專題05相似三角形重要模型-(雙)A字型與(雙)8字型(原卷版+解析)

專題05相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應(yīng)角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．例2．（2023·安徽·九年級期末）如圖，在三角形中，點D、E分別在邊、上，，，，．(1)求證：；(2)若的平分線交于點F，交于點G，求．

例3．（2023秋·江西上饒·九年級校聯(lián)考期末）完成下列各題．(1)課本中有一道練習(xí)題：如圖1，一塊材料的形狀是銳角三角形（），邊，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在上，則這個正方形零件的邊長是mm．拓展應(yīng)用：(2)若原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形兩條邊，如圖2所示，求此時EF的長．

例4.（2022·上海九年級期中）如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的長．（2）在△ABC中，點D，E，Q分別是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．小明認為DPBQ例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．例2．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在梯形中，是對角線的中點，聯(lián)結(jié)并延長交邊或邊于E．（1）當(dāng)點E在邊上時，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長．例3.（2023·廣東九年級期中）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q．（1）求證：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當(dāng)時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1.（2022·成都市九年級期中）如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的長度．例2．（2022?武漢模擬）在△ABC中，CD是中線，E，F(xiàn)分別為BC，AC上的一點，連接EF交CD于點P．（1）如圖1，若F為AC的中點，CE＝2BE，求的值；（2）如圖2，設(shè)＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求證：PD＝PC；（3）如圖3，F(xiàn)為AC的中點，連接AE交CD于點Q，若QD＝QP，直接寫出的值．例3.（2022·重慶九年級期中）如圖，AD與BC相交于點E，點F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項訓(xùn)練1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形，，，點是邊上的動點，點F是射線BC上的動點，且，連接，．若，則m的最小值為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·山西晉城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點G是的重心，連接、并延長分別交、于點D，E，連接，則．

4．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點E是邊上一點，且，連接，過點C作的垂線，垂足為F，交于點D，則的長為．5．（2022秋·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點在上，點分別在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長為．

6．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，．點M在邊上，且．點E，F(xiàn)分別在上，且，垂足為G，則的值為．

7．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學(xué)?？既＃締栴}發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖，在中，，點和點分別是斜邊上的動點，并且滿足，分別過點和點作邊的垂線，垂足分別為點和點，那么的值是一個定值．問題：若時，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動腦筋的小明立即拿出另一個三角板進行了驗證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一樣，于是他猜想，對于任意一個直角三角形，當(dāng)時，的值都是固定的，小明的猜想對嗎？如果對，請利用圖進行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上的動點，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．

8．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點F，交于點E，于點H，連接交于點D．(1)求證：；(2)若點D為的中點，求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的長．9．（2023·吉林四平·校聯(lián)考三模）在中，，分別為，上一點，，交于點．(1)設(shè)的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．

10．（2022?江蘇中考模擬）對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似．例如，如圖（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC與CABC環(huán)繞的方向（同為逆時針方向）相同，因此△CDE和△CAB互為順相似；如圖（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC與CBAC環(huán)繞的方向相反，因此△CDE和△CBA互為逆相似．（1）根據(jù)以上材料填空：①如圖（3），AB∥CD，則△AOB∽△COD，它們互為相似（填“順”或“逆”，下同）；②如圖（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則△ABC∽，它們互為相似；③如圖（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于點F，則△ABD∽，它們互為相似；（2）如圖（6），若△AOB∽△COD，指出圖中另外的一對相似三角形并說明理由，同時指出它們互為順相似還是互為逆相似；（3）如圖（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，點P在△ABC的斜邊上，且AP＝16，過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC相似，則滿足的截線共有條．11．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，過點作的平行線，交邊于點．（1）求線段的長；（2）取線段的中點，聯(lián)結(jié)，交線段于點，延長線段交邊于點，求的值．12．（2022?綿陽市中考模擬）[閱讀理解]構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，則易證E是線段DF的中點．[經(jīng)驗運用]請運用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗和方法解決下列問題．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點G．求證：①G是EF的中點；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若點E在BA的延長線上，點F在線段BC上，DF交AC于點H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它條件不變，請直接寫出GH的長．13．（2022·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．(1)先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時，直接寫出的值；(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點，是邊上一點，，延長至點，使，延長交于點．直接寫出的值（用含的式子表示）．14．（2023·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點G，GF的延長線交AD于點H．（1）求HD的長；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）15．（2023春·四川南充·九年級校考階段練習(xí)）如圖，矩形的對角線與相交于點，點在上，，分別交，于點和點，與相交于點G．(1)求證：；(2)若，求∠DBE的度數(shù)；(3)若H為中點，求的值．

