三角恒等變換（7題型分類）-2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

專題18三角恒等變換7題型分類

彩題如工總

題型1:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應用

題型7：三角恒等變換的綜合應用

題型2：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形

題型6：給值求角

專題18三角恒等變換7

題型分類題型3：角的變換問題

題型5：給值求值」/

題型4：給角求值

彩和正寶庫

一、兩角和與差的正余弦與正切

(1)sin(6Z±/?)=sinacosp±cosasinp；

(2)cos(a±0=cos?cosft.sinorsin0；

tana±tan/3

③tan(a±/?)=

1.tanatan0

注：兩角和與差正切公式變形

tani±tan/=tan(cr±0(1tanatan/3)；

tanetan/——.c+tan/JancTan/r

tan(cr+0)tan(cr-p)

二、二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos26Z—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a;

2tana

③tan2a=

l-tan2?

三、降次(幕)公式

.1.八.21-cos2a1+cos2a

sinacosa=—sm2a;sina=;cos2a

注：1+cosla=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；1+sin2。=(sina+cosa)2；1-sin=(sina-cosa)2.

四、半角公式

1-COS6Za,/1+COS6Z

sin—=±心萬=±《=~

22

asintz1-cosa

tan——=

21+cosasina

五、輔助角公式

m.a.b

asina+bcosa=［a1+b2sin(a+。)（其中'八高，cos(b=-,，tan0=-)

y/a2+b2a>

六、其他常用變式

.c2sincrcos?2tana八cos2er-sin2er1-tan2aasina1-cosa

sinla=---------=-------；cos2a=^―：------~=------~;tan—=-------=—；----

sina+cosa1+tanasina+cosa1+tana21+cosasina

七、拆分角問題：①；a=(a+/3)-/3-②a=齊一(分-0；③a=；［(［+尸)+(“-/?)］；

④夕=；［(a+0-(a-尸)］；⑤(+a=5-￡-a).

注意：特殊的角也看成已知角,如a=｝（?a）.

彩他題秘籍

（一）

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣，可用a,"的三角函數(shù)表示a±￡的三角函數(shù)，在使

用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統(tǒng)一角和角與角轉換的目的.

2.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆用和變

形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力.

題型1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應用

1-1.（2024高三下?廣東廣州?階段練習）sine=亭，則tan（a—4）=（）

A.2A/2-1B.272-3

C.2V2+3D.3-2萬

【答案】B

【分析】由同角三角函數(shù)的關系，求出tana,再由兩角差的正切公式求tan（a-〃）.

【詳解】sina=走，as

，則有coso=Jl-sin?a=——，tana-Sm6Z=—

33cosa2

1+tancrtan.

故選：B.

jrjr34

1-2.（2024?安徽淮南?二模）已知0＜1＜萬，5〈尸＜兀4111=丁85（。+齊）=一二，貝！Jsin〃=（）

242424.24一…24

A.——B.-----C.-----或一D.0或一

2525252525

【答案】A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系求出cosa=g4,sin（cr+^）=±3j,湊角法求出sin4=三24或sin/=。，舍去

不合題意的解，得到答案.

jr3I-----------4

【詳解】因為0＜a＜/,sina=y,所以cos】=一sin?a=二，

因為0＜&＜],]＜分＜71,所以￡＜與，

4

因為cos（a+/?）=-不，

所以sin（a+夕）=土=±g

當sin（tz+'）=]時，sin[3=sin]（o+/）-o]=sin（cr+,）coso-cos（cr+〃）sin6Z

344324

=—X——|——x—=—

555525

因為5＜尸＜兀，

所以sin?＞0,故sin尸=1|滿足題意，

當sin（?+￡）=-1時，sin尸=sin[（2+"）-cr]=sin（2+4）cosa-cos（?+4）sincr

3443c

=——x—+—x—=0

5555

因為]＜尸＜兀，故sin/?=0不合題意，舍去；

故選：A

1-3.（2024高一上.廣東廣州.期末）已知cosa+cos/?=；,sina—sin/?=；,則cos（a+/）的值為（）

A.-"B,上C.59-59

---D.—

72727272

【答案】c

【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答第L

2,"I'

【詳解】(COS2+COS尸)2=cos<74-2cosaCOS+C(

21

(sina-sin,)=sin?a_2sinasin,+sin2夕=§,

兩式相加得2+2(cosacos尸一sinasin夕)=2+2cos,(a+^)=-+-=—,

v74936

/.cos(a+/)=-.

