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1.弦切角定理(1)弦切角:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.(2)弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.如圖所示,直線PT切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦,則有∠PCA=∠PBC(∠PCA為弦切角).2、相交弦定理【結(jié)論1】如圖,⊙O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)P,半徑為r,則①AP·BP=CP·DP,②AP·BP=CP·DP=r2-OP2.3、切割線定理【結(jié)論2】如圖,PBC是⊙O的一條割線,PA是⊙O的一條切線,切點(diǎn)為A,半徑為r,則①PA2=PB·PC,②PA2=PB·PC=PO2-r24、割線定理【結(jié)論3】如圖,PAB、PCD是⊙O的兩條割線,半徑為r,則①PA·PB=PC·PD②PA·PB=PC·PD=OP2-r2口訣:從兩線交點(diǎn)處引出的共線線段的乘積相等
例題精講例題精講考點(diǎn)一:相交弦定理【例1】.已知:如圖弦AB經(jīng)過⊙O的半徑OC的中點(diǎn)P,且AP=2,PB=3,則是⊙O的半徑等于()A. B. C. D.變式訓(xùn)練【變式1-1】.如圖,⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E,若CE:BE=2:3,則AE:DE=.【變式1-2】.如圖,在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD,CA=CB,過點(diǎn)A作AC的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.若cos∠ACB=,則的值為.考點(diǎn)二:弦切角定理【例2】.如圖,割線PAB過圓心O,PD切⊙O于D,C是上一點(diǎn),∠PDA=20°,則∠C的度數(shù)是度.變式訓(xùn)練【變式2-1】.如圖,已知∠P=45°,角的一邊與⊙O相切于A點(diǎn),另一邊交⊙O于B、C兩點(diǎn),⊙O的半徑為,AC=,則AB的長(zhǎng)度為()A. B.6 C. D.5【變式2-2】.如圖,BP是⊙O的切線,弦DC與過切點(diǎn)的直徑AB交于點(diǎn)E,DC的延長(zhǎng)線和切線交于點(diǎn)P,連接AD,BC.若DE=DA=,BC=2,則線段CP的長(zhǎng)為.考點(diǎn)三:切割線定理【例3】.如圖,直線PA過半圓的圓心O,交半圓于A,B兩點(diǎn),PC切半圓與點(diǎn)C,已知PC=3,PB=1,則該半圓的半徑為.變式訓(xùn)練【變式3-1】.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,O為AB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓O與BC相切于點(diǎn)D,分別交AC、AB于E、F,若CD=2CE=4,則⊙O的直徑為()A.10 B. C.5 D.12【變式3-2】.如圖,在四邊形ABCD中,以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)C,D.AC與BD相交于點(diǎn)E,CD2=CE?CA,分別延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)P,PB=BO,CD=2.則BO的長(zhǎng)是.【變式3-3】.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AB上,DE⊥EB.(1)求證:AC是△BDE的外接圓的切線;(2)若,求BD的長(zhǎng).考點(diǎn)四:割線定理【例4】.如圖,過點(diǎn)P作⊙O的兩條割線分別交⊙O于點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D,已知PA=3,AB=PC=2,則PD的長(zhǎng)是()A.3 B.7.5 C.5 D.5.5變式訓(xùn)練【變式4-1】.如圖,P是圓O外的一點(diǎn),點(diǎn)B、D在圓上,PB、PD分別交圓O于點(diǎn)A、C,如果AP=4,AB=2,PC=CD,那么PD=.