初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：探究動態(tài)幾何問題

探究動態(tài)幾何問題

【命題趨勢】

數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化面精彩紛呈。動態(tài)幾何問題是近年來中考的一個重難點問題，以

運動的觀點探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問題。隨之產(chǎn)生的動

態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性

的試題。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。

【滿分技巧】

1）動態(tài)幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動態(tài)幾何也有直線型的和

曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動態(tài)幾何問題，也有圓中的動態(tài)問題。有點動、線動、面

動，就其運動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動等。根據(jù)其運動的特點，又可分為（1）動點類（點在線

段或弧線上運動）也包括一個動點或兩個動點；（2）動直線類；（3）動圖形問題。

2）解決動態(tài)幾何題，通過觀察，對幾何圖形運動變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其中的'變量”和“定量”動中求靜，

即在運動變化中探索問題中的不變性;動靜互化抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動

與靜”的關(guān)系;這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結(jié)合推理，得出結(jié)論。解決這類

問題，要善于探索圖形的運動特點和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動。解決運動

型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系

和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系。

3）動態(tài)幾何形成的存在性問題，重點和難點在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進行分類，包括等

腰（邊）三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題。全等

三角形存在問題，相似三角形存在問題等。

【限時檢測】

A卷（建議用時：90分鐘）

1.（2020?江蘇南通市?中考真題）如圖①，E為矩形ABC。的邊上一點，點尸從點8出發(fā)沿折線8-E

-O運動到點。停止，點。從點8出發(fā)沿8C運動到點C停止，它們的運動速度都是lc//s.現(xiàn)P,。兩點

同時出發(fā)，設(shè)運動時間為x（s）,ABP。的面積為y（由於），若y與x的對應(yīng)關(guān)系如圖②所示，則矩形48CZ）

的面積是（）

A.96c7彥B.84cm2C.72cnflD.56cm2

【答案】C

【分析】過點E作EHLBC,由三角形面積公式求出EH=AB=6,由圖2可知當(dāng)x=14時，點P與點D重合,

則AD=12,可得出答案.

【詳解】解：從函數(shù)的圖象和運動的過程可以得出：當(dāng)點P運動到點E時，x=10,y=30,

過點E作EHLBC,

由三角形面積公式得：y=3BQ?EH=gxl0xEH=30,解得EH=AB=6,，BH=AE=8,

由圖2可知當(dāng)x=14時，點P與點D重合，

.?.ED=4,；.BC=AD=12,矩形的面積為12x6=72.故選：C.

【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，三角形的面積等知識，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川雅安市?中考真題）已知，等邊三角形ABC和正方形。EFG的邊長相等，按如圖所示的位置

擺放（C點與E點重合），點5、C.b共線，,ABC沿8尸方向勻速運動，直到B點與F點重合.設(shè)運

動時間為f,運動過程中兩圖形重疊部分的面積為S,則下面能大致反映s與/之間關(guān)系的函數(shù)圖象是（)

【答案】A

【分析】分點C在EF中點的左側(cè)、點C在EF中點的右側(cè)、點C在F點右側(cè)且B在EF中點的左側(cè)，點C

在F點右側(cè)且B在EF中點的右側(cè)四種情況，分別求出函數(shù)的表達(dá)式即可求解.

【詳解】解：設(shè)等邊三角形ABC和正方形DEFG的邊長都為a,運動速度為1,

當(dāng)點C在EF的中點左側(cè)時，設(shè)AC交DE于點H,

則CE=t,HE=ECtanZACB=tx^/3t，貝US=SACEH=9xCExHE=?內(nèi)義退1=5〃，

可知圖象為開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)點C在EF的中點右側(cè)時，設(shè)AB與DE交于點M,

則EC=t,BE=a-t,ME=73BE=瓜a-t),

：.S=2a2-2(aT『=-^t2+6at-2片,可知圖象為開口向下的二次函數(shù);

42''24

當(dāng)點C在F點右側(cè)且B在EF中點的左側(cè)時，

SuYl/一立〃一々丫=一走/+嗎/一@/,可知圖象為開口向下的二次函數(shù)；

42'，24

當(dāng)點C在F點右側(cè)且B在EF中點的右側(cè)時，

此時BF=2a-t,MF=73BF=相(2a-t),：.S=^(2a-t)2二亭?-26at+2后，

可知圖象為開口向上的二次函數(shù)；故選：A

【點睛】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，進

而求解.