故選：C.

題型2:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形

￥，貝ljsin(￡-2c)=_____.

2-1.(2024?山東泰安?二模)已知sina+J^cosa=

【答案】T

【分析】利用輔助角公式求得sin(a+4)根據(jù)住

二角公式和誘導公式化簡目標式，即可求得結果.

【詳解】因為sina+石cosa=￥，故可得sin]

0C-\—=—，

3J3

貝(|sin(g-2aj=sin(2c+,]=sin|^2^a+=-cosHa+0

=2sin2_]=_g

故答案為：

2-2.(2024高三上?山東青島?期末)已知sina+sin0=1,cos(7+cos/?=A/2,貝iJcos(a-￡)=_____.

【答案】1/0.5

【分析】將已知兩式平方相加，結合兩角差的余空多公式，即可求得答案.

【詳解】因為sina+sin4=l,cosa+cos￡=0,

故(sincr+sin/?)2=sin2a+sin2/7+2sinasin/?=1,

(cos。+cos/7)2=COS26Z+cos2/7+2cosacosj3=2,

以上兩式相力口可得2+2sinasin/?+2cosacos尸=3,即2(sinasin￡+cosacos/7)=1,

故cos(a_Q)=g,

故答案為：g

2-3.(2024高三?全國?對口高考)1@口15。+匕1130。+1a1115。川21130。的值是.

【答案】1

【分析】利用正切的和差公式變形即可得解.

e、i"c(「Cccc\tan15°+tan30°、

【詳解】因為tan45°=tan(15。+30°)=-----------------------=1,

'71-tan15°-tan30°

所以tanl50+tan300=l-tanl50?tan30°,故tanl5°+tan30°+tanl50?tan30°=l.

故答案為：1.

2-4.(2024高一?全國?課后作業(yè))tan50。-tan20。一代tan50。tan20。=.

3

【答案】B

3

【分析】由正切的差角公式，可得tan(50_切)=tan50Tan20,經過等量代換與運算可得答案.

\'l+tan50tan20

【詳解】tan50°-tan20°--tan50°tan20°

3

=tan(50°-20°)(1+tan50°tan20°)-tan50°tan20°=tan30°(l+tan50°tan20°)一tan50°tan20°

=—+—tan50°tan20°-—tan50°tan20°=—.

3333

故答案為：B.

3

2-5.(2024高三下?河南平頂山?階段練習)若sin(2+/7)+6cos(a+m=4sin、+^cos/7,則()

A.tan(cr+/7)=-V3B.tan(cr+/7)=V3

C.tan(a-￡)=-百D.tan(a-0=6

【答案】C

【分析】利用輔助角及兩角和與差的正弦公式化簡，可得sin(a+5-尸]=0,進而求解.

【詳解】由sin(。+分)+6cos(a+尸)=4sin+]]cos/,

可得2sin(6Z+y0+—|=4sin[cr+—|cosy0,

即sin[a+4+=sin[a+cos尸+cos[a+]}in0=2singer+yjcos0,

化簡可得cos(a+g)sin'=sin^+^cosy0,

即sin[a+]_；0]=O,

jr

所以a—夕+g=kit,k￡Z,

TT

即a—4=-§+E,kEZ,

可得tan(a—尸)=_如.

故選：C.

彩傅題秘籍

/(二)

角的變換問題

常用的拆角、配角技巧：2a=(ar+A)+(a-0；?=(?+/?)-/?=(?-/?)+/?；

夕=￡^_￡^=a+2尸)_(a+,)；a-^=(a-/)+(/-y?)；15°=45°-30°;7+a=^~[y~a]

題型3：角的變換問題

3-1.(2024?四川成都?模擬預測)設=則tan(a+；j等于()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】C

【分析】先用兩角差的正切公式可求出tana的值，再用兩角和的正切公式即可求解

【詳解】因為tan(a=鱉幺」=：,所以tana=:，

I4J1+tan6743

,,(兀、taner+1,

故tan|a+:----------=-4,

I4)1-tan67

故選：C.

3-2.(2024四川?三模)若a為銳角，且儂卜+日卜],則sin[ar+g]=()

A.一還B.一立C.正D.述

10101010

【答案】D

【分析】利用同角三角函數(shù)的關系和兩角和的正弦公式計算.