16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形，點E在延長線上，點F在延長線上，過點F作交的延長線于點H，連結(jié)交于點G，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時，求的長．

專題05相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應(yīng)角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解再證明可得【詳解】解：＝，DE∥BC，故選D【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．例2．（2023·安徽·九年級期末）如圖，在三角形中，點D、E分別在邊、上，，，，．(1)求證：；(2)若的平分線交于點F，交于點G，求．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，，可得，結(jié)合，從而可得結(jié)論；（2）由（1）可得，可得，證明，可得，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，．∴，，∴，又∵，∴，∴．（2）由（1）可得，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定方法是解本題關(guān)鍵．例3．（2023秋·江西上饒·九年級校聯(lián)考期末）完成下列各題．(1)課本中有一道練習(xí)題：如圖1，一塊材料的形狀是銳角三角形（），邊，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在上，則這個正方形零件的邊長是mm．拓展應(yīng)用：(2)若原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形兩條邊，如圖2所示，求此時EF的長．

【答案】(1)48(2)【分析】（1）設(shè)正方形零件的邊長為，則，，根據(jù)，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式列方程求解即可；（2）由可得，，根據(jù)，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)正方形零件的邊長為，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，即，解得．故答案為48．（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得．答：的長為．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識點，靈活運用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4.（2022·上海九年級期中）如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的長．（2）在△ABC中，點D，E，Q分別是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．小明認為DPBQ【答案】（1）6；（2）見解析【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）結(jié)論正確，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ同理可得：EPCQ=例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根據(jù)中點和平行兩個條件可得中點，從而可得DE是△ABC的中位線，進而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根據(jù)已知易證四邊形AEDF是平行四邊形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠EDA＝∠CAD，從而可得∠BAD＝∠EDA，進而可得EA＝ED，即可解答；（3）根據(jù)A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，從而可得＝，＝，然后把兩個式子相加進行計算，即可解答．【解答】（1）證明：∵點D是邊BC的中點，DE∥CA，∴點E是AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵點D是邊BC的中點，DF∥AB，∴點F是AC的中點，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）證明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四邊形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值為1．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，分式的化簡求值，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及A字模型相似三角形的關(guān)鍵．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．【答案】3【分析】由正方形的性質(zhì)可知，，則有，然后可得，進而問題可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴，，∴，∴，∵E為的中點，∴，∴，，∴，∴；故答案為3．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在梯形中，是對角線的中點，聯(lián)結(jié)并延長交邊或邊于E．（1）當(dāng)點E在邊上時，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長．【答案】（1）①見解析；②；（2）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件、平行線性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可推導(dǎo)，，由此可得；②若，那么在中，由．可得，作于H．設(shè)，那么．根據(jù)所對直角邊是斜邊的一半可知，由此可得的值．（2）①當(dāng)點E在上時，可得四邊形是矩形，設(shè)，在和中，根據(jù)，列方程求解即可．②當(dāng)點E在上時，設(shè)，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．【詳解】（1）①由，得．由，得．因為是斜邊上的中線，所以．所以．所以．所以．②若，那么在中，由．可得．作于H．設(shè)，那么．在中，，所以．所以．所以．（2）①如圖5，當(dāng)點E在上時，由是的中點，可得，所以四邊形是平行四邊形．又因為，所以四邊形是矩形，設(shè)，已知，所以．已知，所以．在和中，根據(jù)，列方程．解得，或（舍去負值）．②如圖6，當(dāng)點E在上時，設(shè)，已知，所以．設(shè)，已知，那么．一方面，由，得，所以，所以，另一方面，由是公共角，得．所以，所以．等量代換，得．由，得．將代入，整理，得．解得，或（舍去負值）．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，斜邊上的中線，勾股定理等，能夠運用相似三角形邊的關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．例3.（2023·廣東九年級期中）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q．（1）求證：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】解：（1）∵，∴．又∵．∴．（2）∵四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴，．∴，．又∵點是中點，∴．由（1）知，∴，∴．又∵，∴．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當(dāng)時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②見解析【分析】（1）過點C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．（2）①過點E作于點H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可求解．②連接，根據(jù)，得，即是等邊三角形，把旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論．(1)解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案為：等腰三角形，．(2)①過點E作于點H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴，∵是等邊三角形，且與重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，又，∴，又由（1）知，∴，則，∴在中，由勾股定理得：．②連接，如圖3所示：∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等邊三角形，又∵是等邊三角形，∴繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，巧妙借助輔助線是解題的關(guān)鍵．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1.（2022·成都市九年級期中）如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的長度．【答案】見解析【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF例2．（2022?武漢模擬）在△ABC中，CD是中線，E，F(xiàn)分別為BC，AC上的一點，連接EF交CD于點P．（1）如圖1，若F為AC的中點，CE＝2BE，求的值；（2）如圖2，設(shè)＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求證：PD＝PC；（3）如圖3，F(xiàn)為AC的中點，連接AE交CD于點Q，若QD＝QP，直接寫出的值．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到DF＝BC，結(jié)合題意計算，得到答案；（2）過點D作DG∥BC交AC于H，交EF的延長線于G，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AH＝HC，證明△HFG∽△CFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理證明結(jié)論；（3）連接DF交AE于M，設(shè)EC＝1，BE＝x，QD＝QP＝m，PC＝n，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到＝，＝，解方程得到答案．【解答】（1）解：∵AD＝DB，AF＝FC，∴DF＝BC，∵CE＝2BE，∴CE＝BC，∴＝＝；（2）證明：如圖2，過點D作DG∥BC交AC于H，交EF的延長線于G，∵AD＝DB，∴AH＝HC，設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)，則CE＝mx，CF＝ny，∴FH＝x﹣ny，∵DG∥BC，∴△HFG∽△CFE，∴＝，∴＝＝，∴HG＝（﹣m）x，∵DH＝BC＝x，m+n＝4mn，∴DG＝DH+HG＝x+（﹣m）x＝mx，∴DG＝CE，∵DG∥BC，∴＝＝1，∴PD＝PC；（3）解：連接DF交AE于M，設(shè)EC＝1，BE＝x，QD＝QP＝m，PC＝n，∵AD＝DB，AF＝FC，∴DF∥BC，∴＝，即＝，∴＝，∴DF∥BC，∴＝，即＝，∴＝，∴＝，整理得：x2+3x﹣2＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），∴＝．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，正確作出輔助線、掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．例3.（2022·重慶九年級期中）如圖，AD與BC相交于點E，點F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).證明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,DB).又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,BD).∴eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(DF,DB)＋eq\f(BF,BD)＝eq\f(BD,BD)＝1.∴eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得結(jié)論；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性質(zhì)將比例式相加，從而得出結(jié)論；（3）作DF∥OB交OC于點F，連接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，對比例式進行恒等變形是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項不正確，符合題目要求．故選D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形，，，點是邊上的動點，點F是射線BC上的動點，且，連接，．若，則m的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】延長到G，使，連接、，得到，從而可得，再利用勾股定理即可求出最小值．【詳解】解：如圖，延長到G，使，連接、，

