2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓的相關(guān)概念及性質(zhì)（練習(xí)）（解析版）

第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)

目錄

題型過關(guān)練

型

題

01理解圓的相關(guān)概念

型

題

02圓的周長與面積相關(guān)計算

型

題

03圓中的角度計算

型

題

04圓中線段長度的計算

型

題

05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值

型

題

06由垂徑定理及推論判斷正誤

型

題

07利用垂徑定理求解

型

題

08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解

型

題

09在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)

型

題

10利用垂徑定理求平行弦問題

型

題

11利用垂徑定理求同心圓問題

型

題

12垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用

型

題

13利用垂徑定理的推論求解

型

題

14垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

型

題

15利用垂徑定理求取值范圍

型

題

16利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤

型

題

17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求解

型

題

18利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值

型

題

19利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明

型

題

20利用圓周角定理求解

型

題

21利用圓周角定理推論求解

型

題

已知圓內(nèi)接四邊形求角度

型22

題

利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值

型23

題

利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明

型

題24

利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題

型

題25

利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題

型

題26

圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距

型

題27

28圓有關(guān)的常見輔助線-遇到有直徑時，常添加（畫）直徑所對的圓周角

真題實(shí)戰(zhàn)練

題型過關(guān)練

題型01理解圓的相關(guān)概念

1.（2023?上海普陀?統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說法中，正確的是（）

A.過三點(diǎn)可以作一個圓B.相等的圓心角所對的弧相等

C.平分弦的直徑垂直于弦D.圓的直徑所在的直線是它的對稱軸

【答案】D

【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】解：A、過不在同一直線上的三個點(diǎn)一定能作一個圓，故錯誤，不符合題意；

B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤，不符合題意；

C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故錯誤，不符合題意；

D、圓的直徑所在的直線是它的對稱軸，正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)性質(zhì)及定義，難度不大.

2.（2020?內(nèi)蒙古烏蘭察布?校考一模）下列命題：①三點(diǎn)確定一個圓；②直徑是圓的對稱軸；③平分弦的直

徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對的弧相等，正確命題的個數(shù)

是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、圓周角定理、垂徑定理以及弧與圓心角的關(guān)系的知識點(diǎn)，注意熟記

定理是解此題的關(guān)鍵.

①根據(jù)確定圓的條件進(jìn)行解答即可；

②利用直徑所在的直線為圓的對稱軸進(jìn)行判斷即可；

③根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論；

④根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得出結(jié)論；

⑤根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：①不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，故本小題錯誤；

②直徑所在的直線為圓的對稱軸，故本小題錯誤；

③平分弦的直徑垂直于弦（非直徑），故本小題錯誤；

④三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，故本小題錯誤；

⑤在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本小題錯誤.

???正確命題的個數(shù)為。個.

故選：A.

【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、圓的對稱性、垂徑定理及三角形的

外心的性質(zhì)，難度不大.

3.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考一模）下列說法中，正確的是（）

①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；

③同弧或等弧所對的圓周角相等；④半圓是弧，但弧不一定是半圓.

A.①④B.②③C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，在同圓或等圓中，

同弧或等弧所對的圓周角相等，弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧分別判斷即可.

【詳解】解：①、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故該項(xiàng)

正確；

②、對角線相等的平行四邊形為矩形，故該選項(xiàng)錯誤；

③、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，故該選項(xiàng)錯誤；

④、弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧，則半圓是弧，但弧不一定是半圓，故該項(xiàng)正確；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查基本概念，熟記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.（2023?福建泉州?南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進(jìn)井里去，

這是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大

B.同一個圓所有的直徑都相等

C.圓的周長是直徑的兀倍

D.圓是軸對稱圖形

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的特征即可求解.

【詳解】解：根據(jù)同一個圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會掉進(jìn)井里去,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，理解并掌握圓的基礎(chǔ)知識，圓的基本特征是解題的關(guān)鍵.

題型02圓的周長與面積相關(guān)計算

5.（2022?山西臨汾.統(tǒng)考二模）山西著名工藝品平遙推光漆器外觀古樸雅致、閃光發(fā)亮，繪飾金碧輝煌，以

手掌推出光澤而得名.圖1是平遙推光漆器的一種圖案，圖2是選取其某部分并且放大后的示意圖.四邊

形A8C。是邊長為2的正方形，分別以正方形的四個頂點(diǎn)為圓心，夕寸角線的長為半徑畫弧，四條弧相交于

點(diǎn)。則圖中陰影部分的面積為（）

A.2兀一4B.7T—2C.27rD.-71

【答案】A

【分析】由題意得半徑為近，陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積，代入計算即可.

