2024-2025學(xué)年山西省運(yùn)城市鹽湖第五高級(jí)中學(xué)高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山西省運(yùn)城市鹽湖第五高級(jí)中學(xué)高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說(shuō)法正確的是(

)A.?∈{0} B.0?N C.13?Q 2.在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1?i20242+i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)x，y>0且x+2y=40，則2xy的最大值是(

)A.400 B.100 C.40 D.204.已知空間向量a和b的夾角為120°，且|a|=2，|b|=5，則(A.12 B.8 C.4 D.145.已知a，b∈R，則“2?a<2?b”是“aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(2?x)=f(x)，f(1)=2，則f(1)+f(2)+…+f(30)=(

)A.2 B.0 C.60 D.627.已知函數(shù)f(x)=x2?2x,x≥a?A.存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a和k，函數(shù)y=f(x)+k總存在零點(diǎn)

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)f(x)既無(wú)最大值也無(wú)最小值

D.對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)m，總存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)在區(qū)間(?1,m)上單調(diào)遞減8.兩名男生，一名女生排成一排合影，則女生站在中間的概率是(

)A.13 B.16 C.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=|sin(2x+π4A.π2是函數(shù)f(x)的周期

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π6)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=|sin2x|向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度得到f(x)=|sin10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是正方體的上底面A1B1C1A.三棱錐Q?PCD的體積是定值

B.存在點(diǎn)P，使得PQ與AA1所成的角為60°

C.直線(xiàn)PQ與平面A1ADD1所成角的正弦值的取值范圍為(0,211.已知線(xiàn)段AB是圓C：(x?1)2+(y?3)2=4的一條動(dòng)弦，G為弦AB的中點(diǎn)，|AB|=23，直線(xiàn)l1：mx?y+3m+1=0與直線(xiàn)A.弦AB的中點(diǎn)軌跡是圓

B.直線(xiàn)l1，l2的交點(diǎn)P在定圓x2+y2+4x+2y=0上

C.線(xiàn)段PG三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)L過(guò)F且與C交于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3|BF|，則L的方程為_(kāi)_____．13.已知二項(xiàng)式(3x+1x)n(n∈N14.函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，若對(duì)任意x∈[0,a]?D，均有f(x)≥f(xk)(k∈N?)成立，且f(0)=0，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為區(qū)間[0,a]上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).根據(jù)上述定義，已知函數(shù)f(x)=?cos3x+1，那么函數(shù)f(x)在[0,2π]上______(填“是”或“不是”)2階無(wú)窮遞降函數(shù)；若函數(shù)f(x)在[0,a]上是四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題14分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c?2bcosA=b．

(1)證明：A=2B；

(2)若c=57，cosB=3416.(本小題14分)

如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上，且AQ=3QC．

(1)求證：PQ//平面BCD．

(2)若三角形BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，BD=DA，求異面直線(xiàn)BM和AC所成角的余弦值．17.(本小題15分)

某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開(kāi)發(fā)了一條生產(chǎn)線(xiàn)進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95].根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱(chēng)為A等品，其它產(chǎn)品稱(chēng)為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線(xiàn)中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)x?作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線(xiàn)中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ<μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973.)

(2)(i)從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在[45,55)和[85,95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85,95]的芯片件數(shù)為η，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件A等品芯片的利潤(rùn)是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利潤(rùn)是ln18.(本小題15分)

已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x225+y25=1共焦點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是以橢圓半焦距為半徑的圓O與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)在第一、二象限的交點(diǎn)，若點(diǎn)19.(本小題19分)

在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“A型擴(kuò)展”.如將數(shù)列a，b(a,b=1,2,3?,8,9)進(jìn)行“A型擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列a，ab，b：第二次得到數(shù)列a，a2b，ab，ab2，b；…設(shè)第n次“A型擴(kuò)展”后所得數(shù)列為a，x1，x2，?，xt，b(其中t=2n?1)，并記an=logab(a?x1?x2??xt?b)；在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入后項(xiàng)與前項(xiàng)的商，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“B型擴(kuò)展”.即將數(shù)列a，b(a,b=1,2,3?,8,9)進(jìn)行“B型擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列a,ba,b；第二次得到數(shù)列a,ba2,ba,a,b：…設(shè)第n次“B型擴(kuò)展”后所得數(shù)列為a，y1，y2，?，yt，b(其中t=2n?1)，當(dāng)a≠b時(shí)，記bn=logba(a?y1?y2??yt?b)．