3.(2020?遼寧錦州市?中考真題)如圖，在菱形ABCD中,P是對角線AC上一動點，過點P作PELBC

于點E.PFLAB于點F.若菱形ABCD的周長為20,面積為24,則尸石+尸尸的值為()

2448

A.4B.—C.6U.—

55

a__________P

二k

BEC

【答案】B

【分析】連接BP,通過菱形4BCD的周長為20,求出邊長，菱形面積為24,求出SABC的面積，然后利用

面積法，SABP+SCBP=SABC,即可求出產(chǎn)E+尸E的值.

a___________D

Sk

BEC

【詳解】解：連接BP,,?,菱形ABCD的周長為20,??.AB=BC=20：4=5,

又???菱形ABCD的面積為24,???SABC=24：2=12,

又SABC=SABP+SCBP.**SABP+SCBP—12,—AB?PF-\—BC?PE=12,

22

1/、224

VAB=BC,：.-AB?（PE+PF）^12VAB=5,.\PE+PF=12xy=—.故選：B.

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在添加輔助線，通過面積法得出等量關(guān)系，求出PF+PE的值.

4.（2020?內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）如圖，把某矩形紙片A3CD沿跖，GH折疊（點E、H在AD邊

上，點F,G在3c邊上），使點B和點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為A、D點的對稱點為

訊若？FPG90?,八4^P為8,△￡）中H的面積為2,則矩形ABCD的長為（）

A.6A/5+10B.6麗+5萬C.375+10D.3廂+5收

【答案】D

【分析】設(shè)AB=CD=x,由翻折可知：PA,=AB=x,PD,=CD=x,因為AA,EP的面積為4,ADPH的面積為1,

推出DH=gx,由SADTH=gDPDH=gAPDH,可解得x=2&,分別求出PE和PH,從而得出AD

的長.

【詳解】解：,/四邊形ABC是矩形，；.AB=CD,AD=BC,設(shè)AB=CD=x,由翻折可知：PA,=AB=x,PD'=CD=x,

?.,△AEP的面積為8,ADTH的面積為2,又Y?FPG90?,ZA'PF=ZDTG=90°,

...NA'PD'=90°,則NA'PE+/D'PH=90°,二NA'PE=ND'HP,Z.AATP^ADTH,

.,.AT2：D'H2=8：2,.'.AT：D'H=2：1,VAT=x,，D'H=^-x,

2

,/SADTH=—DTD^—ATD-H,即、x,x=2,；.x=2正（負(fù)根舍棄），

2222

；.AB=CD=20,D'H=DH=夜，D'P=A'P=CD=20,A'E=2D'P=4夜，

???PE=小國+（2行『=2如，PH=J（20『+（可=M，

???AD=472+2710+710+72=572+3710.故選D.

【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.（2020?湖南邵陽市?中考真題）將一張矩形紙片ABCD按如圖所示操作：（1）將ZM沿DP向內(nèi)折疊，使

點A落在點A處，（2）將。尸沿向內(nèi)繼續(xù)折疊，使點P落在點，處，折痕與邊AB交于點若

PXMLAB,則NDRM的大小是（

A.135°B.120°C.112.5°D.115°

【答案】C

【分析】由折疊前后對應(yīng)角相等且N4〃A=90可先求出/。孫=NDMA=45,進一步求出

ZADM=45，再由折疊可求出=NPD"=22.5,最后在片”中由三角形內(nèi)角和

定理即可求解.

【詳解】解：：折疊，且N《M4=90,：.ZDMP^ZDMA=45,即ZAOM=45，

?/折疊,：.NMDR=ZADP=ZPDM=|ZADM=22.5,

.?.在AD叩0中，ZDP{M=1SO-45-22.5=112.5,故選：C.

【點睛】本題借助矩形的性質(zhì)考查了折疊問題、三角形內(nèi)角和定理等，記牢折疊問題的特點：折疊前后對

應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等即可解題.

6.（2020?重慶中考真題）如圖，三角形紙片A3C,點。是BC邊上一點，連接AD,把△ABD沿著AD翻

折，得到.AED，OE與AC交于點G,連接8E交AO于點?若￡)G=GE,AF=3,BF=2,_ADG

D?乎

【答案】B

【分析】首先求出aABO的面積.根據(jù)三角形的面積公式求出。凡設(shè)點尸到8。的距離為〃，根據(jù)二喈￡>咕

2

=--BF-DF,求出8。即可解決問題.