【詳解】解：???四邊形ABC。是邊長為2的正方形

正方形的對角線的長為2叵

.??半徑為近

:陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積

?,?陰影部分面積=%（V2）2-22=2TT-4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和圓，組合圖形陰影部分面積，解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則

圖形面積之間的關(guān)系.

6.（2019?廣東佛山?佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？家荒＃┠彻珗@計劃砌一個形狀如圖（1）所示的噴水池，后

來有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊

沿（）

圖（1）圖（2）

A.圖（1）需要的材料多B.圖（2）需要的材料多

C.圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的周長公式，將每個圓的周長計算出來，找到和周長L的關(guān)系即可.

【詳解】設(shè)大圓的直徑是D,圖（2）中三個小圓的直徑分別為：di,d2,d3,

di+d2+d3=D

根據(jù)圓周長公式，得圖（1）中，需要2兀D；

圖（2）中，需要7TD+7rdi+7rd2+7rd3=7rD+兀（di+d2+d3）=2;rD

故選：C.

【點(diǎn)睛】注意：第二個圖中，計算三個小圓的周長時候，提取兀，所有的直徑之和是大圓的直徑.

7.（2019?河北張家口?統(tǒng)考一模）半徑為R、r的兩個同心圓如圖所示，己知半徑為r的圓周長為a,且R-=1,

則半徑為R的圓周長為（）

A.a+1B.a+2C.a+兀D.a+2n

【答案】D

【分析】根據(jù)半徑為r的圓的周長表示出半徑r.

【詳解】???半徑為r的圓周長為a,

2nr=a,

?：R-r=1,

，R=l+r=l+六答

半徑為R的圓周長為2兀?空吼a+2n,

27r

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查圓的周長公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?江蘇宿遷?統(tǒng)考一模）一塊含有30。角的三角板ABC如圖所示，其中/C=90。，乙4=30。，BC=

3cm.將此三角板在平面內(nèi)繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)一周.

（1）畫出邊BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形；

（2）求出該圖形的面積.

【答案】（1）畫圖見詳解；（2）BC掃過的面積5國環(huán)==9兀.

【分析】（1）由三角板力BC可求AB=2BC=6cm,由勾股定理：AC=VAB2-BC2=V36-9=3V3,邊BC在

平面內(nèi)繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.圖形是以AB為半徑的圓去掉以AC為半徑的圓，所形成的圓環(huán)，如圖所示；

（2）BC掃過的面積S甄=加432-?MC2計算即可.

【詳解】解：（1）?.?三角板ABC,ZC=90°,心力=30°,BC=3cm,

AB=2BC=6cm,

由勾股定理：AC=7AB2-BC2=V36-9=35/3,

邊BC在平面內(nèi)繞頂點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一周.圖形是以AB為半徑的圓去掉以AC為半徑的圓，所形成的圓環(huán)，如圖所

示：

22

(2)BC掃過的面積Sn=7tAB-nAC=367r-27TT=97r.

【點(diǎn)睛】本題考查畫旋轉(zhuǎn)圖形，勾股定理，30。直角三角形的性質(zhì)，圓環(huán)面積，掌握畫旋轉(zhuǎn)圖形方法，勾股

定理，30。直角三角形的性質(zhì)，圓環(huán)面積求法是解題關(guān)鍵.

題型03圓中的角度計算

9.(2023?山東聊城?統(tǒng)考一模)如圖，A8是。。的弦，OC_LAB,垂足為C,0D||AB,OC^OD,則上48。

95°C.100°D.105°

【答案】D

【分析】連接08,即得出08=0。，從而得出根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合

題意可判斷NO8C=30。，再利用平行線的性質(zhì)可得出NBOn=/O8C=30。，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出

ZOBD=ZODB=75°,最后由ZABD=ZOBC+ZOBD求解即可.

【詳解】如圖：連接OB,

A

D

：.OB=OD,

：.ZOBD=ZODB.

'：OC^-OD,

2

1

???OC=-OB.

2

?.*OC±ABf

nri

：.sin^OBC=-=

OB2

AZOBC=30°.

9COD||AB,

：.NBOD=NOBC=3。。,

：?/OBD=/ODB=75。,

：.ZABD=ZOBC+ZOBD=30o+75°=105°.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三

角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵.

10.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，在。0中，48為直徑，乙4。。=80°,點(diǎn)D為弦4?的中點(diǎn)，點(diǎn)E

為品上任意一點(diǎn)，貝此CED的大小可能是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【分析】連接OD、OE,先求出NCOD=40。，ZBOC=100°,設(shè)NBOE=x,則NCOE=10()o-x,ZDOE=100°-x+40°；

然后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)分別求得NOED和/COE,最后根據(jù)線段的和差即可解答.