在矩形，，∴，又∵，∴，∴∴，即，∵，∴，∴當(dāng)G、E、C三點共線時，m取最小值為GC，，∴m的最小值為．故選C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、最短距離問題，一般求兩條線段最短距離問題，都轉(zhuǎn)化為一條線段．本題通過構(gòu)造，得到，利用兩點間線段最短解決m取最小值的問題．3．（2022秋·山西晉城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點G是的重心，連接、并延長分別交、于點D，E，連接，則．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的重心的概念得到是的中位線，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：點是的重心，、分別為、的中點，是的中位線，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的重心的概念、三角形中位線定理，掌握三角形的重心是三角形三邊中線的交點是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點E是邊上一點，且，連接，過點C作的垂線，垂足為F，交于點D，則的長為．【答案】【分析】過點A作的平行線，延長，交的平行線于點G，易證，則可求出，，再證明，求出，最后證明，即可根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解．【詳解】解：過點A作的平行線，延長，交的平行線于點G，∵中，，，，∴，根據(jù)勾股定理可得：

，，∵，∴，∴，即，解得：，則，∵，∴，∴，∴，解得：，同理可得：，∴，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形對應(yīng)邊成比例，正確畫出輔助線，構(gòu)造相似三角形．5．（2022秋·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點在上，點分別在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長為．

【答案】6【分析】通過四邊形為矩形推出，因此與兩個三角形相似，將視為的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．【詳解】解：設(shè)與交于點M．

∵四邊形是矩形，∴，∴，∵和分別是和的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，．點M在邊上，且．點E，F(xiàn)分別在上，且，垂足為G，則的值為．