【變式4-2】.已知直角梯形ABCD的四條邊長(zhǎng)分別為AB=2,BC=CD=10,AD=6,過B、D兩點(diǎn)作圓,與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,則BE﹣BF的值為.1.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,CM切⊙O于點(diǎn)C,∠BCM=60°,則∠B的正切值是()A. B. C. D.2.如圖,從圓外一點(diǎn)P引圓的切線PA,點(diǎn)A為切點(diǎn),割線PDB交⊙O于點(diǎn)D、B.已知PA=12,PD=8,則S△ABP:S△DAP=.3.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O過AB兩點(diǎn)且與BC切于B,與AC交于D,連接BD,若BC=﹣1,則AC=.4.如圖,⊙O的直徑AB=8,將弧BC沿弦BC折疊后與∠ABC的角平分線相切,則△ABC的面積為.5.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠BAC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E,若BD=4,CD=1,則DE的長(zhǎng)是.6.如圖,已知AC=AB,AD=5,DB=4,∠A=2∠E.則CD?DE=.7.如圖:BE切⊙O于點(diǎn)B,CE交⊙O于C,D兩點(diǎn),且交直徑于AB于點(diǎn)P,OH⊥CD于H,OH=5,連接BC、OD,且BC=BE,∠C=40°,劣弧BD的長(zhǎng)是.8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙O經(jīng)過點(diǎn)A(4,3),點(diǎn)B與點(diǎn)C在y軸上,點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合,且AB=AC,AC與⊙O交于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)E,連接CE、DE與x軸分別交于點(diǎn)G、F,則tan∠DFO=,tan∠A=.9.如圖,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圓,CD是⊙O的切線,C為切點(diǎn),且CD=CB,連接AD,與⊙O交于點(diǎn)E.(1)求證AD=AB;(2)若AE=5,BC=6,求⊙O的半徑.10.如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,CD是⊙O的直徑,AB⊥CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FB.(1)求證:FB是⊙O的切線.(2)若AC=4,tan∠ACD=,求⊙O的半徑.11.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),連接CE交BD于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)G,連接BG.(1)求證:FB2=FE?FG;(2)若AB=6,求FB和EG的長(zhǎng).12.如圖,⊙O的割線PBA交⊙O于A、B,PE切⊙O于E,∠APE的平分線和AE、BE分別交于C、D,PE=4,PB=4,∠AEB=60°.(1)求證:△PDE∽△PCA;(2)試求以PA、PB的長(zhǎng)為根的一元二次方程;(3)求⊙O的面積.(答案保留π)13.如圖,圓O上有A,B,C三點(diǎn),AC是直徑,點(diǎn)D是的中點(diǎn),連接CD交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上,且FC=FE.(1)求證:CF是圓O的切線;(2)若,BE=2,求圓O的半徑和DE?EC的值.14.如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)C在⊙O上,且PC2=PB?PA.(1)求證:PC是⊙O的切線;(2)已知PC=20,PB=10,點(diǎn)D是的中點(diǎn),DE⊥AC,垂足為E,DE交AB于點(diǎn)F,求EF的長(zhǎng).15.已知:如圖,PF是⊙O的切線,PE=PF,A是⊙O上一點(diǎn),直線AE、AP分別交⊙O于B、D,直線DE交⊙O于C,連接BC,(1)求證:PE∥BC;(2)將PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E移到圓內(nèi),并在⊙O上另選一點(diǎn)A,如圖2.