù)（保留一位小數(shù)），并用平均數(shù)、中位數(shù)等數(shù)字特征估計(jì)該市跑步愛好者周跑量的分布特點(diǎn)（3）依據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購買的裝備的價(jià)格不一樣，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里類別休閑跑者核心跑者精英跑者裝備價(jià)格（單位：元）250040004500依據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每位跑步愛好者購買裝備，平均須要花費(fèi)多少元?【答案】(1)見解析；(2)中位數(shù)為29.2，分布特點(diǎn)見解析；(3)3720元【解析】【分析】（1）依據(jù)頻數(shù)和頻率之間的關(guān)系計(jì)算，即可得到答案；（2）依據(jù)頻率分布直方圖利用中位數(shù)兩邊頻率相等，列方程求出中位數(shù)的值，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）依據(jù)頻率分布直方圖求出休閑跑者，核心跑者，精英跑者分別人數(shù)，進(jìn)而求出平均值．【詳解】（1）補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖，如下：（2）中位數(shù)的估計(jì)值：由，所以中位數(shù)位于區(qū)間中，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，因?yàn)?，所以估?jì)該市跑步愛好者多數(shù)人的周跑量多于樣本的平均數(shù)．（3）依題意可知，休閑跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人，所以該市每位跑步愛好者購買裝備，平均須要元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)的求法，以及頻率分布直方圖的性質(zhì)等相應(yīng)學(xué)問的綜合應(yīng)用，著重考查了化簡實(shí)力，推理計(jì)算實(shí)力，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20.如圖長方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證:平面平面；（2）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡圖形中畫出直線與平面的交點(diǎn)（保留必要的協(xié)助線），寫出畫法并計(jì)算的值（不必寫出計(jì)算過程）．【答案】(1)見證明；(2)；畫圖見解析【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出平面，得出，得出，從而得到，進(jìn)而證出平面，由此證得平面平面．（2）依據(jù)通過協(xié)助線推出線面平行再推出線線平行，再依據(jù)“一條和平面不平行的直線與平面的公共點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)”得到點(diǎn)位置，然后計(jì)算的值．【詳解】（1）證明：在長方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以平面，則，在中，，在中，，所以，因?yàn)樵谥?，，所以，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）如圖所示：設(shè)，連接，取中點(diǎn)記為，過作，且，則.證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且；又因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則；又因?yàn)?，所以，且平面，所以平面；又因?yàn)?，則，平面，即點(diǎn)為直線與平面的交點(diǎn)；因?yàn)椋?，則；且有上述證明可知：四邊形為平行四邊形，所以，所以，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，嫻熟駕馭空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．21.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2