專題07 銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用

專題07銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用考向1仰、俯角問題【母題來源】2021年中考郴州卷【母題題文】如圖，莽山五指峰景區(qū)新建了一座垂直觀光電梯．某測繪興趣小組為測算電梯AC的高度，測得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B處測得電梯頂端C的仰角α＝45°，求觀光電梯AC的高度．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，【試題解析】過B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如圖所示：則四邊形AMBN是矩形，∴AN＝BM，BN＝MA，∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2=BM∴設(shè)BM＝x米，則AM＝2x米，∴AB=BM2+A∴AN＝BM＝215（米），BN＝AM＝425（米），在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，∴△BCN是等腰直角三角形，∴CN＝BN＝425（米），∴AC＝AN+CN＝215+425=63答：觀光電梯AC的高度約為141.1米．【命題意圖】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【命題方向】考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題、坡度坡角問題，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，一般安排在解答題的中檔位置．【得分要點】解決銳角三角函數(shù)實際應(yīng)用題的一般步驟:(1)審題:弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度等概念,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;(2)構(gòu)造直角三角形:有時需要通過作輔助線,或分割成直角三角形和矩形;(3)解直角三角形:根據(jù)已知條件,選用合適的銳角三角函數(shù)解直角三角形;(4)檢驗:檢驗得到符合實際要求的解,并按題目要求的精確度確定答案.考向2坡角、坡度問題【母題來源】2021年中考巴中卷【母題題文】學校運動場的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈（1）求燈桿AB的高度；（2）求CD的長度．【試題解析】（1）延長BA交CG于點E，則BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，∴AE=12AC=12×在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BE＝CE?tan∠BCE＝63×∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，∴CD＝DE﹣CE=BEtan∠【命題意圖】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【命題方向】考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵，一般安排在中檔題位置．【得分要點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．考向3方向角問題【母題來源】2021年中考遂寧卷【母題題文】小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進行數(shù)學實踐活動，在A處看到B、C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在A處測得B在北偏西45°方向，C在北偏東30°方向，他從A處走了20米到達B處，又在B處測得C在北偏東60°方向．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求兩棵銀杏樹B、C之間的距離（結(jié)果保留根號）．【試題解析】（1）設(shè)AD與BC交于點F，由題意得BE∥AD，∵BE∥AD且∠EBF＝60°，∴∠BFA＝∠EBF＝60°，∵∠BFA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，∴∠C＝∠BFA﹣∠CAD＝30°；（2）過點B作BG⊥AD于G．∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，AG＝BG＝20×sin45°=102在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，∴BF=BGsin60∵∠C＝∠CAD＝30°，∴CF＝AF＝AG+FG＝（102+∴BC＝BF+CF＝（102+106答：兩棵銀杏樹B、C之間的距離為（102+106【命題意圖】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識．【命題方向】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建含特殊角的直角三角形，一般安排在中檔題位置．【得分要點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．1．（2021?封丘縣二模）2021年3月1日，我國第一部流域保護法﹣﹣《中華人民共和國長江保護法》正式實施．