其他條件不變,在圖2中畫出完整的圖形.此時(shí)PE與BC是否仍然平行?證明你的結(jié)論.16.已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC的平分線與⊙O相交于點(diǎn)D,連接DB.(1)如圖①,設(shè)∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)I,求證:BD=DI;(2)如圖②,過點(diǎn)D作直線DE∥BC,求證:DE是⊙O的切線;(3)如圖③,設(shè)弦BD,AC延長(zhǎng)后交⊙O外一點(diǎn)F,過F作AD的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過G作⊙O的切線GH(切點(diǎn)為H),求證:FG=HG.17.【提出問題】小聰同學(xué)類比所學(xué)的“圓心角“與“圓周角”的概念,將頂點(diǎn)在圓內(nèi)(頂點(diǎn)不在圓心)的角命名為圓內(nèi)角.如圖1中,∠AEC,∠BED就是圓內(nèi)角,所對(duì)的分別是、,那么圓內(nèi)角的度數(shù)與所對(duì)弧的度數(shù)之間有什么關(guān)系呢?【解決問題】小聰想到了將圓內(nèi)角轉(zhuǎn)化為學(xué)過的兩種角,即圓周角、圓心角,再進(jìn)一步解決問題:解:連接BC,OA,OC,OB,OD.如圖2,在△BCE中,∠AEC=∠EBC+∠ECB∵∠EBC=∠AOC,∠ECB=∠BOD∴∠AEC=∠AOC+∠BOD=(∠AOC+∠BOD)即:∠AEC的度數(shù)=(的度數(shù)+的度數(shù))(1)如圖1,在⊙O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)E,若弧的度數(shù)是65°,弧的度數(shù)是40°,則∠AED的度數(shù)是.【類比探究】頂點(diǎn)在圓外且兩邊與圓相交的角,命名為圓外角.(2)如圖3,在⊙O中,弦AB,CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,試探索圓外角∠E的度數(shù)與它所夾的兩段弧、的度數(shù)之間的關(guān)系.【靈活運(yùn)用】(3)如圖4,平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)A(,1)在⊙O上,⊙O與y軸正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C,點(diǎn)D是線段OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AC=AD.AC,AD的延長(zhǎng)線分別交⊙O于點(diǎn)E、F.延長(zhǎng)FE交y軸于點(diǎn)G,試探究∠FGO的度數(shù)是否變化.若不變,請(qǐng)求出它的度數(shù);若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.1.弦切角定理(1)弦切角:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.(2)弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.如圖所示,直線PT切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦,則有∠PCA=∠PBC(∠PCA為弦切角).2、相交弦定理【結(jié)論1】如圖,⊙O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)P,半徑為r,則①AP·BP=CP·DP,②AP·BP=CP·DP=r2-OP2.3、切割線定理【結(jié)論2】如圖,PBC是⊙O的一條割線,PA是⊙O的一條切線,切點(diǎn)為A,半徑為r,則①PA2=PB·PC,②PA2=PB·PC=PO2-r24、割線定理【結(jié)論3】如圖,PAB、PCD是⊙O的兩條割線,半徑為r,則①PA·PB=PC·PD②PA·PB=PC·PD=OP2-r2R口訣:從兩線交點(diǎn)處引出的共線線段的乘積相等
