專題08反比例函數(shù)綜合題-

專題08反比例函數(shù)綜合題考向1反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合【母題來源】2021年中考攀枝花卷【母題題文】（2021?攀枝花）在直角坐標(biāo)系中，直線yx與反比例函數(shù)y的圖象在第一、三象限分別交于A、B兩點(diǎn)，已知B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是﹣2．（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）將直線yx沿y軸向上平移5個(gè)單位后得到直線l，l與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．（?。㏒△ABC＝S△ABD；（請(qǐng)用“＜”或“＝”或“＞”填空）（ⅱ）求△ABC的面積．【試題解析】（1）∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是﹣2，∴﹣2x，即x＝﹣6，B（﹣6，﹣2），把B的坐標(biāo)代入y，即k＝12，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y，當(dāng)x時(shí)，x＝6或﹣6（舍），∴A（6，2）；（2）（?。㏒△ABC＝S△ABD；∵直線l是直線yx向上平移得到的，∴兩條直線互相平行，∵平行線間的距離處處相等，∴S△ABC＝S△ABD；故答案為：＝；（ⅱ）由題意得，OD＝5，∴S△ABD＝S△BOD+S△AOD5×（6+6）＝30，∴S△ABC＝S△ABD＝30．【命題意圖】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；模型思想。【命題方向】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵?！镜梅忠c(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合的考查方式與解題方法:(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式:通常先將已知交點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式,求得反比例函數(shù)的解析式,再求另一交點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.(2)確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)情況或求交點(diǎn)坐標(biāo):通常聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式,得關(guān)于自變量的一元二次方程,根據(jù)判別式確定交點(diǎn)情況;聯(lián)立得到的方程組的解即為交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).(3)求圖形面積:把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為圖形的邊長(zhǎng),對(duì)于不好直接求的圖形面積,將其分割為幾個(gè)較好求的圖形面積.考向2反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合【母題來源】2021年中考湖北卷【母題題文】如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，m），直線CD：y1＝ax+b與雙曲線：y2交于C，P（﹣4，﹣1）兩點(diǎn)．（1）求雙曲線y2的函數(shù)關(guān)系式及m的值；（2）判斷點(diǎn)B是否在雙曲線上，并說明理由；（3）當(dāng)y1＞y2時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．【試題解析】（1）連接AC，BD相交于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是菱形，∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，∵A（2，0），C（2，m），∴E（2，m），AC∥y軸，∴BD⊥y軸，∴點(diǎn)D（0，m），B（4，m），∵點(diǎn)C（2，m），D（0，m），P（﹣4，﹣1）在直線CD上，∴，∴，∴點(diǎn)C（2，2），∵點(diǎn)C在雙曲線y2上，∴k＝2×2＝4，∴雙曲線的函數(shù)關(guān)系式為y2；（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，A（2，0），C（2，2）∴m＝2，B（4，m），∴B（4，1），由（1）知雙曲線的解析式為y2；∵4×1＝4，∴點(diǎn)B在雙曲線上；（3）由（1）知C（2，2），由圖象知，當(dāng)y1＞y2時(shí)的x值的范圍為﹣4＜x＜0或x＞2．【命題意圖】綜合題；推理能力【命題方向】反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)，用m表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．【得分要點(diǎn)】反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的考查方式與解題方法:(1)求反比例函數(shù)的解析式:通常用待定系數(shù)法求解;(2)求點(diǎn)的坐標(biāo):觀察圖形,結(jié)合已知條件進(jìn)行求解;(3)求圖形面積:把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為圖形的邊長(zhǎng),對(duì)于不好直接求的圖形面積,將其分割為幾個(gè)較好求圖形面積的和或差.1．（2021?涼州區(qū)校級(jí)二模）如圖，一次函數(shù)的圖象y＝kx+b與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)A（4，3），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且OA＝OB．