作為我國經(jīng)濟發(fā)展的重要引擎，長期以來，生態(tài)保護為發(fā)展讓路一直是長江流域生態(tài)環(huán)境保護工作的痛點，長江保護法最大的特點就是“生態(tài)優(yōu)先、綠色發(fā)展”的國家戰(zhàn)略被寫入法律．已知漁政執(zhí)法船某一時刻在長江流域巡航時，從A出發(fā)以30千米/時的速度向正南方向行駛，在A處觀測到碼頭C位于船的南偏東37°，2小時候到達B處，這時觀察到碼頭C位于船的北偏東45°方向，若此時漁政執(zhí)法船返回碼頭C，需要多少時間？（結(jié)果精確到0.1，2≈1.41，sin37°≈35，cos37°≈解：過C作CD⊥AB于D，由題意得，AB＝30×2＝60（千米/時），∠A＝37°，∠B＝45°，設(shè)CD＝BD＝x，在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∠BDC＝90°，∴CD＝BD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝37°，∠ADC＝90°，∴AD=CD∵AD+BD＝AB，∴43解得：x≈25.7，∴BC=2BD＝25.7×∵37.1÷30≈1.2（小時），答：漁政執(zhí)法船返回碼頭C，需要1.2小時．2．（2021?金州區(qū)一模）如圖，測量船在點D處，測得小島最東端（A點處）的方向角為北偏西67.5°，最西端（B點處）的方向角為北偏西30°，已知此時船到直線AB的距離是2000米，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出小島東西長度AB的距離．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3解：由題意得，∠ADC＝67.5°，∠BDC＝30°，CD＝2000米，在Rt△ADC中，tan67.5°=AC則AC＝2000×tan67.5°≈4828米，在Rt△BDC中，tan30°=BC則BC≈1156米，∴AB＝AC﹣BC＝3667（米），答：小島東西長度AB的距離約為3667米．3．（2021?渦陽縣模擬）三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即：如圖①，在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，則有：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．利用這個結(jié)論可求解下列問題：例：在△ABC中，已知a＝23，b＝22，c=6+2解：∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，cosA=b∴∠A＝60°．【應(yīng)用新知】如圖②，某客輪在A處看港口D在客輪的北偏東50°，A處看燈塔B在客輪的北偏西30°，距離為23海里，客輪由A處向正北方向航行到C處時，再看港口D在客輪的南偏東80°，距離為6海里，求此時C處到燈塔B的距離．解：∵∠ADC＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴CA＝CD＝6，∴BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠BAC＝（23）2+62﹣2×23×6×∴BC＝23，答：C處到燈塔B的距離為23海里．4．（2021?全椒縣二模）海上測繪船沿正北方向航行，在A點觀察東北方向的島嶼的西端M在A點的北偏東36.9°方向航行4km后到達B點，測得該島嶼東端N在B點的北偏東67.4°方向，又航行6km后到達C點，測得該島嶼正好在C點的正東方向（即C，M，N在同一直線上）求該島嶼東西兩端M，N之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75，sin67.4°≈0.92，tan67.4°≈2.40）解：AC＝AB+BC＝4+6＝10（km），在Rt△ACM中，tan∠CAM=CM∴CM≈7.5（km），在Rt△BCN中，tan∠CBN=CN∴CN≈14.4（km），∴MN＝CN﹣CM≈14.4﹣7.5＝6.9（km）．答：該島嶼東西兩端M，N之間的距離約為6.9km．5．（2021?新野縣三模）許昌市旅游服務(wù)中心由廣場和“一門四闕”主題建筑組成，如圖1．廣場為迎賓廣場一門”為“許昌之門”，“四闕”為廣場四角的漢闕，是許昌的標志性建筑．某數(shù)學興趣小組在迎賓廣場測量旅游服務(wù)中心的高度，圖2為測量示意圖，MN為服務(wù)中心的對稱軸，在地面的AB處架設(shè)測角儀，測得旅游服務(wù)中心的最高點D的仰角45°，利用無人機在點B的正上方57.8米處的點C處測得點D的俯角為32°，測角儀的高度AB＝1.6米，F(xiàn)H＝17.2米，DE＝19.8米．（1）求旅游服務(wù)中心的高度為多少米？（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，2≈（2）興趣小組測量后到旅游服務(wù)中心參觀，發(fā)現(xiàn)講解員講解的高度為36.8m，請用物理知識解釋測量值與實際值出現(xiàn)差距的原因，如何避免或者減小差距？解：（1）作DG⊥AC于點G，由題意可得，∠1＝32°，∠2＝45°，∴∠CDG＝32°，∠ADG＝45°，∴∠ADG＝∠DAG＝45°，∴GD＝GA，設(shè)CG＝x米，則AG＝BC﹣BA﹣CG＝57.8﹣1.6﹣x＝（56.2﹣x）米，則GD＝（56.2﹣x）米，∵tan∠CGD=CG∴tan32°=x∴BG＝BC﹣GC≈57.8﹣21.6＝36.2（米），∴MN＝BG＝36.2米，答：旅游服務(wù)中心的高度約為36.2米；（2）造成誤差的主要原因有系統(tǒng)誤差和隨機誤差，比如誤讀、誤算、視差、刻度誤差等，避免或者減小差距可以通過多次測量，求平均值．6．（2021?