2024-2025學(xué)年江蘇省常州市前黃高級中學(xué)高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省常州市前黃高級中學(xué)高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈N|x≤5},B={x|y=lg(x?1)}A.{0} B.{0,1} C.{1} D.{1,2}2.已知z=21+i，其中i為虛數(shù)單位，則z?A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i3.已知a>0，且a≠1，則函數(shù)y=loga(x+1A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限4.已知a，b都是正數(shù)，則“ab≥4”是“ab≥a+b”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.已知α，β滿足sin(α+2β)=512，cos(α+β)sinβ=13A.112 B.?112 C.16.現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊、己6名員工平均分成兩個志愿者小組，到外面參加兩項(xiàng)不同的服務(wù)工作，則丙、丁兩人恰好參加同一項(xiàng)服務(wù)工作的概率為(

)A.15 B.25 C.357.將函數(shù)y=2sin(2x+π6)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12，得到函數(shù)f(x)的圖象.若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3A.π4 B.5π6 C.5π128.若函數(shù)f(x)=lnx+12x2+ax有兩個極值點(diǎn)x1，xA.a≤?4 B.a≥4 C.a≤?42 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(2x+π6A.y=f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)

B.y=f(x)的最大值為2

C.將函數(shù)y=2cos2x的圖象向左平移π24個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合

10.已知f(x)=alnx+2x，則以下結(jié)論正確的有(

)A.?a<0，f(x)有零點(diǎn)

B.?a>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

C.a=2時，f(x)≥2

D.a=?1時，f(2x?1)?f(x)>0的解集為(11.甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機(jī)取出一球.A1表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，A2表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”.則下列結(jié)論正確的是A.A1，B為互斥事件 B.P(B|A1)=411三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)函數(shù)f(x)=2x?2?x，則使得f(13.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(b?c)sinB=bsin(A?C)，則角A=______．14.已知存在a>0，使得函數(shù)f(x)=alnx與g(x)=x2?3x?b的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為1，則b的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=2b，a=2ccosC．

(1)求ab的值；

(2)若△ABC的面積為15，求AB16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=bx+logax4?x(a>0且a≠1，b∈R)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)當(dāng)b=2，證明：f(x)+f(4?x)為定值，并求出函數(shù)f(x)的對稱中心；

(2)當(dāng)a=e時，若17.(本小題15分)

足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分.常州龍城足球隊(duì)2024年10月將迎來主場與A隊(duì)和客場與B隊(duì)的兩場比賽.根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊(duì)主場與A隊(duì)比賽：勝的概率為23，平的概率為16，負(fù)的概率為16；客場與B隊(duì)比賽：勝的概率為13，平的概率為16，負(fù)的概率為12，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)求常州龍城隊(duì)10月主場與A隊(duì)比賽獲得積分超過客場與B隊(duì)比賽獲得積分的概率；

(2)用X表示常州龍城隊(duì)10月與A18.(本小題17分)

如圖，已知菱形ABCD和菱形ADEF的邊長均為2，∠FAD=∠BAD=60°,BF=3，M，N分別為AE，BD上的動點(diǎn)，且AM=λAE,BN=λBD(0<λ<1)．

(1)證明：MN//平面CDE；

(2)當(dāng)MN的長度最小時，求：

①λ；19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=aex?x?a(a∈R)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)當(dāng)a=?1時，求φ(x)=f(x)?cos2x在[0,π]上的值域；

(2)當(dāng)0<a≤1時，討論f(x)的零點(diǎn)個數(shù)；

(3)當(dāng)a≥1時，從下面①和②兩個結(jié)論中任選一個進(jìn)行證明．

參考答案1.B

2.B

3.D

4.B

5.D

6.B

7.A

8.A

9.ABD

10.ACD

11.BD

12.(?3,1)

13.π314.?3

15.解：(1)a=2ccosC，由余弦定理得，a=2c?a2+b2?c22ab，

又因c=2b，

所以a=2×2b×a2+b2?(2b)22ab，化簡得a2=6b2，

所以ab=6；

(2)由(1)得cosC=a2c=6b2×2b=6416.解：(1)證明：當(dāng)b=2時，f(x)=2x+logax?loga(4?x)，其中x∈(0,4)，