【答案】【分析】如圖，過點C作于點N，延長交于點H,連接，則，即，，得到，進而得到，，再利用，得到，再由得到結(jié)論．【詳解】如圖，過點C作于點N，延長交于點H，連接，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即：，解得：，或，當(dāng)時，，舍去，所以，∴，，∴，又∵∴，∴，即，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．故答案為：

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，能作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學(xué)?？既＃締栴}發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖，在中，，點和點分別是斜邊上的動點，并且滿足，分別過點和點作邊的垂線，垂足分別為點和點，那么的值是一個定值．問題：若時，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動腦筋的小明立即拿出另一個三角板進行了驗證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一樣，于是他猜想，對于任意一個直角三角形，當(dāng)時，的值都是固定的，小明的猜想對嗎？如果對，請利用圖進行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上的動點，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．

【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】3；【操作探究】；【解決問題】．【問題發(fā)現(xiàn)】由，，得，，而，則，于是得到問題的答案．【操作探究】由，，可證明，，得，，因為，則，于是可推導(dǎo)出，所以；【解決問題】連交于點，在上截取，作于點，由菱形的性質(zhì)得，，，可求得，再由，，證明，再證明，得，，則，由，，，得，則．【詳解】解：【問題發(fā)現(xiàn)】于點，于點，，，，，，，，，，故答案為：3．解：【操作探究】對，證明：于點，于點，，，，，，，，，，，，，，，，，的值為定值，．解：【解決問題】如圖3，連交于點，在上截取，作于點，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，于點，，，，，，，，，，，，故答案為：．

【點睛】此題重點考查直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．8．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點F，交于點E，于點H，連接交于點D．(1)求證：；(2)若點D為的中點，求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）如圖，證明，，，可得．，從而可得結(jié)論；（2）證明．由（1）可得，可得，可得．設(shè)，再分別表示，從而可得答案；（3）由（2）可得，，證明，可得，則，，．證明，可得，證明，可得．結(jié)合，從而可得答案.【詳解】（1）證明：如圖，

∵的垂直平分，∴，，，∴．∵，∴，∴．（2）∵點D為的中點，∴，∴．由（1）可得，∴，∴，∴．設(shè)，∴．∵，∴，，∴，∴．（3）由（2）可得，，由（1）同理可得：，而，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，．同理可得，∴，∴，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．由（2）可得，∴，∴．又∵，∴．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)，并靈活運用是解本題的關(guān)鍵.9．（2023·吉林四平·校聯(lián)考三模）在中，，分別為，上一點，，交于點．

(1)設(shè)的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①由可證，即可證，可進一步推出結(jié)論；②連接，作于點，作于點，過點作于點．可證，推出，設(shè)，則，則可分別求出，的長，即可求出結(jié)論；（2）過點作，且，連接，，構(gòu)造平行四邊形，證，推出，證明再證明為直角三角形，且可求出其三邊的比，即可求出的值．【詳解】（1）解：①，，．，，即．又，，．如圖②，連接，作于點，作于點，過點作于點．

