2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入測(cè)評(píng)含解析北師大版選修1-2

PAGEPAGE5第四章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列命題中,正確的是()A.復(fù)數(shù)的?？偸钦龑?shí)數(shù)B.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)全部向量組成的集合一一對(duì)應(yīng)C.若與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,則與該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的終點(diǎn)也肯定會(huì)在第一象限D(zhuǎn).相等的向量對(duì)應(yīng)著相等的復(fù)數(shù)答案D解析復(fù)數(shù)的模大于或等于0,因此A不正確;復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)全部從原點(diǎn)動(dòng)身的向量組成的集合一一對(duì)應(yīng),因此B不對(duì);同理C也不正確,D正確,因此選D.2.化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A.2+i B.-2+iC.2-i D.-2-i答案C解析=2-i.3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z·(1+i)=2i+1(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析∵復(fù)數(shù)z滿意z·(1+i)=2i+1(i為虛數(shù)單位),∴z=i.該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn),在第一象限.4.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)-i=()A.i-2 B.2+iC.-2 D.2答案D解析復(fù)數(shù)-i=-i=2+i-i=2.5.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i(1+2i)的共軛復(fù)數(shù)為()A.2-i B.-2-iC.2+i D.-2+i答案B解析∵復(fù)數(shù)z=i(1+2i)=-2+i,∴復(fù)數(shù)z=i(1+2i)的共軛復(fù)數(shù)為-2-i.6.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z+的虛部是()A. B. C. D.答案A解析∵復(fù)數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位),∴復(fù)數(shù)z+=1+i+=1+i+i.∴復(fù)數(shù)z+的虛部是.7.已知復(fù)數(shù)z滿意(1-i)=2,則z5=()A.16 B.-4+4i C.-16 D.-16i答案B解析∵(1-i)=2,∴=1+i,則z=1-i.∴z5=(1-i)5=(1-i)4(1-i)=-4(1-i)=-4+4i.8.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是()A.若|z1-z2|=0,則B.若z1=,則=z2C.若|z1|=|z2|,則z1·=z2·D.若|z1|=|z2|,則答案D解析對(duì)于A,若|z1-z2|=0,則z1-z2=0,z1=z2,所以為真命題;對(duì)于B,若z1=,則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù),所以=z2為真命題;對(duì)于C,設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2∈R,若|z1|=|z2|,則,即,所以z1·=z2·,所以z1·=z2·為真命題;對(duì)于D,若z1=1,z2=i,則|z1|=|z2|,而=1,=-1,所以為假命題.故選D.9.已知復(fù)數(shù)z滿意z=1+2019(其中i為虛數(shù)單位),則=()A.i B.iC.i D.i答案B解析=i,則z=1+2024=1+i2024,即z=1-i,所以|z|==1+i,所以i.故選B.10.已知復(fù)數(shù)z滿意z(2-i)=|3+4i|(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1,2) B.(2,1)C.(-1,-2) D.(-2,-1)答案B解析由題意,z(2-i)=5,故z==2+i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1).故選B.11.已知復(fù)數(shù)·i2016(i是虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為()A.2 B.-2 C.1 D.-1答案A解析∵i4=1,∴i2016=1.∴復(fù)數(shù)·i2016==i為純虛數(shù).∴=0,≠0,解得a=2.12.若A,B是銳角三角形ABC的兩內(nèi)角,則復(fù)數(shù)z=(cosB-sinA)+(sinB-cosA)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析∵A,B是銳角三角形ABC的兩內(nèi)角,∴A+B>.①由①得A>-B.∵A,B為銳角三角形ABC的內(nèi)角,∴A∈.又在內(nèi),正弦函數(shù)是增加的,∴sinA>sin,即sinA>cosB.∴cosB-sinA<0.又由①可得B>-A,同理可得sinB>sin,即sinB>cosA,∴sinB-cosA>0.故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中的橫線上)13.已知i是虛數(shù)單位,計(jì)算=.

答案-i解析==-i.14.設(shè)a,b為實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù)=1+i,則a=,b=.