（1）求一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）請(qǐng)直接寫出不等式的解集．解：（1）∵點(diǎn)A（4，3）在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝4×3＝12，∴反比例函數(shù)解析式為；∵，OA＝OB，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，∴點(diǎn)B（0，﹣5）．把點(diǎn)A（4，3）、B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，得，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為y＝2x﹣5；（2）令y＝2x﹣5中y＝0，則x，∴D（，0），由圖象可知，不等式的解集為x＜4．2．（2021?柳江區(qū)模擬）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b圖象與反比例函數(shù)（x＜0）圖象相交于A（﹣4，），B（﹣1，m）兩點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D．（1）求一次函數(shù)的解析式和m的值；（2）點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB的面積相等，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．解：（1）∵反比例函數(shù)（x＜0）圖象過點(diǎn)B（﹣1，m），∴m2，∴B（﹣1，2），把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為yx；（2）連接PC、PD，如圖，設(shè)P（x，x），∵△PCA和△PDB面積相等，∴（x+4）|﹣1|×（2），解得x，當(dāng)x時(shí)，yx，∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．3．（2021?游仙區(qū)模擬）菱形ABCD的邊AD在x軸上，C點(diǎn)在y軸上，B點(diǎn)在第一象限．對(duì)角線BD、AC相交于H，AC＝2，BD＝4，雙曲線y過點(diǎn)H，交AB邊于點(diǎn)E，直線AB的解析式為y＝mx+n．（1）求雙曲線的解析式及直線AB的解析式；（2）求雙曲線y與直線AB：y＝mx+n的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．并根據(jù)圖象直接寫出不等式mx+n的解集．解：過點(diǎn)H作HG⊥OA于G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AH＝CH，BH＝DH＝2，在Rt△ADH中，由勾股定理得，AD5＝CD＝CB＝AB，由三角形的面積公式得，DH?AH＝AD?HG，即25×HG，∴HG＝2，∴OC＝2HG＝4，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD3，∴OA＝5﹣3＝2，∵HG∥OC，F(xiàn)H＝HC，∴OG＝AGOA＝1，∴H（1，2），∴k＝1×2＝2，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y，∴A（2，0），B（5，4），則有，∴，∴直線AB的解析式為yx，答：雙曲線的解析式為y，直線AB的解析式為yx；（2）雙曲線y與直線yx交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程x的解，解方程x得，x1，x2，由圖象可得不等式mx+n的解集為x或0＜x．4．（2021?西昌市模擬）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，2），與x軸交于點(diǎn)E（，0），與反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象交于點(diǎn)D．以BD為對(duì)角線作矩形ABCD，使頂點(diǎn)A、C落在x軸上（點(diǎn)A在點(diǎn)C的右邊）．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)以及反比例函數(shù)的解析式．解：（1）∵一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，2），與x軸交于點(diǎn)E（，0），∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為yx+2；（2）作DF⊥x軸于F，∵B（0，2），E點(diǎn)坐標(biāo)（，0），∴OB＝2，OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴BE＝ED，∵DF⊥x軸，BO⊥x軸，∴∠DFE＝∠BOE＝90°，∵∠DEF＝∠BEO，∴△DEF≌△BEO（AAS），∴OB＝DF＝2，EF＝OE，∴OF＝OE+EF＝3，∴D（﹣3，﹣2），∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y的圖象上，∴k＝6，∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)，設(shè)OC＝AF＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，又∵DF⊥AC，∴△DCF∽△ADF，∴，即DF2＝CF?AF，∴22＝（x﹣3）?x，解得x＝4或﹣1（舍去），∴OC＝4，∴C（﹣4，0）．5．（2021?香洲區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將Rt△AOB如圖放置，O為原點(diǎn)，OA在x軸負(fù)半軸上，OB＝2，OA＝2，把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△COD，使點(diǎn)B在線段CD上，反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．（1）求k的值；（2）過點(diǎn)C平行于AB的直線與反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M坐標(biāo)．