成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（五大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新教材新高考）（解析版）

第02講成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

目錄

I-變量間的相關(guān)關(guān)系

-線性回歸

-非線性回歸

1-獨(dú)立性檢驗(yàn)

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

題型二：一元線性回歸模型

題型三：非線性回歸

題型四：列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

題型五：誤差分析

第1頁共46頁

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.從近五年的全國卷的考查情況來看,本節(jié)是

(2)理解一元線性回歸模型和2x2列聯(lián)高考的熱點(diǎn)，主要以解答題形式出現(xiàn)，經(jīng)常

表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問2023年上海卷第14題，4分與概率綜合出題，一般難度為中等.也可能

題.2023年天津卷第7題，5分以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度不大.主

(3)會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.2023年甲卷(文)第19題，12分要以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)，多與經(jīng)濟(jì)、生活實(shí)

2022年/卷第20題，12分際相聯(lián)系，需要在復(fù)雜的題目描述中找出數(shù)

量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)模型

解決實(shí)際問題.

變置之間的相關(guān)關(guān)系

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

列聯(lián)表

獨(dú)立性檢驗(yàn)

等高條形圖

H夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系.由于

相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過收

集大量的數(shù)據(jù)，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對(duì)它們的關(guān)系作出判斷.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，

而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

2、散點(diǎn)圖

第2頁共46頁

將樣本中的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（4力）（i=1,2,…,〃）描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖

中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將

它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；

（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將

它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示.

⑵

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量工的取值%?,變量y的觀測(cè)值為則變量1與y的相關(guān)系數(shù)

-x）（%-y）-nxy

r=----------=?2：,通常用r來衡量X與y之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，

22

?。?-x）2次（％7）2區(qū)xi-nx/Jyt-ny

Vz=li=lVi=lVi=l

r的范圍為-iWrWl.

（1）當(dāng)r>0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

（2）卜|越接近1,表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；卜|越接近°，表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相

關(guān)關(guān)系.當(dāng)團(tuán)=1時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上.

（3）通常當(dāng)舊>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)二、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法.

對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（xi，yi）,（及,竺），…，（/，為），其回歸方程y=bx+a的求法為

Z(X,.-尤)(％-y)E\yi-nxy

b=-^—^----------二號(hào)---------

士(七―才fl：—信

Z=1Z=1

a-y-bx

—1n_in—_

其中，x=~y'xj,y=—Vy;,(x,y)稱為樣本點(diǎn)的中心.

ni=in,=1

2、殘差分析

對(duì)于預(yù)報(bào)變量y,通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值％,通過回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減

第3頁共46頁

去預(yù)測(cè)值等于殘差，2稱為相應(yīng)于點(diǎn)（4外）的殘差，即有自=%-%.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過

對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘

差分析.

（1）殘差圖

通過殘差分析，殘差點(diǎn)（專的比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣

的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過殘差平方和。=f（y-502分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；

1=1

反之，不合適.

（3）相關(guān)指數(shù)

iA

用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2=l-^--------.

i=l

改越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

知識(shí)點(diǎn)三、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線

性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原

后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二

次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、募函數(shù)模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

知識(shí)點(diǎn)四、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1、分類變量和列聯(lián)表

（1）分類變量：

變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

（2）列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

第4頁共46頁

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為｛玉，Z｝和｛%,為｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱

為2x2列聯(lián)表)為

為總計(jì)

不aba+b

x2Cdc+d

總計(jì)Q+Cb+dn=a+b+c+d

從2x2列表中，依據(jù)二與工的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系.

a+bc+d

2、等高條形圖

(1)等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列

聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.

(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)，與上相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.

a+bc+d

3、獨(dú)立性檢驗(yàn)

2

計(jì)算隨機(jī)變量Z=------"(ad-bcf-------利用2的取值推斷分類變量x和y是否獨(dú)立的方法稱為

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

/獨(dú)立性檢驗(yàn).

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【解題方法總結(jié)】

常見的非線性回歸模型

(1)指數(shù)函數(shù)型y=c優(yōu)(°>0且awl,c>0)

兩邊取自然對(duì)數(shù)，lny=ln(ca*),即Iny=Inc+xlna,

令]，’，原方程變?yōu)閥'=lnc+x'lna,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.