2

【詳解】解：-：DG=GE,...S“DG=SAAEG=2,：.S^ADE=4,

由翻折可知，｛,ADB^^ADE,BE±AD,.?.SAAB?=SAADE=4,NBFD=9。。,

：.—?（AF+DF）-BF=4,：.—?（3+DF）?2=4,：.DF^1,

22

:.DB=SJBF-+DF-=Vl2+22=75，設(shè)點F到BD的距離為h,

II,氏

則一噌力坊:一噌八。F,故選：B.

225

【點睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理二次根式的運算等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

7.（2020?山東聊城市?中考真題）如圖，在RtZkABC中，AB=2,ZC=30°,將Rt/XABC繞點A旋

轉(zhuǎn)得到RtAAB'C',使點3的對應(yīng)點E落在AC上，在5'C'上取點。，使3'。=2,那么點。到的

距離等于（）.

C.#)—1D.73+1

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和30。角的直角三角形的性質(zhì)可得的長，進而可得3'C的長，過點Z）作。M

于點M,過點3'作于點E，B'F工DM于點F,如圖，則四邊形5'瓦監(jiān)是矩形，解R3

B'EC可得的長，即為EW的長，根據(jù)三角形的內(nèi)角和易得N67W=/C=30。，然后解RtAB'DE可

求出。尸的長，進一步即可求出結(jié)果.

【詳解】解：在RtAABC中，；AB=2,ZC=30°,：.AC=2AB=4,

,/將RtAABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到RtAA'B'C',使點3的對應(yīng)點3'落在AC上，

：.AB'=AB=2,：.B'C=2,過點￡>作。于點過點3‘作B,E，3C于點E,B'F上DM于

點、F,交AC于點N,如圖，則四邊形5'石Mb是矩形，，府=5'E,

在RtABrEC中，BE=B'C,sin30°=2x—=1,FM=1,

2

?.?/DB'N=ZCMN=90°,ZBfND=ZMNC,:.ZBrDN=ZC=30°,

在RtAB'DE中，DF=B'Dcos3Q°=2x—=s/3,：.DM=FM+DF=1+^/3，

2

即點。到BC的距離等于G+L故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形、矩形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線、熟練掌

握解直角三角形的知識是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?浙江九年級一模）如圖，已知矩形ABC。中，AB=6,BC=4,點E為A8邊上的中點，點F在BC

邊上，且8尸=1,動點P從點E出發(fā)沿直線向點產(chǎn)運動，每當(dāng)碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入

射角，經(jīng)過若干次反彈，當(dāng)動點P第一次回到點E時，動點尸所經(jīng)過的路程長為（）

A.8710B.16+8麗C.16^/10D.16+12所

【答案】A

【分析】利用反射角等于入射角畫出動點的運動軌跡，再證四邊形OP5EF和OP2P3P4為菱形，然后利用等

角對等邊證出兩個菱形的邊都相等，再用勾股定理計算即可.

【詳解】如下圖藍(lán)色線為動點的運動軌跡，可發(fā)現(xiàn)動點P第一次回到點E時共彈出六次.

D

;入射角等于反射角，AD〃BC,AB/7DC.*.Z1=Z2=Z3=Z4,Z5=Z6,Z7=Z8=Z9=Z10,Z11=ZFEB

又：N4+/5=90°,Z6+Z7=90°,N10+N11=90°

Zl=Z2=Z3=Z4=Z7=Z8=Z9=Z10,N5=/6=N11=NFEB

由/l=/8,/3=N10；.EF〃P5P4,P5E〃P2PF所以四邊形OP5EF為平行四邊形，

ZA=ZB=90°

在小P5AE和4FBE中\(zhòng)AE=BE/.AP5AE^AFBE（ASA）所以AE=EF

Zll=/FEB

四邊形OP5EF為菱形同理可證四邊形OP2P3P4為菱形又:N2=N8；.OP4=OF.?.兩個菱形的邊都相等，

22

在RtAEFB中FF=A/FB+BF=V1O故動點尸所經(jīng)過的路程長為8故選A

【點睛】此題考查的是入射角等于反射角，矩形的性質(zhì)，菱形的判定及勾股定理.

9.（2020?河北石家莊市?九年級其他模擬）如圖，及AABO中，ZBAO=90°,OA=6,OB=10,以點

。為圓心3為半徑的優(yōu)弧MN分布交Q4,08于點M，N點尸優(yōu)弧加V上的動點，點C為防的中點，

則AC長的取值范圍是（）

A.Z<AC<12B,2<AC<2C.叵<AC（旦D.mAC（藥

2222210210

【答案】D

【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AB=8,然后根據(jù)ANOEABQ4的性質(zhì)求得NE和OE的長，當(dāng)點P在M

處時，AC有最小值，此時=在R/AE鉆中應(yīng)用勾股定理即可求解；當(dāng)P在點N處時，AC有

2

最大值，根據(jù)AC"OMAO的性質(zhì)求出CF、FO、AF,然后在R/AACF中應(yīng)用勾股定理即可求解.

