廣東省東莞市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試卷(解析)

高中數(shù)學精編資源-2023學年度第二學期教學質(zhì)量檢查高一數(shù)學一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．1.復數(shù)(是虛數(shù)單位)等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用復數(shù)的四則運算法則進行運算即可.【詳解】故選:.2.已知向量,,且,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線坐標表示求出,從而求出的坐標,即可求出其模.【詳解】因為,,且,所以,解得,所以,所以,所以.故選:C3.利用隨機模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛方法,用此方法可以快速進行大量重復試驗,進而用頻率估計概率．甲、乙兩名選手進行比賽,采用三局兩勝制決出勝負,若每局比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為．利用計算機產(chǎn)生1~5之間的隨機整數(shù),約定出現(xiàn)隨機數(shù)1或2時表示一局比賽甲獲勝,由于要比賽3局,所以3個隨機數(shù)為一組,現(xiàn)產(chǎn)生了20組隨機數(shù)如下:354151314432125334541112443534312324252525453114344423123243,則依此可估計甲選手最終贏得比賽的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析隨機數(shù)中表示甲獲勝的數(shù)目,然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意,在20組隨機數(shù)中,表示甲獲勝的有:151,125,112,312,252,114,123,共7種情況,所以可估計甲選手最終贏得比賽的概率為,故選:B4.已知不重合的直線,和不重合的平面,,下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,,則C.若,,則 D.若,,,則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對于A:若,,則或與相交,故A錯誤；對于B:若,,,則或與相交(不垂直),故B錯誤；對于C:若,,且與不重合,所以,故C正確；對于D:若,,,則或或與相交(不垂直),故D錯誤.故選:C5.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．下面四幅頻率分布直方圖中,最能說明平均數(shù)大于中位數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】對于單峰頻率分布直方圖來說,如果直方圖的形狀是對稱的,那么平均數(shù)和中位數(shù)大體相等,和中位數(shù)相比,平均數(shù)總在“長尾巴”那邊.【詳解】對于圖象對稱,平均數(shù)和中位數(shù)相等,中圖象尾巴向右拖,中圖象尾巴靠左拖,故正確.故選:.6.正方體中,與所成角為的直線是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu),以及異面直線所成角的定義,逐項判定,即可求解.【詳解】如圖所示,在正方體中,對于A中,,所以與所成的角,即為與所成的角,在等腰直角中,可得,所以與所成的角為,不符合題意；對于B中,在直角中,可得,不符合題意；對于C中,連接,由正方形,可得,又由正方體中,可得平面,因為平面,所以,又因為且平面,所以平面,因為平面,所以,所以與所成的角為,不符合題意；對于D中,正方體中,連接,可得,所以與所成的角,即為與所成的角,在等邊中,可得,即與所成的角為,符合題意.故選:D.7.如圖,在平行四邊形中,,,,將三角形沿翻折得三角形,使得交于,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件可得≌,則,設(shè),則,然后在中利用余弦定理可求出,從而可得答案.【詳解】因為在平行四邊形中,,,,所以,,因為將三角形沿翻折得三角形,使得交于,所以,因為,所以≌,所以,設(shè),則,在中由余弦定理得,,解得,即,故選:B8.對敏感性問題調(diào)查的關(guān)鍵是要設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮,使他們能如實回答問題．為調(diào)查學生是否有在校使用手機的情況時,某校設(shè)計如下調(diào)查方案:調(diào)查者在沒有旁人的情況下,獨自從一個箱子中隨機抽一只球,看過顏色后即放回,若抽到白球,則回答問題:抽到紅球,則回答問題,且箱子中只有白球和紅球．問題:你的生日的月份是否為偶數(shù)?(假設(shè)生日的月份為偶數(shù)的概率為)問題:你是否有在校使用手機?已知該校在一次實際調(diào)查中,箱子中放有白球個,紅球個,調(diào)查結(jié)束后共收到張有效答卷,其中有張回答“是”,如果以頻率估計概率,估計該校學生有在校使用手機的概率是(精確到)()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出回答問題的學生人數(shù),以及回答問題回答“是”的學生人數(shù),進而可求得該校學生有在校使用手機的概率.