[x=%

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y=Z?lnx+a

令R,原方程變?yōu)閥'=6x'+a,然后按線性回歸模型求出a.

[x=Inx

(3)嘉函數(shù)型y=

兩邊取常用對(duì)數(shù)，lgy=lg(dx"),即Igy=〃lgx+lga,

第5頁共46頁

令11Tgy，原方程變?yōu)閥'=nx'+lga,然后按線性回歸模型求出“，Iga.

[x=Igx

(4)二次函數(shù)型)=笈2+。

令=1,原方程變?yōu)閥'=6元'+4,然后按線性回歸模型求出6,a.

\x=x

h

(5)反比例函數(shù)型y=a+2型

x

y,=y

令，i，原方程變?yōu)?/=云，+々，然后按線性回歸模型求出人，

X=—

f提升?必考題型歸納

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

例L(2023?河北?高三校聯(lián)考期末)下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是

)

八殘差八殘差

400.40

200**.*20

A.B.

0-

7002.4-6-810121424.6810-1214觀測(cè)

-200

/-時(shí)間-20??二時(shí)間

-400--40

「殘差

T殘差

10004

5002

C.D.

0-0

2.4.6310L214觀測(cè)24.68101214

-500?\.房間-2,,?時(shí)間

-1000-4

【答案】D

【解析】用殘差圖判斷模型的擬合效果,殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較

合適,

帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，顯然D選項(xiàng)的擬合精度最高.

故選：D.

例2.(2023?天津薊州?高三?？奸_學(xué)考試)對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)

4=0.8995,對(duì)兩個(gè)變量M,v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)4=-09568,則下列判斷正確的是

()

A.變量x與〉正相關(guān)，變量〃與v負(fù)相關(guān)，變量x與〉的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量X與y負(fù)相關(guān)，變量M與V正相關(guān)，變量X與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

第6頁共46頁

C.變量x與y正相關(guān)，變量〃與V負(fù)相關(guān)，變量M與V的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量X與y負(fù)相關(guān)，變量M與V正相關(guān)，變量a與V的線性相關(guān)性較強(qiáng)

【答案】C

【解析】因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)4=0.8995＞0,所以x,y正相關(guān)，

因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)4=-。9568＜0,所以a,v負(fù)相關(guān)，

又因?yàn)橛谩赐?，所以變量a,v的線性相關(guān)性比x,＞的線性相關(guān)性強(qiáng)，

故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

例3.（2023?寧夏吳忠?高三鹽池高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的散點(diǎn)圖中，若去掉點(diǎn)P,則下列說

法正確的是（）

?.P

-------------------------------------------------------?

OX

A.樣本相關(guān)系數(shù)「變大

B.變量x與變量y的相關(guān)程度變?nèi)?/p>

C,變量X與變量y呈正相關(guān)

D.變量x與變量y的相關(guān)程度變強(qiáng)

【答案】D

【解析】由散點(diǎn)圖知，自變量x與因變量＞呈負(fù)相關(guān)，即廠＜o(jì),故c錯(cuò)誤；

去掉點(diǎn)尸后，卜|進(jìn)一步接近1,所以「變小，故A錯(cuò)誤；

去掉點(diǎn)尸后，y與X的線性相關(guān)加強(qiáng)，即相關(guān)程度變強(qiáng)，故B錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

變式1.（2023?四川成都?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知建筑地基沉降預(yù)測(cè)對(duì)于保證施工安全，實(shí)現(xiàn)信息化監(jiān)控

有著重要意義.某工程師建立了四個(gè)函數(shù)模型來模擬建筑地基沉降隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，并用相關(guān)指數(shù)、誤

差平方和、均方根值三個(gè)指標(biāo)來衡量擬合效果.相關(guān)指數(shù)越接近1表明模型的擬合效果越好，誤差平方和

越小表明誤差越小，均方根值越小越好.依此判斷下面指標(biāo)對(duì)應(yīng)的模型擬合效果最好的是（）

A.

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9498.4910.499

B.

第7頁共46頁

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9334.1790.436

c.

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9971.7010.141

D.