【詳解】解：連接OD、OE

VOC=OA

.?.△OAC是等腰三角形

■：AAOC=80°,點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)

AZDOC=40°,ZBOC=100°

設(shè)/BOE=x,則/COE=100°-x,ZDOE=100°-x+40°

VOC=OE,ZCOE=100°-x

ZOEC=180°~(100°-X)=40°+-

22

VOD<OE,ZDOE=100°-x+40°=140°-x

/.ZOED<180°~(140°~X)=20°+-

22

ZCED>ZOEC-ZOED=(40°+j)-(20°+|)=20。.

又ZCED<ZABC=40°,

故答案為C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造等腰三角形是解答本

題的關(guān)鍵.

11.（2023?湖南湘西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，。。與△。4B的邊力B相切，切點(diǎn)為8.將AOAB繞點(diǎn)B按順時針

方向旋轉(zhuǎn)得到△O'AB,使點(diǎn)。落在。。上，邊4B交線段力。于點(diǎn)C.若乙4'=27。，則N0C8=度.

【答案】87

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對應(yīng)邊相等及半徑相等得到等邊△。8。，，得到旋轉(zhuǎn)角為60。，然后利用三角形外角和定理

計算即可.

【詳解】???△40B繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到AOTTB,點(diǎn)。落在。。上，

???乙4=乙4'=27°,OB=O'B,

連接。。'，

???OB=00',

OO'B為等邊三角形，

乙OBO'=60°,

△AOB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)了60。，

.-./.ABA'=60°,

AOCB="+^ABA'=27°+60°=87°.

故答案為：87.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)中角度的計算，旋轉(zhuǎn)過程中對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)角處處相等.本題中利

用圓的半徑相等得到邊長關(guān)系進(jìn)而求得角度關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

題型04圓中線段長度的計算

12.（2023?湖南益陽?統(tǒng)考二模）如圖，在RtAABC中，NC=90。，點(diǎn)。在斜邊AB上，以BD為直徑的。。經(jīng)

過邊力C上的點(diǎn)E,連接BE,且BE平分乙4BC,若。。的半徑為3,AD=2,則線段BC的長為（）

24

C.D.6

5

【答案】c

【分析】連接。已證明。EIIBC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：連接。E,如圖，

?「BE平分4ABC,

：.Z.OBE=乙CBE,

YOB=OE,

:?乙OBE=乙OEB,

：.Z.CBE=乙OEB,

：.OE\\BCf

△AOEABC,

.OE_AO

"?BC-ABf

???。。的半徑為3,AD=2,

：.A0=40+0。=5,AB=A0+0B=8,

...D“C=-O-E-A--B=-3-X--8=——24,

AO55

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模）如圖，在中，=90。，點(diǎn)。在斜邊48上，以為直徑的。。經(jīng)

過邊/C上的點(diǎn)E,連接8E,且BE平分乙4BC,若。。的半徑為3,AD=2,則線段的長為（）

B.8

【答案】C

【分析】連接。E,由角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的推出=得到OEIIBC,因止匕ZiZOE

?AABC,得到4。：AB=OE：代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出的長.

【詳解】解：如圖，連接。E,

???BE平分乙/BC,

???Z.ABE=Z.CBE,

OE=0B,

???Z.OEB=Z.ABE,

??.Z.OEB=Z.CBE,

???OEWBC,

AOE?△ABC,

40：AB=OE：BC,

???。。的半徑為3,AD=2,

AO=AD+OD=2+3=5,AB=AD+BD=2+6=8,

???5：8=3：BC,

24

**.BC=—.

5

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形

的判定和性質(zhì).

14.（2022?湖北武漢.武漢第三寄宿中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，將兩個正方形如圖放置（B,C,E共線，D,

C,G共線），若42=3,跖=2,點(diǎn)。在線段BC上，以。尸為半徑作。。，點(diǎn)A,點(diǎn)廠都在。。上，則。。

的長是（）

BOCE

A.4B.V10C.V13D.V26

【答案】B

【分析】連接。4,OF,由題意得。4=OR設(shè)OC=x,由勾股定理得（久+2）2+22=（3-x）2+32,解答方

程可得0C的值，再運(yùn)用勾股定理可得0。的長.

【詳解】解：連接OA,OF,如圖，

是半圓。的半徑，

OA=OF,

:四邊形4BC。、EFGC是正方形，

/.乙ABC=Z.DCB=乙FEC=90°,AB=BC=CD=3,CE=EF=2

設(shè)。C=%,

BO=BC-OC=3-x,OE=OC+CE=x+2,

在Rf△480和RMFO中,

AB2+BO2=AO2,OE2+EF2=OF2,

：.32+(3-x)2=AO2,(x+2)2+22=OF2,

'：A0=FO

：.32+(3-%)2=(x+2)2+22,

解得，x-1,即OC=1,

在放△DOC中，DO2=OC2+DC2,

OD=y/OC2+CD2=UM+32=g,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本概念，勾股定理以及正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值

15.（2023?湖北咸寧?統(tǒng)考二模）如圖，正方形力BCD內(nèi)接干圓。，線段MN在對角線8。上運(yùn)動，若圓。的面

積為2it,MN=1,ZkAMN周長的最小值是.