例題例題精講考點(diǎn)一:相交弦定理【例1】.已知:如圖弦AB經(jīng)過⊙O的半徑OC的中點(diǎn)P,且AP=2,PB=3,則是⊙O的半徑等于()A. B. C. D.解:延長(zhǎng)CO交⊙O于D,設(shè)⊙O的半徑是R,∵弦AB經(jīng)過⊙O的半徑OC的中點(diǎn)P,∴CP=R=OP,PD=R+R,由相交弦定理得:AP×BP=CP×DP,則2×3=R×(R+R),解得:R=2,故選:C.變式訓(xùn)練【變式1-1】.如圖,⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E,若CE:BE=2:3,則AE:DE=2:3.解:∵⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E,∴AE?BE=CE?DE,∴AE:DE=CE:BE=2:3,故答案為:2:3.【變式1-2】.如圖,在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD,CA=CB,過點(diǎn)A作AC的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.若cos∠ACB=,則的值為.解:設(shè)AC,BD交于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BG⊥EA,交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖,∵AC⊥BD,cos∠ACB=,∴cos∠ACB==,設(shè)CF=3k,則CB=5k,∴BF==4k.∵CA=CB,∴AC=5k,∴AF=AC﹣CF=2k.∵CF?AF=DF?BF,∴DF=k.∵AC⊥BD,AE⊥AC,∴DF∥AE,∴,∴,∴AE=k.∴CE==k.∵AC⊥BD,AE⊥AC,BG⊥EA,∴四邊形AFBG為矩形,∴BG=AF=2k,AG=BF=4k,∴EG=AE+AG=k,∴BE==k,∴=,故答案為:.考點(diǎn)二:弦切角定理【例2】.如圖,割線PAB過圓心O,PD切⊙O于D,C是上一點(diǎn),∠PDA=20°,則∠C的度數(shù)是110度.解:連接BD,則∠BDA=90°,∵PD切⊙O于點(diǎn)D,∴∠ABD=∠PDA=20°,∴∠DAB=90°﹣∠ABD=90°﹣20°=70°;又∵四邊形ADCB是圓內(nèi)接四邊形,∴∠C=180°﹣∠DAB=180°﹣70°=110°.變式訓(xùn)練【變式2-1】.如圖,已知∠P=45°,角的一邊與⊙O相切于A點(diǎn),另一邊交⊙O于B、C兩點(diǎn),⊙O的半徑為,AC=,則AB的長(zhǎng)度為()A. B.6 C. D.5解:連接OA,OB,作OD⊥AC于D,CE⊥AP于E,∵OA=OB,∴∠AOD=∠AOC,AD=DC=,∴OD==2,∵PA切⊙O于A,∴∠CAE=∠B,∵∠B=∠AOC,∴∠CAE=∠AOD,∵∠AEC=∠ADO=90°,∴△ACE∽△OAD,∴==,∴==,∴CE=,AE=,∵∠P=45°,∴△PCE是等腰直角三角形,∴PE=CE=,PC=,∵PA=AE+PE,∴PA=,∵∠CAE=∠B,∠P=∠P,∴△PAC∽△PBA,∴AC:AB=PC:PA,∴2:AB=:,∴AB=6.故選:B.【變式2-2】.如圖,BP是⊙O的切線,弦DC與過切點(diǎn)的直徑AB交于點(diǎn)E,DC的延長(zhǎng)線和切線交于點(diǎn)P,連接AD,BC.若DE=DA=,BC=2,則線段CP的長(zhǎng)為.解:連接BD,如圖,∵DE=DA,∴∠A=∠DEA,∵∠DEA=∠BEC,∠DCB=∠A,∴∠BEC=∠DCB.∴BE=BC=2.∵∠DEB=180°﹣∠BEC,∠BCP=180°﹣∠BCE,∴∠DEB=∠BCP,∵BP是⊙O的切線,∴∠BDE=∠PBC,∴△DEB∽△BCP,∴,∴,∴CP=.故答案為:.考點(diǎn)三:切割線定理【例3】.如圖,直線PA過半圓的圓心O,交半圓于A,B兩點(diǎn),PC切半圓與點(diǎn)C,已知PC=3,PB=1,則該半圓的半徑為4.解:∵PC切半圓與點(diǎn)C,∴PC2=PA?PB,即PA=9,則AB=9﹣1=8,則圓的半徑是4.故答案為4.變式訓(xùn)練【變式3-1】.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,O為AB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓O與BC相切于點(diǎn)D,分別交AC、AB于E、F,若CD=2CE=4,則⊙O的直徑為()A.10 B. C.5 D.12解:連接OD,過O作AC的垂線,設(shè)垂足為G,∵∠C=90°,∴四邊形ODCG是矩形,∵CD是切線,CEA是割線,∴CD2=CE?CA,∵CD=2CE=4,∴AC=8,∴AE=6,∴GE=3,∴OD=CG=5,∴⊙O的直徑為10.