第06講實際問題與一元二次方程(6種題型)(原卷版+解析)

第06講實際問題與一元二次方程（6種題型）【知識梳理】列一元二次方程解應用題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.【考點剖析】題型1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.)例1．（2022?寧夏）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢．某地92號汽油價格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．設該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為x，根據題意列出方程，正確的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9例2．（2022?上海）某公司5月份的營業(yè)額為25萬，7月份的營業(yè)額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為．例3.隨著國家“惠民政策”的陸續(xù)出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛(wèi)計委通過嚴打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當行為，某種藥品原價200元/瓶，經過連續(xù)兩次降價后，現在僅賣98元/瓶，現假定兩次降價的百分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率．例4．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）今年五一“網紅長沙”再次火出“圈”，27個旅游景區(qū)五天累計接待游客萬人，成為全國十大必到城市之一．長沙美食也吸引了無數游客紛紛打卡，某網紅火鍋店五一期間生意火爆，第2天營業(yè)額達到10萬元，第4天營業(yè)額為萬元，據估計第3天、第4天營業(yè)額的增長率相同．(1)求該網紅店第3，4天營業(yè)額的平均增長率；(2)若第1天的營業(yè)額為萬元，第五天由于游客人數下降，營業(yè)額是前四天總營業(yè)額的，求該網紅店第5天營業(yè)額．題型2：面積問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程.例5.如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面有一個2米寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米．求雞場的長和寬各多少米？例6.如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？例7.（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴充后，實地測量發(fā)現新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．例8.（2022?泰州）如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？題型3：數字問題(1)任何一個多位數都是由數位和數位上的數組成.數位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數位上的數字只能是0、1、2、……、9之中的數，而最高位上的數不能為0.因此，任何一個多位數，都可用其各數位上的數字與其數位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數.如：一個三位數，個位上數為a，十位上數為b，百位上數為c，則這個三位數可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個連續(xù)整數中，相鄰兩個整數相差1.如：三個連續(xù)整數，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1.

幾個連續(xù)偶數(或奇數)中，相鄰兩個偶數(或奇數)相差2.

如：三個連續(xù)偶數(奇數)，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-2，x+2.例9.已知兩個數的和等于12，積等于32，求這兩個數是多少．例10.一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大252，求這個兩位數.題型4：利潤（利息）問題利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數：存入銀行的時間叫期數.

利率：每個期數內的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數)=本息和

本金×[1+利率×期數×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

例11.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？例12.商場某種新商品每件進價是120元，在試銷期間發(fā)現，當每件商品售價為130元時，每天可銷售70件，當每件商品售價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件．據此規(guī)律，請回答：①當每件商品售價定為170元時，每天可銷售多少件商品？商場獲得的日盈利是多少？②在上述條件不變、商品銷售正常的情況下，每件商品的銷售價定為多少元時，商場日盈利可達到1600元？例13.（2022?宜昌）某造紙廠為節(jié)約木材，實現企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術改造升級，使再生紙項目的生產規(guī)模不斷擴大．該廠3，4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100噸．（1）求4月份再生紙的產量；（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加m%．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加%，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求m的值；（3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？題型5：比賽統(tǒng)計問題比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．例14．（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9例15.首屆中國象棋比賽采用單循環(huán)制，每位棋手與棋手比賽一盤制，已知第一輪比賽共下了105場，那么參加第一輪比賽的共有幾名選手？題型6：傳播問題傳播問題：，a表示傳染前的人數，x表示每輪每人傳染的人數，n表示傳染的輪數或天數，A表示最終的人數．例16．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人．根據題意列出方程為（

）A． B．C． D．例17．（2023·全國·九年級專題練習）有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人．【過關檢測】一、單選題1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）在“雙減政策”的推動下，我縣某中學學生每天書面作業(yè)時長明顯減少，2022年上學期每天書面作業(yè)平均時長為，經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天書面作業(yè)時長為，設該校這兩學期平均每天作業(yè)時長每期的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模）為大力實施城市綠化行動，某小區(qū)規(guī)劃設置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設綠地長為x米，根據題意可列方程為（