【詳解】V0A=6,OB=10,0N=0M=3Z.AM=0A-0M=3

.,.在RA4B0中，AB=^OB1-QA2=8過N點作NEJ_Q4于點E

:.ZNEO=ZBAO=90°又,：/NOE=/BOA：.處IOEABOA

NONEOE3NEOE12八「9

BOBAOA108655

當(dāng)點P在點M、N處時，AC分別有最小值和最大值；當(dāng)點P在M處時，AC有最小值

是BP的中點，NB4P=90°/.AC=-BP

2

...在HfAR短中，BP=y/AB2-AP2=773,4。=晉

當(dāng)P在點N處時，AC有最大值A(chǔ)ZCFO=ZBAO=90°

.coCFFO

,/ZCOF=ZBOAACFOABAO

"BO~BA~~OA

:.CP=LBP=L,OC=—CF=—,FO=—

222510?"4

在比AACF中，AC=yjAF2+CF2=^3145綜上所述，叵4ACV叵亙故選D.

10210

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，題目較為綜合，難度較大，根據(jù)題

意討論兩種情況是本題的關(guān)鍵.

10.（2020?洛陽市第二外國語學(xué)校九年級二模）如圖1,在AABC中，ZB=90°,ZC=30°,動點尸從點8

開始沿邊54、AC向點C以恒定的速度移動，動點。從點B開始沿邊向點C以恒定的速度移動，兩點

同時到達(dá)點C,設(shè)ABP。的面積為y（"?）.運動時間為無（s）,y與尤之間關(guān)系如圖2所示，當(dāng)點尸恰好

為AC的中點時，PQ的長為（）

A.2B.4C.273D.473

【答案】C

【分析】點P、Q的速度比為3：、耳，根據(jù)x=2,y=6G，確定P、Q運動的速度，即可求解.

【詳解】解：設(shè)ZC=30°,則AC=2a,BC=73a,設(shè)尸、。同時到達(dá)的時間為T,

則點尸的速度為牛，點。的速度為半，故點P、。的速度比為3：日

故設(shè)點P、。的速度分別為：3丫、73v,

由圖2知，當(dāng)x=2時，y=6石，此時點P到達(dá)點4的位置，即AB=2x3v=6v,BQ=2x6v=24v,

y=gxABx_BQ=gx6Vx26V=66，解得：v=l,

故點尸、。的速度分別為：3,AAB=6v=6=a,則AC=12,8c=66，

如圖當(dāng)點P在AC的中點時，PC=6,此時點P運動的距離為4B+AP=12,需要的時間為12+3=4,

貝UBQ=Gx=4后，CQ=BC-BQ=66-46,過點尸作尸HLBC于點”，

PC=6,貝UPH=PCsinC=6xg=3,同理CH=3石，則HQ=CH-CQ=36-2布=布,

PQ=,PH?+HQ2=7^7?=26,故選：C.

【點睛】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，進

而求解.

11.(2020?江蘇無錫市?九年級其他模擬)如圖，動點〃從(0,3)出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位長度的速

度向下移動，同時動點N從(4,0)出發(fā)，沿X軸以每秒2個單位長度的速度向右移動，當(dāng)點”移動到。點

時，點M、N同時停止移動.點尸在第一象限內(nèi)，在A/、N移動過程中，始終有PMLPN,且

PM=PN.則在整個移動過程中，點尸移動的路徑長為()

【答案】A

【分析】由題意過P點作交于D點，作PELOAf交于E點，并利用全等三角形判定

PEM三PDN(AAS),得出PE=PD，從而分當(dāng)方=0時，有M(0,3),N(4,0),設(shè)P點坐標(biāo)為(加,機)

以及當(dāng)/=3時，有M、O(0,0),N、H(10,0),設(shè)P點坐標(biāo)為(",")，求出P點坐標(biāo)，繼而由點P移

動的路徑為一條線段利用兩點間距離公式求得點尸移動的路徑長.