故選:A.【變式3-2】.如圖,在四邊形ABCD中,以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)C,D.AC與BD相交于點(diǎn)E,CD2=CE?CA,分別延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)P,PB=BO,CD=2.則BO的長(zhǎng)是4.解:連接OC,如圖,∵CD2=CE?CA,∴,而∠ACD=∠DCE,∴△CAD∽△CDE,∴∠CAD=∠CDE,∵∠CAD=∠CBD,∴∠CDB=∠CBD,∴BC=DC;設(shè)⊙O的半徑為r,∵CD=CB,∴,∴∠BOC=∠BAD,∴OC∥AD,∴,∴PC=2CD=4,∵∠PCB=∠PAD,∠CPB=∠APD,∴△PCB∽△PAD,∴,即,∴r=4(負(fù)根已經(jīng)舍棄),∴OB=4,故答案為4.【變式3-3】.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AB上,DE⊥EB.(1)求證:AC是△BDE的外接圓的切線;(2)若,求BD的長(zhǎng).(1)證明:連接OE,∵BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,∴∠1=∠EBC,∵∠1=∠2,∴∠2=∠CBE,∴∠AEO=∠C=90°,∴AC是⊙O的切線,∵⊙O是△BDE的外接圓,∴AC是△BDE的外接圓的切線;(2)解:∵AE是圓O的切線,AB是圓的割線,根據(jù)切割線定理:AE2=AD×AB,∵,∴()2=2×(2+BD),解得:BD=4.∴BD的長(zhǎng)是:4.考點(diǎn)四:割線定理【例4】.如圖,過點(diǎn)P作⊙O的兩條割線分別交⊙O于點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D,已知PA=3,AB=PC=2,則PD的長(zhǎng)是()A.3 B.7.5 C.5 D.5.5解:∵PA=3,AB=PC=2,∴PB=5,∵PA?PB=PC?PD,∴PD=7.5,故選:B.變式訓(xùn)練【變式4-1】.如圖,P是圓O外的一點(diǎn),點(diǎn)B、D在圓上,PB、PD分別交圓O于點(diǎn)A、C,如果AP=4,AB=2,PC=CD,那么PD=4.解:如圖,∵AP=4,AB=2,PC=CD,∴PB=AP+AB=6,PC=PD.又∵PA?PB=PC?PD,∴4×6=PD2,則PD=4.故答案是:4.【變式4-2】.已知直角梯形ABCD的四條邊長(zhǎng)分別為AB=2,BC=CD=10,AD=6,過B、D兩點(diǎn)作圓,與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,則BE﹣BF的值為4.解:延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)G,設(shè)BE,DG的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N,則易知AM=DN,∵BC=CD=10,由割線定理得,CB?CF=CD?CG,∵CB=CD,∴BF=DG,∴BE﹣BF=BE﹣DG=2(BM﹣DN)=2(BM﹣AM)=2AB=4.故答案為:4.1.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,CM切⊙O于點(diǎn)C,∠BCM=60°,則∠B的正切值是()A. B. C. D.解:連接BD.AB是直徑,則∠ADB=90°,∴∠CDB=∠BCM=60°.∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°.∵∠CBA=180°﹣∠CDA=30°,∴tan∠ABC=tan30°=.故選:B.2.如圖,從圓外一點(diǎn)P引圓的切線PA,點(diǎn)A為切點(diǎn),割線PDB交⊙O于點(diǎn)D、B.已知PA=12,PD=8,則S△ABP:S△DAP=9:4.解:由切割線定理可得PA2=PD×PB,∵PA=12,PD=8∴PB=18.由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA.∴S△PAD:S△PBA=PA2:PB2=4:9.3.