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9972.8990.326

【答案】C

【解析】相關(guān)指數(shù)越接近于1，擬合效果越好，比較相關(guān)指數(shù)知，可選c,D,

誤差平方和及均方根值都越小，擬合效果越好，觀察誤差平方和和均方根值，知C的擬合效果最好.

故選：C.

變式2.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)，A,B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用

回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

則能體現(xiàn)人2兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【解析】在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系中，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng)，

在四個(gè)選項(xiàng)中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大，

殘差平方和越小，相關(guān)性越強(qiáng)，只有丁的殘差平方和最小，

綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性，

故選：D.

變式3.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考三模）觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定

的是（）

第8頁共46頁

“殘差產(chǎn)

100-3-

50

A.oB.一3?糊惘.磔燃:徽麒輜

-50-3-,,

-100■401002003004005006007008009001000*

020406080100觀測(cè)時(shí)間觀測(cè)時(shí)間

。殘差

1500?p左200

1000\150

100

500-50

C.0-D.0

-500--50

-100

-1000--150

-200

020406080100觀測(cè)時(shí)間0102030405060708090100觀測(cè)時(shí)間

【答案】B

【解析】根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差e的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為人的隨機(jī)變量的觀測(cè)

值.

對(duì)于A選項(xiàng),殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，故A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng),殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)；故B正確;

對(duì)于C選項(xiàng),殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，故C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng),殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變大，故D錯(cuò).

故選：B.

變式4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別對(duì)一組變量進(jìn)行線性相關(guān)試驗(yàn)，并分別

計(jì)算出相關(guān)系數(shù)小則線性相關(guān)程度最高的是（）

甲乙丙T

r0.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)上|越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，

所以線性相關(guān)程度最高的是乙.

故選:B

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）給出下列有關(guān)線性回歸分析的四個(gè)命題:

①線性回歸直線未必過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心（下,7）；

②回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；

③當(dāng)相關(guān)系數(shù)廠＞0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；

第9頁共46頁

④如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)「就越接近于1.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】對(duì)于①，線性回歸直線一定過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心叵,歹），故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，回歸直線在散點(diǎn)圖中可能不經(jīng)過任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)相關(guān)系數(shù)r＞0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，故③正確；

對(duì)于④，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)性系數(shù)廠就越接近于1或-1,故④錯(cuò)誤.

故真命題的個(gè)數(shù)為1,

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法

U）畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變

量負(fù)相關(guān).

（2）樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)廠＞0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)K0時(shí)，負(fù)相關(guān)；卜|越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng).

（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)各＞0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)5＜0時(shí)，負(fù)相關(guān).

題型二：一元線性回歸模型

例4.（2023?天津薊州?高三校考開學(xué)考試）為研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時(shí)間變化的繁殖情況，得到

如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

天數(shù)x（天）3456

繁殖個(gè)數(shù)y（千個(gè)）2.5344.5

由最小二乘法得y與x的線性回歸方程為y=Q7x+a，則當(dāng)％=7時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)丁的預(yù)測(cè)值為（）

A.4.9B.5.25C.5.95D.6.15

【答案】B

—1—1

【解析】由題中數(shù)據(jù)可得：x=W（3+4+5+6）=4.5,y=工（2.5+3+4+4.5）=3.5,

因?yàn)榛貧w直線必過樣本中心，

所以。=工-0.7%=3.5-0.7x4,5=0,35;

所以y=0.7x+0.35，

所以當(dāng)x=7時(shí)，＞=0.7x7+0.35=5.25，

故選:B

例5.（2023?湖南長沙?高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)為了豐富退休人員的業(yè)余文化生活，自2018

第10頁共46頁

年以來，始終堅(jiān)持開展“悅讀小屋讀書活動(dòng)”.下表是對(duì)2018年以來近5年該社區(qū)退休人員的年人均借閱量

的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：

年份20182019202020212022

年份代碼X12345

年人均借閱量y（冊(cè)）%%162228

（參考數(shù)據(jù)：=9。）通過分析散點(diǎn)圖的特征后，年人均借閱量V關(guān)于年份代碼x的回歸分析模型為

Z=1

y=5x+〃z，則2023年的年人均借閱量約為（）

A.31B.32C.33D.34

【答案】C

5

【解析】因?yàn)?J+2+：+4+5=3,_石"90］。，所以18=5x3+/〃，即〃7=3.