【答案】4

【分析】由正方形的性質(zhì)知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)C作C4IIBD,且使&1'=1,連接A4'交8。于

點(diǎn)N,取MN=1,連接AM、CM,則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解.

【詳解】解：。。的面積為2m則圓的半徑為/，BD=2^2=AC,

由正方形的性質(zhì)知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于8。的對稱點(diǎn)，

過點(diǎn)C作CAIIBD,且使C4'=l,

連接44交BD于點(diǎn)N,取MN=1,連接4M、CM,則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn),

理由：???4CIIMN,且4C=MN,則四邊形MCAN為平行四邊形,

則AN=CM=4M,

故44MN的周長=AM+AN+MN=AA'+1為最小，

,?,正方形4BCD中AC1BD,

：.A'C1AC,

A'A=y/AC2+A'C2=(2A/2)2+I2=3,

則44MN的周長的最小值為3+1=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、點(diǎn)的對稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系xoy中，O。的半徑為2,點(diǎn)M在O。上，點(diǎn)N在線段。M上，

設(shè)。N=t（l<t<2）,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（一4,0）,將點(diǎn)P沿。M方向平移2個單位，得到點(diǎn)P',再將點(diǎn)P'作關(guān)

于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)Q,連接PQ,當(dāng)點(diǎn)M在。。上運(yùn)動時，PQ長度的最大值與最小值的差為.（用含/的

【分析】根據(jù)題意作出點(diǎn)P'和點(diǎn)Q,連接P'M,PO,并延長P'M至點(diǎn)、B,使得P'M=BM,連接BQ并延長交P。

的延長線于點(diǎn)C,證明四邊形P'PCB為平行四邊形，四邊形P'POM為平行四邊形，求出PC和CQ的長度，根

解：根據(jù)題意作出點(diǎn)P'和點(diǎn)Q,如圖，連接P'MF。，并延長P'M至點(diǎn)使得PM=連接BQ并延長交

P。的延長線于點(diǎn)C,

???將點(diǎn)P'作關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)Q,

：.P'N=NQ,

???P'M=BM,

BQ=2MN=2X(OM-ON)=4-2t,且MN||8Q,

???將點(diǎn)P沿OM方向平移2個單位，

???P'PWOMWBQ,P'MWPO,

???四邊形P'PCB為平行四邊形，四邊形P'POM為平行四邊形，

???將點(diǎn)尸沿OM方向平移2個單位，

P'P=BC=2,

???QC=BC-BQ=2-(4-2t)=2t-2,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,0),

PC=P'B=2P'M=8,

由圖得，PC-CQ<PQ<PC+CQ,

..PQ的最大值為PC+CQ=2t+6,PQ的最小值為PC-CQ=10-2t,

PQ長度的最大值與最小值的差為2t+6-(10-2t)=4t-4.

故答案為：4t—4.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，主要考查了中位線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的判定及性

質(zhì)，正確畫出圖形并作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.(2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考三模)如圖，在RtAABC中，乙4BC=90。，AB=8,BC=6,。為線段力B上的

動點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)B作BE1CD交CD于點(diǎn)E,則在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，求線段4E的最小值為.

【答案】V73-3/-3+V73

【分析】根據(jù)BE_LCD,得到NBEC=90。，進(jìn)而得到點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，設(shè)BC的中點(diǎn)為0,連接2。，

交O。于點(diǎn)心連接。瓦則：AE>OA-OE,當(dāng)且僅當(dāng)0,4,E三點(diǎn)共線時，AE取得最小值，即點(diǎn)E與點(diǎn)F重

合時，4E取得最小值，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：J.CD,

:.乙BEC=90°,

...點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，

設(shè)BC的中點(diǎn)為0,連接4。，交。。于點(diǎn)F,連接。E,貝hAE>OA-OE,

.?.當(dāng)且僅當(dāng)0,4E三點(diǎn)共線時，4E取得最小值，此時點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，

'：^ABC=90°,AB=8,BC=6,

/.OF=BO=3,AO=yjAB2+BO2=V73

.??4E的最小值為：XO-OF=V73-3；

故答案為：V73-3.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，求一點(diǎn)到圓上的距離的最小值.解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E在以為直徑的圓上.

18.（2023?安徽合肥?校聯(lián)考一模）如圖，在矩形4BCD中，AB=6,BC=4,P是矩形內(nèi)部一動點(diǎn)，且滿足

則線段BP的最小值是；當(dāng)8P取最小值時，DP延長線交線段BC于E,貝UCE的長

為.