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O過AB兩點(diǎn)且與BC切于B,與AC交于D,連接BD,若BC=﹣1,則AC=2.解:∵AB=AC,∠C=72°,BC是⊙O的切線,∴∠CBD=∠BAC=36°,∴∠ABD=36°,∴∠BDC=∠BCD=72°,∴AD=BD=BC;又∵BC是切線,∴BC2=CD?AC,∴BC2=(AC﹣BC)?AC(設(shè)AC=x),則可得到:(x﹣)2=,解得:x1=2,x2=(x2<0不合題意,舍去).∴AC=2.4.如圖,⊙O的直徑AB=8,將弧BC沿弦BC折疊后與∠ABC的角平分線相切,則△ABC的面積為8.解:設(shè)弧BC沿弦BC折疊后的圓弧的圓心為O′,連接O′B,如圖,∵將弧BC沿弦BC折疊后與∠ABC的角平分線相切,∴O′B⊥BD,∴∠O′BD=90°.設(shè)∠ABD=α,則∠BCD=∠ABD=α,∴∠ABC=2α.由折疊的性質(zhì)得:∠ABC=∠O′BC=2α,∴∠O′BD=∠O′BC+∠DBC=3α=90°,∴α=30°.∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴BC=AB?cos∠ABC=8×cos60°=4,AC=AB?sin∠ABC=8×=4.∴△ABC的面積為AC?BC=4×=8.故答案為:8.5.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠BAC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E,若BD=4,CD=1,則DE的長(zhǎng)是.解:連接OB,OC,OA,過O點(diǎn)作OF⊥BC于F,作OG⊥AE于G,∵⊙O是△ABC的外接圓,∠BAC=45°,∴∠BOC=90°,∵BD=4,CD=1,∴BC=4+1=5,∴OB=OC=,∴OA=,OF=BF=,∴DF=BD﹣BF=,∴OG=,GD=,解法一:在Rt△AGO中,AG==,∴GE=,∴DE=GE﹣GD=.解法二:在Rt△AGO中,AG==,∴AD=AG+GD=,∵AD×DE=BD×CD,∴DE==.故答案為:.6.如圖,已知AC=AB,AD=5,DB=4,∠A=2∠E.則CD?DE=56.解:如圖,過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)H;過點(diǎn)B作BG∥AH,交DE于點(diǎn)G;∵AB=AC,∴CF=BF,∠A=2∠HAD;而∠A=2∠E,∴∠HAD=∠E,∴A、H、B、E四點(diǎn)共圓,∴DH?DE=DA?DB=4×5=20;∵BG∥AH,且CF=BF,∴△AHD∽△BGD,CH=HG;∴,設(shè)HD=5λ,則DG=4λ,∴CD=CH+HD=14λ,∴DH=,∴?DE=20,∴CD?DE=56.故答案為56.7.如圖:BE切⊙O于點(diǎn)B,CE交⊙O于C,D兩點(diǎn),且交直徑于AB于點(diǎn)P,OH⊥CD于H,OH=5,連接BC、OD,且BC=BE,∠C=40°,劣弧BD的長(zhǎng)是.解:連接AD,BD∵BE=BC∴∠E=∠C=40°,∠BOD=80°,∠OBD=∠ODB=(180°﹣∠BOD)÷2=50°∵BE是切線∴∠DBE=∠C=40°∴∠BDE=180°﹣∠E﹣∠DBE=100°∴∠HDO=180°﹣∠ODB﹣∠BDE=30°∵OH⊥CD∴OD==10,即圓的半徑是10∴弧BD的度數(shù)是80度弧BD==.8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙O經(jīng)過點(diǎn)A(4,3),點(diǎn)B與點(diǎn)C在y軸上,點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合,且AB=AC,AC與⊙O交于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)E,連接CE、DE與x軸分別交于點(diǎn)G、F,則tan∠DFO=,tan∠A=.解:設(shè)圓O與y軸交于點(diǎn)H,K,過點(diǎn)A作AM⊥OC于點(diǎn)M,過點(diǎn)D作DN⊥OC于點(diǎn)N,如圖,∵A(4,3),∴AM=4,MO=3,∴AO==5.∵AB=AC,點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合,∴AB=AC=5.∴AE=2AO=10.∵AE為⊙O的直徑,∴ED⊥AD.∵AB=AC,AM⊥OC,∴OC=2OM=6.∴CH=CO﹣OH=6﹣5=1,∴CK=CH+HK=1+10=11.