5y=——=——=18

所以回歸方程為y=5元+3，當(dāng)兀=6時(shí)，y=5x6+3=33.

故選：C.

例6.（2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知x,y的對(duì)應(yīng)值如下表所示:

X02468

y1m+12m+l3m+311

若y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為y=L6%+0.6,則機(jī)=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

■分TILL.—0+2+4+6+8—1+"z+1+2機(jī)+1+3機(jī)+3+11

［解析］X=-------------------=4,y=--------------------------------------=1.2m+3.4

又回歸直線方程為y=L6x+0.6,

所以1.27"+3.4=1.6X4+0.6,解得加=3.

故選：B.

變式6.（2023?廣西南寧?南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某單位在當(dāng)?shù)囟c(diǎn)幫扶某村種植一種草莓，并把這種

原本露天種植的草莓搬到了大棚里，獲得了很好的經(jīng)濟(jì)效益.根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的草莓的箱數(shù)x（單

位：箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：

X102030406080

yX%%%>6

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可以認(rèn)為尤與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用最小二乘法求出線性回歸方程y=bx+a（4,

第11頁共46頁

5用分?jǐn)?shù)表示）

（2）某農(nóng)戶種植的草莓主要以300元/箱的價(jià)格給當(dāng)?shù)卮笮蜕坛┴洠嘤嗟牟葺恳?00元/箱的價(jià)格銷

售給當(dāng)?shù)匦∩特?據(jù)統(tǒng)計(jì)，往年1月份當(dāng)?shù)卮笮蜕坛葺男枨罅繛?0箱、100箱、150箱、200箱的概

率分別為二，J，；，根據(jù)回歸方程以及往年商超草莓的需求情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，求今年1月份農(nóng)戶草莓

105z5

的種植量為200箱時(shí)所獲得的利潤情況.（最后結(jié)果精確到個(gè)位）

66￡（%-可（其-刃

附：y）=790,E%=54,在線性回歸直線方程9=&+&中上―-----------

i=l

d=y-bx.

10+20+30+40+60+80-54

【解析】（1）因?yàn)樵?=40,y=—=Q9,

6o

所以士（七—元『二900+4°°+10°+°+400+160°=3400,

i=l

由題意可知￡山一x）（y,.-y）=790,

i=l

￡（%-?。ǎ?9）

790_79

所以3=―-----------------

f（%-元）23400~340

i=l

795

又因?yàn)椋?9-------x40=——

34017

所以回歸方程為￡=急791-5

79“八5785/十一、

（2）由回歸方程知，若農(nóng)戶草莓的種植量為200箱，則成本為9=備乂200-----=-----（千兀）.

1717

設(shè)農(nóng)戶草莓的種植量為200箱時(shí)的收入為y元，200箱草莓供給大型商超和小商販分別光箱和y,顯然

x+y=200,

由題意y=300x+200y,因此羽,以及丫的可能取值如下表:

X50100150200

y150100500

Y=300x+200y45000500005500060000

所以丫的分布列為:

Y45000500005500060000

第12頁共46頁

1111

P————

10525

所以磯卜）=乂］

45000+50000x-+55000x-+60000x-=54000,

525

7X5

所以預(yù)測(cè)所獲利潤約為54000-石-'100°。7824元.

變式7.（2023?江西?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某新能源汽車銷售部對(duì)今年1月至7月的銷售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分

析，因不慎丟失一些數(shù)據(jù)，現(xiàn)整理出如下統(tǒng)計(jì)表與一些分析數(shù)據(jù):

月份1月2月3月4月5月6月7月

月份代號(hào)X1234567

銷售量y（單位：萬輛）15.6mnS37.739.644.5

其中9=312.

（1）若加，n,$成遞增的等差數(shù)列，求從7個(gè)月的銷售量中任取1個(gè)，月銷售量不高于27萬輛的概率;

⑵若=670.48,x與y的樣本相關(guān)系數(shù)廠=。99,求y關(guān)于x的線性回歸方程9=幾+。，并預(yù)測(cè)

1=1

今年8月份的銷售量工精確到0.1）.