f(4?x)=2(4?x)+loga(4?x)?loga[4?(4?x)]=8?2x+loga(4?x)?logax，

所以f(x)+f(4?x)=8，

故函數(shù)f(x)的對稱中心為(2,4)．

(2)當(dāng)a=e時，f(x)=bx+lnx?ln(4?x)，其中x∈(0,4)，

因?yàn)閒(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(0,4)上恒成立，

又f′(x)=b+1x17.解：(1)設(shè)事件A1=“常州龍城隊(duì)主場與A隊(duì)比賽獲得積分為3分”，

事件A2=“常州龍城隊(duì)主場與A隊(duì)比賽獲得積分為1分”，

事件A3=“常州龍城隊(duì)主場與A隊(duì)比賽獲得積分為0分”，

事件B1=“常州龍城隊(duì)客場與B隊(duì)比賽獲得積分為3分”，

事件B2=“常州龍城隊(duì)客場與B隊(duì)比賽獲得積分為1分”，

事件B3=“常州龍城隊(duì)客場與B隊(duì)比賽獲得積分為0分”，

事件C=“常州龍城隊(duì)七月主場與A隊(duì)比賽獲得積分超過客場與B隊(duì)比賽獲得積分”，

P(A1B2)=23×16=19，

P(A1B3)=23×12=13，

P(A2B3)=16×12=112，

X012346P111712∴E(X)=0×11218.解：(1)證法一：菱形ABCD和菱形ADEF的邊長均為2，

∠FAD=∠BAD=60°,BF=3，M，N分別為AE，BD上的動點(diǎn)，

AM=λAE,BN=λBD(0<λ<1)．

在菱形ADEF內(nèi)，過點(diǎn)M作MP//DE，

MP∩AD=P，連接PN，則AMAE=APAD，

由AM=λAE,BN=λBD得AMAE=BNBD，

∴APAD=BNBD，∴NP//AB//CD，

∵M(jìn)P//DE，MP?平面CDE，DE?平面CDE，

∴MP平面CDE．

∵NPCD，NP?平面CDE，DE?平面CDE，

∴NP//平面CDE．

又MP，NP?平面MNP，MP∩NP=P，

∴平面MNP/?/平面CDE，

又MN?平面MNP，∴MN/?/平面CDE．

(1)證法二：菱形ABCD和菱形ADEF的邊長均為2，∠FAD=∠BAD=60°,BF=3，

M，N分別為AE，BD上的動點(diǎn)，且AM=λAE,BN=λBD(0<λ<1)，

延長AN交直線DC于點(diǎn)G，連結(jié)EG，

∵AB/?/DG，∴BNBD=ANAG，

∵AM=λAE,BN=λBD，∴AMAE=ANAG，∴MN//EG，

∵M(jìn)N?平面CDE，EG?平面CDE，

∴MN/?/平面CDE．

(2)取AD的中點(diǎn)O，連接BO，F(xiàn)O，

由題意知△ABD為等邊三角形，得BO⊥AD，同理FO⊥AD，

∵BO∩FO=O，BO，F(xiàn)O?平面BOF，∴AD⊥平面BOF，

又A

D?平面ABCD，∴平面BOF⊥平面ABCD，

①在平面BOF內(nèi)作Oz⊥OB，平面BOF∩平面ABCD=OB，則Oz⊥平面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB，Oz分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則A(1,0,0)，D(?1,0,0)，B(0,3,0)，

∵BO=FO=BF=3，

∴F(0,32,32)，E(?2,19.解：(1)當(dāng)a=?1時，φ(x)=?ex?x+sin2x，φ′(x)=?ex?1+sin2x，

∵?1≤sin2x≤1，∴φ′(x)=?ex?1+sin2x≤?ex<0，

∴φ(x)在[0,π]上單調(diào)遞減，

又φ(0)=?1，φ(π)=?eπ?π，

∴φ(x)在[0,π]上的值域?yàn)閇?eπ?π,?1]；

(2)f(x)=aex?x?a(0<a≤1)，令f′(x)=aex?1=0得x=?lna，

當(dāng)x<?lna時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>?lna時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴f(x)≥f(?lna)=1+lna?a，

當(dāng)a=1時，1+lna?a=0，

∴f(x)≥0，則f(x)在(?∞,+∞)上有且僅有1個零點(diǎn)．

當(dāng)0<a<1時，令r(a)=1+lna?a(0<a<1)，r′(a)=1a?1=1?aa>0，

∴r(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，

∴r(a)<r(1)=0，即f(?lna)<0，又f(0)=0，

∴f(x)在(?∞,?lna)上有1個零點(diǎn)，又f(?2lna)=1a+2lna?a，

令μ(a)=1a+2lna?a(0<a<1)，則μ′(a)=?(a?1)2a<0，

∴μ(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，

∴μ(a)>μ(1)=0，

∴f(?2lna)>0，

∴f(x)在(?lna,?2lna)上有一個零點(diǎn)．

綜上所述，a=1時，f(x)有一個零點(diǎn)，

0<a<1時，f(x)有2個零點(diǎn)；

(3)證明：選擇①：當(dāng)a≥1，x>0時，f(x)=a(ex?1)?x≥ex?1?x，

設(shè)g(x)=ex?x?xlnx+sinx?1，

當(dāng)0<x≤1時，?xlnx≥0，sinx>0，

又由(