∵CD?CA=CH?CK,∴CD==,∴AD=AC﹣CD=5﹣=.∴DE==.∴tan∠DAE===.∵DH⊥OC,F(xiàn)O⊥OC,∴DH∥OF.∴∠DFO=∠NDF.∵ED⊥AD,∴∠NDF+∠CDN=90°.∵DN⊥OC,∴∠CDN+∠NCD=90°.∴∠NDF=∠NCD.∴∠DFC=∠NCD.∴tan∠DFC=tan∠NCD=.故答案為:;.9.如圖,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圓,CD是⊙O的切線,C為切點(diǎn),且CD=CB,連接AD,與⊙O交于點(diǎn)E.(1)求證AD=AB;(2)若AE=5,BC=6,求⊙O的半徑.(1)證明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵CD是⊙O的切線,C為切點(diǎn),∴∠ACD=∠B,∴∠ACD=∠ACB,∵BC=BD,AC=AC,∴△ACB≌△ACD(SAS),∴AB=AD;(2)連接OB,OC,CE,連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,∵△ACB≌△ACD,∴∠CAB=∠CAD,∴=,∴BC=CE,∵BC=CD=6,∴CE=CD=6,∴∠D=∠CED,∵AB=AC,AB=AD,∴AD=AC,∴∠ACD=∠D,∴∠CED=∠ACD,∴△DEC∽△DCA,∴=,∴=,∴DE=4或DE=﹣9(舍去),∴AD=AE+DE=9,∴AB=AC=AD=9,∵AB=AC,OB=OC,∴AF是BC的垂直平分線,∴AF⊥BC,BF=CF=BC=3,∴AF===6,設(shè)⊙O的半徑為r,在Rt△OFC中,OF2+CF2=OC2,∴(6﹣r)2+32=r2,∴r=,∴⊙O的半徑為.10.如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,CD是⊙O的直徑,AB⊥CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FB.(1)求證:FB是⊙O的切線.(2)若AC=4,tan∠ACD=,求⊙O的半徑.(1)證明:連接OA,OB,∵FA是⊙O的切線,∴OA⊥FA,∴∠FAO=90°,∵直徑CD⊥AB,∴CF垂直平分AB,∴AF=BF,∴∠FBE=∠FAE,∵OA=OB,∴∠OBE=∠OAE,∴∠OBE+∠FBE=∠FAE+∠OAE=∠FAO=90°,∴半徑OB⊥FB,∴FB是⊙O的切線(2)解:∵tan∠ACD==,∴令A(yù)D=x,則CD=2x,∵△ADC是直角三角形,∴AC===x=4,∴x=4,∴AD=4,CD=8,∵AD2=DE?CE,∴42=8DE,∴DE=2,∴CD=DE+CE=2+8=10,∴⊙O的半徑長(zhǎng)是5.11.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),連接CE交BD于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)G,連接BG.(1)求證:FB2=FE?FG;(2)若AB=6,求FB和EG的長(zhǎng).(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=BC,∴.∴∠DBA=∠G.∵∠EFB=∠BFG,∴△EFB∽△BFG,∴,∴FB2=FE?FG;(2)解:連接OE,如圖,∵AB=AD=6,∠A=90°,∴BD==6.∴OB=BD=3.∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴OE⊥AB,∵四邊形ABCD是正方形,∴BC⊥AB,∠DBA=45°,AB=BC,∴OE∥BC,OE=BE=AB.∴.∴,∴,∴BF=2;∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴AE=BE=3,∴EC==3.∵AE?BE=EG?EC,∴EG=.12.如圖,⊙O的割線PBA交⊙O于A、B,PE切⊙O于E,∠APE的平分線和AE、BE分別交于C、D,PE=4,PB=4,∠AEB=60°.(1)求證:△PDE∽△PCA;(2)試求以PA、PB的長(zhǎng)為根的一元二次方程;(3)求⊙O的面積.(答案保留π)(1)證明:由弦切角定理得∠PEB=∠EAB,∵PC是∠APE的平分線,∴∠CPE=∠CPA,∴△PDE∽△PCA;(2)解:由切割線定理得PE2=PA?PB,∵PE=4,PB=4,∴PA=12,∴PA+PB=16,PA?PB=48,∴所求方程為:x2﹣16x+48=0;(3)解:連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于F,連接AF,則BF是⊙O的直徑,∴∠BAF=90°,∴∠AEB=∠F=60°在Rt△ABF中,sin60°=====,∴BF=.