【答案】23

【分析】（1）如圖，由NBCP=NPDC及=90。易證NCPD=90。，所以點(diǎn)尸在以CO為直徑的圓上，連

接0B,交。。于P,此時BP長最小，根據(jù)勾股定理求解0B=5,進(jìn)而求得BP為2；

（2）如圖，作OF||BC交DE于F,由。C=。?？勺C。F=-CE,由4BPE-△OPF知些=—,從而解得CE=3.

2OFPO

解：???四邊形4BCD矩形，

:.乙BCD=90°,

:?(BCP+乙DCP=90°

ZBCP=乙PDC,

???乙PDC+乙PCD=90°,

???Z.CPD=90°,

以CO為直徑作。。，。。經(jīng)過點(diǎn)P,連接08,交。。于P,此時PB長最小.

u：0B2=BC2+CO2=42+32,

??.OB=5,

：.PB=OB-OP=5—3=2,

故答案為2.

(2)作OF||BC交DE于F,

■■■OC=OD,

DF=EF,

OF=-CE,

2

OF||BC

：.Z.PFO=乙PEB,乙POF=Z.PBE

:?&BPE?XOPF

.BEBP

??1—?

OFPO

?4-CE2

??-j=一,

3

CE=3.

故答案3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的外接圓、點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問題、中位線定理、相似三角形的判定和

性質(zhì)；明確動點(diǎn)尸的軌跡，確定BP取最小值時點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵；求CE長的關(guān)鍵是利用矩形的性質(zhì)

及（1）空的結(jié)論構(gòu)造相似三角形求解.

題型06由垂徑定理及推論判斷正誤

19.（2022?山東濟(jì)寧?二模）如圖，在O。中，是直徑，CQ是弦，AB1CD,垂足為E,連接C。、AD.OD,

4BAD=22.5°,則下列說法中不正確的是（）

A.CE=EOB.OC=V2CD

C./-OCE=45°D.乙BOC=2乙BAD

【答案】B

【分析】由ABLCD,4B是。。的直徑，得CE=DE,BC=BD,進(jìn)而得出△OCE為等腰直角三角形，進(jìn)

而得出NOCE=45。，OC=>/2CE,CE=OE,從而得出答案.

【詳解】解：?.?4B±CD,AB是。。的直徑，

CE=DE,BC=BD,

???乙BOC=2A.BAD=2X22.5°=45°,

OCE為等腰直角三角形，

AOCE=45°,OC=V2CF,CE=OE,

：.OC^—CD.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

20.（2022?河南許昌?統(tǒng)考一模）如圖，是。。的直徑，弦A8LCD于點(diǎn)E,則下列結(jié)論不一定成立的是

（）

A.AE=BEB.OE=DEC.AC=廢D.AD=

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷.

【詳解】解：???CD是。。的直徑，弦48,CO于點(diǎn)E,

AE=EB,AC=RG,9=血

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

21.（2018?內(nèi)蒙古包頭?校聯(lián)考一模）如圖，已知AB是。。的直徑，弦CDLAB于E,連接BC、BD、AC,

下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.ZACB=90°B.OE=BEC.BD=BCD.=Af

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理及圓周角定理進(jìn)行解答即可.

【詳解】：AB是。O的直徑，

AZACB=90°,故A正確；

:點(diǎn)E不一定是0B的中點(diǎn)，

.?.OE與BE的關(guān)系不能確定，故B錯誤；

VAB±CD,AB是。O的直徑,

：.BD=阮,

；.BD=BC,故C正確;

：.AD=AC,故D正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的

關(guān)鍵.

題型07利用垂徑定理求解

22.（2023?云南?模擬預(yù)測）如圖，已知A8是。。的直徑，CZ）是。。的弦，AB^CD.垂足為E.若AB=26,

CD=24,則NOCE的余弦值為（）

12

AB.D常

-i13

【答案】B

【分析】先根據(jù)垂徑定理求出CE=^CD,再根據(jù)余弦的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：："是。。的直徑，回CD

：.CE=\CD=12^OEC=^,OC^AB^,

CE12

AcoszOCE=—=—

OC13

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義是解答

此題的關(guān)鍵.

23.（2023?陜西西安?校考二模）如圖，CD是圓。的弦，直徑垂足為E,若48=12,BE=3,則

四邊形的面積為（）

C.18V3D.72V3

【答案】A

【分析】連接OC,首先根據(jù)題意可求得OC=6,OE=3,根據(jù)勾股定理即可求得CE的長，再根據(jù)垂徑定理

即可求得CD的長，據(jù)此即可求得四邊形AC8O的面積.