梁園區(qū)二模）大漢雄風坐落于河南省永城市芒碭山主峰，是為紀念劉邦在芒碭山斬蛇起義創(chuàng)建四百年大漢王朝而建，某數(shù)學興趣小組想測量底座之上部分雕像AB的高度，如圖在和雕塑底座上端水平的山坡C處測得雕塑頂端B的仰角為58.5°，沿山坡上行10米到達點D，測得雕塑頂端B的仰角為45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（測傾器高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，2≈1.4，3≈1.7，解：過點D作DE⊥AC交AC于點E，DF⊥AB交AB于點F，∵i＝1：3，CD＝10，設(shè)DE＝xm，則CE＝3xm，在Rt△CED中，x2+（3x）2＝102，解得：x=10或x=∴DE=10m，則CE＝310∵∠BDF＝∠DBF＝45°，∴BF＝DF，設(shè)BF＝DF＝m米，則AB＝（m+10）米，AC＝（m﹣310在Rt△CAB中，tan58.5解得：m≈29.9，∴AB＝29.9+10答：塑像的高度約為33.1米．7．（2021?膠州市一模）2020年6月23日，北斗衛(wèi)星最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星發(fā)射成功．運載火箭從地面A處（忽略發(fā)射塔高度）豎直向上發(fā)射，當運載火箭到達點B處時，地面D處的雷達站測得B處仰角為37°，BD＝50km．10秒后，運載火箭直線上升到達點C處，此時地面E處一觀測點測得C處的仰角為56°，已知點A，D，E在同一條直線上，并且D，E兩處相距15km，求運載火箭從B處到C處時的平均速度（單位：km/s）．（參考數(shù)值：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin56°解：由題意得，BD＝50km，∠ADB＝37°，DE＝15km，∠AEC＝56°，在Rt△ABD中，∵BD＝50km，∠ADB＝37°，∴AB＝sin37°×BD≈35×∴AE＝AD﹣DE＝40﹣15＝25（km），在Rt△AEC中，∠AEC＝56°，∴AC＝tan56°×AE≈37∴BC＝AC﹣AB＝37﹣30≈7（km），∴火箭的速度為7÷10≈0.7（km/s），答：運載火箭從B處到C處時的平均速度約為0.7km/s．8．（2021?榆陽區(qū)模擬）如圖，已知雕塑底座AB為12.8米，小軍及其小組成員想利用所學知識測量塑像的高度BE，測量方法如下：在地面上的點C處測得塑像頂端E的仰角為60°，從點C走到點D，測得CD＝7.2米，從點D測得塑像底端B的仰角為45°，已知點A、B、E在同一條垂直于地面的直線上，點C、D、A在一條直線上．請你根據(jù)以上信息，求塑像的高度BE．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3解：由題意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝12.8米，∵CD＝7.2米，∴AC＝AD+CD＝12.8+7.2＝20（米），在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝20米，∴AE＝20?tan60°＝203（米），∵AB＝12.8米，∴BE＝AE﹣AB＝（203-∵3≈∴BE≈1.73×20﹣12.8＝21.8米．即塑像BE的高度為21.8米．8．（2021?漳浦縣模擬）某中學到天福石雕園開展研學實踐活動，在參觀了“民族英雄鄭成功”雕像后．小穎想測量“民族英雄鄭成功”雕像AB的高度，如圖，她在雕像前C處用測傾器測得頂端A的仰角為60°，底端B的俯角為45°；又在同一水平線上的D處用測傾器測得頂端A的仰角為30°，已知CD＝8m，求雕像AB的高度．（3≈解：設(shè)CE＝xm，∵∠ACE＝60°，∠ECB＝45°，∴AE＝x?tan60=3∵∠ADC＝30°，CD＝8m，∵∠ADE＝30°，∴ED=3∴3×解得x＝4（m），∴AB=3x+x＝43答：該雕像AB的高度約為10.8m．9．（2021?洛陽二模）張老師家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖①），完全開啟后，把手AM與水平線的夾角為37°，此時把手端點A、出水口點B和落水點C在同一直線上，洗手盆及水龍頭示意圖如圖②，其相關(guān)數(shù)據(jù)為AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的長（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin37°=35，cos37°=45，tan37°解：過點A作AG⊥EH于G，過點M作MN⊥AG于N，如圖所示，則四邊形MEGN為矩形，∴EG＝MN，NG＝ME＝MD+DE＝6+22＝28（cm），在Rt△AMN中，sin∠AMN=ANAM，cos∠AMN∴AN＝AM×sin37°≈10×35=∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+28＝34（cm），∵∠ACG＝60°，∴CG=AG∴EC＝EG+CG＝8+19.60≈27.6（cm），答：EC的長約為27.6cm．10．（2021?河南模擬）“南水北調(diào)工程”（中線）有一段堤壩如圖所示，其橫斷面為梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，但是，為了建設(shè)高鐵線路，電力部門要在堤壩的正上方通過一組高壓線，且高壓線的最低點P與點D，H在同一條直線上（PD⊥AD），∠PCD＝26°．（1）求斜坡CD的坡角α．（2）電力部門要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低于18米，則此段大壩是否達到了安全要求？（參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，∴α＝45°．即斜坡CD的坡角α為45°；（2）此次改造達到了安全要求，理由如下：由（1）可知：CH＝DH＝10米，α＝45°．∴∠PCH＝∠PCD