福建省福州市六校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源－2023學(xué)年第二學(xué)期高一年段期末六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(滿分:150分,完卷時間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知,其中i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo),從而得出正確選項(xiàng)．【詳解】由題意,對應(yīng)點(diǎn)為,在第一象限．故選:A2.設(shè)空間中的平面及兩條直線a,b滿足且,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由直線、平面的位置關(guān)系,結(jié)合充分和必要條件定義作出判斷.【詳解】當(dāng)時,因?yàn)榍?所以與可能相交;當(dāng)時,因?yàn)榍?所以;即“”是“”的必要不充分條件.故選:B3.若復(fù)數(shù)z是的根,則()A.1 B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】結(jié)合一元二次方程的求根公式及復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】∵,∴由求根公式得:,即:,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,.綜述:.故選:B.4.已知,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式,進(jìn)行化簡,可得答案.【詳解】由得,故,故選:C5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球,有放回地從中任取一個小球,直到紅、黃兩個小球都取到才停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率．用1,2,3,4分別代表紅、黃、黑、白四個小球,利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),以每三個隨機(jī)數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù):341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計(jì),恰好抽取三次就停止的概率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】數(shù)出滿足條件的組數(shù),即可求解.【詳解】18組隨機(jī)數(shù)中,滿足條件的有221,132,112,241,142,這5組數(shù)據(jù)滿足條件,所以估計(jì)恰好抽取三次就停止的概率.故選:D6.廈門地鐵1號線從鎮(zhèn)海路站到文灶站有5個站點(diǎn)．甲、乙同時從鎮(zhèn)海路站上車,假設(shè)每一個人自第二站開始在每個站點(diǎn)下車是等可能的,則甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出甲乙在相同站點(diǎn)下車的概率,再求甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率.【詳解】設(shè)事件為甲乙在相同站點(diǎn)下車,則,則甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率為.故選:C7.已知所在平面上的動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡過的()A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心【答案】B【解析】【分析】先對題設(shè)中的等式進(jìn)行變形,可得,即在邊的垂直平分線,由此選出正確選項(xiàng)．【詳解】,,,,即,即,在邊的垂直平分線上,由三角形外心的定義知,點(diǎn)的軌跡過的外心.故選:B．8.九章算術(shù)中,稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖)．現(xiàn)提供一種計(jì)算“牟合方蓋”體積的方法．顯然,正方體的內(nèi)切球同時也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球．因此,用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”,截面均為正方形,該平面截內(nèi)切球得到的是上述正方形截面的內(nèi)切圓．結(jié)合祖暅原理,兩個同高的立方體,如在等高處的截面積相等,則體積相等．若正方體的棱長為6,則“牟合方蓋”的體積為()A.144 B. C.72 D.【答案】A【解析】【分析】先求得正方體的內(nèi)切球的體積,再由已知得出牟合方蓋的體積,可求得答案.【詳解】正方體的棱長,則其內(nèi)切球的半徑,內(nèi)切球的體積．由于截面正方形與其內(nèi)切圓的面積之比為,設(shè)牟合方蓋的體積為,則,從而牟合方蓋的體積．故選:A二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分．9.下列說法正確的是()A.已知事件A,B,且,,如果,那么,B.對于單峰的頻率分布直方圖而言,若直方圖在右邊“拖尾”,則平均數(shù)大于中位數(shù)C.若A,B是兩個互斥事件,則D.