）A． B． C． D．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？级＃㎞K中學秋季運動會上安排了8行12列的鮮花儀仗隊，后來又增加了69人，使得隊伍增加的行、列數相同，設增加了x行，則可列方程為（

）A． B．C． D．4．（2022秋·天津武清·九年級?？茧A段練習）一個兩位數等于它個位數字的平方，且個位數字比十位數字大3，則這個兩位數是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．645．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，在一塊長，寬的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個矩形小塊（陰影部分），如果6個矩形小塊的面積和為，那么水渠應挖多寬？若設水渠應挖xm寬，則根據題意，下面所列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．6．（2023·寧夏銀川·校考一模）有一個人患流感，經過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人，可到方程為（

）A． B． C． D．7．（2023秋·云南昆明·九年級統(tǒng)考期末）中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡稱：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個階段進行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）．2022-2023CBA常規(guī)賽共要賽240場，則參加比賽的隊共有（）A．80個 B．120個 C．15個 D．16個8．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出個位置相鄰的數（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個數中，最小數x與最大數的積為161，那么根據題意可列方程為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2022秋·遼寧沈陽·九年級?？计谥校┤裟硟晌粩档氖粩底质欠匠痰母?，則它的十位數字是_____．10．（2023秋·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）在元旦慶祝活動中，每個參加活動的同學都給其余參加活動的同學各送1張賀卡，共送賀卡42張，設參加活動的同學有人，根據題意，可列方程是______11．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學校校考二模）某商場將進貨價為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發(fā)現：每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應降價________元．三、解答題12．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校?？既＃┠吵鞘?020年底已有綠化面積500公頃，經過努力，綠化面積以相同的增長率逐年增加，到2022年底增加到605公頃，求該城市綠化面積的增長率．13．（2023·山東德州·校考一模）某服裝銷售商用元購進了一批時髦服裝，通過網絡平臺進行銷售，由于行情較好，第二次又用元購進了同種服裝，第二次購進數量是第一次購進數量的倍，每件的進價多了元．(1)該銷售商第一次購進了這種服裝多少件，每件進價多少元？(2)該銷售商賣出第一批服裝后，統(tǒng)計發(fā)現：若按每件元銷售，每天平均能賣出件，銷售價每降低元，則多賣出件．依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為元，銷售價應為多少？14．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為30m，20m．現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．若擴充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．