【詳解】解：如圖，連接0C,

\'AB=n,BE=3,

：.OB=OC=6,OE=3,

'：AB±CD,

：.在RtXCOE中，EC=VOC2-OE2=736—9=3日，

：.CD=2CE=6y/3,

四邊形ACB。的面積-CD=|X12X6A/3=36V3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理，熟練掌握和運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵.

24.（2022?北京豐臺?統(tǒng)考一模）如圖，。。的直徑AB垂直于弦CQ,垂足為E,/CAD=45。,則/80C=

c

BEO

D

【答案】45

【分析】根據(jù)垂徑定理可得△AC。是等腰三角形，ZBAC=22.5°,然后再利用圓周角定理可得NBOC=45。.

【詳解】解：；。。的直徑A2垂直于弦CD

：.CE=DE,

：.AB垂直平分CD

：.AC=AD

...△AC。是等腰三角形

11

，ZBAC=-ZCAD=-x45°=22.5°

22

，ZBOC=2ZBAC=45°,

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂直于弦的直徑

平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧

所對的圓心角的一半.

25.（2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模）如圖，已知A8是。。的弦，ZAOB=120°,OC±AB,垂足為C,OC

的延長線交。。于點(diǎn)D.若NAP。是他所對的圓周角，則/APO的度數(shù)是.

D

【答案】30。/30度

【分析】根據(jù)垂徑定理得出進(jìn)而求出/AO0=6O。，再根據(jù)圓周角定理可得

1

ZAPD=-ZAOD=30°.

2

【詳解】VOC1AB,0。為直徑,

???肋=舫，

???ZAOB=ZBOD,

,/ZAOB=120°,

：.ZAOD=60°,

i

???ZAPD=-ZAOD=30°

29

故答案為：30。.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.

題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解

26.（2022?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模）如圖，。。是△ABC的外接圓，2。是O。的直徑，2。1匹于點(diǎn)反

（1）求證：乙BAD=ACAD-,

（2）連接B。并延長，交4C于點(diǎn)尸，交O。于點(diǎn)G,連接GC.若O。的半徑為5,OE=3,求GC和。F的長.

【答案】（1）見詳解；（2）GC=6,OF=^-

11

【分析】（1）由題意易得的=6,然后問題可求證；

（2）由題意可先作圖，由（1）可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則有。E=1CG,OE〃CG,進(jìn)而可得A/lOFCGF,

然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】（1）證明：是O。的直徑，ADLBC,

:.呢=CD,

：./.BAD=乙CAD；

（2）解：由題意可得如圖所示:

n

由（1）可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),

:點(diǎn)。是BG的中點(diǎn)，

：.0E=^CG,OE//CG,

：.△AOFCGF,

.0A_OF

*'CG~GF9

*：0E=3,

ACG=6,

???。。的半徑為5,

AOA=OG=5,

,5_OF

??6-GF9

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形

中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

27.（2023?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預(yù)測）小明向如圖所示的圓形區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢.已知△4BC是等邊三角形,

。點(diǎn)是弧/C的中點(diǎn)，則飛鏢落在陰影部分的概率為.

【分析】如圖，連接。40C,連接。。交/C于E,貝1J。。1AC,AE=CE,OD=OC=CD=OA,^OAE=

ADCE=30°,證明AAOE三ACDEISAS）,貝略少0￡=S^DE，S陰影=S扇形和口=鬻，根據(jù)飛鏢落在陰影

部分的概率為警，計算求解即可.

S。。

【詳解】解：如圖，連接。40C,連接。。交/C于E,

由題意知，。。1AC,AE=CE,WAE=(DCE=30°,

9：AD=CD,

：.Z.AOD=乙COD=60°,

*：OD=OC,

△c。。是等邊三角形，

ACD=OA,

在AAOE和△COE中，

OA=CD

9：UOAE=(DCE=30°,

、AE=CE

：.△AOE=ACDF(SAS),

??S—OE=S^CDE，

,c—c—60—2

??J陰影一J扇形zoo-WT，

2

Q60；rr

陰影=='

,SQQa?6'

...飛鏢落在陰影部分的概率為:，

6

故答案為：

6

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓周角相等，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，扇形面積，幾何概率等知識.解題的關(guān)鍵在于正確的表示陰影部分面積.

28.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)如圖A8與圓O相切于A,3是圓。內(nèi)一點(diǎn)，與圓相交于C.已知BC

=DC=3,OD=2,AB=6,則圓的半徑為.

A

B

【答案】V22

【分析】連接2C并延長，交圓于R過。作連接4C,04AF，證明則可得

=BC,BF,進(jìn)而求得。E=|,00=2,勾股定理求解即可.