附：相關(guān)系數(shù),線性回歸方程？=取+3中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別

為一:a=y-bx.

白尤廠X）2

/=1

參考數(shù)據(jù)：6a2.65,V670.48?25.89.

15.6+根+〃+s+37.7+39.6+44.5...

【解析】（1）因?yàn)榇?31.2.所以--------------------------------------------=31.2,

7

所以〃7+a+s=81,

又加，n,s成遞增的等差數(shù)列，所以加+s=2〃旦根<〃<s,

所以"=27,且m<27<s,

所以月銷售量不高于27萬輛的有15.6,加，〃共3個(gè)，又基本事件總數(shù)為7,

故所求概率為：3

一17

（2）由表中數(shù)據(jù)可知，x=-^xt=4,28

/i=l

第13頁共46頁

所以gb4.88r=4.88x0.99。4.8，

由元=4,V=31.2,得&=9一成元=31.2-4.8x4=12.0,

故》關(guān)于x的線性回歸方程為￡=4.8元+12.0.

當(dāng)x=8時(shí)，￡=4.8x8+12=50.4,

所以預(yù)測(cè)今年8月份的銷售量大約為50.4萬輛.

變式8.（2023?四川成都?高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）己知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在6℃~22c之

間，一農(nóng)學(xué)實(shí)驗(yàn)室研究人員為研究溫度x（℃）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)y（顆）之間的關(guān)系，每組選取了成

熟種子50顆，分別在對(duì)應(yīng)的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下散點(diǎn)圖：

35■

V___1___X___I____I____I____I____I____I

JIIIIIIII

o'—::-!――i—!—!~!―>

789101112131415x

_7__7_

其中y=24,X（W-x）（y-y）=70,^（x-y）2=176.

i=li=l

（1）運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？

⑵求出y關(guān)于x的線性回歸方程與=鼠+機(jī)并預(yù)測(cè)在19。。的溫度下，種子的發(fā)芽的顆數(shù).

?__n__

X（%-X）（%-y）Z（%-x）（%-y）

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=下「_”U,回歸直線方程￥=鼠+）其中b=上，——=——

JS（七一元）5（%一y）2￡（七-

Vz=lz=li=l

6=亍-版.參考數(shù)據(jù)：V77?8.77.

【解析】（1）根據(jù)題意，=1（8+9+10+11+12+13+14）=11.

^（x,.-x）2=（8-11）2+（9-11）2+（10-11）2+（11-11）2+（12-11）2+（13-11）2+（14-11）2=28,

Z=1

工（%-可力（％一刃2

=128x176=8"B70.16.

1=11=1

第14頁共46頁

7

￡（%-可（%-刃70

08

因而相關(guān)系數(shù)r=「7=布/""

忙（一）》（—吊-

Vi=lZ=1

由于卜上0.998很接近1,.?.可以用線性回歸方程模型擬合y與x的關(guān)系.

7

2（七一下肌-刃

5

⑵6=『----------=-

訃T2

Z=1

57

3=24----x11=—,

22

57

.??y關(guān)于x的回歸方程為9=

57

若X=19,則夕=彳翅9-彳=44顆.

...在19℃的溫度下，預(yù)測(cè)種子的發(fā)芽顆數(shù)為44.

變式9.（2023?安徽亳州?蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和

野生動(dòng)物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積花分為400個(gè)區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取40個(gè)區(qū)塊，得到樣

本數(shù)據(jù)（4%）。=12,40）,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

X2.73.63.23.9

y50.663.752.154.3

40404040

經(jīng)計(jì)算得：+>,=160,￡%=2400,E（x,-可一=160,-元）（y-y）=1280.

1=1Z=1Z=1Z=1

（1）利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了無關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標(biāo)系xOy下,

橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動(dòng)物數(shù)量〉一致.設(shè)前者與后者的斜率分別為k2,

比較左,我的大小關(guān)系,并證明.