解：（1）過點(diǎn)C作CE垂直x軸，垂足為點(diǎn)E，∵∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝2，∴tan∠BAO，∴∠BAO＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，由旋轉(zhuǎn)可知，OB＝OD，∠D＝∠ABO＝60°，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝∠AOC＝60°，在Rt△COE中，∵OC＝OA＝2，∴CE＝CO?sin∠AOC＝23，OE＝CO?cos∠AOC＝2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（，3），∴k3＝﹣3；（2）設(shè)直線AB解析式為y＝mx+n（m≠0），把點(diǎn)（0，2），（﹣2，0）代入得：，解得：，∴直線AB解析式為yx+2，設(shè)過點(diǎn)C且平行于AB的直線CM的解析式為yx+m，將點(diǎn)C（，）代入得：m＝4，∴直線CM解析式為yx+4，聯(lián)立方程組，解得：x1＝﹣3，x2（舍去），當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y1，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，1）．6．（2021?中山市二模）如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）的直線l與雙曲線y（x＞0）交于點(diǎn)B（2，1），直線y＝2分別交曲線y（x＞0）和y（x＜0）于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P（p，p﹣1）（p＞1）在直線y＝2上．連接BM，AN．（1）求m的值及直線l的解析式；（2）求證：BM∥AN．（1）解：把B點(diǎn)的坐標(biāo)（2，1）代入y，得m＝2×1＝2，設(shè)直線l的解析式是y＝kx+b（k≠0），把A、B的坐標(biāo)代入y＝kx+b，得，解得：k＝1，b＝﹣1，即直線l的解析式是y＝x﹣1；（2）證明：∵P（p，p﹣1）在直線y＝2上，∴p﹣1＝2，解得：p＝3，即P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，2），把y＝2代入y，得x＝1，即M點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2），把y＝2代入y，得x＝﹣1，即N的坐標(biāo)是（﹣1，2），∴PM＝3﹣1＝2，PN＝3﹣（﹣1）＝4，∵P（3，2），A（1，0），B（2，1），∴PB，PA2，∴，∵∠MPB＝∠NPA，∴△MPB∽△NPA，∴∠PMB＝∠PNA，∴BM∥AN．7．（2021?平泉市一模）如圖，直線OC：y＝k1x與雙曲線y（x＞0）交于點(diǎn)C（6，），且橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P也在雙曲線y（x＞0）上，直線l經(jīng)過點(diǎn)P，C．（1）k1＝，k2＝3；（2）求直線l的解析式；（3）設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)A，將直線OC沿射線CP方向平移至點(diǎn)A為止，直接寫出直線OC在平移過程中與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（4）直接寫出直線l與雙曲線y（x＞0）圍成的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影部分，不含邊界）整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)）的坐標(biāo)．解：（1）將C（6，）代入y＝k1x與y得：6k1，，解得：k1，k2＝3，故答案為：，3；（2）由（1）可得雙曲線y，將x＝1代入y得y＝3，∴P（1，3），設(shè)直線l解析式為y＝mx+n，則，解得，∴直線l解析式為yx；（3）在yx中，令x＝0得y，∴A（0，），∴直線OC沿射線CP方向平移，平移后的直線過點(diǎn)A時(shí)，直線解析式為：yx，在yx中，令y＝0得x＝﹣42，∴直線OC在平移過程中與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是﹣42≤x≤0；（4）如圖：由圖可得：直線l與雙曲線y（x＞0）圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）整點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，2）、（4，1）．8．（2021?贛州模擬）如圖，將一張Rt△ABC紙板的直角頂點(diǎn)放在C（2，1）處，兩直角邊BC，AC分別與x，y軸平行（BC＞AC），紙板的另兩個(gè)定點(diǎn)A，B恰好是直線y1＝kx+5與雙曲線y2（m＞0）的交點(diǎn)．（1）求m和k的值；（2）將此Rt△ABC紙板向下平移，當(dāng)雙曲線y2（m＞0）與Rt△ABC紙板的斜邊所在直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求Rt△ABC紙板向下平移的距離．解：（1）由C（2，1），兩直角邊BC，AC分別與x，y軸平行，可知：A（2，m），B（m，1），∴，解得：k，k＝﹣2（因?yàn)锽C＞AC，舍去），∴m＝8；（2）設(shè)平移后斜邊所在直線為：，∴，整理得x2﹣2bx+16＝0，∵平移后斜邊所在直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴△＝4b2﹣64＝0，∴b＝4，b＝﹣4（不合題意，舍去），∴；∴當(dāng)x＝0時(shí)，y1＝5，y2＝4，∴直角三角形紙板向下平移的距離：5﹣4＝1．9．（2021?深圳模擬）如圖1，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)相交于A（1，6），B（3，a）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖2，將線段AB向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（t＞0），得到對(duì)應(yīng)線段MN．