∴⊙O的面積為:π()2=π(面積單位).13.如圖,圓O上有A,B,C三點(diǎn),AC是直徑,點(diǎn)D是的中點(diǎn),連接CD交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上,且FC=FE.(1)求證:CF是圓O的切線;(2)若,BE=2,求圓O的半徑和DE?EC的值.證明:(1)∵AC是直徑,點(diǎn)D是的中點(diǎn),∴∠ABC=90°,∠ACD=∠BCD.∵FC=FE,∴∠FCE=∠FEC.∵∠ABC=90°,∴∠CEF+∠BCE=90°.∴∠ECF+∠ACD=90°,即∠ACF=90°.∴AC⊥CF.又∵點(diǎn)C在圓O上,∴CF是圓O的切線;(2)連接AD.∵AC是直徑,點(diǎn)D是的中點(diǎn),∴∠ADC=∠ABC=90°,∠ACD=∠BCD.∴△BEC∽△DEA.∴DE?EC=AE?BE,在Rt△ACF和Rt△BCF中,∵==,設(shè)CF=3k,則AF=5k.∴BF=k,AC==4k.∵FC=FE=3k,BE=FE﹣BF,∴3k﹣k=2.∴k=.∴AC=.∴圓O的半徑=AC=.∵AE=AF﹣FE=5k﹣3k=2k=,∴AE×BE=×2=.∴DE?EC=.14.如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)C在⊙O上,且PC2=PB?PA.(1)求證:PC是⊙O的切線;(2)已知PC=20,PB=10,點(diǎn)D是的中點(diǎn),DE⊥AC,垂足為E,DE交AB于點(diǎn)F,求EF的長(zhǎng).(1)證明:連接OC,如圖1所示:∵PC2=PB?PA,即=,∵∠P=∠P,∴△PBC∽△PCA,∴∠PCB=∠PAC,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切線;(2)解:連接OD,如圖2所示:∵PC=20,PB=10,PC2=PB?PA,∴PA===40,∴AB=PA﹣PB=30,∵△PBC∽△PCA,∴==2,設(shè)BC=x,則AC=2x,在Rt△ABC中,x2+(2x)2=302,解得:x=6,即BC=6,∵點(diǎn)D是的中點(diǎn),AB為⊙O的直徑,∴∠AOD=90°,∵DE⊥AC,∴∠AEF=90°,∵∠ACB=90°,∴DE∥BC,∴∠DFO=∠ABC,∴△DOF∽△ACB,∴==,∴OF=OD=,即AF=,∵EF∥BC,∴==,∴EF=BC=.
15.已知:如圖,PF是⊙O的切線,PE=PF,A是⊙O上一點(diǎn),直線AE、AP分別交⊙O于B、D,直線DE交⊙O于C,連接BC,(1)求證:PE∥BC;(2)將PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E移到圓內(nèi),并在⊙O上另選一點(diǎn)A,如圖2.其他條件不變,在圖2中畫出完整的圖形.此時(shí)PE與BC是否仍然平行?證明你的結(jié)論.(1)證明:∵PF與⊙O相切,∴PF2=PD?PA.∵PE=PF,∴PE2=PD?PA.∴PE:PD=PA:PE.∵∠APE=∠APE,∴△EPD∽△APE.∴∠PED=∠A.∵∠ECB=∠A,∴∠PED=∠ECB.∴PE∥BC.(2)解:PE與BC仍然平行.證明:畫圖如圖,∵△EPD∽△APE,∴∠PEA=∠D.∵∠B=∠D,∴∠PEA=∠B.∴PE∥BC.16.已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC的平分線與⊙O相交于點(diǎn)D,連接DB.(1)如圖①,設(shè)∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)I,求證:BD=DI;(2)如圖②,過點(diǎn)D作直線DE∥BC,求證:DE是⊙O的切線;(3)如圖③,設(shè)弦BD,AC延長(zhǎng)后交⊙O外一點(diǎn)F,過F作AD的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過G作⊙O的切線GH(切點(diǎn)為H),求證:FG=HG.證明:(1)如圖①,∵AD平分∠BAC,BI平分∠ABC,∴∠BAD=
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