^x^i-nx-y

附：y關(guān)于x的回歸方程y=a+bx中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:b=^----—

￡x：一〃x-

1=1

信5］島2打

【解析】⑴片果=4,-2400071280o

y=-77T=6。，^=---=8,Q=60—32=28,

40160

第15頁共46頁

故回歸方程為y=8x+28;

（2）x關(guān)于y的線性回歸方程為x=的+"y,4=乂工----------

又卜⑷，卜,

h>Q,故即k14k2,

下證：k#k小

若匕=心，則|廠|=1，即y=8%+281=1,2,,40）恒成立,

代入表格中的一組數(shù)據(jù)得：50.6^8x2.7+28,矛盾，

故匕＜￡.

綜上，y關(guān)于龍的回歸方程為y=8x+28.

【解題方法總結(jié)】

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟

I-----------------------------------------------------------1

（步驟一甘甘算出得了,的,＞必或士（x,-x）（y,-y）,1

12（％-初2的值

VL-----------------------------------；

（步驟二H利用公式計(jì)算系數(shù)工務(wù)]

0二二二二二二二二二___

（步驟三H寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程$=5x+AJ

題型三：非線性回歸

例7.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若需要刻畫預(yù)報(bào)變量w和解釋變量x的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知

道預(yù)報(bào)變量卬隨著解釋變量x的增大而減小，并且隨著解釋變量x的增大，預(yù)報(bào)變量w大致趨于一個(gè)確定

的值，為擬合卬和x之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程中的（b＞0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）

A.w-bx+aB.w=-blnx+aC.w=-b^[x+aD.w-be~x+a

【答案】D

【解析】對(duì)于A：因?yàn)閥=x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且方＞0,所以W隨著X的增大而增大，不合題意，故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閥=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且6＞0,所以w隨著x的增大而減小，當(dāng)解釋變量x-+8,

第16頁共46頁

W-—co,不合題意，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：因?yàn)閥=?在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且6>0,所以W隨著X的增大而減小，當(dāng)解釋變量Xf+8,

wf-co,不合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)閥=er=d『在定義域內(nèi)單調(diào)遞減且6>0,所以w隨著x的增大而減小，當(dāng)解釋變量

e

x->+8,w->a,故D錯(cuò)誤；

故選：D.

例8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)

增長.已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模y與年份代碼尤的關(guān)系可以用模

型>=。聲/（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)z=lny,得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代碼尤12345

云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y/千萬元7.4112036.666.7

z=Iny22.433.64

由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=Q52x+a,則2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為（）

A.e508B.e5-6C.e612D.e65

【答案】B

【解析】因?yàn)閤=3,z=3,

所以a=1-0.521=3-3x0.52=1.44，

即經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=0.52x+1.44,

當(dāng)x=8時(shí)，z=0.52x8+1.44=5.6,

所以y=ez=e&6,

即2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為e56,

故選：B

例9.（多選題）（2023?福建廈門?廈門一中?？既＃┰趯?duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析時(shí)，若兩

個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，可以建立含兩個(gè)待定參數(shù)的非線性模型，并引入中間變量將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)

系，再利用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析.下列選項(xiàng)為四個(gè)同學(xué)根據(jù)自己所得數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖建立的非線性模

型，且散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)均位于第一象限，則其中可以根據(jù)上述方法進(jìn)行回歸分析的模型有（）

2x+G

A.y=cxx"+c2xB.y=t+c

C.y=q+ln（x+C2）D.^qex+C2

【答案】ABC

第17頁共46頁

2

[解析】對(duì)于選項(xiàng)A：y=c1x+c2x=>—=cxx+c2,令〃=上則〃=q%+%；

XX

對(duì)于選項(xiàng)B：

%+qrG一Q1%+g1a

y二=1+￡LZSy-l=———-n-----------二------x+——

x+c2x+c2X+。2y-]01_C?C]_G%—Q

4-M=^-=>?=——X+—

y—1。]—c*2G—Q

-C1

對(duì)于選項(xiàng)C：y=c1+ln(x+c2)^>y-q=ln(x+c2)^>^=x+c2

Cl

即e，=e-(x+c2)令〃貝|〃=于<x+Cz)=1?x+Q，/；

x+C2

對(duì)于選項(xiàng)D：y=cxenIny=Inq+X+G令〃=lny貝Ij〃=x+lnq+。2

此時(shí)斜率為1,與最小二乘法不符.

故選：ABC

變式10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知變量的關(guān)系可以用模型y=Ze儂擬合，設(shè)