15．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）我市某景區(qū)今年3月份接待游客人數為10萬人，5月份接待游客人數增加到12.1萬人．(1)求這兩個月游客人數的月平均增長率；(2)若月平均增長率不變，預計6月份的游客人數是多少？16．（2022秋·福建泉州·九年級校考階段練習）為了響應“踐行核心價值觀，青春正能量”的號召，小穎決定走入社區(qū)號召大家參加“傳遞正能量志愿服務者”，假定從一開始號召，每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會繼續(xù)號召，周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務者．”(1)求出m的值；(2)經過計算后，小穎、小紅、小麗三人開始起號召，但剛剛開始，他們就發(fā)現了問題，實際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，他們三人的成功率也各不相同，已知小紅的成功率比小穎的兩倍少，第一周后小麗比小穎多號召2人，三人一共號召17人，其中小穎號召了n人．①分別求出他們三人號召的成功率；②求出n的值．17．（2022秋·廣東陽江·九年級統(tǒng)考期末）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數據，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數據發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票18．（2022秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期中）由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護人員到一個大型小區(qū)設置了、兩個采樣點進行核酸采樣，當天共采樣9220份，已知點平均每人采樣720份，點平均每人采樣700份．(1)求、兩點各有多少名醫(yī)護人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護人員前往這個小區(qū)進行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數個商戶也納入這個小區(qū)采樣范圍，同時重新規(guī)劃，決定從點抽調部分醫(yī)護人員到點經調查發(fā)現，點每減少1名醫(yī)護人員，人均采樣量增加10份，點人均采樣量不變，最后當天共采樣9360份，求從點抽調了多少名醫(yī)護人員到點？19．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）如圖，已知A、B、C、D為矩形的四個頂點，，，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以的速度向點B移動，一直到點B為止，點Q以的速度向點D移動．問：(1)P、Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，四邊形的面積為？(2)幾秒時點P點Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點間距離何時最?。?0．（2023春·山西長治·九年級校聯(lián)考階段練習）小米又稱栗米，古稱栗，是中國古代的“五谷”之一，“人說山西好風光，地肥水美五谷香”、我省晉中、晉東南、陽泉盛產小米、某超市計劃用元的價格購進一批優(yōu)質小米，根據銷售經驗，當該小米的售價為元時，月銷售量為，每千克小米售價每增長元，月銷售量就相應減少．(1)若使這種小米的月銷售量不低于，每千克小米售價應不高于多少元？(2)在實際銷售過程中，每千克小米的進價為元，而每千克小米的售價比（1）中最高售價減少了，月銷售量比（1）中最低月銷售量增加了，結果該店銷售該小米的利潤達到了元，求在實際銷售過程中每千克小米的價格．21．（2023秋·山西太原·九年級期末）某電器商店銷售某品牌冰箱，該冰箱每臺的進貨價為2500元，已知該商店去年10月份售出50臺，第四季度累計售出182臺．(1)求該商店11，12兩個月的月均增長率；(2)調查發(fā)現，當該冰箱售價為2900元時，平均每天能售出8臺；售價每降低50元，平均每天能多售出4臺．該商店要想使該冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，求每臺冰箱的售價．22．（2020秋·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）校運動會前夕，某班家委會準備為班級學生團體操表演方陣購買件表演服裝，商家給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，則購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元．若商家每件運動服的進價為40元，家委會一次性購買這種服裝付了1200元．(1)當時，購買單價為___________元；當時，購買單價為___________元；(2)求家委會共購買了多少件服裝？(3)若不考慮其它因素，本次銷售商家的利潤率是多少？23．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考三模）隨著疫情防控全面放開，“復工復產”成為主旋律．中航無人機公司統(tǒng)計發(fā)現：公司今年2月份生產A型無人機2000架，4月份生產A型無人機達到12500架．(1)求該公司生產型無人機每月產量的平均增長率；(2)該公司還生產型無人機，已知生產1架A型無人機的成本200元，生產1架型無人機的成本是300元．若生產兩種型號無人機共100架，預算投入生產的成本不高于22500元，問最多能生產型無人機多少架？第06講實際問題與一元二次方程（6種題型）【知識梳理】列一元二次方程解應用題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.【考點剖析】題型1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.)例1．（2022?寧夏）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢．某地92號汽油價格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．設該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為x，根據題意列出方程，正確的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【分析】利用該地92號汽油五月底的價格＝該地92號汽油三月底的價格×（1+該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得6.2（1+x）2＝8.9，故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的感覺．例2．（2022?上海）某公司5月份的營業(yè)額為25萬，7月份的營業(yè)額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為．【分析】設平均每月的增長率為x，根據5月份的營業(yè)額為25萬元，7月份的營業(yè)額為36萬元，表示出7月的營業(yè)額，即可列出方程解答．【解答】解：設平均每月的增長率為x，由題意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）所以平均每月的增長率為20%．