【詳解】解：由題意過P點作PZ),ON交于D點，作尸交于E點，如圖，

VPMLPN,ZNPD+ZDPM=ZDPM+ZEPM,：.ZNPD=ZEPM,

/NPD=ZEPM

??1<ZPEM=ZPDN=90°,.?.一PEMmPDN(AAS)，即有尸E=,由題意可知0WfW3,

PM=PN

當(dāng)才=0時，有M(0,3),N(4,0),設(shè)P點坐標(biāo)為(機,加)，

由尸E=?D，即有(機―07+(m—3)2=(機—4y+(〃z—0)二解得力=57,即此時P點坐標(biāo)為(7],]7)；

當(dāng)/=3時，有M、O(0,0),N、H(10,0),設(shè)P點坐標(biāo)為("/),

由FM=PN即圖上PO=PW,即有（“一0）2+（“一0）2=（“一10）2+（“一0）2,

解得〃=5,即此時P點坐標(biāo)為（5,5）；由圖可知點尸移動的路徑為一條線段，

則點P移動的路徑長為：+〔5—￡|二^行.故選：A

【點睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系點的運動問題，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定以及兩點間距離公式

是解題的關(guān)鍵.

12.（2020?安徽）邊長為4、中心為。的正方形ABCD如圖所示，動點尸從點A出發(fā)，沿

Af5fCfDfA以每秒1個單位長度的速度運動到點A時停止，動點。從點A出發(fā)，沿

AfDfC—5fA以每秒2個單位長度的速度運動一周停止，若點尸，。同時開始運動，點尸的運動

時間為C，當(dāng)0</<16時，滿足OP=OQ的點P的位置有（）

A.6個B.7個C.8個D.9個

【答案】B

【分析】依次取AB,BC,CD,ZM的中點石，F(xiàn),G,H,連接OE,OF,OG,OH.由題意可知，當(dāng)

點尸與點。到各自所在邊的中點的距離相等時，OP=OQ,則有六種情況，分類列式計算求出t的值，即

可解答本題.

【詳解】解：依次取AB,BC,CD,ZM的中點E,F,G,H,連接OE,OF,OG,OH.

根據(jù)題意，得點尸運動的路程為1，當(dāng)0</Wl時，點Q運動的路程為21.

分析題意可知，當(dāng)點尸與點。到各自所在邊的中點的距離相等時，OP=OQ.

當(dāng)0<fWl時，顯然OP/OQ；

②當(dāng)1</W2時，如圖（1）,點P在AE上，點Q在BD上，PE=2-t,QH=2r—2,

4

由2—t—2t—2,得t

3

③當(dāng)2</W4時，如圖（2）,點尸在座上，點。在。C上，PE=t-2,QG=|2?-6|,

由/—2=|2/—6|,得/=4或/=|；

④當(dāng)4<f46時，如圖（3）,點尸在5斤上，點。在上，PF=6-t,QF=\lt-lQ\,

由6—/=10|,得/=4（舍去）或”修；

⑤當(dāng)6</W8時，如圖（4）,點尸在尸C上，點。在AB上，PF=t-6,QE=\2t-14\,

由r—6=|2,一14|,得/=8或/=言；

⑥當(dāng)出8時，點Q停在點A處，因此當(dāng)8<f<16時，OQ=OA=OD,只有1=12時滿足8=00.

綜上，滿足條件的點尸的位置有7個，故選：B.

【點睛】本題結(jié)合動點考查考生空間想象的能力與分析問題、解決問題的綜合能力，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)

學(xué)運算的核心素養(yǎng).分析題意時，需注意時間/的取值范圍不含。和16,第8s后點。停止運動，且與點A

重合.

13.（2020?黑龍江大慶市?中考真題）如圖，等邊AABC中，AB=3,點。，點七分別是邊BC,C4上的

動點，且血=。石，連接A。、BE交于點F,當(dāng)點。從點3運動到點C時，則點E的運動路徑的長度

【分析】如圖，作過A、B、F作。O，AEB為點F的軌跡，然后計算出,AFB的長度即可.

【詳解】解：如圖：作過A、B、F作。O,過O作OGLAB:等邊AABCAB=BC,NABC=NC=60。

BD=CE/.△BCE^AABC/.ZBAD=ZCBE

???ZABC=ZABE+ZEBC=60°ZABE+ZBAD=60°AZAFB=120°

??,NAFB是弦AB同側(cè)的圓周角???ZAOB=120°

VOG±AB,OA=OBAZBOG=ZAOG=^-ZAOB=60°,BG=AB=|-AZOBG=30°

設(shè)OB=x,則06=9二/一=圖

解得X二6"或x=-Q（舍）

.?"的長度為型小=雪.故答案為：*.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及圓周角定理，根據(jù)題意

確定點F的軌跡是解答本題的關(guān)鍵.

