四川省廣安市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

廣安二中高2023級(jí)2024年秋入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)虛部的概念即可得到答案.【詳解】，則，故，虛部為，故選：C．2.已知向量，若，則（

）A.5 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，因?yàn)?，可得，解?故選：D.3.的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理三邊比值，然后能得到，即可得到答案【詳解】由正弦定理可知，設(shè)，所以，所以，所以的形狀是直角三角形，故選：B4.對于兩條不同直線m，n和兩個(gè)不同平面，以下結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中線面之間的位置關(guān)系及性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則或，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則或或相交，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則或，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.某人連續(xù)射擊兩次，事件“兩次都沒有命中目標(biāo)”的對立事件是（）A.至少有一次命中目標(biāo) B.至多有一次命中目標(biāo)C.恰好兩次都命中目標(biāo) D.恰好有一次命中目標(biāo)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對立事件定義直接判斷即可.【詳解】由對立事件定義知：事件“兩次都沒有命中目標(biāo)”的對立事件為“至少有一次命中目標(biāo)”.故選：A.6.已知，，向量在方向上投影向量是，則為（）A.12 B.8 C.8 D.2【答案】A【解析】【分析】由投影向量和數(shù)量積的定義即可得出結(jié)論.【詳解】在方向上投影向量為，，.故選：A7.如圖所示，在下列選項(xiàng)中，邊長為1的正三角形利用斜二測畫法得到的直觀圖后不是全等三角形的一組是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用斜二側(cè)法畫直觀圖的方法，平行性不變，平行于軸的線段長度相等，平行于軸的線段長度是原來的一半，可得結(jié)論．【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，A,B,D中正三角形的底邊都沒有改變，而三角形的高都平行于軸或與軸重合，因此它們的高相等，故A,B,D中三組三角形的直觀圖是全等的．而對于C，畫成直觀圖之后，第一個(gè)三角形中，到的距離變成原來的，第二個(gè)三角形中，到的距離保持不變，因此兩個(gè)三角形的直觀圖不全等．故選:C．8.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球表面積為，則此三棱錐的體積為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)球的表面積求出球的半徑，再由平面，則求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，則，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為，則，解得（負(fù)值已舍去）；因?yàn)槠矫?，所以，即，即，解得（?fù)值已舍去）；所以.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是找到球心位置，求出底面外接圓半徑和外接球半徑，再根據(jù)勾股定理求出棱錐的高.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在鈍角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，那么c的值可能為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】BCD【解析】【分析】考慮為鈍角或?yàn)殁g角兩種情況，根據(jù)余弦定理得到或，得到答案.【詳解】若為鈍角，則，且，即，BC滿足；若為鈍角，則，且，即，D滿足；故選：BCD10.已知一組樣本數(shù)據(jù)，現(xiàn)有一組新的，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.極差變小 D.方差變小【答案】ACD【解析】【分析】利用平均數(shù)、極差的定義計(jì)算判斷AC；利用中位數(shù)的定義舉例判斷B；利用方差的意義分析判斷D作答.【詳解】對于A，新數(shù)據(jù)的總和為：，與原數(shù)據(jù)總和相等，且數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)都是，因此平均數(shù)不變，A正確；對于B，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為2，B錯(cuò)誤；對于C，原數(shù)據(jù)極差為：，新數(shù)據(jù)極差為：，而，即極差變小了，C正確；對于D，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，因此方差變小，D正確.故選：ACD.11.如圖所示，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，以下四個(gè)命題中正確的是（）A.四邊形一定為矩形 B.平面平面C.四棱錐體積為 D.四邊形的周長最小值為【答案】BC【解析】【分析】對于A，由正方體的性質(zhì)得平面平面，從而，同理得，再由，得四邊形為菱形；對于B，連接，，，推導(dǎo)出，，從而得到平面平面；對于C，求出四棱錐的體積進(jìn)行判斷；對于D，四邊形是菱形，當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長最?。驹斀狻窟B接，，，，，顯然，且，所以為平行四邊形，所以，由題意得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，則平面，平面，所以平面平面，故B正確；由正方體的性質(zhì)得平面平面，平面平面，平面平面，故，同理得，又平面，平面，，四邊形為菱形，故A錯(cuò)誤；對于C，四棱錐體積為：，故C正確；對于D，四邊形是菱形，四邊形的周長，當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長最小，此時(shí)，即周長的最小值為4，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．