故答案為：20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據數量關系列出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．例3.隨著國家“惠民政策”的陸續(xù)出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛(wèi)計委通過嚴打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當行為，某種藥品原價200元/瓶，經過連續(xù)兩次降價后，現在僅賣98元/瓶，現假定兩次降價的百分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率．【思路點撥】設該種藥品平均每場降價的百分率是x，則兩個次降價以后的價格是200（1﹣x）2，據此列出方程求解即可．【答案與解析】解：設該種藥品平均每場降價的百分率是x，由題意得：200（1﹣x）2=98解得：x1=1.7（不合題意舍去），x2=0.3=30%．答：該種藥品平均每場降價的百分率是30%．【總結升華】此題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．例4．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）今年五一“網紅長沙”再次火出“圈”，27個旅游景區(qū)五天累計接待游客萬人，成為全國十大必到城市之一．長沙美食也吸引了無數游客紛紛打卡，某網紅火鍋店五一期間生意火爆，第2天營業(yè)額達到10萬元，第4天營業(yè)額為萬元，據估計第3天、第4天營業(yè)額的增長率相同．(1)求該網紅店第3，4天營業(yè)額的平均增長率；(2)若第1天的營業(yè)額為萬元，第五天由于游客人數下降，營業(yè)額是前四天總營業(yè)額的，求該網紅店第5天營業(yè)額．【答案】(1)該網紅店第3，4天營業(yè)額的平均增長率為；(2)該網紅店第5天營業(yè)額為萬元．【分析】（1）設該網紅店第3，4天營業(yè)額的平均增長率為，連續(xù)增長兩次，根據第2天的營業(yè)額為10萬元可列出方程求解；（2）求得前四天營業(yè)總額，根據“第五天的營業(yè)額是前四天總營業(yè)額的”列式計算即可求解．【詳解】（1）解：設該網紅店第3，4天營業(yè)額的平均增長率為，則解得，（舍）答：該網紅店第3，4天營業(yè)額的平均增長率為；（2）解：前四天營業(yè)額為：萬元．第五天營業(yè)額：萬元，答：該網紅店第5天營業(yè)額為萬元．【點睛】本題考查了一元二次方程中求增長率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均增長率為x，則經過兩次變化后的數量關系為．題型2：面積問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程.例5.如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面有一個2米寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米．求雞場的長和寬各多少米？解答方法：通過列出籬笆的長和寬來求解面積解：設雞場的寬為。（舍，不符合題意）或答：雞場的長為15米，寬為10米。答案：10米。例6.如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？【答案與解析】解：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為（25﹣2x+1）m，由題意得x（25﹣2x+1）=80，化簡，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2，8，當x=5時，26﹣2x=16＞12（舍去），當x=8時，26﹣2x=10＜12，答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m．【總結升華】1．結合圖形分析數量關系是解決面積等幾何問題的關鍵；2．注意檢驗一元二次方程的兩個解是否符合題意．例7.（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴充后，實地測量發(fā)現新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．【分析】（1）設將綠地的長、寬增加xm，則新的矩形綠地的長為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據擴充后的矩形綠地面積為800m，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其正值分別代入（35+x）及（15+x）中，即可得出結論；（2）設將綠地的長、寬增加ym，則新的矩形綠地的長為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據實地測量發(fā)現新的矩形綠地的長寬之比為5：3，即可得出關于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面積計算公式，即可求出新的矩形綠地面積．【解答】解：（1）設將綠地的長、寬增加xm，則新的矩形綠地的長為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據題意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合題意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形綠地的長為40m，寬為20m．（2）設將綠地的長、寬增加ym，則新的矩形綠地的長為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據題意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形綠地面積為1500m2．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程．例8.（2022?泰州）如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？【分析】要求路寬，就要設路寬應為x米，根據題意可知：矩形地面﹣所修路面積＝草坪面積，利用平移更簡單，依此列出等量關系解方程即可．【解答】解：設路寬應為x米根據等量關系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合題意，舍去，所以x＝4，答：道路的寬應為4米．【點評】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．題型3：數字問題(1)任何一個多位數都是由數位和數位上的數組成.數位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數位上的數字只能是0、1、2、……、9之中的數，而最高位上的數不能為0.因此，任何一個多位數，都可用其各數位上的數字與其數位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數.如：一個三位數，個位上數為a，十位上數為b，百位上數為c，則這個三位數可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個連續(xù)整數中，相鄰兩個整數相差1.如：三個連續(xù)整數，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1.

