高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)歸納（打印版）

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個(gè)模塊組成：

必修1:集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對(duì)、呆函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分，其中包括集合、

函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打

好基礎(chǔ)的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上

做過(guò)高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有4個(gè)系列：

系列1：由2個(gè)模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1—2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個(gè)模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

選修2—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

系列3：由6個(gè)專題組成。

選修3—1：數(shù)學(xué)史選講。

選修3—2：信息安全與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對(duì)稱與群。

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。

系列4：由10個(gè)專題組成。

選修4一1：幾何證明選講。

選修4—2：矩陣與變換。

選修4—3：數(shù)列與差分。

選修4一全坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

選修4—5：不等式選講。

選修4—6：初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。

選修4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。

選修4—9：風(fēng)險(xiǎn)與決策。

選修4—10：開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)。

2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合與簡(jiǎn)易邏輯：集合的概念與運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證明、

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不等式、不等

式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、圓錐曲

線的應(yīng)用

⑼直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間

向量

⑩排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

(11)概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

?導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

?復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

K1.12集合

[1.1.11集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aeM,或者。金河，兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集(0).

[1.1.21集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(i)AcA

A^B

A中的任一元素都(2)0^A

子集(或

屬于B(3)若2口8且5口。，則/三。

0或o

B")

(4)若2口8且則/=8

AuB(1)0uZ(A為非空子集)

Z&5,且B中至

真子集(或少有一元素不屬于(2)若Nu5且5uC,則ZuC

B=)A)A

豐

A中的任一元素都

集合(I)ACB

A=B屬于B,B中的任

相等(2)BCA

一元素都屬于A

(7)已知集合Z有〃(，21)個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2"-1個(gè)真子集，它有2"-1個(gè)非空子集，它

有2"-2非空真子集.

[1.1.31集合的基本運(yùn)算

(8)交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(1)AC\A=A

A^B{xIX￡4且(2)AH0=0

交集

X€5}(3)AC\B^AGU)

(1)A\JA=A

A^B{xIX￡4或(2)A\J0=A

并集6

X€5}(3)A\JB^A*J

—-/

且x任A}i

{X\XGU,額Nn8)=(/)u(膽)

補(bǔ)集

瘠(/UB)=(")n(*)2NU@/)=Uo

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集

|x|<a(a>0){x\-a<x<a}

|x|>a{a>0)x\x<-a^x>a}

把QX+b看成一個(gè)整體，化成

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|〉a(a〉0)型不等式來(lái)求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=Z>2-4ac

二次函數(shù)一4

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖象

一元二次方程-b+yJb2-4ac

2—一

2b

ax+bx+c=0(a>0)再="一五無(wú)實(shí)根

(其中X]</)

的根

2

ax++。>0（。>0）.b、

{x|X<再或X〉x}{fxx^--}R

22a

的解集

ax2+bx+c<0（。>0）

{xI%1<x<x2}00

的解集

Kl.22函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)Z、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合Z中任何一個(gè)數(shù)x,在集合3中

都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合2,8以及Z到3的對(duì)應(yīng)法則/)叫

做集合Z到8的一個(gè)函數(shù)，記作f

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且滿足的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做[。,切；滿足a<x<6

的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做(a,b)；滿足aWx<6,或a<x<6的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉

區(qū)間，分別記做[a,6),(a,b]；滿足x?a,x〉a,xV6,x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別記做

[a,+oo),(a,+oo),(-c?,b],(-c?,b).

注意：對(duì)于集合｛x[a<x<b｝與區(qū)間伍力)，前者a可以大于或等于6,而后者必須

a<b,(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立).

(3)求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②/(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③/(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，xw左〃'+萬(wàn)(左eZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的

定義域的交集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知/(X)的定義域?yàn)椋凵樱鋸?fù)合函數(shù)/［g(x)］的

定義域應(yīng)由不等式a<g(x)<b解出.

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)

最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是

提問(wèn)的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的

值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程

a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,則在a(y)wO時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有

A=62(J)-4?(J)-C(J)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)的最值問(wèn)題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

［1.2.2］函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之

間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)2、8是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合Z中任何一個(gè)元素，在集合3中都有

唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合2,8以及Z到8的對(duì)應(yīng)法則/)叫做集合2到8

的映射，記作f8.

②給定一個(gè)集合Z到集合3的映射，且aeZ/eB.如果元素a和元素6對(duì)應(yīng)，那么我們把元素6叫

做元素a的象，元素a叫做元素6的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質(zhì)

［1.3.1］單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)(2)利用已知函數(shù)

/

y=nx)^

自變量的值X］、X2,當(dāng)/的單調(diào)性

f(x2)

x時(shí)，都有f(X1)<f(x),

??一f(xj(3)利用函數(shù)圖象

那么就說(shuō)f(X)在這個(gè)區(qū)(在某個(gè)區(qū)間圖

0

Xix2X

間上是單手教.象上升為增)

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性(1)利用定義

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)

(2)利用已知函數(shù)

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)

y=f(x)

y的單調(diào)性

自變量的值X1、X”當(dāng)

f(x,)X.