【詳解】解：連接BC并延長，交圓于R過。作OELBF連接4&。44尸

??,A4是圓。的切線，切點(diǎn)為A,

.-.Z.OAB=90°

/-OAC+/.CAB=90°

■■■AG=AC

1

???Z-AOC=—Z-AFC

在△ZOC中，04=OC

???^AOC+2^0AC=180°

貝!J244FC+2404C=180°

??.AAFC+^OAC=90°

???Z-AFC=Z.CAB

又（B=2B

???△ABCs&PBA

AB_BC

：'~FB=~AB

：?AB2=BC?BF,

?；BC=DC=3,AB=6,

：.BF=n,CF=9,

：3

.DE=-2,OD=2,

：.OE=70D2—DE2=4--=—,CE=2,

q422

OC=y/OE2+CE2=/-+—=V22.

\44

故答案為：V22.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，證明4序=3。8凡是解題的

關(guān)鍵.

29.（2022.廣西欽州?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,點(diǎn)。是AC邊上一動點(diǎn)，

過點(diǎn)A作AE1BE交BD的延長線于點(diǎn)E,則差的最小值為.

【答案】3

【分析】連接OE,作EFLAC,垂足為點(diǎn)E先證明得出當(dāng)點(diǎn)E是只中點(diǎn)時，EF的值最

大，則器值的最小，此時E,F,O共線.再進(jìn)行計算即可.

DE

【詳解】解：如圖，設(shè)A3的中點(diǎn)為O,連接?！曜鱉_L4C,垂足為點(diǎn)R

VZC=90°,AE1BE,

：.ZC=ZAEB=90°f

???A,B,E,。四點(diǎn)共圓,

ZC=NA仍=90。,ZEDF=ZBDC,

：?4EDFs叢BDC,

.BD_BC

**DE~EF'

當(dāng)點(diǎn)E是此中點(diǎn)時，EP的值最大，則器值的最小，此時E,F,。共線.

DE

VAC=4,BC=3,

AB=732+42=5,

15

：.OE=-AB=-,

22

?：OE工AC,

：.AF=-AC=2,

2

：.OF=y/OA2-AF2=J(j)2-22=j,

53

：.EF=OE-OF=---=1,

22

.BDBC30

??==1=J,

DEEF1

.?噂的最小值為3.

DE

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，知道當(dāng)0EL2C時，E尸有最大值

是解題的關(guān)鍵.

30.(2021?四川成都?統(tǒng)考二模)如圖，在半徑為3迎的。。中，A2是直徑，AC是弦，。是4C的中點(diǎn)，AC

與8。交于點(diǎn)E.若E是8。的中點(diǎn)，則AC的長是.

【答案】8

【分析】連接交AC于凡根據(jù)垂徑定理得出ODJ_AC,AF=CF,進(jìn)而證得。尸=BC,根據(jù)三角形中

位線定理求得。/=部=打尸，從而求得BC=。尸=2魚，利用勾股定理即可求得AC.

【詳解】解：連接。。，交AC于尸,

?.,。是ac的中點(diǎn),

：.OD±AC,AF=CF,

：.NDFE=90。,

'：OA=OB,AF=CF,

：.OF^BC,

,：AB是直徑，

ZACB=90°,

在△￡/￡>和AECB中，

2DBE=4BCE=90°

乙DEF=乙BEC，

1.DE=BE

:.AEFDm/\ECB(A4S),

：.DF=BC,

：.OF^DF,

?：OD=3五,

：.OF=V2,

:.BC=26

在放“BC中，AC2=AB2-BC2,

：.AC=\lAB2-BC2=J(6V2)2-(2V2)2=8,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理及推論、全等三角形的判定、勾股定理、靈活應(yīng)用性質(zhì)及定理是

關(guān)鍵，熟練掌握垂徑定理是重點(diǎn).

題型09在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)

31.(2022?山東淄博?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為5的OE與y軸交于點(diǎn)4(0,-2),B(0,4),

與％軸交于C,D,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(4-2A/6,0)B.(-4+2旄,0)C.(-4+V26,0)D.(4-V26,0)

【答案】B

【分析】如圖，作EF1CD于F,6"148于用，連接ED,由題意知M為4B中點(diǎn)，坐標(biāo)為(0,1),在Rt△BEM

中，由勾股定理得EM='OB?-BM2,求出EM的值，進(jìn)而得出E的坐標(biāo)，在RtAEFD中，由勾股定理FD=

一上下2求出的值,進(jìn)而可得。點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，作EF_LCD于F,于M,連接ED

由題意知M為A,B中點(diǎn)，坐標(biāo)為(0,1)

?：OB=5,BM=3

在RtABEM中，由勾股定理得EM='OB2-BM?=4

\'EF=。"=1

4,1)

在Rt△EFD中，由勾股定理得FD=VFZ)2-EF2=V52-I2=2V6

.'.0(-4+276,0)

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵在于求出E的坐標(biāo).