若事件A,B,C兩兩獨(dú)立,則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系可判斷A;根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的估計(jì),可判斷B;利用可判斷C;舉反例判斷D.【詳解】對于A,如果,則,故,,故,故A錯誤;對于B,對于單峰頻率分布直方圖而言,如果左右對稱,則中位數(shù)和平均數(shù)大致相等,若直方圖在右邊“拖尾”,則平均數(shù)將變大,更遠(yuǎn)離峰值處,中位數(shù)位于單峰附近,故平均數(shù)大于中位數(shù),B正確;對于C,因?yàn)槭莾蓚€互斥事件,故,所以故C正確;對于D,舉例如從1、2、3、4四個數(shù)字中隨機(jī)取一個,即事件A=“取出的數(shù)字為1或2”,事件B=“取出的數(shù)字為1或3”,事件C=“取出的數(shù)字為1或4”,AB=BC=AC=ABC=“取出的數(shù)字為1”,則,,滿足,,,即事件兩兩獨(dú)立,但,故D錯誤,故選:BC10.如圖,棱長為2的正方體中,點(diǎn)E,F,G分別是棱AD,,CD的中點(diǎn),則()A.直線,為異面直線B.二面角的余弦值為C.直線與平面所成角的正切值為D.過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體的截面面積為9【答案】BC【解析】【分析】證明,說明四點(diǎn)共面,判斷A;作出二面角的平面角,計(jì)算其余弦值,可判斷B;找到直線與平面所成角,解直角三角形可得其正切值,判斷C;作出過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體的截面,求其面積判斷D.【詳解】對于A,連接,則為矩形,則,而點(diǎn)E,G分別是棱AD,CD的中點(diǎn),故,則四點(diǎn)共面,故直線,不是異面直線,A錯誤;對于B,連接交于點(diǎn)O,連接,平面平面,故,又平面,故平面,即為二面角的平面角,又,故,B正確;對于C,由于平面,故即為直線與平面所成角,而,故,C正確;對于D,連接,則,則梯形即為過點(diǎn)B,E,F平面截正方體的截面,而,故等腰梯形的高為,故等腰梯形的面積為,即過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體的截面面積為,D錯誤,故選:BC11.如圖所示,四邊形是由斜二測畫法得到的平面四邊形ABCD水平放置的直觀圖,其中,,,點(diǎn)在線段上,對應(yīng)原圖中的點(diǎn)P,則在原圖中下列說法正確的是()A.四邊形ABCD的面積為18B.與同向的單位向量的坐標(biāo)為C.在向量上的投影向量的坐標(biāo)為D.的最小值為17【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直觀圖可得四邊形為直角梯形,從而可求得原圖形的面積,即可判斷A;以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,寫出的坐標(biāo),再根據(jù)與同向的單位向量為,即可判斷B;根據(jù)在向量上的投影向量的坐標(biāo)為即可判斷C;設(shè),根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示即可判斷D.【詳解】由直觀圖可得,四邊形為直角梯形,且,則四邊形的面積為,故A錯誤;如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則,則,所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為,故B正確;,則在向量上的投影向量的坐標(biāo)為,故C錯誤;設(shè),則,則,,當(dāng)時,取得最小值,故D正確.故選:BD12.如圖,平面四邊形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE組成的直角梯形,AD＝1,,現(xiàn)將沿斜邊AC翻折成(不在平面ABC內(nèi)),若P為BC的中點(diǎn),則在翻折過程中,下列結(jié)論正確的是()A.與BC可能垂直B.三棱錐體積的最大值為C.若A,C,E,都在同一球面上,則該球的表面積是D.直線與EP所成角的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】對于A選項(xiàng):根據(jù)線面垂直的判斷定理,由,當(dāng)時,平面,則;對于B選項(xiàng):取的中點(diǎn),連接,根據(jù),則平面平面時,三棱錐體積的最大值,從而可判斷;對于C,根據(jù),可得都在同一球面上,且球的半徑為,從而可判斷;對于D選項(xiàng):由可以看成以為軸線,以為平面角的圓錐的母線,即可求得與所成角的取值范圍.【詳解】對于A選項(xiàng):由,則,當(dāng)時,且,此時滿足平面,因此,故A正確;對于B,取的中點(diǎn),連接,則,且,因?yàn)?當(dāng)平面平面時,三棱錐體積的最大值,在中,,則,此時,所以三棱錐體積的最大值為,故B錯誤;對于C,因?yàn)?所以都在同一球面上,且球的半徑為,所以該球的表面積是,故C正確;對于D,作,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所有,,所以,所以,所以,可以看成以為軸線,以為平面角的圓錐的母線,所以與夾角為,與夾角為,又不在平面內(nèi),,,所以與所成角的取值范圍,所以D正確,故選:ACD.第Ⅱ卷三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分．把答案填在題中的橫線上．13.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為,,則______．