2024-2025學(xué)年河北省承德一中等校高三（上）摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省承德一中等校高三（上）摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知命題p：?x∈R，ex2≥1；命題q：?x>1，lnx=?(x?1)A.p和q都是真命題 B.￢p和q都是真命題

C.p和￢q都是真命題 D.￢p和￢q都是真命題2.已知z1=(a+1)?2i為純虛數(shù)，則z2=a+iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.漁民在某次打撈中打撈到的8條魚的質(zhì)量(單位：斤)分別為：3.5，1.6，4.2，3.2，4.0，4.3，5.3，2.6，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為(

)A.4.1 B.4.25 C.4.35 D.4.54.已知平面向量a=(0,23+x)，b=(?3,x)，A.?1 B.1 C.12 D.5.已知橢圓T：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，TA.13 B.12 C.26.已知X～N(1.8,0.12)，Y～N(2.1,0.01)，則P(X>1.9)+P(Y>2)≈(注：若隨機(jī)變量Z～N(μ,σ2A.0.1587 B.0.8413 C.1 D.0.42067.過點(diǎn)(2,0)可作曲線f(x)=x3?3x?2的切線條數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.08.在圓錐SO中，軸截面△SAC為腰長為22的等腰直角三角形，B為底面圓上一點(diǎn)，且E為線段AB上一動點(diǎn)，△ABC為等腰三角形，則SE+CE的最小值為(

)A.25 B.2(3+1) 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=2024sin(2x+π6)，則A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π6對稱B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(5π12,0)對稱

C.f(x)在區(qū)間(?π6,10.已知點(diǎn)M(0,m)(m≠0)，F(xiàn)為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，N，Q為C上不重合的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線MN(直線MN斜率存在且不為0)與C僅有唯一交點(diǎn)N，則(

)A.C的準(zhǔn)線方程為x=?1

B.若線段MF與C的交點(diǎn)恰好為MF中點(diǎn)，則m=±22

C.直線MN與直線MF垂直

D.若|QF|=311.如圖所示的曲線Γ被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應(yīng)用非常廣泛，其代數(shù)形式可表示為坐標(biāo)中(O為坐標(biāo)原點(diǎn))動點(diǎn)P到點(diǎn)F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離滿足：|PFA.|OP|的最大值是2

B.若(x0,y0)是曲線上一點(diǎn)，且在第一象限，則y0>2x0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若C2nnC2n+1n=13.寫出函數(shù)y=ex(1+sinx)14.已知數(shù)列{an}滿足an=sin2α2(12si四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某智能機(jī)器人體驗(yàn)店近日生意火爆，來店的消費(fèi)者絡(luò)繹不絕，店長對最近100位消費(fèi)者的體驗(yàn)機(jī)器人時長(不超過25分鐘)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示，已知每位消費(fèi)者在該人工智能體驗(yàn)店每體驗(yàn)一臺機(jī)器人的時間為5分鐘，該體驗(yàn)店的利潤為100元，體驗(yàn)時間為10分鐘或者15分鐘，其利潤為150元，體驗(yàn)時間為20分鐘或者25分鐘，其利潤為200元.用X表示該體驗(yàn)店從一名消費(fèi)者身上獲取的利潤．體驗(yàn)時間5分鐘10分鐘15分鐘20分鐘25分鐘頻數(shù)3020201020(1)若以頻率作為概率，求在該體驗(yàn)店消費(fèi)的3名消費(fèi)者中，至多有1名體驗(yàn)者體驗(yàn)15分鐘的概率；

(2)求X的分布列及期望．16.(本小題15分)

已知數(shù)列{an?3}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，等差數(shù)列{bn}有b1=?29，b3+a5=?2．17.(本小題15分)

正四棱柱OABC?O1A1B1C1中OB=2，點(diǎn)P，Q，R分別在AA1，BB1，CC1上，且O，P，Q，R四點(diǎn)共面．

(1)若OP=OR，記平面OPQR與底面的交線為l18.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為93，c=6，且sinAsinB=sin2C.