【詳解】由a為銳角，且3卜+曰=|,所以$也卜+鼻|=,則

sinL+^=sin717171A71(兀\

a-\--+-—=sinCCH---COS--------FCOSCCH---

I3j12412J4I12J4525210

故選：D

3-3.(2024高一上?福建福州?期末)己知5山"1=|,￡€(4，胃，則sine的值為()

A3—4^/3口3+4A/3廠3—2^3八3+2,\/3

io101010

【答案】A

【分析】

先求出cos1+5利用差角公式求解答案.

【詳解】因為a，所以c+ge1-，所以cos[a+g]=Jl-sin2[a+g]=Jl-'=[；

..(兀兀)/兀、兀(7lA.71

smcr=sinaH------=sina+—cos----cosa+—sin—

I3I3I3)3

314

=—x--------x

52510

故選：A.

3-4.(2024高一上?黑龍江哈爾濱?期末)已知cos(a+V=g,cos3—^［二/0廣中誦］,則cos(a+0=

()

人16「33-56n63

A.—B.—C.—D.—

65656565

【答案】D

【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關系式求出$巾+高和$巾-/然后利用兩角和的余弦公式展開

代入即可求出cos(a+P).

【詳解】；cos1+|"j=g,cos(￡-1^=ga,￡eW

二7嗚爭TV。

sinl6Z+—l>0,sinl1<0,

71

cos(cr+y0)=cosCX.+-+T

=cos［尸一V)cos(a+看)-sin［夕一sin4123563

—x------x(z----)=——

51351365

故選：D

彩健甄祕籍（二）

給角求值

（1）給角求值問題求解的關鍵在于“變角"，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉化方法.

（2）給角求值問題的一般步驟

①化簡條件式子或待求式子；

②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；

③將已知條件代入所求式子，化簡求值.

題型4:給角求值

^一匚壬由、?行加叭心底吉l-A/3tanlO°.、

4-1.（2024圖二上?重慶沙坪壩?階段練習）求值：/。=（）

A/1-COS20

A.1B.&C.73D.20

【答案】D

【分析】先化切為弦將tan10。轉化為s里in1與0°，然后根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式、輔助角公式以及誘導公

cos10

式進行化簡求值.

/rsin10°

【詳解】原式，―cos10°COS10°_逐sin10°

一V2sin210°-0sin10。cos10。

_2cos（10。+60。）_2忘cos70。_2立cos（90。-20。）_20sin20°_2吏

--J2-sin20°-sin20°一sin20°一，

—sin20°

2

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于弦切互化以及三角恒等變換公式的運用，一方面需要利用

）

tan10°=絲cin1f=0以及輔助角公式將分子化為一個整體,另一方面需要利用二倍角的正余弦公式將分母化為一

cos10

個整體.

cos70°-cos20°_

4-2.（2024?廣東湛江?一模）

cos65°

【答案】-正

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式和兩角和的余弦公式，準確化簡，即可求解.

【詳解】由三角函數(shù)的誘導公式和兩角和的余弦公式，可得:

cos70°-cos20°_cos(90°-20°)-cos20°_sin20°-cos20°

cos65°cos65°cos(45°+20°)

_sin200-cos20°_0

cos45°cos200-sin45°sin20°\

故答案為：-0.

4-3.（2024?重慶?模擬預測）式子2sml8（3cos.-sin9一」化簡的結果為（）

cos6+V3sin6

A.5B.1C.2sin9D.2

【答案】B

【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡所求代數(shù)式.

2sinl8(3cos*29-sin29-cos29-sin29)

【詳解】原式=

2sin(6+30)

_2sin18(2COS29-2sir?9)_2sinl8cosl8_sin36

2sin36sin36sin36

故選：B.

44(2024高一下.江蘇蘇州?期中)計算：72-=()

cos40+cos60

A.一變B.--C.@D.1

2222

【答案】C

【分析】利用兩角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角關系化簡即可.

(cos20°)2-(—sin20°)2

［詳解］因為sin”.sin80sin(60-20°)?sin(60°+20°)二22

=Lv~i

cos40+cos60cos40+—--2sin220°

22

—cos220°--sin220°--sin220

1所以原式=42

44=4」

2（--sin220°）2（--sin220°）22

44

故選：C

彩他題祕籍

（四）

給值求值

給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角"，使其角相同

或具有某種關系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉化而推出結論，

其中"湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角之間的相互關系，并根

據(jù)這些關系來選擇公式.