【答案】2【解析】【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性,利用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)所在區(qū)間,即可得答案.【詳解】由題意知函數(shù)在R上單調(diào)遞增,由,故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為,故,故答案為:214.若10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2,標(biāo)準(zhǔn)差是2,則這10個數(shù)據(jù)的平方和是______．【答案】80【解析】【分析】確定數(shù)據(jù)的方差,根據(jù)方差的計(jì)算公式化簡,即可得答案.【詳解】由題意可設(shè)這10個數(shù)據(jù)為,其方差為,則,故,故答案為:.15.已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,則______．【答案】##【解析】【分析】由的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱得是一個奇函數(shù),根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱及奇函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】依題意函數(shù)是一個奇函數(shù),又,所以,所以定義域?yàn)?因?yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,所以,解得.又,所以,所以,即,所以,所以.故答案為:.16.如圖,的棱長為2,點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動,則四面體的體積的最大值是______;記所有滿足的點(diǎn)P組成的平面區(qū)域?yàn)閃,則W的面積是______．【答案】①.②.【解析】【分析】空1:由平面,則是四面體以為底面時的高,所以當(dāng)最大時,四面體的體積的最大;空2:連接,由,可得點(diǎn)的軌跡圖形,從而可得其面積.【詳解】空1:在正方體中,平面,所以平面,則是四面體以為底面時的高.由,所以當(dāng)最大時,四面體的體積的最大,因?yàn)辄c(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動,所以當(dāng)P在線段上時,最大,其最大值為,所以四面體的體積的最大值為;空2:連接,則,由,則,所以點(diǎn)在以為圓心1為半徑的圓外的區(qū)域和以為圓心為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域與正方形的公共部分,如圖(2)陰影部分扇環(huán)部分.所以W的面積.故答案為:;【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決立體幾何中動點(diǎn)的軌跡問題,關(guān)鍵是結(jié)合點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及其性質(zhì),找出動點(diǎn)的軌跡,分析動點(diǎn)在軌跡上移動時對結(jié)果的影響.四、解答題:本大題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為．(1)求函數(shù)的圖象的對稱軸;(2)若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn),求m的取值范圍及的值．【答案】(1)(2);【解析】【分析】(1)由題意求得,可得函數(shù)解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性即可求得答案;(2)根據(jù)x的范圍求得,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可確定m的范圍,進(jìn)而確定2個零點(diǎn)關(guān)于直線對稱,可得,即可求得答案.【小問1詳解】由函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為,可得函數(shù)最小正周期為,故,令,則,即函數(shù)的圖象的對稱軸為;【小問2詳解】由可知,則,函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn),則的圖象與直線有2個交點(diǎn),結(jié)合在時的圖象可知需滿足,令,則,故兩個零點(diǎn)關(guān)于對稱,則,故.18.記的內(nèi)角的邊分別是,分別以為邊長的三個正三角形的面積依次為,已知,．(1)求的面積;(2)若,求邊的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)正三角形的面積寫出,代入進(jìn)行化簡可得,代入余弦定理中可得,即,根據(jù),求出代入,即可求得,根據(jù)面積公式即可求得;(2)由(1)知,對正弦定理變形可得到,將代入即可得.【小問1詳解】由題意得,,,則,即,在中,由余弦定理,整理得,則,又,則,所以,則.【小問2詳解】在中,由正弦定理得:,則,所以.19.