(1)證明：△ABC為等邊三角形；

(2)設(shè)BA的延長線上一點(diǎn)D滿足AD=2，又平面內(nèi)的動點(diǎn)P滿足∠PBA=2∠PAB(∠PAB≠0°)，求19.(本小題17分)

對于數(shù)列{an}，定義：若存在函數(shù)f(x)，使得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn(n>2)小于f(n)，則稱數(shù)列{an}是“f(n)控制數(shù)列”．

(1)設(shè)A(x)=px2+qx+r(p≠0)，證明：存在A(x)，使得等差數(shù)列{an}是“A(n)控制數(shù)列”；

(2)設(shè)bn=lnn，B(x)=12x2?12x+ln2?1，判斷數(shù)列{bn}是否是“B(n)控制數(shù)列”，并說明理由；參考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.ABC

11.ACD

12.4

13.?π2(14.1215.解：(1)以頻率作為概率，則體驗(yàn)者體驗(yàn)15分鐘的概率為0.2，

設(shè)事件A為“在該體驗(yàn)店消費(fèi)的3名消費(fèi)者中，至多有1名體驗(yàn)者體驗(yàn)15分鐘”，

則P(A)=0.83+C31×0.2×0.82=0.896．

(2)由題意，X可能取值為：100，150，200，

則X100150200P0.30.40.3所以E(x)=100×0.3+150×0.4+200×0.3=150．

16.解：(1)由數(shù)列{an?3}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

可得an?3=2n?1，即an=3+2n?1；

等差數(shù)列{bn}有b1=?29，b3+a5=?2，可得?29+2d+3+16=?2(d為公差)，

解得d=4，則bn=?29+4(n?1)=4n?33；

(2)數(shù)列{bnan?3}，即{4n?33217.解：連接AC，PR，由正四棱柱OABC?O1A1B1C1，可得AA1//OO1//CC1，AO=OC，∠PAO=∠RCO=90°，

又因?yàn)镺P=OR，所以由勾股定理可得AP=CR，

又AA1/?/CC1，

所以RC//AP，所以四邊形APRC是平行四邊形，

所以PR/?/AC，又AC?平面OABC，PR?平面OABC，

所以PR/?/平面OABC，又平面OPOR//平面OABC，

平面OPOR∩平面OABC=l，

所以PR//l，

所以AC/?/l；

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OC，OO1為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镺B=2，又底面OABC是正方形，

所以O(shè)A=OC=1，又∠AOP=α，∠COR=β，

所以AP=tanα，CR=tanβ，

所以P(1,0,tanα)，R(0,1,tanβ)，O(0,0,0)，

所以O(shè)P=(1,0,tanα)，,OR=(0,1,tanβ)，

所以O(shè)P?OR=(1,0,tanα)(0,1,tanβ)=1×0+0×1+tanαtanβ=tanαtanβ，

|OP|=12+02+tan2α=1+tan2α，|OR|=02+12+tan2β=1+tan2β，

由正四棱柱OABC?O1A1B1C1，可得平在面OCC1O1//ABB1A1，

又18.證明：(1)因?yàn)閟inAsinB=sin2C，由正弦定理得ab=c2，c不是最大邊，

面積S=12absinC=12×36×sinC=93，所以sinC=32,C∈(0,π2)，所以C=π3，

由余弦定理c2=a2+b2?2abcosπ3，化簡得36=a2+b2?36?a2+b2=72，

a2+b2?2ab=(a?b)2=72?2×36=0，ab=36，

所以a=b=6=c，

所以△ABC是等邊三角形；

解：(2)如圖建系B(0,0),C(3,33),A(6,0),D(8,0)，

設(shè)點(diǎn)P(x,y)，當(dāng)x≤6時，

因?yàn)椤螾BA=2∠PAB，所以tan∠PBA=tan2∠PAB,tan∠PBA=yx,tan∠PAB=y6?x，

所以yx=2×y6?x1?(y6?x)2，化簡得(x?4)2419.解：(1)證明：不妨設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，

則Sn=na1+n(n?1)d2=d2n2+(a1?d2)n，

取p=d2，q=a1?d2，r>0，則Sn<A(n)，

即存在A(x)，使得等差數(shù)列{an}是“A(n)控制數(shù)列”得證；

(2)數(shù)列{bn}是“B(n)控制數(shù)列”，理由如下：

令g(x)=lnx?x+1，則g′(x)=1x?1=1?xx，

當(dāng)0<x<1時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>1時，g′(x