32.(2021?浙江寧波?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知71(10,0),8(8,0),點(diǎn)C,D是以。力為直徑的

半圓上兩點(diǎn)，且四邊形。CD8是平行四邊形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

A.⑵3)B.(2,4)C.(1,2)D.(1,3)

【答案】D

【分析】作MNLCD于點(diǎn)N,連接MC,作CELOA于點(diǎn)E,則四邊形MNCE是矩形.根據(jù)垂徑定理即可

求得CE的長，即C的橫坐標(biāo)，然后在直角AMNC中，利用勾股定理求得的長，則C的縱坐標(biāo)即可求

解.

【詳解】解：作MNLC。于點(diǎn)N,連接MC,作CELOA于點(diǎn)E.

則四邊形MNCE是矩形.

,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,0),點(diǎn)2的坐標(biāo)是(8,0),

.?.。4=10,OB=8,

,/四邊形OCDB是平行四邊形，

:.CD=OB=8.

,:MN工CD于點(diǎn)、N,

11

???CN=DN=-CD=-OB=4.

22

???四邊形MNCE是矩形，

；.EM=CN=4,

：.OE=OM-EM=5-4=1.

在直角△CMN中，CM=OM=5,MN=yJCM2-CN2=3.

:,CE=MN=3.

???C的坐標(biāo)是：(1,3).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及平行四邊形的性質(zhì)，把求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化成求線段的長的問題是常

用的解題方法.

33.（2017?山東臨沂?校考一模）如圖，已知。A在平面直角坐標(biāo)系中，OA與x軸交于點(diǎn)B,C,與y軸交

于點(diǎn)D,E,若圓心A的坐標(biāo)為（-4,6）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-12,0）,則DE的長度為（）

A.2V21B.4VHC.8D.16

【答案】B

【詳解】連接AD,AB,再過點(diǎn)A作AN_LOB于N,AM_LDE于M.,則AMON是矩形,

?.?點(diǎn)A在第二象限，OA與x軸交于B（-12,0）點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（-4,6）,

.,.OB=12,ON=AM=4,AN=6,/.BN=8,

VANXOB,由垂徑定理可知：AB=AD=V62+82=10,VAMXDE,

.*.DM=V102-42=2VH,.,.DE=2DM=4A/2T,故選B.

34.（2022.四川瀘州?模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=>0）

圖像上的一個動點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心，3為半徑的圓與直線y=x相交，交點(diǎn)為4、B,當(dāng)弦4B的長等于24時，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(應(yīng),3/)或(3a,迎)

【分析】當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x上方時，作PH1AB,利用垂徑定理可得4H=V5,由勾股定理易得PH,作PM1%

軸交直線4B于點(diǎn)C,由PH可得CP,設(shè)。M=a,貝“CM=a,易得，P(a,a+2V2),因?yàn)镻點(diǎn)在反比例函數(shù)

圖像上，所以易得a(a+2a)=6可得a,易得P點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x下方時，利用對稱性可得P點(diǎn)

的另一坐標(biāo).

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x上方時，連接P4作PHLAB,

???AH=V5,而PA=3,

PH=2.

作PM1x軸交直線4B于點(diǎn)C,

ZzCOM=乙PCH=45°,

J./-PCH=AHPC=45°,OM=CM,

：.PC=V2PW=2V2,

設(shè)。M=a,貝UCM=a,

P[a,a+2V2),

?點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=g(x>0)圖像上的一個動點(diǎn),

a(a+2V2)=6,

■■■a—y/2,(負(fù)值舍去)

.-■P(V2,3V2),

當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x下方時，由對稱性可知P（3M&）.

故答案為：（V2,372）^（372,V2）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)、勾股定理等知識點(diǎn)，正確作出恰當(dāng)?shù)?/p>

輔助線、利用勾股定理和垂徑定理解得PC是解答此題的關(guān)鍵.

題型10利用垂徑定理求平行弦問題

35.（2021.浙江衢州??？家荒＃┤鐖D，已知AB是半圓。的直徑，弦C￡>=8.AB=10,則CO與

【答案】3

【分析】過點(diǎn)。作CD于連接OC,先利用垂徑定理得到CH=4,然后在R3OCH中，利用勾股

定理即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)。作于

*8=4,

在RtAOCH中，OH=A/52-42=3,

所以。與AB之間的距離是3.

故答案為3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題關(guān)鍵.

36.（2022.黑龍江?統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABC。與圓心在上的。。交于點(diǎn)G,B,F,E,GB=5,E尸=4,

那么AD=

D

【分析】連接。尸，過點(diǎn)。作O//LER垂足為“，根據(jù)垂徑定理，在△。郎中，勾股定理計算.

【詳解】如圖，連接OF,過點(diǎn)。作OHJ_EF,垂足為“，

：.OF=OB=~,