14.（2020?廣西中考真題）如圖，在邊長為26的菱形ABCD中，ZC=60°,點E,尸分別是A3,AO上

的動點，且尸,。石與8尸交于點尸.當(dāng)點E從點A運動到點3時，則點尸的運動路徑長為.

4

【答案】一萬

3

【分析】根據(jù)題意證得V577注VDE4,推出NBPE=60。，ZBPD=120°,得到C、B、P、D四點共圓,

知點尸的運動路徑長為訪的長，利用弧長公式即可求解.

【詳解】連接BD,：菱形ABC。中，ZC=60°,.,.ZC=ZA=60°,AB=BC=CD=AD,

AABD和ACBD都為等邊三角形，；.BD=AD,ZBDF=ZDAE=60°,

VDF=AE,：.VBFD^DEA,/.ZDBF=ZADE,

A

???NBPE二NBDP+NDBF=NBDP+NADE=NBDF=60°,ZBPD=180°-ZBPE=120°,

VZC=60°,?,?NC+NBPD=180。，：.C.B、P、D四點共圓，即。。是_CBD的外接圓，

???當(dāng)點￡從點A運動到點5時，則點尸的運動路徑長為應(yīng)）的長，???NBOD=2NBCD=120。，

作OG_LBD于G,根據(jù)垂徑定理得：BG=GD=^BD二百，ZBOG=-ZBOD=60°,

22

???sin/BOG=空，iPsin60°=—.：.OB=2,從而尸點的路徑長為@=2土竺±=.

OBOB1800180°3

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會準(zhǔn)確尋找點的運動軌跡.

15.（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?中考真題）如圖，已知正方形ABCD,點M是邊BA延長線上的動點（不與

點A重合），且AM<AB,ACBE由△DA"平移得到，若過點E作EHLAC,H為垂足，則有以下結(jié)論：

①點M位置變化，使得/DHC=60。時，2BE=DM；②無論點M運動到何處，都有DM=J^HM；

③在點M的運動過程中，四邊形CEMD不可能成為菱形;④無論點M運動到何處，ZCHM一定大于135°.

以上結(jié)論正確的有（把所有正確結(jié)論的序號都填上）.

【答案】①②③④

【分析】①正確.證明NADM=30。，即可得出結(jié)論.②正確.證明ADHM是等腰直角三角形即可.

③正確.首先證明四邊形CEMD是平行四邊形，再證明，DM>CD即可判斷.

④正確.證明NAHMVNBAC=45。，即可判斷.

【詳解】解：如圖，連接DH,HM.

由題可得，AM=BE,，AB=EM=AD,:四邊形ABCD是正方形，EH1AC,

；.EM=AD,ZAHE=90°,ZMEH=ZDAH=45°=ZEAH,

.\EH=AH,.".AMEH^ADAH(SAS),/.ZMHE=ZDHA,MH=DH,

.?.NMHD=NAHE=90。，ADHM是等腰直角三角形，.?.DM=0HM,故②正確；

當(dāng)/DHC=60°時，ZADH=600-45°=15°,.\ZADM=45O-15°=30°,

.?.RSADM中，DM=2AM,即DM=2BE,故①正確；

：CD〃EM,EC//DM,四邊形CEMD是平行四邊形，

VDM>AD,AD=CD,；.DM>CD,.?.四邊形CEMD不可能是菱形，故③正確，

:點M是邊BA延長線上的動點(不與點A重合)，且AMVAB,

.".ZAHM<ZBAC=45°,/.ZCHM>135°,故④正確；由上可得正確結(jié)論的序號為①②③.

故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形

30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

16.(2020?湖北鄂州市?中考真題)如圖，半徑為2cm的：。與邊長為2cm的正方形ABCD的邊A3相切

于E,點F為正方形的中心，直線OE過歹點.當(dāng)正方形ABCD沿直線以每秒(2-6)cm的速度向左

運動秒時，0。與正方形重疊部分的面積為I1^-V3jcm2.

【答案】1或11+6G

【分析】將正方形向左平移，使得正方形與圓的重疊部分為弓形，根據(jù)題目數(shù)據(jù)求得此時弓形面積符合題

意，由此得到OF的長度，然后結(jié)合運動速度求解即可，特別要注意的是正方形沿直線運動，所以需要分類

討論.