【詳解】由題意可知,回答問題的學生人數(shù)為,其中回答問題回答“是”的人數(shù)為,回答問題的學生人數(shù)為,其中回答問題回答“是”的人數(shù)為,因此,估計該校學生有在校使用手機的概率是.故選:B.二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分．在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．9.某學習小組有3名男生和2名女生,從中任選2名學生去參加知識競賽,則下列說法正確的是()A.事件“恰有1名女生”與事件“恰有2名女生”是互斥事件B.事件“至少有1名女生”與事件“至少有1名男生”是互斥事件C.事件“恰有1名男生”與事件“恰有2名女生”是對立事件D.事件“至少有1名女生”與事件“全是男生”是對立事件【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷即可.【詳解】事件“恰有1名女生”等價于事件“一名男生和一名女生”,該事件與事件“恰有2名女生”不可能同時發(fā)生,故事件“恰有1名女生”與事件“恰有2名女生”是互斥事件,A正確；事件“至少有1名女生”與事件“至少有1名男生”都包含事件“一名男生和一名女生”,所以事件“至少有1名女生”與事件“至少有1名男生”不是互斥事件,B錯誤；事件“恰有2名男生”發(fā)生時,事件“恰有1名男生”與事件“恰有2名女生”都沒發(fā)生,所以事件“恰有1名男生”與事件“恰有2名女生”和事件不是必然事件,所以事件“恰有1名男生”與事件“恰有2名女生”不是對立事件,C錯誤；事件“至少有1名女生”與事件“全是男生”不可能同時發(fā)生,故兩事件互斥,又它們的和事件為必然事件,所以事件“至少有1名女生”與事件“全是男生”是對立事件,D正確；故選:AD.10.在中,,,,則可能的取值有()A. B.2 C.3 D.4【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意由余弦定理直接列方程求解即可【詳解】在中,,,,則由余弦定理得,,整理得,解得或,故選:BD11.已知復平面內(nèi)復數(shù)對應的點為,復數(shù)對應的點為,為坐標原點,則下列說法正確的是()A.若與關(guān)于實軸對稱,則為實數(shù)B.若與關(guān)于實軸對稱,則C.若,則D.若,則:【答案】ABD【解析】【分析】由復數(shù)的幾何意義和復數(shù)的運算可解.【詳解】若與關(guān)于實軸對稱,則復數(shù)與虛部互為相反數(shù),設(shè),所以,所以,所以選項A、B正確；若,設(shè),則,,則,所以,可得,而,無法判定,選項C錯誤；

所以,選項D正確.故選:ABD12.如圖,在直三棱柱中,底面為等邊三角形,,,分別為,的中點,記過,,三點的平面與的交點為,則下列說法正確的是()A.為的中點B.三棱錐的體積為C.截面的周長為D.截面的面積為24【答案】BCD【解析】【分析】延長交于點,連接,和的交點為,由此判斷A,求截面的面積和周長,判斷CD,再利用錐體體積公式求三棱錐的體積判斷B.詳解】延長交于點,因為平面,,所以平面,又平面,所以平面,連接,則直線和的交點為平面和直線的交點,故該點為,因為點為的中點,,所以,又,所以,即,又,所以,又點為線段的中點,所以,因為,所以,A錯誤；由已知,中,,所以,中,,所以,中,,所以,中,,所以,所以截面的周長為,C正確；連接,中,,所以,因為,,所以為以為底邊的等腰三角形,且邊上的高為,所以的面積為,因為,,所以為以為底邊的等腰三角形,且邊上的高為,所以的面積為,所以截面的面積為,D正確；三棱錐的體積,因為,為的中點,所以的面積,所以,B正確；故選:BCD.三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分．請把答案填在答題卡的相應位置上．13.已知與為互斥事件,且,,則________．【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可求得的值.【詳解】因為與為互斥事件,則,因此,.故答案為:.14.某射擊運動員在射擊測試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)分別為:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4,則該運動員本次射擊測試命中環(huán)數(shù)的第百分位數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】將命中的環(huán)數(shù)從小到大排列為:4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,因為,所以第百分位數(shù)為數(shù)據(jù)從小到大排列的第、兩個數(shù)的平均數(shù),即.故答案為:15.已知是虛數(shù),是實數(shù),則________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出后,利用復數(shù)四則運算法則,得到,根據(jù)是實數(shù),虛部為即可.【詳解】依題意,設(shè),則是實數(shù),故,又,所以,故.故答案為:.16.已知正方體的棱長為1,從正方體的8個頂點中選出4個點構(gòu)成一個體積大于的三棱錐,則這4個點可以是________．(寫出一組即可)【答案】或(寫出一組即可)【解析】【分析】結(jié)合錐體體積公式判斷即可.