題型5:給值求值

5-1.（2024?全國）已知tana=2,貝|cos（a-'=

【答案】嚕

1jr

【詳解】由1011。=2得51112=2以）52,又sin2a+cos2c=l,所以8$2。=二，因為?！辏?,耳），所以

cosa=為,sina=冬叵,因為cos（a—色）=cosacos/+sinasin/,所以cos（a—工）=

554444

非62非亞3麗

----x------1-------x-----=--------.

525210

5-2.（2024高三上?河北?期末）已知tang=2,則Jin。sin。值為_____.

21-cosc/1+cosU

【答案】、3

【分析】根據(jù)二倍角公式，結合同角商數(shù)關系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，結合弦切互化求解.

.ee

2osin—cos—2csi.n—ecoso—

sin0sin02222

【詳解】（法一）

1-cos01+cos0r2。.?7一y）

l22J“I

00,eee0

2sin—cos—2sm—cos—cos—sin—

,2222_22_i…e

zitan

o?2e.ee2

2sin—2cos—sin—cos—1than—e

22222

1c3

=----2=----.

22

2-tan—e

_2x2__4

（法二）因為tan—=2,所以tan6=2

-1^4-3

1-tan—

2

sin。sin。2sincos2sincos2sincos2cos82

則1-cos。1+cos6（1一cos8）（1+cos。）1-cos20sin26sin。tan。

3

故答案為：-

5-3.（2024?山東濟寧?三模）已知cos?］：—a）=|,貝Ijsin2a=.

【答案】1/0.2

【分析】由輔助角公式和二倍角的余弦公式化簡即可得出答案.

713

【詳解】因為COS?~~a

5

故答案為：—.

=^~,則

5-4.（2024?江西?模擬預測）已知sin|a+《cos12a_g

【答案】

【分析】利用誘導公式結合二倍角公式即可求解.

【詳解】由題意可得,

5

故答案為:

9

1+2石sin6cose+cos2e_1(、

5-5.(2024.全國.模擬預測)若.(3吟=5,則sin2"三=

sin6+耳I6)

31

【答案】--

【分析】利用誘導公式、二倍角公式和輔助角公式化簡可得sin(e+m]=-1,然后由2。-[=-9

V6/86V6;2

可解.

1+2^3sin0cos0+cos20_2A/3sin0cos0+2cos20

【詳解】因為.（q3兀）—cos8

=-2V3sin6>-2cos6>=-4sinp+^j=|

所以sin(9+；1

8

所以sin120—￡）=sin+=—cos2（8+《）=—l+Zsin?］夕+631

32

31

故答案為：-至

彩儺瓢祕籍(五)

給值求角

給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出"所求角"的某一三角函數(shù)值，再確定"所求角”的范圍，最后借

助三角函數(shù)圖像、誘導公式求角.

題型6：給值求角

6-1.(2024高三上?上海嘉定?期中)若?/為銳角，sina=理,cos(a+0=-《，則角〃=.

【答案】|

【分析】結合兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系式求得cos￡,進而求得夕.

【詳解】由于d尸為銳角，所以0<c+6〈兀，

所以cosa=Vl-sin2a=—,sin(a+=Ql-cos?(a+0)=,

所以cosp=cos[(a+^)—a]=cos(a+#)cosa+sin(a+；0)sina

1115A/34>/3

---------X——I------------X-----------

1471472

所以夕=:.

故答案為：—

4C1II-1C兀5兀c

6-2.（2024高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習）已知cos2"=《tanp——,中0<av—,—〈尸v兀.

746

⑴求sin[a+7）的值；

(2)求4-2a的值.

【答案】⑴平

【分析】（1）根據(jù)題意利用倍角公式可得cos。,sine,再結合兩角和差公式運算求解;

3

（2）根據(jù)同角三角關系可得tan2a=（,利用兩角和差公式求2a）,并結合角的范圍分析求解.

4Q1

【詳解】(1)因為cos2a=2cos2a—l=l-2sin2a=w，可得cos?a=記,sin?a=而，

又因為0<a〈巴，則cose>0,sine>0,可得cosa=亞,sina=?