幾個連續(xù)偶數(或奇數)中，相鄰兩個偶數(或奇數)相差2.

如：三個連續(xù)偶數(奇數)，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-2，x+2.例9.已知兩個數的和等于12，積等于32，求這兩個數是多少．【答案與解析】設其中一個數為x，那么另一個數可表示為(12-x)，依題意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，當x＝4時12-x＝8；當x＝8時12-x＝4．所以這兩個數是4和8．【總結升華】數的和、差、倍、分等關系，如果設一個數為x，那么另一個數便可以用x表示出來，然后根據題目條件建立方程求解．例10.一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大252，求這個兩位數.解答方法：通過數位的分析，列出方程進行求解。本題難點是設。設這個一位數為?；虼鸢福?或7題型4：利潤（利息）問題利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數：存入銀行的時間叫期數.

利率：每個期數內的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數)=本息和

本金×[1+利率×期數×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

例11.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？【答案與解析】解：降價x元，則售價為（60﹣x）元，銷售量為（300+20x）件，根據題意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顧客得實惠，故取x=4，級定價為56元，答：應將銷售單價定位56元．【總結升華】列一元二次方程解應用題往往求出兩解，有的解不合實際意義或不合題意．應舍去，必須進行檢驗．例12.商場某種新商品每件進價是120元，在試銷期間發(fā)現，當每件商品售價為130元時，每天可銷售70件，當每件商品售價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件．據此規(guī)律，請回答：①當每件商品售價定為170元時，每天可銷售多少件商品？商場獲得的日盈利是多少？②在上述條件不變、商品銷售正常的情況下，每件商品的銷售價定為多少元時，商場日盈利可達到1600元？解答方法：（1）首先求出每天可銷售商品數量，然后可求出日盈利；（2）設商場的日盈利達到1600元時，每件商品的售價為元，根據日盈利可求出方程求解。答案：（1）當每件商品售價為170元時，比每件商品售價130元高出40元，即（元），則每天可銷售商品30件，商場的日盈利為（元）；（2）設商場的日盈利達到1600元時，每件商品的售價為元，答：當銷售價定為160元時，商場的日盈利可達到1600元。例13.（2022?宜昌）某造紙廠為節(jié)約木材，實現企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術改造升級，使再生紙項目的生產規(guī)模不斷擴大．該廠3，4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100噸．（1）求4月份再生紙的產量；（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加m%．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加%，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求m的值；（3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？【分析】（1）設3月份再生紙的產量為x噸，則4月份再生紙的產量為（2x﹣100）噸，根據該廠3，4月份共生產再生紙800噸，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再將其代入（2x﹣100）中即可求出4月份再生紙的產量；（2）利用月利潤＝每噸的利潤×月產量，即可得出關于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（3）設4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為y，5月份再生紙的產量為a噸，根據6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%，即可得出關于y的一元二次方程，化簡后即可得出6月份每噸再生紙的利潤．【解答】解：（1）設3月份再生紙的產量為x噸，則4月份再生紙的產量為（2x﹣100）噸，依題意得：x+2x﹣100＝800，解得：x＝300，∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．答：4月份再生紙的產量為500噸．（2）依題意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，整理得：m2+300m﹣6400＝0，解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合題意，舍去）．答：m的值為20．（3）設4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為y，5月份再生紙的產量為a噸，依題意得：1200（1+y）2?a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）?a，∴1200（1+y）2＝1500．答：6月份每噸再生紙的利潤是1500元．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程（或一元二次方程）是解題的關鍵．題型5：比賽統(tǒng)計問題比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．例14．（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9【分析】設共有x支隊伍參加比賽，根據“單循環(huán)比賽共進行了45場”列一元二次方程，求解即可．