【詳解】若從正方體的某一面的四個頂點中任選3個頂點,再從余下的點中選一個與它們不共面的點,例如選,則由正方體性質(zhì)可得平面,,,所以三棱錐的體積,不滿足要求,若選某一面的一條對角線的端點,再選與其平行的平面中與前一條對角線不平行的對角線的端點,例如,設(shè)正方體的體積為,則,則三棱錐的體積,滿足要求,同理可得,選也滿足要求,故答案為:或(寫出一組即可).四、解答題:本大題共6小題,第17題10分,18、19、20、21、22題各12分,共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內(nèi),超出指定區(qū)域的答案無效．17.已知,,分別為三個內(nèi)角,,的對邊,且．(1)求(2)若,的面積為,求的周長．【答案】(1)(2)6【解析】【分析】(1)先利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式,化簡后再利用余弦定理可求得結(jié)果；(2)由三角形的面積可求得,再結(jié)合(1)中得到的式子可求出的值,從而可求出三角形的周長.【小問1詳解】因為,,(為外接圓的半徑),又因為,所以,即,所以,由余弦定理得,因為,所以．【小問2詳解】因為,所以,因為,所以,所以,所以的周長為618.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,設(shè)事件“第一次的點數(shù)大于3”,事件“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”．(1)求事件的概率(2)判斷事件與事件是否相互獨立,并說明理由．【答案】(1)(2)事件與事件相互獨立,理由見解析【解析】【分析】(1)由古典概型模型解此題；(2)根據(jù)相互獨立事件定義進行判斷.【小問1詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,每次有6種等可能的結(jié)果,用數(shù)字表示第一次骰子出現(xiàn)的點數(shù),數(shù)字表示第二次骰子出現(xiàn)的點數(shù),則數(shù)組表示這個試驗的一個樣本點,因此該試驗的樣本空間,其中共有36個樣本點,由于骰子的質(zhì)地均勻,所以各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等,這個試驗是古典概型,因為,其中共有18個樣本點,所以.【小問2詳解】因為,其中共有18個樣本點,所以,因為,其中共有9個樣本點,所以,因為,所以事件與事件相互獨立19.如圖,在矩形中,點是的中點,點是的三等分點,(1)用,表示,；(2)如果,,求的面積．【答案】(1),(2)．【解析】【分析】(1)將,作為基底,利用向量的加減法法則結(jié)合點是的中點,點是的三等分點可表示出,；(2)先計算可得,然后分別求出,從而可求出的面積．【小問1詳解】因為是的三等分點,所以因為是的中點,所以；【小問2詳解】,因為為矩形,所以,又,,所以,即,,同理可得,所以,,即三角形的面積為．20.如圖,,都垂直于平面,平面平面,且,為的中點,求證:(1)平面；(2)平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)取的中點,連接,,證得四邊形為平行四邊形,得到,結(jié)合線面平行的判定定理,即可求解；(2)連接,利用面面垂直的性質(zhì),證得平面,得到,再由平面,證得,得到,結(jié)合線面垂直的判定定理,即可求解.【小問1詳解】如圖所示,取的中點,連接,,因為為的中點,為的中位線,所以,,又因,都垂直于平面,且,所以,,所以,,所以四邊形為平行四邊形,所以,又因為平面,平面,所以平面.【小問2詳解】連接,因為,為的中點,所以,又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,因為面,所以,因平面,平面,所以,又因為,所以,因為,且平面,所以平面.21.樹人中學男女學生比例約為,某數(shù)學興趣社團為了解該校學生課外體育鍛煉情況(鍛煉時間長短(單位:小時),采用樣本量比例分配的分層抽樣,抽取男生人,女生人進行調(diào)查．記男生樣本為,,,,樣本平均數(shù)、方差分別為、；女生樣本為,,,,樣本平均數(shù)、方差分別為、；總樣本平均數(shù)、方差分別為、.(1)證明:；(2)該興趣社團通過分析給出以下兩個統(tǒng)計圖,假設(shè)兩個統(tǒng)計圖中每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布,根據(jù)兩圖信息分別估計男生樣本、女生樣本的平均數(shù)；(3)已知男生樣本方差,女生樣本方差,請結(jié)合(2)問的結(jié)果計算總樣本方差的估計值.【答案】(1)證明見解析(2)5.2；4.7(3)5.68【解析】【分析】(1)利用平均數(shù)和方差計算公式結(jié)合完全平方運算化簡即可證明；(2)利用平均數(shù)計算公式分別計算即可；(3)先求出總樣本平均數(shù),根據(jù)方差公式結(jié)合(1)中結(jié)論化簡求解即可.【小問1詳解】,因為,,所以,則；【小問2詳解】因為每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布,所以以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,由頻率分布直方圖估計男生樣本課外體育鍛煉時間的平均數(shù)為,由扇形圖估計女生樣本課外