，，又，，．又，，，，設(shè)，則，．（2）如答圖（2），過點作，且，連接，，

則四邊形為平行四邊形．，．，，．又，，，即．，．，設(shè)，，則在中，．，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠通過作出合適的輔助線構(gòu)造相似三角形，并且能夠靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)．10．（2022?江蘇中考模擬）對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似．例如，如圖（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC與CABC環(huán)繞的方向（同為逆時針方向）相同，因此△CDE和△CAB互為順相似；如圖（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC與CBAC環(huán)繞的方向相反，因此△CDE和△CBA互為逆相似．（1）根據(jù)以上材料填空：①如圖（3），AB∥CD，則△AOB∽△COD，它們互為相似（填“順”或“逆”，下同）；②如圖（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則△ABC∽，它們互為相似；③如圖（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于點F，則△ABD∽，它們互為相似；（2）如圖（6），若△AOB∽△COD，指出圖中另外的一對相似三角形并說明理由，同時指出它們互為順相似還是互為逆相似；（3）如圖（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，點P在△ABC的斜邊上，且AP＝16，過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC相似，則滿足的截線共有條．【答案】（1）①逆；②△ACD或△CBD，逆；③△BCE，順；（答案不唯一）；（2）△AOC∽△BOD，理由見解析；△AOC和△BOD互為順相似；（3）3．【分析】（1）①根據(jù)新定義直接判斷，即可得出結(jié)論；②先判斷出∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，進而分兩種情況，判斷出兩三角形相似，最后根據(jù)新定義判斷，即可得出結(jié)論；③先判斷出∠ABD=∠C，進而得出△ABD∽△BCE，最后用新定義判斷，即可得出結(jié)論；（2）先由△AOB∽△COD，判斷出，∠AOB=∠COD，進而得出∠AOC=∠BOD，即可得出結(jié)論；（3）先求出BP=9，分三種情況，過點P作AB，AC，BC的垂線，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB和△COD互為逆相似，故答案為：逆；②∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，Ⅰ、∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴△ABC和△ACD互為逆相似；Ⅱ、∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴△ABC和△CBD互為逆相似；故答案為：△ACD或△CBD，逆；③∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBD+∠C＝90°，∵∠EBC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE，∴△ABD和△BCE互為順相似；故答案為：△BCE，順；（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互為順相似；理由：∵△AOB∽△COD，∴＝，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵＝，∴＝，∴△AOC∽△BOD，∴△AOC和△BOD互為順相似；（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根據(jù)勾股定理得，AB＝＝＝25，∵AP＝16，∴BP＝AB﹣AP＝9，如圖1，①過點P作PG⊥BC于G，∴∠BGP＝90°＝∠ACB，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△PBG，∴，∴，∴BG＝＝＜BC，∴點G在線段BC（不包括端點）上，②過點P作PG''⊥AC于G''，∴∠AG''P＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△APG''，∴，∴，∴AG''＝＝＜AC，∴點G''在線段AC（不包括端點）上，③過點P作PG'⊥AB，交直線BC與G'，交直線AC于H，∵∠APG'＝∠APH＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△G'BP，∴，∴，∴BG'＝＝15＝BC，∴點G'和點H都和點C重合（注：為了說明問題，有意將點G'和點H沒畫在點C處），故答案為：3．【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，新定義的理解和應(yīng)用，理解新定義、熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，過點作的平行線，交邊于點．（1）求線段的長；（2）取線段的中點，聯(lián)結(jié)，交線段于點，延長線段交邊于點，求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分別求出CD，BC，BD，證明，根據(jù)相似性質(zhì)即可求解；（2）先證明，再證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵平分，，∴．在中，，，，∴．在中，，，，∴．∴．∵，∴∴．∴．（2）∵點是線段的中點，∴．∵，∴∴．∴．∵，∴∴∴．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意確定相似三角形，并根據(jù)相似性質(zhì)解題．12．（2022?綿陽市中考模擬）[閱讀理解]構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，則易證E是線段DF的中點．[經(jīng)驗運用]請運用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗和方法解決下列問題．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點G．求證：①G是EF的中點；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若點E在BA的延長線上，點F在線段BC上，DF交AC于點H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它條件不變，請直接寫出GH的長．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）BE＝CG，理由詳見解析；（3）．【分析】（1）①過點E作EI∥BC交AC于點I，證明△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG即可；②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AI＝AE，由平行線得出＝＝，證出IC＝BE，由全等三角形的性質(zhì)得出IG＝CG＝IC，即可得出結(jié)論；（2）作EI∥BC交AC于點I，由三角函數(shù)證出AE＝2IE，得出IE＝CF，證△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG，IG＝CG，設(shè)IE＝a，則AE＝2a，求出＝，則＝＝，得出IC＝EB，即可得出結(jié)果；（3）作FP∥AB交AC于P，則FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，則tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，證明△CPF∽△CAB，得出＝＝，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再證明△PFH∽△CDH，得出＝＝，得出PH＝PC＝，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：①過點E作EI∥BC交AC于點I，如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠AEI＝∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠AIE＝∠BAC＝45°，∴AE＝EI，∵AE＝CF，∴CF＝EI，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G是EF的中點；②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，∴△AEI是等腰直角三角形，∴AI＝AE，∴＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝BE，∵△EIG≌△FCG，∴IG＝CG＝IC，∴CG＝×BE＝BE；（2）解：BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系為：BE＝CG；理由如下：過點E作EI∥BC交AC于點I，如圖2所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，∴tan∠IAE＝＝＝，∴AE＝2IE，∵AE＝2CF，∴IE＝CF，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，IG＝CG，設(shè)IE＝a，則AE＝2a，在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，∴AI＝＝＝a，cos∠IAE＝，即＝＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝EB，∵IG＝CG＝IC，∴CG＝BE，∴BE＝CG；（3）解：作FP∥AB交AC于P，如圖3所示：則FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，在Rt△CFP和R