41010

所以sin[a+：=sinacosAcosesin久巫丁+亞x包=述

441021025

TTTT4/-------------3

(2)因為。<1<一，貝!]。<2。<一，且cos2a=-，可得sin2a=-cos2a=-,

4255

csinla3

所以tan2a=------=—,

cosla4

可得加（…

又因為、7?T＜分＜n,可得T?T＜夕一2。＜兀，所以4一2a=S邛ir.

634

6-3.（2024高一上?福建三明?階段練習）已知ae（0,7t）,尸e（,sina-cosa=^2L,sin（&+,）=[.

⑴求tana；

（2）求角夕.

【答案】（1）7

【分析】(1)sina-cosa=主2兩邊平方得sin2a=]>0,從而求出71，得至｝Jsina+cosa=4立

525

聯(lián)立求出正弦和余弦，得到正切值;

3

(2)由題目條件得到0<a<&+尸〈兀，故cosa>cos(a+⑶，由同角三角函數(shù)關系求出cos(a+/?)=-《，進

而由sinQ=sin[(a+⑶-句求出正弦值，結合角的范圍得到答案.

【詳解】(1)sina-cosa=①，兩邊平方得sin2a-Zsinacosa+cos?a=身

525

1Q

所以l-sin2a=——,

25

7

從而sin2a=——>0,

25

因為ae(0,7t),所以ae/gj,

故sina>0,cosa>0,sina+cosa>0,

所以sina+cosa=Jsin2a+2sinacosa+cos2a=Jl+sin2a=弓,②

聯(lián)立①②解得sina二述垃

cosa——，

1010

,,sin。r

故tana=-------=7；

cosa

4

(2)因為0微，sin(a+尸)=(,

5

所以0<1<1+6<兀，

由于y=cos%在(0㈤上單調遞減,

所以cosa>cos(a+"),

____________O

其中cos(a+y0)=土Jl-sin?(a+尸)=土g,

由(1)知sina=2屈.,cosor=,

1010

而[〉卷，與cosa>cos(a+R)矛盾，舍去,

一3<無，滿足要求，

510

3

故cos(a+/7)=-

5

所以sin4=sin[(a+4)一cr]=sin(cr+/?)cos。-cos(a+月)sina

4037A/2V2

=—x----F—x----=---,

5105102

因為夕

所以￡

6-4.（2024高三上?江西撫州?階段練習）已知cosa=半，sin￡=嚕，且則a+￡

的值是.

【答案w

【分析】由平方關系求得Sina,cos?,再求出cos（0+廣）即可得解.

【詳解】解：因為cosaJ''sinP=~~,且ae[。,]],

所以sina=舍，cos/3=,且媛+/￡（°,兀），

則cos（a+用2*題一旦

v75105102

rr

所以e+尸=：.

故答案為：y.

4

彩得瓢祕籍一

（K）

三角恒等變換的綜合應用

（1）進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變

形使用.

（2）形如y=asinx+6cosx化為>=sin（x+°），可進一步研究函數(shù)的周期性、單調性、最值與對

稱性.

題型7:三角恒等變換的綜合應用

7-1.(2024.湖南.模擬預測)已知函數(shù)/(x)=sin2x+sinxcosx-l.

(1)求f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

⑵當時，求“X)的最大值，并求當取得最大值時x的值.

JT3冗

【答案】(1)最小正周期為兀；單調遞增區(qū)間為-g+E,丁+E優(yōu)eZ)

OO_

(2)最大值為正二L此時x=

【分析】(1)化簡函數(shù)=結合三角函數(shù)的性質，即可求解；

(2)由xe0,|,求得2x-：e,得到一等<sin(2x.￡|vl,進而求得外力取得最大值時x的

值.

【詳解】(1)解：S^//(.^)=sin2x+sinxcosx-l=--^^^+gsin2x—l

V2..V2011_A/2.<叫1

=sin2x----cos2x———sin2x——.

2(22J224；2

所以/'(X)的最小正周期為7號=兀，

冗冗冗冗3冗

令——+2kli<2x——<—+2kn,keZ,解得——+ku<x<卜kn,keZ,

24288

rr3冗

所以“X)的單調遞增區(qū)間為-3+配丁+也(左eZ).

OO_

(2)解：因為xe0,],所以,

所以一孝Wsin'x-:卜1,所以TW/(x)W，!二，

當2》W，即工="時，f(x)=1二L

428J、,max2

所以“X)的最大值為叵口，此時X=乎.