(1)當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求數(shù)列參考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.D

6.A

7.B

8.A

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.y=?3(x?1)13.135

14.不是

π215.(1)證明：因?yàn)閏?b=2bcosA，

由正弦定定理可得：sinC?sinB=2sinBcosA，

在△ABC中，C=π?A?B，

所以sinC=sin[π?(A+B)]?sinB=2sinBcosA，

即sin(A+B)?sinB=2sinBcosA，

而sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

整理得sinAcosB?cosAsinB=sinB，

即sin(A?B)=sinB，

又A，B是△ABC的內(nèi)角，

所以A，B∈(0,π)，A?B∈(0,π)，

所以A?B=B或A?B+B=π(舍去)，

即A=2B；

(2)解：由cosB=34及B∈(0,π)可知，sinB=1?cos2B=1?(34)2=74，

由A=2B可知，cosA=cos2B=2cos2B?1=2×(34)2?1=18，16.解：(1)證明：如圖所示，取BD中點(diǎn)O，連接OP，

∵P是BM中點(diǎn)，

∴OP//DM，2OP=DM，

取CD的四等分點(diǎn)H，使DH=3CH，

∵AQ=3QC，

∴QH//DA，4QH=AD，

∴2QH=MD=2PO，QH//PO，

∴四邊形OPQH為平行四邊形，

∴QP//OH，

∵PQ?平面BCD，OH?平面BCD，

∴PQ/?/平面BCD．

(2)取CD的中點(diǎn)E，連接ME，則ME/?/AC，

則∠BME或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)BM和AC所成的角，

∵AD⊥平面BCD，BD，CD?平面BCD，

∴AD⊥BD，AD⊥CD，即BM=5,EM=2,BE=3，

∴EM2+BE2=BM217.解：(1)由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線(xiàn)中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：x?=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69，

即μ≈x?=69，又因?yàn)棣摇謘≈11，

所以X～N(69,112)，

因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布N(69,112)，

所以P(X≥80)=1?P(69?11<X<69+11)2=1?P(μ?σ<X<μ+σ)2≈1?0.68272≈0.16，

所以從生產(chǎn)線(xiàn)中任取一件芯片，該芯片為A等品的概率約為0.16；

(2)(i)(0.01+0.01)×10×100=20，

所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在[85,95]的芯片件數(shù)為10件，

故η可能取的值為0，1η0123P215152所以η的數(shù)學(xué)期望E(η)=0×219+1×1538+2×1538+3×219=32；

(ii)設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有Y件，則每箱產(chǎn)品中B等品有(100?Y)件，

設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)為Z元，

由題意知：Z=mY+(100?Y)ln(25?m)=(m?ln(25?m))Y+100ln(25?m)，

由(1)知：每箱零件中A等品的概率為0.16，

所以Y～B(100,0.16)，

所以E(Y)=100×0.16=16，

所以E(Z)=E[(m?ln(25?m))Y+100ln(25?m)]=16(m?ln(25?m))+100ln(25?m)=16m+84ln(25?m)，

令f(x)=16x+84ln(25?x)(1<x<24)，

則f′(x)=16?8425?x，

令f′(x)=0得，x=79418.解：(1)在橢圓x225+y25=1中，因?yàn)閍2=25，b2=5，a2?b2=20=25，

所以橢圓焦點(diǎn)為(±25,0)，所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±25,0)．

又因?yàn)殡p曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=±bax，

⊙O的方程：x2+y2=20．

聯(lián)立得y=±baxx2+y2=20，

解得x2+b2a2x2=20，x=±20a2a2+b19.解：(1)將數(shù)列1，2進(jìn)行第一次“A型拓展“得到1，2