【解答】解：設共有x支隊伍參加比賽，根據題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊伍參加比賽．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意并根據題意建立等量關系是解題的關鍵．例15.首屆中國象棋比賽采用單循環(huán)制，每位棋手與棋手比賽一盤制，已知第一輪比賽共下了105場，那么參加第一輪比賽的共有幾名選手？解答方法：設人數為人，理解握手的單向性，列出方程求解答案：設人數為人或（舍，不符合題意）答：棋手共有15人。題型6：傳播問題傳播問題：，a表示傳染前的人數，x表示每輪每人傳染的人數，n表示傳染的輪數或天數，A表示最終的人數．例16．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人．根據題意列出方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第一輪傳染后總傳染人數為，第二輪后總傳染人數為，由此可解．【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染個人，則第一輪傳染后總傳染人數為，第二輪后總傳染人數為，因此．故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，找準等量關系是解題的關鍵．例17．（2023·全國·九年級專題練習）有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人．【答案】15人【分析】有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，設每輪傳染中平均每人傳染了x人，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】設每輪傳染中平均每人傳染了x人，依題意，得，即，解方程，得，（舍去）．答：每輪傳染中平均每人傳染了15人，【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）在“雙減政策”的推動下，我縣某中學學生每天書面作業(yè)時長明顯減少，2022年上學期每天書面作業(yè)平均時長為，經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天書面作業(yè)時長為，設該校這兩學期平均每天作業(yè)時長每期的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用2023年上學期平均每天作業(yè)時長年上學期每天作業(yè)平均時長該校平均每天作業(yè)時長這兩學期每期的下降率，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據題意得：，故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出的一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模）為大力實施城市綠化行動，某小區(qū)規(guī)劃設置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設綠地長為x米，根據題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設綠地長為x米，則寬為米，根據矩形綠地的面積為1000平方米列出方程即可．【詳解】解：設綠地長為x米，則寬為米，根據題意得：，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握矩形的面積公式．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？级＃㎞K中學秋季運動會上安排了8行12列的鮮花儀仗隊，后來又增加了69人，使得隊伍增加的行、列數相同，設增加了x行，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據游行隊伍的總人數=行數×列數，即可得出關于x的一元二次方程．【詳解】解：依題意，得．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找到等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．4．（2022秋·天津武清·九年級?？茧A段練習）一個兩位數等于它個位數字的平方，且個位數字比十位數字大3，則這個兩位數是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【分析】設十位數字為，表示出個位數字，根據題意列出方程求解即可．【詳解】設這個兩位數的十位數字為，則個位數字為．依題意得：，解得:.∴這個兩位數為25或36．故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．5．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，在一塊長，寬的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個矩形小塊（陰影部分），如果6個矩形小塊的面積和為，那么水渠應挖多寬？若設水渠應挖xm寬，則根據題意，下面所列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】6個矩形小塊通過平移可以得到一個大的矩形，求出矩形的長和寬，根據面積為即可列出方程．【詳解】解：由題意知，6個矩形小塊通過平移可以得到一個大的矩形，長為，寬為，6個矩形小塊的面積和為，．故選A．【點睛】本題考查根據實際問題列一元二次方程，解題的關鍵是用含x的代數式表示出6個矩形小塊合成的大矩形的長和寬．6．（2023·寧夏銀川·校考一模）有一個人患流感，經過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人，可到方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，整理得，．