（14題第一空2分，第二空3分）12.已知一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的表面積是______．【答案】【解析】【分析】求得圓錐的底面半徑和母線長，由此求得圓錐的表面積.【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長為.依題意，解得或（舍去），所以圓錐的底面半徑為，高為，母線長為.所以圓錐的表面積為.故答案為：13.如圖，已知正方形的邊長為3，且，與交于點(diǎn)，則__________．【答案】3【解析】【分析】先證明為中點(diǎn)，再利用轉(zhuǎn)化法求得，代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】因?yàn)?，則為中點(diǎn)，則，則，則，則.故答案為：3.14.已知菱形的邊長為2，且，將菱形沿對角線翻折成直二面角，則異面直線與所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________．【答案】①.##0.75②.【解析】【分析】空1：作出空間圖形，找到異面直線夾角或其補(bǔ)角，結(jié)合題意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解.【詳解】如下圖，過點(diǎn)作，連接，結(jié)合題意可知為的中點(diǎn)，且，所以即為二面角的平面角，由題意可知，.因?yàn)?，，所以，，所以，且，進(jìn)而得到，因?yàn)?，則異面直線與所成角即為或其補(bǔ)角，在中，由余弦定理可得，則異面直線與所成角的余弦值是；取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，，則即為所求二面角的平面角，在中，因?yàn)?，，所以，同理，在中，由余弦定理可得，故答案為：?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空的關(guān)鍵是作出二面角所表示的平面角，再結(jié)合勾股定理和余弦定理即可.第Ⅱ卷四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某景點(diǎn)某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景點(diǎn)為了提升服務(wù)質(zhì)量，采用分層抽樣從當(dāng)天游客中抽取100人，以評分方式進(jìn)行滿意度回訪.將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按照分成5組，制成如下頻率分布直方圖：（1）求抽取樣本老年、中青年、少年的人數(shù)；（2）求頻率分布直方圖中a的值；（3）估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值的分位數(shù).【答案】（1）50，40，10（2）0.020（3）82.5【解析】【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人數(shù)比例，從而求抽取樣本中老年、中青年、少年的人數(shù)；（2）利用頻率之和為1列出方程，求出的值；（3）利用百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解.【小問1詳解】老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人數(shù)比例為，故抽取100人，樣本中老年人數(shù)為人，中青年人數(shù)為人，少年人數(shù)為人；【小問2詳解】由題意可得，，解得：；【小問3詳解】設(shè)當(dāng)天游客滿意度分值的分位數(shù)為，因?yàn)?，，所以位于區(qū)間內(nèi)，則，解得：，所以估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值的分位數(shù)為.16.已知向量，．（1）設(shè)，求的最小值；（2）若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由平面向量的坐標(biāo)計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意得：，所以所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.【小問2詳解】由于，，向量與向量的夾角為鈍角，所以，且向量與向量不能共線，即即所以，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為：17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且_________．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中，并解答下列問題．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，用余弦定理即可求解，選②，用向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求解；（2）用正弦定理即可解決.【小問1詳解】若選①，由余弦定理可得，∴，又，∴，∴．若選②，則，又，∴，∴．【小問2詳解】由正弦定理（為外接圓半徑），可得，又∵，∴，解得．∴．18.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，是與的交點(diǎn)，平面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用中位線得，再利用線面平行的判定即可；（2）利用線面垂直的性質(zhì)得，再證明，最后根據(jù)面面垂直的判定即可證明；（3）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)線面角定義轉(zhuǎn)化為求的正切值，最后根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到答案.【小問1詳解】連接，在平行四邊形中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.【小問2詳解】平面平面，，在中，，，又，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，平面平?【小問3詳解】取的中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，，且由平面，得平面，是直線與平面所成的角，，在Rt中，，，從而，在Rt中，，直線與平面所成角的正切值為.19.對于平面向量，定義“變換”：，（1）若向量，，求；（2）求證：；（3）已知，，且與不平行，，，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；（2）計(jì)算得