【詳解】解：①當(dāng)正方形運動到如圖1位置，連接OA,OB,AB交OF于點E

此時正方形與圓的重疊部分的面積為S扇形OAB-SAOAB

由題意可知：OA=OB=AB=2,OF_LAB；.Z\OAB為等邊三角形.?.NAOB=60。，OEXAB

1「

在Rt^AOE中，ZAOE=30°,：.AE=-OA^1,OE=，3

AQTT，,21n

???S扇形OAB-SAOAB=--------------一倉2=一兀-6，0F=6+1

36023

LL2-J3

...點F向左運動3-(岔+1)=2-岔個單位，所以此時運動時間為一1=1秒

2-V3

②同理，當(dāng)正方形運動到如圖2位置，連接OC,OD,CD交OF于點E

此時正方形與圓的重疊部分的面積為S扇形OCD-S/IOCD

由題意可知：OC=OD=CD=2,OF_LCD???Z\OCD為等邊三角形JNCOD=60。，OEXCD

1廠

在Rt^COE中，ZCOE=30°,.\CE=-OC=1,OE=J3

AC7r，02iQ

'S扇形OCD-SAOCD=-----------倉必立=—7i-6OF=^/3+1

36023

???點F向左運動3+(K+l)=4+G個單位，所以此時運動時間為匕金=11+66秒

2-V3

綜上，當(dāng)運動時間為1或11+66秒時，。。與正方形重疊部分的面積為:兀-6(cn?)

故答案為：1或11+6檔.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，扇形面積的計算及等邊三角形的判定和性質(zhì)，題目難度不大，注意分情

況討論是本題的解題關(guān)鍵.

17.（2020?江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=1,AD=JLP為AD上一個動點，連接

BP,線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對稱，連接PQ,當(dāng)點P從點A運動到點D時，線段PQ在平

【分析】由矩形的性質(zhì)求出/ABQ=120。，由矩形的性質(zhì)和軸對稱性可知，ABOQ之△DOC,根據(jù)S陰影部分=$

四邊形ABQD-S序形ABQ=S四邊彩ABOD+SABOQ-S扇形ABQ可求出答案.

【詳解】：當(dāng)點P從點A運動到點D時，線段BQ的長度不變，

.?.點Q運動軌跡是圓弧，如圖，陰影部分的面積即為線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積，

:矩形ABCD中，AB=1,AD=g,AZABC=ZBAC=ZC=ZQ=90°,

AZADB=ZDBC=ZODB=ZOBQ=30°,AZABQ=120°,由軸對稱性得：BQ=BA=CD,

ZBOQ=ZDOC

在ABOQ和ADOC中，＜ZQ=ZC=90°,/.ABOQ^ADOC,

BQ=CD

S陰影部分=5四邊形ABQD-S扇形ABQ二S四邊形ABOD+S^BOQ-S扇形ABQ,二S四邊形ABOD+SACOD-S扇形ABQ,

120；rX1

二s矩形ABCD一SAABQ=1x73--=43--.故答案為：73--.

36033

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（2020?內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）如圖①，在jABC中，A3=AC,NR4C=120。，點E是邊A3的

中點，點尸是邊上一動點，設(shè)尸C=x，尸A+PE=y.圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象上

的最低點..那么a+力的值為

【答案】7

【分析】過B作AC的平行線，過C作AB的平行線，交于點D,證明四邊形ABCD為菱形，得到點A和

點D關(guān)于BC對稱，從而得到PA+PE=PD+PE,推出當(dāng)P,D,E共線時，PA+PE最小，即DE的長，觀察

圖像可知：當(dāng)點P與點B重合時，PD+PE=31^，分別求出PA+PE的最小值為3,PC的長，即可得到結(jié)果.

【詳解】解：如圖，過B作AC的平行線，過C作AB的平行線，交于點D,

可得四邊形ABCD為平行四邊形，又AB=AC,.?.四邊形ABCD為菱形，點A和點D關(guān)于BC對稱,

，PA+PE=PD+PE,當(dāng)P,D,E共線時，PA+PE最小，即DE的長，

觀察圖像可知：當(dāng)點P與點B重合時，PD+PE=3后，

?.?點E是AB中點，/.BE+BD=3BE=373，?*-BE=豆，AB=BD=2出，

VZBAC=1200,AZABD=(180°-120°)+2x2=60°,；.△ABD為等邊三角形，

ADE±AB,ZBDE=30°,；.DE=3,即PA+PE的最小值為3,即點H的縱坐標(biāo)為a=3,

PBBE

當(dāng)點P為DE和BC交點時，；AB〃CD,AAPBE^APCD,/.——=——，

PCCD

?.?菱形ABCD中，AD±BC,；.BC=2x=6,,解得：PC=4,

即點H的橫坐標(biāo)為b=4,；.a+b=3+4=7,故答案為：7.