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，關鍵是得到兩輪傳染數量關系，從而可列方程求解．7．（2023秋·云南昆明·九年級統(tǒng)考期末）中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡稱：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個階段進行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）．2022-2023CBA常規(guī)賽共要賽240場，則參加比賽的隊共有（）A．80個 B．120個 C．15個 D．16個【答案】D【分析】根據參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽，共要比賽240場，可列出方程．【詳解】解：設參加比賽的隊共有x，根據題意可得：，解得：，（舍去），故選：D．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是根據總比賽場數作為等量關系列方程求解．8．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出個位置相鄰的數（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個數中，最小數x與最大數的積為161，那么根據題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據日歷上數字規(guī)律得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，以及利用最大數與最小數的積為161，列出方程即可．【詳解】解：根據圖表可以得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，設最小數為，則最大數為，根據題意得出：，故選：B．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據已知得出最大數與最小數的差為16是解題關鍵．二、填空題9．（2022秋·遼寧沈陽·九年級校考期中）若某兩位數的十位數字是方程的根，則它的十位數字是_____．【答案】7【分析】解方程，求出方程的解，根據兩位數的十位不為0從而求出答案．【詳解】依題意解方程：，又因為是兩位數，所以十位數字是7，故答案為：7．【點睛】此題考查了用因式分解解一元二次方程，關鍵是正確求解方程，并結合題意兩位數的十位確定出取值．10．（2023秋·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）在元旦慶?；顒又?，每個參加活動的同學都給其余參加活動的同學各送1張賀卡，共送賀卡42張，設參加活動的同學有人，根據題意，可列方程是______【答案】【分析】設參加活動的同學有人，從而可得每位同學贈送的賀卡張數為張，再根據“共送賀卡張”建立方程，然后解方程即可得．【詳解】設參加活動的同學有人，由題意得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，依據題意，正確建立方程是解題關鍵．11．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學校?？级＃┠成虉鰧⑦M貨價為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發(fā)現：每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應降價________元．【答案】10【分析】設每件降價元則每件的盈利為元，每天可出售件，由總利潤每件的盈利日銷量，進而列出方程，求出結果要結合盡快減少庫存，即可得解．【詳解】解：設每件降價元，則每件的銷售利潤為元，每天可售出件，根據題意得：，解得：，．要盡快減少庫存，．故每件應降價10元．故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．三、解答題12．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校?？既＃┠吵鞘?020年底已有綠化面積500公頃，經過努力，綠化面積以相同的增長率逐年增加，到2022年底增加到605公頃，求該城市綠化面積的增長率．【答案】該城市綠化面積的增長率．【分析】先根據題意列出一元二次方程，即可求出增長率．【詳解】解：設綠化面積的年平均增長率是x，由題意得：，解得：（不合題意，舍去），答：該城市綠化面積的增長率．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意找出相等關系是解題的關鍵．13．（2023·山東德州·?？家荒＃┠撤b銷售商用元購進了一批時髦服裝，通過網絡平臺進行銷售，由于行情較好，第二次又用元購進了同種服裝，第二次購進數量是第一次購進數量的倍，每件的進價多了元．(1)該銷售商第一次購進了這種服裝多少件，每件進價多少元？(2)該銷售商賣出第一批服裝后，統(tǒng)計發(fā)現：若按每件元銷售，每天平均能賣出件，銷售價每降低元，則多賣出件．依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為元，銷售價應為多少？【答案】(1)第一次購進了這種服裝件，每件進價元(2)銷售價定為元/件【分析】（1）設每件進價元，根據題意，列出方程，解出方程，即可；（2）設銷售價為元/件，根據題意，列出方程，解出方程，即可．【詳解】（1）設每件進價元∴，解得：，經檢驗，是方程的解，∵，∴第一次購金了這種服裝件，答：第一次購進了這種服裝件，每件進價元．（2）設銷售價為元/件，∴每天銷售量為，∴，整理得：，解得：，（舍），∴．∴銷售價定為元/件．【點睛】本題考查一元二次方程和分式方程的知識，解題的關鍵是掌握一元二次方程和分式方程的應用．14．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為30m，20m．現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．若擴充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．