(3)利用函數(shù)圖象

x?時(shí),都有f(x})>f(x2),

(在某個(gè)區(qū)間圖

0

那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)X.X2x

象下降為減)

間上是誠(chéng)手?jǐn)?shù)

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為

增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］,令，/=g(x),若y=/(M)為增，M=g(x)為增，則y=/［g(x)］為增;

若y=/(M)為減，M=g(x)為減，則了=/［g(x)］為增；若

y=/(M)為增，M=g(x)為減，則,V=/［g(x)］為減；若

V=/(M)為減，M=g(x)為增，則y=/［g(x)］為減.

(2)打"J”函數(shù)/(x)=x+3(a〉0)的圖象與性質(zhì)

X

/(X)分別在(-叫-G］、［、份,+8)上為增函數(shù)，分別在

［-G,o)、(o,JZ］上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的xe/,都有

(2)存在/e/,使得/(%)=朋\那么，我們稱M是函數(shù)/(x)的最大值，記作/11ax(x)=M.

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)加滿足：(1)對(duì)于任意的xe/,都有

(2)存在使得/(%)=加.那么，我們稱冽是函數(shù)/(x)的最小值，記作

[1.3.2]奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內(nèi)任意一個(gè)X,都有(a,f(a))先判斷定義域是否

l/T.

*丁4萬(wàn)：￡W)，那么函數(shù)-a關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

oax

f(x)叫做奇酉朗.(2)利用圖象(圖

(-a,f(~a))

函數(shù)的象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(X)定義(1)利用定義(要

y

域內(nèi)任意一個(gè)X,都有先判斷定義域是否

(a,f(a))

(-a,fSLx

f(：x)=f,那么函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

f(x)叫做假函數(shù).-aoax(2)利用圖象(圖

象關(guān)于y軸對(duì)稱)

②若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(0)=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或

奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

K補(bǔ)充知識(shí)1函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式;

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

y=f(x)煽鬻漓j=/(x+/z)j=f(x)篙蓄你j=f(x)+k

JJ''力<0,石移|川，|甲僅.J"'''J、'左<0,卜枝因個(gè)串位‘'

②伸縮變換

伸

J=/(X)O<G<1,

0>1,縮〃=/(儂)

y=/（x）啜背->J=*（X）

③對(duì)稱變換

y=/(x)了軸=f(-x)

y=/（x）直線尸">y=/T（x）

y=/(x)一風(fēng)3］，=-f(-x)

去掉y軸左邊圖象

y=/(x)保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于〉軸對(duì)稱圖象>歹=/(回)

保留x軸上方圖象

J=/(X)將蔣由下方圖象翻折上去

（2）識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑,

獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.1）指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果x"=a,aeR,xeR,n>1,且〃eN+，那么x叫做a的〃次方根.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的〃次

方根用符號(hào)后表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的〃次方根用符號(hào)而表示，負(fù)的〃次方根用符號(hào)-布

表示；0的〃次方根是0；負(fù)數(shù)a沒(méi)有〃次方根.

②式子后叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)〃為

偶數(shù)時(shí)，a>0.

③根式的性質(zhì)：而）"=a當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，歸=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

(?>0)

(a<0)

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念

m__

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：而(〃>0,加,〃￡N+，且〃〉1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于

0.

m1mI~~i

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：/7=(—尸=《(一r(a>0,加,〃eN+，且〃〉1).0的負(fù)分?jǐn)?shù)

a\a

指數(shù)惠沒(méi)有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

r+srs

①/?</=a(a>0,r,5eR)②(a'),=a(a>Q,r,sER)

③(ab)，=a'b'\a>Q,b>0,reJ?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a(a>0且aw1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>\0<Q<1

歹|尸//\y=ax|7

J=l\l(。，1)

上土Jzll…u

(0,1)

圖象

°\JO\Z

定義域R

值域(0,+8)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>\(%>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=l(x=0)ax=l(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>1(x<0)

a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.

^2.23對(duì)數(shù)函數(shù)

[2.2.11對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若/=N(a〉O,且awl),則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中a叫做底數(shù)，N叫

做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=logflN=a，=N(a〉0,aN1,N〉0).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

b

logfl1=0,logaa=\,logfla=b.