2o

7-2.(2024高三上?天津?期中)己知函數(shù)〃尤)=2cos￡xsingT+[,o>0,〃x)圖象的兩條相鄰對

稱軸之間的距離為

⑴求〃x)的單調遞減區(qū)間；

⑵若/(g)=Y，且當，求sinS-當?shù)闹?

25666

?小生、…57i,11K,R‘一

【答案】⑴[r五+E,^^_+E],l￡Z

(2)-1

IT

【分析】(1)根據(jù)題意，化簡/(x)=sin(0x-g),結合三角函數(shù)的圖象與性質，即可求解；

JT37T4

⑵根據(jù)題意，求得sin(e-；)=-}得到cos(e.)=；結合三角函數(shù)的誘導公式，即可求解.

?、斗他、Z1\々刀4\CCDX.((D71^73-COXA?COXV38、\/3

【詳解】(1)解：由/(x)=2cos—sin—X-一+—=2cos一(-sin-cos-)+—

、)2(23)2222222

1.6.,兀、

=—sincox------coscox=sin(cox-----)，

223

因為“X)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為T，可得g=即7=兀，

27t71

所以。=亍=2,可得〃x)=sin(2x-§),

JrJr37r57r1Ijr

令一+2fal<lx——<——+2kit,左eZ,角星得---\-kit<x<----+far,A;GZ,

2321212

所以函數(shù)/(X)的單調遞增區(qū)間為+詈+E]#ez.

(2)解：由〃x)=sin(2x-a，可得■/'§)=$皿，-三)=一|,

因為匹[J,當，可得。一裊[一勺，所以cos("勺=]

6632235

Sir7TJTJT4

所以sin(6---)=sin[(8-cos(6-y)=--.

7-3.(2024高三?全國?對口高考)已知/(x)=sin20x+岑sin2gx-；(X￡R,G>0).若/(x)的最小正周期

為2Tl.

⑴求的表達式和/W的遞增區(qū)間；

TT5冗

⑵求“X)在區(qū)間一上的最大值和最小值.

|_oo

【答案】(D/(x)=sin]xqj的單調遞增區(qū)間為2標\,2E+g(fceZ).

⑵〃x)在區(qū)間1-J,斗上的最大值和最小值分別為1和_￡

【分析】(1)化簡函數(shù)解析式，利用周期公式求。，可得其函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)單調性求函數(shù)/■(%)的

遞增區(qū)間;

rr5兀

(2)利用不等式性質及正弦函數(shù)性質求函數(shù)/(x)在區(qū)間-二,三上的最大值和最小值.

o0

【詳解】(1)因為"X)=sin?0x+[sin2Ox-；,

所以y(x)=-----------+2ySin2cox--,

所以/(x)=sin2a>x-^coscox,

所以〃x)=sin[28-5],

因為的最小正周期為2兀，(y>0,

所以2三7r=2兀，所以。=1：,

2。2

所以/(x)=sin(x_￡],

/TV

令2kli——<x——<2kn+—,左eZ,可得2E——<x<2kjiH-----,keZ,

26233

jrQjr

所以函數(shù)〃尤)的單調遞增區(qū)間為2kK--,2hi+—/eZ),

(2)因為一笠

66

所以一1Vx-Jw多，

363

所以一咚wSin,-胃VI,/(%)<!,

所以當x=g時，函數(shù)/(X)取最大值，最大值為1,

當％=一?時，函數(shù)/(X)取最小值，最小值為一今.

02

74(2024?浙江)設函數(shù)〃x)=sinx+cosMx￡R).

(1)求函數(shù)y=[/(x+'J的最小正周期；

(2)求函數(shù)y=/(x)/(x-?]在0,|上的最大值.

【答案】(1)乃；(2)1+1.

2

【分析】(1)由題意結合三角恒等變換可得>=1-sin2光，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解;

(2)由三角恒等變換可得y=sin(2尤-?)+母，再由三角函數(shù)的圖象與性質即可得解.

【詳解】(1)由輔助角公式得/(尤)=sinx+cosx=&sin[x+5],

所以該函數(shù)的最小正周期7=甘=萬;

(2)由題意,A/2sin卜+(J?41sinx=2sin卜+(Jsinx

=2sinx(變sinx+變cos尤

=A/2sin2%+J7sin尤cos%

_r-1-COS2%形._V2.y[2^V2_.<")夜

=72---------------1