【答案】長為，寬為【分析】設綠地的長、寬增加的長度為，然后根據擴充后的矩形綠地面積為，列出方程求解即可．【詳解】解：設綠地的長、寬增加的長度為由題意得，解得，（不符合題意，舍去）∴，故新的矩形綠地的長為，寬為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，正確理解題意找到等量關系建立方程是解題的關鍵．15．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）我市某景區(qū)今年3月份接待游客人數為10萬人，5月份接待游客人數增加到12.1萬人．(1)求這兩個月游客人數的月平均增長率；(2)若月平均增長率不變，預計6月份的游客人數是多少？【答案】(1)這兩個月游客人數的月平均增長率為10%(2)按照這個增長率，預計6月份的游客人數是13.31萬人【分析】根據增長率的定義處理（1）設平均增長率為x，依題意，得，解方程；（2）基期數據為12.1，增長期間為1個月，依公式計算求解．【詳解】（1）解：設這兩個月游客人數的月平均增長率為x，依題意，得：，解得（舍去），．答：這兩個月游客人數的月平均增長率為10%．（2）（萬人）．答：按照這個增長率，預計6月份的游客人數是13.31萬人【點睛】本題考查一元二次方程的應用；熟練增長率的定義及計算公式是解題的關鍵．16．（2022秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習）為了響應“踐行核心價值觀，青春正能量”的號召，小穎決定走入社區(qū)號召大家參加“傳遞正能量志愿服務者”，假定從一開始號召，每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會繼續(xù)號召，周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務者．”(1)求出m的值；(2)經過計算后，小穎、小紅、小麗三人開始起號召，但剛剛開始，他們就發(fā)現了問題，實際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，他們三人的成功率也各不相同，已知小紅的成功率比小穎的兩倍少，第一周后小麗比小穎多號召2人，三人一共號召17人，其中小穎號召了n人．①分別求出他們三人號召的成功率；②求出n的值．【答案】(1)10(2)①小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為；②4【分析】（1）根據“每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會繼續(xù)號召，兩周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務者”列出方程，即可求解；（2）①根據題意得：小穎號召了n人，小麗號召了人，小紅號召了人，從而得到小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，再根據“小紅的成功率比小穎的兩倍少”列出方程，即可求解；②由①，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：，即，解得：（舍去）答：m的值為10；（2）解：①根據題意，得：小穎號召了n人，小麗號召了人，小紅號召了人，∴小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，∵小紅的成功率比小穎的兩倍少，∴，解得：，∴所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，答：小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為；②由①得：n的值為4．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．17．（2022秋·廣東陽江·九年級統(tǒng)考期末）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數據，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數據發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票【答案】(1)10%(2)2500000張【分析】（1）設平均每次累計票房增長的百分率是，利用第3次累計票房=第1次累計票房（1+平均每次累計票房增長的百分率），即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）利用數量=總結單價，即可求出結論；【詳解】（1）解：設平均每次累計票房增長的百分率是，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：平均每次累計票房增長的百分率是10%．（2）解：（張）．答：10月11日賣出2500000張電影票．（或（張）．）【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及統(tǒng)計表，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．18．（2022秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期中）由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護人員到一個大型小區(qū)設置了、兩個采樣點進行核酸采樣，當天共采樣9220份，已知點平均每人采樣720份，點平均每人采樣700份．(1)求、兩點各有多少名醫(yī)護人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護人員前往這個小區(qū)進行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數個商戶也納入這個小區(qū)采樣范圍，同時重新規(guī)劃，決定從點抽調部分醫(yī)護人員到點經調查發(fā)現，點每減少1名醫(yī)護人員，人均采樣量增加10份，點人均采樣量不變，最后當天共采樣9360份，求從點抽調了多少名醫(yī)護人員到點？【答案】(1)A檢測隊有6人，B檢測隊有7人(2)從B檢測隊中抽調了2人到A檢測隊【分析】（1）設A點有x名醫(yī)護人員，B點有y名醫(yī)護人員，根據“A、B兩個采樣點共13名醫(yī)護人員，且當天共采樣9220份”，即可得出關于x，y的且當天共采樣9220份，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設從B點抽調了m名醫(yī)護人員到A點，則B點平均每人采樣份,根據重新規(guī)劃后當天共采樣9360份，即可得出關于m的一元_二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】（1）解：設A檢測隊有人，B檢測隊有人，依題意得：，分解得：答：A檢測隊有6人，B檢測隊有7人；（2）解：設從B檢測隊中抽調了人到A檢測隊，則B檢測隊人均采樣人，依題意得：，解得：，解得：，，由于從B對抽調部分人到A檢測隊，則故，答：從B檢測隊中抽調了2人到A檢測隊．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．19．（2022秋·陜西西安·九年級?？计谥校┤鐖D，已知A、B、C、D為矩形的四個頂點，，，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以的速度向點B移動，一直到點B為止，點Q以的速度向點D移動．問：(1)P、Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，四邊形的面積為？(2)幾秒時點P點Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點間距離何時最?。俊敬鸢浮?1)5秒(2)秒或秒(3)秒【分析】（1）表示出和，利用梯形的面積公式結合四邊形的面積為，即可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）過作于，如果設出發(fā)秒后，厘米．那么可根據路程速度時間，用未知數表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知數的值．（3）在直角三角形中，為0時，就最小，那么可根據這個條件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此時時間的值．【詳解】（1）解：當運動時間為t秒時，，，依題意，得：，解得：．答：P，Q兩點從出發(fā)開始到5秒時，四邊形的面積為．（2）設出發(fā)秒后、兩