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN,即logi°N；自然對(duì)數(shù)：InN,即log?N(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a〉0,awl,M>0,N〉0,那么

M

①加法：logflM+logaN=loga{MN}②減法：logaM-log”N=log”w

n0SaN

③數(shù)乘：nlogaM=\ogaM(n^R)@a'=N

⑤10gz.M"⑥換底公式：log,N=^^3〉0,且bwl)

"blogja

【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log。x(a〉0且aw1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

圖象Q〉10<。<1

y1

yf「1J=sg"%|ry=iogflx

\a，。).

o/(i,o)x

定義域(0,+8)

值域R

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+00)上是減函數(shù)

logaX>0(x>l)logax<0(x>l)

函數(shù)值的

logax=0(x=l)logax=0(x=l)

變化情況

logax<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閆,值域?yàn)镃,從式子y=/(x)中解出X,得式子x=°(y).如果對(duì)

于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=°(y),x在Z中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子

x=9(y)表示x是歹的函數(shù)，函數(shù)x=°(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),習(xí)慣上改

寫成尸尸(x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=/73)改寫成^=/一|1)，并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)歹=/(x)與反函數(shù)^=/T(X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(a,6)在原函數(shù)^=/(x)的圖象上，則尸’("。)在反函數(shù)^=/T(X)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.33塞函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x“叫做幕函數(shù)，其中x為自變量，1是常數(shù).

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第

一、二象限(圖象關(guān)于y軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非

偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限.

②過(guò)定點(diǎn)：所有的幕函數(shù)在(0,+勾)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1).

③單調(diào)性：如果a>0,則幕函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在［0,+oo)上為增函數(shù).如果a<0,則幕函數(shù)的圖

象在(0,+8)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與y軸.

④奇偶性：當(dāng)戊為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)。=旦(其中“q互

P

￡￡

質(zhì)，?和qeZ),若夕為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則>=%"是奇函數(shù)，若夕為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則y=x"是偶

￡

函數(shù)，若P為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=x"是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：基函數(shù)y=》0,》6(0,+00),當(dāng)a>l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若x>l,

其圖象在直線y=x上方，當(dāng)a<l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若x>l,其圖象在直線

y=x下方.

［補(bǔ)充知識(shí)］］二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：+bx+c(awO)②頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-/z)2+左(a00)③兩根式：

/(x)=o(x-x1)(x-x2)(a^0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②己知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/(X)更方便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/1)="2+區(qū)+0(。70)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

b4ac-b2

②當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(-00,-2］上遞減，在［-2,+00)上遞增，當(dāng)x=-2時(shí)，

2a2a2a

4etc——hh

盤1a)=*；當(dāng)Q<O時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(—8,—二］上遞增，在［_二,+8)上遞減,

4a2a2a

*6.4ac-b-

=3X=----時(shí)tH，f（X）=--------

CJ，A

2amax\4a

③二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aw0)當(dāng)A=〃-4ac>0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

1?1

(4)一元二次方程ax?+/zx+c=0(。w0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不

夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用,

下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程a/+區(qū)+。=0(。。0)的兩實(shí)根為國(guó),工2,且再4%2.令/(x)=a/+bx+c,從以

下四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題：①開(kāi)口方向：a②對(duì)稱軸位置：%=-—③判別式：A④端點(diǎn)函數(shù)

2a

值符號(hào).

④抬無(wú)2<發(fā)20

⑤有且僅有一個(gè)根X］(或左)滿足抬V%(或％2)<k2=M)M)<0,并同時(shí)考慮了(抬)=0

或fg=0這兩種情況是否也符合

⑥左1<工1<左2W“Vx2Vp2o

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=a/+樂(lè)+0(。。0)在閉區(qū)間［p,g］上的最值

設(shè)/(%)在區(qū)間［p,q］上的最大值為M,最小值為加，令/

(I)當(dāng)。>0時(shí)(開(kāi)口向上)

②若p<一-—,則加=/(一--)③若一-->q,則加=/(q)

2a2a2a

(II)當(dāng)a<0時(shí)(開(kāi)口向下)

①若-----<p,則M=f(/?)②若pV------Qq,則M=f(------)③若----->q,則M=f(^)

2a2a2a2a

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/（x）（xe。），把使/（x）=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

y=f(x)(xeD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/（x）的零點(diǎn)就是方程/（x）=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/（x）的圖象

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程/（x）=o有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/（X）的圖象與X軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=/（X）有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/（X）的零點(diǎn)：

①（代數(shù)法）求方程/（X）=0的實(shí)數(shù)根；

②（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)>=/（X）的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用

函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）.

1）△>0,方程辦2+bx+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)

有兩個(gè)零點(diǎn).

2）△=0,方程ox?+bx+c=0有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn),

二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3）△<0,方程以2+Z?x+c=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與X軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

E'D"

底面

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,

由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱4BCDE-Z'8'C'DE'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于

底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐尸-ZZ'C力Z'

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高

的比的平方。

(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P—A'B'C'D'E'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3直觀圖：斜二測(cè)畫法

4斜二測(cè)畫法的步驟：

(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸;

（2）.平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變;

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

3圓錐的表面積5=獷/+"2

2圓柱的表面積S=2加7+2加，

4圓臺(tái)的表面積5=勿"+亞2+成/+成25球的表面積5=4成2

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積%=5底乂力2錐體的體積%=；5底乂力

3臺(tái)體的體積3=；（S上+,5上5下+5下）義力4球體的體積

4,

V=-7iR3

3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無(wú)限延展的

2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如

圖）

（2）平面通常用希臘字母