【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答.

19.（2020?內(nèi)蒙古呼倫貝爾市?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形。鉆C的頂點。與坐標(biāo)原點

重合，點C的坐標(biāo)為（0,3）,點A在X軸的正半軸上.直線y=x-1分別與邊相交于兩點,

反比例函數(shù)y=2（x>0）的圖象經(jīng)過點。并與邊相交于點N,連接點尸是直線上的動點,

X

當(dāng)CP=MN時，點尸的坐標(biāo)是.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及一次函數(shù)表達(dá)式求出點D和點M坐標(biāo)，從而求出反比例函數(shù)表達(dá)式，得到

點N的坐標(biāo)，求出MN,設(shè)點P坐標(biāo)為（m,m-1）,根據(jù)兩點間距離表示出CP,得到方程，求解即可.

【詳解】解：:正方形OABC的頂點。與坐標(biāo)原點重合，點C的坐標(biāo)為（0,3）,；.B（3,3）,A（3,0）,

:直線y=x-l分別與邊AB,OA相交于D,M兩點，，可得：D（3,2）,M（1,0）,

女6

???反比例函數(shù)y=々*>0）經(jīng)過點D,k=3x2=6,.?.反比例函數(shù)的表達(dá)式為>=—,令y=3,解得：x=2,

xx

點N的坐標(biāo)為（2,3）,MN-^（2-1）2+（3-0）2=V10-

:點P在直線DM上，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m,m-1）,/.CP=^（m-0）2+（m-l-3）2=M，

解得：m=l或3,.?.點P的坐標(biāo)為（1,0）或（3,2）.故答案為：（1,0）或（3,2）.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，兩點之間的距離，反比例函數(shù)圖象上

點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式.

20.（2020?上海中考真題）如圖，在"BC中，A8=4,BC=1,ZB=60°,點。在邊8C上，CD=3,聯(lián)結(jié)AD.如

果將沿直線AD翻折后，點C的對應(yīng)點為點E,那么點E到直線BD的距離為.

A

BD

【答案】巫.

2

【分析】過E點作EHLBC于H,證明AABD是等邊三角形，進而求得/ADC=120。，再由折疊得到NADE=

ZADC=120°,進而求出/HDE=60。，最后在RtAHED中使用三角函數(shù)即可求出HE的長.

【詳解】解：如圖，過點E作即，BC于

,:BC=7,CD=3,：.BD=BC-CD=4,U：AB=4=BD,ZB=60°,二△A3。是等邊三角形,

9

ZADB=60°,：.ZADC=ZADE=120°f：.ZEDH=60°,：EH_LBCf：.ZEHD=90°,

?:DE=DC=3,.?.EH=DExsinNHDE=3xKE=2^,到直線8。的距離為￡1.故答案為：之叵.

2222

【點睛】本題考查了折疊問題，解直角三角形，點到直線的距離，本題的關(guān)鍵點是能求出NADE=/ADC=120。,

另外需要重點掌握折疊問題的特點：折疊前后對應(yīng)的邊相等，對應(yīng)的角相等.

21.（2020?浙江杭州市?中考真題）如圖是一張矩形紙片，點E在邊上，把5CE沿直線CE對折，使點

B落在對角線AC上的點F處,連接DF.若點E,F,D在同一條直線上,AE=2,則DF=,BE=.

【答案】2V5-1

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=5C,ZADC=ZB^ZDAE^90°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

CF=BC,NCFE=ZB=90。,EF=BE,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到。尸=AE=2；最后根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)即可得BE的值.

【詳解】???四邊形ABCD是矩形40=5。，ZADC=ZB=ZDAE=90。

:把.BCE沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點F處

ACF=BC,NCFE=ZB=90°,EF=BE：.CF=AD,NCFD=90°

ZADE+ZCDF=ZFCD+ZCDF=90°:.ZADE=ZFCD

ZADE=ZFCD

在「ADE和，F(xiàn)CD中，<AD=RC^ADE^FCD（ASA）:.DF=AE=2

ZDAE=ZCFD=90°

?：ZAFE=ZCFD=90°，ZAFE=ZDAE=90。；ZAEF=ZDEA"AEF?QEA

2

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