連接AM、BN．在線段AB運(yùn)動(dòng)過程中，若B點(diǎn)在MN的中垂線上，求t的值．解：（1）∵A（1，6）在反比例函數(shù)的圖象上，∴6，即m＝6，∴反比例函數(shù)為y，∵B（3，a）在反比例函數(shù)y的圖象上，∴a2，∴B（3，2），將A（1，6），B（3，2）代入一次函數(shù)y＝kx+b得：，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣2x+8；（2）線段AB向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（t＞0），得到對(duì)應(yīng)線段MN，則M（1+t，6），N（3+t，2），∵B點(diǎn)在MN的中垂線上，∴BM＝BN，∴（1+t﹣3）2+（6﹣2）2＝（3+t﹣3）2+（2﹣2）2，∴t＝5．10．（2021?河源模擬）如圖，將邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD放置于直角坐標(biāo)系內(nèi)，頂點(diǎn)B，C在x軸上，反比例函數(shù)（x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，a），并與線段AB交于點(diǎn)E（b，），反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，AD交y軸于點(diǎn)G．點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，分別交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)M，N，（1）b＝，a＝，k＝．（2）當(dāng)CM＝CN時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，直線AD上是否存在點(diǎn)Q，使以A，E，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）反比例函數(shù)（x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，a），點(diǎn)E（b，），∴a4，，∴a＝4，b＝﹣3，∴A（﹣1，4），∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，∴AD＝5，AD∥BC，∴D（xD，4），∴xD＝4，∴D（4，4），∴k＝4×4＝16，故答案為：﹣3；4；16．（2）過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，由（1）得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），且CD＝5，∴DF＝4，由勾股定理得CF＝3，∴C（1，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），∵M(jìn)N∥x軸，∴M（），N（），∴1，解得：m＝6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6），（3）存在，理由如下：∵使以A，E，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴AE∥NQ，AE＝NQ，過N作NS⊥AD于S，過A作AR⊥ER，則△AER≌△NQS（AAS），∴AR＝NS，∵N（），∴|m﹣4|＝4，∴m或m，∴N（）或（12，）．綜上N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（）或（12，）．11．（2021?臨沂一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y的圖象交于點(diǎn)A（1，m）和B（﹣2，﹣1），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C．（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式．（2）直接寫出關(guān)于x的不等式ax+b的解．（3）過點(diǎn)B作y軸的垂線與直線AC交于點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與直線BD交于點(diǎn)E，且30°≤∠CED≤45°，直接寫出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍．解：（1）∵點(diǎn)B（﹣2，﹣1）在反比例函數(shù)y的圖象上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y；當(dāng)x＝1時(shí)，m2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．將A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x+1．（2）觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x＜﹣2或0＜x＜1時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，∴不等式的解為x≤﹣2或0＜x≤1．（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)A，C關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，﹣2）．∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），BD⊥AC，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣1），∴CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1．在Rt△CDE中，CD＝1，∠CDE＝90°，30°≤∠CED≤60°，∴cos∠CED，∴DE，∴1t≤1或1t≤1．12．（2021?亭湖區(qū)校級(jí)一模）材料：帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法，具體如下：①建