答案解析由=1+i可得1+2i=(a-b)+(a+b)i,所以解得a=,b=.15.若復(fù)數(shù)z滿意2z+=3+2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=.

答案1+2i解析設(shè)z=a+bi,則=a-bi,所以2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3+2i,所以3a=3,b=2,故a=1,b=2,故z=1+2i.16.若復(fù)數(shù)z1與z2在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,且z1(3-i)=z2(1+3i),|z1|=,則z1=.

答案1-i或-1+i解析設(shè)z1=a+bi,則z2=-a+bi,∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|=,∴解得∴z1=1-i或z1=-1+i.三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知復(fù)數(shù)z使得z+2i∈R,∈R,其中i是虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù);(2)若復(fù)數(shù)(z+mi)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則z+2i=x+(y+2)i.∵z+2i∈R,∴y=-2.又i∈R,∴x=4.綜上,有z=4-2i,∴=4+2i.(2)∵m為實(shí)數(shù),且(z+mi)2=[4+(m-2)i]2=(12+4m-m2)+8(m-2)i,∴由題意得解得-2<m<2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-2,2).18.(12分)已知復(fù)數(shù)z=1+i,求實(shí)數(shù)a,b,使得az+2b=(a+2z)2.解因?yàn)閦=1+i,所以az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.因?yàn)閍,b都是實(shí)數(shù),所以由az+2b=(a+2z)2,得兩式相加并整理得a2+6a+8=0,解得a1=-2,a2=-4,相應(yīng)得b1=-1,b2=2.所以所求實(shí)數(shù)為a=-2,b=-1或a=-4,b=2.19.(12分)實(shí)數(shù)k為何值時(shí),復(fù)數(shù)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分別是(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù);(4)零?解令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)當(dāng)k2-5k-6=0時(shí),z∈R,此時(shí)k=6或k=-1.(2)當(dāng)k2-5k-6≠0時(shí),z是虛數(shù),即k≠6且k≠-1.(3)當(dāng)時(shí),z是純虛數(shù),此時(shí)k=4.(4)當(dāng)時(shí),z=0,解得k=-1.綜上,當(dāng)k=6或k=-1時(shí),z是實(shí)數(shù);當(dāng)k≠6且k≠-1時(shí),z是虛數(shù);當(dāng)k=4時(shí),z是純虛數(shù);當(dāng)k=-1時(shí),z是零.20.(12分)已知復(fù)數(shù)z滿意|z+2-2i|=2,且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M.(1)確定點(diǎn)M的集合構(gòu)成圖形的形態(tài);(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.解(1)設(shè)復(fù)數(shù)-2+2i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(-2,2),則|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP|=2,故點(diǎn)M的集合是以P為圓心,2為半徑的圓,如圖所示.(2)設(shè)復(fù)數(shù)1-2i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q(1,-2),則|z-1+2i|=|MQ|.如圖所示,由(1)知|PQ|==5,則|MQ|的最大值即|z-1+2i|的最大值,是|PQ|+2=7;|MQ|的最小值即|z-1+2i|的最小值,是|PQ|-2=3.21.(12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.解(方法一)設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).由已知,得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.∵(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3,∴2ac+2bd=1.又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1,∴|z1-z2|=1.(方法二)在復(fù)平面內(nèi)設(shè)z1,z2分別對(duì)應(yīng)向量,則對(duì)角線對(duì)應(yīng)z1+z2,對(duì)應(yīng)z1-z2,由已知可得||=1,||=1,||=,∴∠OZ1Z=120°.∴∠Z2OZ1=60°.故在△OZ1Z2中,||=1,即|z1-z2|=1.22.(12分)已知關(guān)于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實(shí)數(shù)根b.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)若復(fù)數(shù)z滿意|-a-bi|-2|z|=0,求z為何值時(shí),|z|有最小值,并求出|z|的最小值.解(1)因?yàn)閎是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的實(shí)數(shù)根,所以b2-(6+i)b+9+ai=0,即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故解得a=b=3.