我校近幾年加大了對學(xué)生奧賽的培訓(xùn),為了選擇培訓(xùn)的對象,今年5月我校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競賽,從參加競賽的同學(xué)中,選取50名同學(xué)將其成績(百分制,均為整數(shù))分成六組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,第6組,得到頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形中的信息,回答下列問題:(1)利用組中值估計(jì)本次考試成績的平均數(shù);(2)從頻率分布直方圖中,估計(jì)第三四分位數(shù)是多少;(精確到0.1)(3)已知學(xué)生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級,其中成績不小于90分時為優(yōu)秀等級,若從第5組和第6組兩組學(xué)生中,隨機(jī)抽取2人,求所抽取的2人中至少1人成績優(yōu)秀的概率．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)等于各小矩形的面積乘以各組中值的和,即可求出;(2)先判斷第三四分位數(shù)在內(nèi),根據(jù)百分位數(shù)公式即可求出;(3)先根據(jù)分層抽樣確定第5,6組人數(shù),再根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【小問1詳解】本次考試成績的平均數(shù)約為.所以本次考試成績的平均數(shù).【小問2詳解】因,,所以第三四分位數(shù),即第75百分?jǐn)?shù)在內(nèi),所以第三四分位數(shù),所以估計(jì)第三四分位數(shù)約為【小問3詳解】第5組人數(shù)為,第6組人數(shù)為,被抽取的成績在內(nèi)的4人,分別記為,,,;成績在內(nèi)的3人,分別記為,,;則從這7人中隨機(jī)抽取2人的情況為:,,,共21種;其中被抽到2人中至少有1人成績優(yōu)秀的情況為:,,,,,共15種.故抽到2人中至少有1人成績優(yōu)秀的概率為.20.如圖,四棱錐中,底面是梯形,,,,M為邊PC的中點(diǎn)．(1)求證:平面;(2)求證:平面平面;(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論;(2)先證明平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論;(3)利用棱錐體積之間的數(shù)量關(guān)系即,再結(jié)合等體積法即可求得答案.【小問1詳解】證明:取的中點(diǎn)為N,連接,因?yàn)镸為邊PC的中點(diǎn),故,且,由底面是梯形,,,則,即四邊形為平行四邊形,故,而平面,平面,故平面;【小問2詳解】證明:取的中點(diǎn)為E,連接,因?yàn)?所以,由底面是梯形,,,作,垂足為F,則四邊形為矩形,則,可得,且,由,故,而,故,,故,平面,故平面,又平面,故平面平面;【小問3詳解】因?yàn)镸為邊PC的中點(diǎn),故,而,由平面,,故,故三棱錐的體積為.21.某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運(yùn)輸貨物,運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)用和其他費(fèi)用組成．已知該貨輪每小時的燃料費(fèi)用w與其航行速度x的平方成正比(即:w=kx2,其中k為比例系數(shù));當(dāng)航行速度為30海里/小時時,每小時的燃料費(fèi)用為450元,其他費(fèi)用為每小時800元,且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時．(1)請將從甲地到乙地的運(yùn)輸成本y(元)表示為航行速度x(海里/小時)的函數(shù);(2)要使從甲地到乙地的運(yùn)輸成本最少,該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛？．【答案】(1)y=f(x)=150;(2)貨輪航行速度為40海里/小時時,能使該貨輪運(yùn)輸成本最少．【解析】【分析】(1)由題意,每小時的燃料費(fèi)用為,根據(jù)當(dāng)時,,解得,從甲地到乙地所用的時間為小時,可得從甲地到乙地的運(yùn)輸成本;(2)求得,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)極值與最值,從而可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意,每小時的燃料費(fèi)用為w=kx2,當(dāng)x=30時,900k=450,解得k=0.5從甲地到乙地所用的時間為小時,則從甲地到乙地的運(yùn)輸成本:y=0.5x2+800(0＜x≤50),=150．故所求的函數(shù)為y=f(x)=150．(2)法一:f′(x)=150,令f′(x)=0,解得x=40,0＜x＜40時,f′(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;40＜x≤50時,f′(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．因此當(dāng)x=40時,y取得極小值,也是最小值．故當(dāng)貨輪航行速度為40海里/小時時,能使該貨輪運(yùn)輸成本最少．【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于中檔題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向,這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識,解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題,只有吃透題意,才能將